Conjuntos convexos yfunciones C2 aplicadosen el problema delconsumidor de lateorıa microeconomica

Pablo Herrera1

1Se agradece a Alicia Bernaredello, Javier Garcıa Fronti, Alejandra Zaiay a Julian Aramburu por la crıtica constructiva realizada hacia el presentecapıtulo.

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Introduccion

La idea principal de este trabajo es poder facilitar la com-prension del lector sobre algunos conceptos topologicos. Paralograrlo, se hace hincapie en los conjuntos convexos, funcionesconcavas, convexas, cuasiconcavas y cuasiconvexas ya que por surecurrente aplicabilidad facilitara el desarrollo del trabajo.

Estos conceptos topologicos tienen vastas aplicaciones en laeconomıa. Para ver alguna de ellas, el capıtulo se enfoca en elproblema de la eleccion del consumidor desde la perspectiva mi-croeconomica2. A partir de esto surge un objetivo secundario quees el de estimular el interes del lector por la teorıa microeconomi-ca.

El capıtulo se divide en tres tıtulos principales. Cada uno deestos tıtulos comienza enunciando las definiciones formales delconcepto topologico que trata. Seguidamente, se expone un ejem-plo donde el concepto topologico en cuestion hace su apariciondentro del problema del consumidor.

El primero es el referido a los conjuntos convexos. El mismo,luego de enunciar las definiciones formales e intuitivas de estosconjuntos ademas de otros elementos que facilitan la compren-sion del tema, expone una serie de ejemplos donde se muestrala recurrente aparicion de los conjuntos convexos en el problemade la eleccion del consumidor.

El segundo tıtulo consiste en poder mostrar la utilidad practicade las funciones C2. Comienza dando las definiciones formalese intuitivas de lo que son las funciones concavas y convexas.Luego, a partir de un teorema, se explica como se puede clasificarfacilmente a una funcion C2 como concava o convexa. El ejemploque se expone en este apartado consiste simplemente en facilitar

2Los conceptos microeconomicos en los que se basa este capıtulo sepueden consultar en el libro Microeconomic Theory de Andreu Mas-Colell,Michael Whinston y Jerry Green.

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la aplicabilidad del teorema enunciado.

El tercero de estos tıtulos es el referido a las funciones cua-siconcavas y cuasiconvexas. Una vez enunciadas las definicionesformales de estos conceptos, en este apartado se explica median-te un ejemplo como es que se puede clasificar a una funcion enbase a estos conceptos.

Esperando que sirva de motivacion, ademas de facilitar la com-prension, se presenta un cuarto tıtulo cuyo objetivo principal eshacer una breve introduccion de algunos de los supuestos que sehacen sobre las preferencias de los consumidores.

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Conjuntos convexos

Este tıtulo comienza dando las definiciones formales de con-junto convexo, combinacion convexa y punto extremo. Seguida-mente se exponen ejemplos de la aparicion de estos conceptostopologicos en el problema del consumidor de la teorıa microe-conomica.

Definiciones formales

Definicion 1.1: El conjunto A ⊂ Rn es convexo si se cumpleque:

αx+ (1− α)x′ ∈ A

para todo x, x′ ∈ A y α ∈ [0, 1].

En palabras: El conjunto A en Rn es convexo si para todopar de puntos, x y x′ de A, el segmento que los une tiene todossus puntos pertenecientes al mismo conjunto A.

A partir de la definicion enunciada se puede deducir la siguien-te propiedad : La interseccion de cualquier numero de conjuntosconvexos es convexa, pero la union de conjuntos convexos, no esnecesariamente convexa.

Definicion 1.2: Una combinacion convexa es una combinacionlineal, donde la suma de todos los coeficientes es la unidad y losmismos son no negativos. Ası un punto que sea una combinacionconvexa tiene la siguiente forma:

xCC =J∑j=1

αjxj

donde se cumple que ∀x1, ..., xJ ∈ A ∧ ∀α1, ..., αJ ∈ [0, 1] ∧∑Jj=1 αj = 1

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A partir de la anterior definicion, se puede ver que dado el con-junto A ⊂ Rn, el conjunto de todas las posibles combinacionesconvexas de A es,

Ec =

J∑j=1

αjxj∀x1, ..., xJ ∈ A ∧ ∀α1, ..., αJ ∈ [0, 1] ∧J∑j=1

αj = 1

y se conoce como la envoltura convexa del conjunto A.

