concavidad de una curva aplicando derivadas
TRANSCRIPT
Concavidad de una curva aplicando
derivadas
Conceptos básicos.
Tenemos claro que la función f es decreciente a la izquierda y creciente a la derecha, ahora veremos esto mismo pero con definiciones precisas.
• f es creciente en I si, para toda pareja de números X1 y X2 en I,
X1 < X2 f (X1) < f(X2)
• f es decreciente en I si, para toda pareja de números X1 y X2 en I,
X1 < X2 f (X1) > f(X2)
Decreciente Creciente
C
y
x
La primera derivada
la primera derivada f'(x) nos da la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto x. por lo tanto, si:
f'(x) > 0 entonces la recta tangente asciende hacia la derecha, lo cual sugiere que
f es creciente.
de manera contraria:
si f'(x) < 0 , la recta tangente des ciende hacia la derecha, lo cual sugiere que
f es decreciente.
y
x
+
+ -
-
Ejemplo 1 si f(x) = 2x³ - 3x² - 12x + 7, encuentre en dónde f es creciente y en dónde es decreciente.
solución: empezamos por encontrar la derivada de f
f'(x) = 6x² -6x -12 = 6(x + 1)(x -2)
necesitamos determinar en dónde
(x + 1)(x - 2) > 0 y también en dónde (x + 1)(x - 2) < 0
los puntos de separación son -1 y 2;
éstos dividen al eje x en tres interva los (-∞, -1), (-1, 2) y (2, ∞)
al utilizar los puntos de prueba -2, 0 y 3, concluimos que f'(x) > 0 en el primero y en el último de estos intervalos y que f'(x) < 0 en el intervalo de en medio.
-1 2
-1 2+ + + + + +_ _ _
-2 -1 1 2 3
5
10
-10
-5
15
una función puede crecer y también te ner una gráfica que oscila mucho para analizar oscilaciones, necesita mos estudiar cómo gira la recta tangente cuando nos movemos de izquierda a derecha a lo largo de la gráfica.
Si la recta tangente gira constantemente en sentido contrario a las manecillas del reloj, decimos que la gráfica es cóncava hacia arriba (o simplemente cóncava).
Si la tangente gira en el mismo sentido que las manecillas del reloj, la gráfica es cóncava hacia abajo (o convexa). ambas definiciones se formulan mejor en términos de funciones y sus derivadas.
La segunda derivada y concavidad
Cóncava hacia arriba
Cóncava hacia abajo
f’ creciente: Cóncava hacia arriba f’ decreciente: Cóncava hacia abajo
si f"(x) > 0 para toda x en I ,entonces f es cóncava (hacia arriba) en l.
si f" (x)< 0 para toda x en 1,entonces f es cóncava hacia abajo (convexa) en l.
Tenemos que:
Puntos de inflexiónsea f continua en c, llamamos a (c , f(c)) un punto de inflexión de la gráfica de f , si:
f es cóncava hacia arriba a un lado de c y cóncava hacia abajo del otro lado de c.
La gráfica ilustra mejor este concepto indica varias posibilidades .
Cóncava hacia arriba
Cóncava hacia arriba
Cóncava hacia arriba
Cóncava hacia arriba
Cóncava hacia abajo
Cóncava hacia abajo
Cóncava hacia abajo
Cóncava hacia abajo
Punto de Inflexión
.. . . . . .Punto de Inflexión
estudie la concavidad y convexidad, y los puntos de inflexión de estas funciones:
• f(x)= x³ - 5x² +2x -3
• f(x)= x³ - 3x +8 en el intervalo [-1,2].
Ejercicios propuestos para realizar en el tablero
con la primera derivada se obtiene:
Máximos y mínimos.
Crecimiento y decrecimiento.
con la segunda derivada se obtiene:
Concavidad y convexidad.
Puntos de inflexión.
Fabian Stevens Varón Valencia Código: 20122112891
Wilmar Fabian cepeda Pabón Código:
Carolina Rey Navarro Código:
Jhon Jairo Rey Navarro Código:
Gracias por su atención
Integrantes: