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I. Concepto de potencia:

Una potencia es una multiplicación reiterada de una cifra llamada base que se multiplicará

por sí misma tantas veces como lo indique otra cifra llamada exponente. D

Esto significa que si se tiene la potencia (dos elevado a seis o a la sexta), la base será 2 y el

exponente 6, lo cual dará como resultado 64 porque el 2 se multiplica por si mismo 6 veces

(2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64).

Propiedad:

1. Toda potencia de exponente cero es igual a 1:

2. Toda potencia de exponente 1 es igual a la base:

Hallar el valor potencia de las siguientes expresiones:

II. Potencias Propiedades Multiplicación:

Multiplicación de potencias de igual base

Para multiplicar potencias de igual base, se suman los exponentes y se mantiene la base.

Demostración:

a) b) =

c) = d) =

e) = f) =

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Para escribir una multiplicación como una sola potencia se debe determinar la base

común:

Ejemplo:

2 ∙ 4 ∙ 8 ∙ 4 21 ∙ 22 ∙ 23 ∙ 22 28

Resuelve:

a) 25 ∙ 5 ∙ 125 ∙ 625

b) 9 ∙ 3 ∙ 81 ∙ 27

c) 16∙ 9 ∙ 64

III. Resolución de Problemas:

a) Una multitienda ofrece la siguiente oferta: “Arme su propio combo”. Para ello el cliente puede optar por un artículo de cada departamento y cada departamento pone a disposición un conjunto de productos que pueden entrar en la oferta: El departamento ropa infantil ofrece 27 productos, electrónica 9 productos, vestuario de mujer: 81 productos, vestuario de hombre:9 productos, electro hogar 9 productos y mueblería 3 productos. ¿Cuántas combinaciones distintas puede hacer un cliente que quiera adquirir esta oferta? Desarrollo:

Se ordenan los datos y luego se multiplican, considerando que estas cifras son valores de potencias de base común: Valor Potencia Potencia Vestuario de mujer 81 34 Vestuario de hombre 9 32 Electro hogar 9 32 Mueblería 3 31 Aplicando propiedad de potencias de igual base

34 ∙ 32 ∙ 32 ∙ 32 39

b) Un restorán ofrece en su menú 2 platos de entrada, cuatro platos de fondo, cuatro ensaladas distintas y ocho clases de postre. ¿Cuántas combinaciones distintas puede hacer un comensal que acude a este restorán?

c) La directiva de un curso organizó un concurso que consiste en adivinar tres números: el primero desde el 1 al 4, el segundo desde el 1 al 16 y el tercero desde el 1 al 64. ¿Cuántas posibles combinaciones se pueden realizar?

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IV. Multiplicación de potencias de igual exponente

Para multiplicar potencias de igual exponente, se multiplican las bases y se mantiene el exponente.

Demostración:

Completa la tabla:

Cálculo de áreas de y volúmenes:

Para calcular el área del cuadrado se multiplican las medidas de sus dos dimensiones (lados). Y para calcular el volumen de un cubo se multiplican sus tres dimensiones (aristas)

Problemas:

a) ¿Cuánto mide el área de un rectángulo cuyos lados miden 81cm y 3 cm?

b) ¿Cuánto mide el área de un rectángulo cuyos lados miden 4 cm y 64 cm?

c) ¿Cuánto mide el área de un rectángulo cuyos lados miden 2 cm y 8 cm?

d) ¿Cuánto mide el volumen de un prisma de base rectangular cuyas aristas miden

81cm, 3 cm y 27 cm?

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e) ¿Cuánto mide el volumen de un prisma de base rectangular cuyas aristas miden

4cm, 16 cm y 64 cm?

f) ¿Cuánto mide el volumen de un prisma de base rectangular cuyas aristas miden

5 cm, 25 cm y 125 cm?

V. Crecimiento exponencial:

Problema: Un cultivo de amebas se reproduce cada 20 minutos. Si inicialmente había 4

microorganismos, ¿cuántos habrá al cabo de 1 hora?

a) Cierta bacteria se duplica cada 10 minutos. Si en un comienzo había 3 bacterias, ¿cuántas hay al cabo de 30 minutos?

b) Una persona manda un e-mail a 5 amigos, cada uno de los cuales, al día siguiente manda 5 correos a 5 amigos más y así sucesivamente. ¿Cuántas personas reciben un correo de esta cadena de amigos al 4º día?