Definicion 1.3: El vector x ∈ A es un punto extremo delconjunto convexo A ⊂ Rn si no puede ser expresado como:

xPE =J∑j=1

αjxj

donde se cumple que ∀x1, ..., xJ ∈ A ∧ ∀α1, ..., αJ ∈ (0, 1) ∧∑Jj=1 αj = 1. Es decir, se excluye la posibilidad de que algun α

en particular tome el valor cero o uno.

Ejemplo 1.1: En la teorıa microeconomica se modela el com-portamiento del consumidor para ver de que manera elige unacanasta de consumo tratando de maximizar su utilidad.

El conjunto de consumo de este individuo esta compuesto portodas aquellas canastas que puede consumir dada la restriccionfısica de que las cantidades incluidas en las mismas no puedenser negativas. En notacion matematica, esto es:

X ={x ∈ R+ : x ≥ 0v

}En un grafico de dos dimensiones, se puede notar que este con-junto esta representado por el primer cuadrante y que el mismoes convexo.

La explicacion es sencilla. Por tratarse de un conjunto repre-sentado en un plano, las canastas entre las que puede elegir elconsumidor modelo cuenta solamente con dos bienes, represen-tados uno en el eje de las ordenadas y otro en el de las abscisas.Se supone ademas que la eleccion es entre dos canastas, x y x′,

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y los elementos que las componen son x1 = 1 y x2 = 1 para laprimera canasta y x1 = 4 y x2 = 4 para la segunda. Dado queambas canastas cumple con la restriccion fısica (cantidades po-sitivas), se puede ver que x y x′ son representadas en el primercuadrante mediante un punto.

A continuacion, si se realiza una combinacion convexa entrelas canastas x y x′, se puede notar que el resultado de esa com-binacion es un segmento conformado por infinitas canastas. Asu vez, cada una de esas infinitas canastas esta compuesta pordiferentes cantidades de los dos mismos bienes que las canastasoriginales x y x′, y ademas todas respetan la restriccion fısicapor incluir cantidades positivas de cada uno de los bienes.

Se comprueba entonces que las infinitas canastas que repre-sentan la combinacion convexa entre las canastas x y x′ tambienpertenecen al conjunto de consumo del consumidor modelo, y apartir de esto se concluye que el conjunto de consumo es un con-junto convexo, ya que la combinacion convexa entre cualquierade sus puntos (canastas), tambien forma parte de ese mismoconjunto.

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Ejemplo 1.2: Para comenzar con este ejemplo es necesariodefinir previamente (de manera informal) una serie de elementosque forman parte de la teorıa microeconomica.

Conjunto de contorno superior : Dada una relacion de prefe-rencias, �d3, y dada una canasta de consumo, x, se define elconjunto de contorno superior, Xcs, como aquel conformado portodas las canastas x′ que son al menos tan buenas como x.

{x′ ∈ Xcs : x′ �d x}

conjunto de contorno inferior : Dada una relacion de preferen-cias, �d, y dada una canasta de consumo, x, se define el conjuntode contorno inferior, Xci, como aquel conformado por todas lascanastas x′ caracterizadas por el hecho de que x es al menos tanbuena como ellas.

{x′ ∈ Xci : x �d x′}

Por otra parte, es necesario aclarar el concepto de curva deindiferencia. Una curva de indiferencia representa una serie decanastas ante las cuales el consumidor se mantiene indiferente.A su vez, las preferencias del consumidor aumentan alejandosedel origen en sentido noreste, y por lo tanto las infinitas canastasque se encuentran sobre una curva de indiferencia mas alejadadel origen son las preferidas.

Si bien existe una correspondencia entre las curvas de indi-ferencia y la funcion de utilidad de un individuo, no hay queconfundir ambos conceptos. Las funciones de utilidad analizadasen este capıtulo dependen de dos variables, y en consecuenciasu representacion es en el espacio. Si a la funcion de utilidadse la proyecta sobre el plano, lo que se obtiene son las curvasde nivel4 de la misma funcion. Si a este analisis se le agrega la

3�d denota una relacion de preferencia debil, mientras que � denota unarelacion de preferencia fuerte.

4Para un mayor entendimiento de este concepto se puede consultar el

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restriccion fısica supuesta sobre el comportamiento del consumi-dor en la teorıa microeconomica, lo que se obtiene son las curvasde indiferencia correspondientes a la funcion de utilidad original.Esas mismas curvas de indiferencia quedan representadas en elprimer cuadrante, y estan compuestas por infinitas canastas, condiferentes composiciones, ante las cuales el consumidor modelose mantiene indiferente.

Ahora se podra hablar de un conjunto de contorno superioro inferior con respecto a una curva de indiferencia, y tambiende una curva de indiferencia correspondiente a una funcion deutilidad en particular.

Si se considera el conjunto de contorno superior de las cur-vas de indiferencia que responden a una funcion de utilidaddel tipo Cobb-Douglas5, U(x1, x2) = xα1x

β2 , o del tipo Leontief,

U(x1, x2) = Min {x1, x2}, se puede notar que en ambos casos setrata de conjuntos convexos.

La explicacion es la siguiente. Se considera una curva de indi-ferencia original sobre la cual se define el conjunto de contornosuperior, y a continuacion se toman dos canastas que se encuen-tren sobre esa misma curva de indiferencia o en cualquiera delas infinitas curvas de indiferencia mas alejadas del origen que laoriginal. Seguidamente, se realiza una combinacion convexa en-tre las dos canastas escogidas. El resultado de esa combinacion es

libro Analisis matematico I, para estudiantes de Ciencias Economicas deAlejandro Garcıa Venturini.

5La funcion de utilidad Cobb-Douglas en un principio fue propuesta comouna funcion de produccion que utilizaba como insumos al trabajo y al capitaly consideraba tambien los progresos tecnologicos mediante un parametro A.El nombre de la misma, hace referencia a dos autores americanos que en1928 comprobaron empıricamente su alto nivel de contraste con la realidad.Sin embargo, la misma fue descubierta por Kunt Wicksell (1851-1926) quienla habıa utilizado varios anos antes. Para incurrir mas en los orıgenes de estafuncion, se puede consultar Crıtica de la teorıa neoclasica, del crecimientoy la distribucion de Luigi Pasinetti. Si el interes esta en las propiedadesmatematicas de la funcion se puede consultar Analisis Microeconomico deHal R. Varian.

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un segmento que estara compuesto por infinitas canastas que seencuentran sobre curvas de indiferencia mas alejadas del origenque la original y por lo tanto pertenecen tambien al conjunto decontorno superior.

Ası se puede corroborar que si el consumidor presenta unafuncion de utilidad del tipo Cobb-Douglas o Leontief, el conjuntode contorno superior con respecto a sus curvas de indiferencia,es un conjunto convexo.

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En cambio, si las curvas de indiferencia del consumidor mo-delo responden a una funcion de utilidad del tipo U(x1, x2) =Max {x1, x2} o del tipo U(x1, x2) = x2

1 + x22 el conjunto de con-

torno inferior, con respecto a las curvas de indiferencia, serıa eneste caso un conjunto convexo.

El analisis es analogo al del caso anterior. Es decir, se realizauna combinacion convexa entre dos canastas cualesquiera de lacurva de indiferencia original o de alguna mas cercana al origen,y se observa que las infinitas canastas que conforman esa mismacombinacion se encuentran en otras curvas de indiferencia mascercanas al origen con respecto a la curva de indiferencia original.Por lo tanto, las canastas en cuestion pertenecen al conjunto decontorno inferior, pudiendo concluir que el mismo es convexo.

En los analisis realizados precedentemente se ha llegado a dosconclusiones diferentes. Cuando se considero una funcion de utili-dad del tipo Cobb-Douglas o Leontief, se puedo ver que el conjun-to de contorno superior con respecto a sus curvas de indiferencia

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era convexo. En cambio si se consideraba una funcion de utilidaddel tipo U(x1, x2) = Max {x1, x2} o del tipo U(x1, x2) = x2 +y2,el conjunto convexo era el de contorno inferior con respecto a lascurvas de indiferencia.

La diferencia entre los resultados obtenidos radica en las di-ferentes formas que tienen las curvas de indiferencia. Esto es silas mismas son concavas o convexas. Sin embargo, es necesarioaclarar que la convexidad o concavidad de una funcion no tieneninguna implicancia sobre la concavidad o convexidad de las cur-vas de indiferencia que se derivan de la misma. Esto da lugar acontinuar con el segundo tıtulo principal de este capıtulo parapoder profundizar sobre este analisis.

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Funciones concavas y convexas

y la utilidad de las funciones C2

Este apartado comienza exponiendo las definiciones formalesde funciones concavas y convexas. Seguidamente se enuncia unteorema mediante el cual se puede clasifica a una funcion C2

como concava o convexa. En la parte final, se expone un ejemplopractico para analizar la aplicabilidad del teorema.