VI. Gráfica: Para graficar: Primero se elabora una tabla de doble entrada: Nº de periodos y población. Luego se dibuja un eje correspondiente a las abscisas (eje horizontal) y un segundo eje, el de las ordenadas (eje vertical). En el eje de las ordenadas se colocan los valores correspondientes a la población y en las abscisas el número de periodos:

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VII. Potencias con base racional (fraccionaria) y exponente natural:

Sea la base (fracción) perteneciente al conjunto de los Números Racionales ( Q),

donde es el numerador y el denominador distinto de cero, y el exponente pertenece a los

números naturales (n N). Para elevar una fracción a potencia se elevan por separado numerador y denominador.

Ejemplos:

1)

a) b)

c) d)

e) f)

Decrecimiento exponencial

Al multiplicar una fracción propia por otra fracción propia, el resultado es menor que

los factores:

Ejemplo.

En consecuencia, cuando el factor de cambio es menor que 1 (fracción propia), la

población final será menor que la población inicial. La fórmula de cálculo es la misma

que la utilizada en el crecimiento exponencial:

Ejemplo: Una empresa con 5120 operarios ha bajado sus ventas en una ciudad por lo que comienza una política administrativa que contempla una tasa

de despidos igual a del total de

trabajadores que quedan mensualmente. ¿Cuántos trabajadores habrá al cabo de 4 meses?

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VIII. Gráfica:

• Una empresa está liquidando sus productos, por cierre del local. Según los registros,

cada semana se vende del stock, y debido a que no se continuará con el negocio, no

se repone el stock. a) Establece un número determinado de productos al inicio de las ventas y, luego,

realiza una tabla para representar la cantidad de productos que quedan en stock en el local y un gráfico que muestre el descenso en la cantidad de productos.

b) Analiza el comportamiento en el descenso de la cantidad de productos.

c) Plantea al menos 2 preguntas que se puedan responder a partir de la información obtenida.

IX. Potencias con base decimal y exponente natural

Multiplicaremos el decimal por sí mismo cuantas veces nos indique el exponente.

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Otra manera de resolver una potencia de base decimal, es transformando el decimal a

fracción y luego multiplicando la fracción por sí misma las veces que nos indique el

exponente.

Resuelve:

X. Valor potencia de potencias de base decimal y exponente

natural:

El algoritmo de la multiplicación de cifras decimales señala que para multiplicar cifras

decimales, se reescriben las cifras como si fueran números naturales y se multiplican;

luego, en el resultado se separa la cantidad de decimales que en conjunto tenían los

factores:

211 ∙ 12 = 2532 0,002532

El mismo principio se aplica en las potencias de base decimal:

(1,03)4 = (1,03)∙ (1,03)∙ (1,03)∙ (1,03) 103 ∙103 ∙103 ∙103 = 112550881

1,12550881

En consecuencia, el valor potencia de una potencia de base decimal tendrá tantos

decimales como sea el producto entre la cantidad de decimales de la base

multiplicada por el exponente:

(1,03)4 2 decimales, exponente cuatro 2 ∙ 4 = 8 El resultado tendrá 8 decimales

Calcula:

a) (1,001) 2

b) (0,002) 5

c) (0,01) 6

d) (0,05) 3

e) (0,04) 2

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Para escribir una multiplicación como una sola potencia se debe determinar la base

común:

Ejemplo:

0,02 ∙ 0,0004 ∙ 0,000008 ∙ 0,0004 (0,02)1 ∙ (0,02)2 ∙ (0,02)3 ∙ (0,02)2 (0,02)8

Resuelve:

d) 0,1 ∙ 0,0001 ∙ 0,000001 ∙ 0,0001

e) 0,09 ∙ 0,3 ∙ 0,027 ∙ 0,0081

f) 0,03 ∙ 0,0009 ∙ 0, 000081 ∙ 0,0009

g) ¿Cuánto mide el área de un rectángulo cuyos lados miden 0,4 cm y 0,064 cm?

h) ¿Cuánto mide el área de un rectángulo cuyos lados miden 0,02 cm y 0,0008 cm?

i) ¿Cuánto mide el volumen de un prisma de base rectangular cuyas aristas miden

0,4cm, 0,16 cm y 0,064 cm?

j) ¿Cuánto mide el volumen de un prisma de base rectangular cuyas aristas miden

0,02 cm, 0,0004 cm y 0,000008 cm?

XI. Potencias de 10

a) Con exponente natural

100 1

101 10

102 10 ∙ 10 100

103 10 ∙ 10 ∙ 10 1000

10n 1000… (n cantidad de ceros)

El resultado siempre será un 1 acompañado de cuantos ceros nos indique el

exponente. Así si tenemos 108, entonces el resultado será un 1 acompañado de 8

ceros, es decir, 100 000 000.

b) Con exponente entero

Para resolver potencias de base 10 con exponente entero positivo, el procedimiento

será el mismo que utilizamos para resolver potencias de base 10 y exponente natural.

Ahora vamos a observar:

a) ¿Cuántos 10 hay en el numerador?: Esa cantidad será el exponente positivo

de la potencia.

b) ¿Cuántos 10 hay en el denominador?: Esa cantidad será el exponente

negativo de la potencia

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De manera recíproca:

c) El exponente positivo indica la cantidad de ceros que tiene la potencia de 10

d) El exponente negativo indica la cantidad de decimales que tiene la potencia

de 10. O bien indica la posición que tendrá el 1 en los decimales

Ejemplo: 106 1000000 (un 1 con seis ceros)

La potencia con 5 decimales, o bien, el 1 ocupa el

5º lugar después de la coma.

Resuelve:

a) b) 0,0001=

c) d) 10000=

e) f) 0,00001=

XII. Notación Científica

La notación científica (o notación índice estándar) es una manera rápida de representar un número utilizando potencias de base diez. Esta notación se utiliza para poder expresar fácilmente números muy grandes o muy pequeños.

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Los números se escriben como un producto:

Siendo: un número entero o decimal mayor o igual que 1 y menor que 10, que recibe el nombre de coeficiente.

un número entero, que recibe el nombre de exponente u orden de

magnitud.

Cifras muy grandes:

Para escribir una cifra muy grande en notación científica, se copia la cifra separando

con una coma el primer dígito y se multiplica por 10 elevado a un número que será

igual a la cantidad de dígitos que tenía la cifra original menos 1.

Ejemplo:

Cifras muy pequeñas:

Para escribir una cifra muy pequeña en notación científica, se copian las cifras

significativas separando con una coma el primer dígito y se multiplica por 10 elevado

a un número negativo, cuyo valor absoluto será igual a la cantidad de decimales que

tenía la cifra original, menos los decimales que tendrá el coeficiente:

Suma y resta

Siempre que las potencias de 10 sean las mismas, se deben sumar los coeficientes (o restar si se trata de una resta), dejando la potencia de 10 con el mismo grado. En caso de que no tengan el mismo exponente, debe convertirse el coeficiente, multiplicándolo o dividiéndolo por 10 tantas veces como se necesite para obtener el mismo exponente.

Ejemplo:

2 ∙ 105 + 3 ∙ 105 = 5 ∙ 105

3 ∙ 105 - 0.2 ∙ 105 = 2.8 ∙ 105

Multiplicación

Para multiplicar cantidades escritas en notación científica se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes.

Ejemplo:

(4 ∙ 1012) ∙ (2 ∙ 105) =8 ∙ 1017

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División

Para dividir cantidades escritas en notación científica se dividen los coeficientes y se restan los exponentes.

Ejemplo: (48 ∙ 10-10) : (12 ∙ 101) = 4 ∙ 10-11

Escribe en notación científica: a) 9 654 000 000 000 =

b) 847 000 000 000=

c) 36 925 000 000 000=

d) 0,000036925 =

e) 0,000008 =

f) 0,00000006315=

Realiza la operación correspondiente:

a) 2 ∙ 105 + 4 ∙ 105

b) 3∙ 109 + 5 ∙ 109

c) 6∙ 107 2 ∙ 107

d) 8∙ 106 3 ∙ 106

e) 4 ∙ 103 ∙ 3 ∙ 105

f) 5 ∙ 106 ∙ 3 ∙ 105

g) 6 ∙ 1015 : 2 ∙ 105

h) 12 ∙ 10 5 : 3 ∙ 105

XIII. Resolución de problemas: Inventar un problema que pueda ser resuelto con potencias y resolverlo de

acuerdo a los siguientes pasos:

a) Escribir el problema.

b) Identificar los datos del problema.

c) Resolver el problema.

d) Escribir respuesta y verificar solución encontrada.