Definiciones formales

Definicion 1.4: La funcion f : A→ R, definida en el conjuntoconvexo A ⊂ Rn, es concava si

f(αx′ + (1− α)x′′) ≥ αf(x′) + (1− α)f(x′′)

para todo x′ y x′′ ∈ A y todo α ∈ [0, 1]. Si la desigualdad secumple de manera estricta para todo x′ 6= x′′ y para todo α ∈(0, 1), decimos entonces que la funcion es estrictamente concava.

De manera analoga podemos decir que la funcion f : A→ R,definida en el conjunto convexo A ⊂ Rn, es convexa si

f(αx′ + (1− α)x′′) ≤ αf(x′) + (1− α)f(x′′)

para todo x′ y x′′ ∈ A y todo α ∈ [0, 1]. Si la desigualdad secumple de manera estricta para todo x′ 6= x′′ y para todo α ∈(0, 1), decimos entonces que la funcion es estrictamente convexa.

En palabras: Para una funcion de una variable, la estrictaconcavidad de la misma indica que una lınea recta que una dospuntos cualesquiera pertenecientes a la grafica de f , queda pordebajo de esta grafica. En el caso de la concavidad no estricta,la lınea recta puede ser parte de la misma grafica de la funcionf . En el caso de las funciones que son estrictamente convexas,la lınea recta que une a dos puntos de la grafica de la funcion

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queda por encima de la misma grafica, mientras que si la funciones convexa, pero no de manera estricta, la lınea recta puede serparte de la misma grafica de la funcion.

La utilidad de las funciones C2.

Teorema: La (dos veces continua y diferenciable) funcion f :A → R es concava si y solo si Hf (x)6 es semidefinida negativapara todo x ∈ A. Si Hf (x) es definida negativa, entonces lafuncion es estrictamente concava.

Si se considera el caso particular en el que f depende de unasola variable, que la matriz Hf (x) sea semidefinida negativa va adepender de que d2f(x)/dx2 ≤ 0, mientras para que sea definidanegativa sera necesario que d2f(x)/dx2 < 0. El Teorema nosdice que en este caso f es concava si y solo si d2f(x)/dx2 ≤ 0para todo x, y que si d2f(x)/dx2 < 0, entoces f es estrictamenteconcava.

Hay que remarcar que la causalidad no se cumple en los dossentidos. Es decir, el teorema no asevera que si f es estrictamenteconcava entonces se defina como negativa la matriz Hf (x).

El mismo teorema es valido para definir si una funcion es con-vexa o estrictamente convexa, lo unico que hace falta es invertirel signo de las desigualdades.

Sin embargo, a lo largo del desarrollo de este trabajo, se hananalizado diferentes funciones de utilidad las cuales no dependenunicamente de una sola variable. Por esta razon, a continuacionse desarrolla un ejemplo practico para ver la aplicabilidad delteorema previamente enunciado.

6H es la matriz hessiana de la funcion f(x). Los elementos que consti-tuyen a la misma son las segundas derivadas parciales de la funcion. Paraun analisis mas detallado se puede consultar Metodos Fundamentales deEconomıa Matematica de Alpha C. Chiang.

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Ejemplo 1.3: El objetivo de este ejemplo es poder clasificara la funcion Cobb-Douglas como concava o como convexa. Parapoder realizarlo, el primer paso es construir la matriz Hf (x) paraver de que manera se encuentra definida.

La funcion Cobb-Douglas tiene la siguiente forma:

f(x1x2) = xα1xβ2

con x1, x2, α, β > 0. Es decir, que se sigue respetando la restric-cion fısica de las cantidades consumidas.

Las derivadas de primer orden de la funcion son:

fx1 = αxα−11 xβ2

fx2 = βxα1xβ−12

Las derivadas de segundo orden de la funcion son:

fx1x1 = α(α− 1)xα−21 xβ2

fx1x2 = αβxα−11 xβ−1

2

fx2x2 = β(β − 1)xα1xβ−22

Con estas ultimas derivadas parciales, se puede armar la ma-triz Hf (x). Esto es:

H =

[α(α− 1)xα−2

1 xβ2 αβxα−11 xβ−1

2

αβxα−11 xβ−1

2 β(β − 1)xα1xβ−22

]

Para ver de que manera se encuentra definida la matriz Hf (x)hay que analizar los valores que pueden tomar los diferentes ele-mentos que la componen.

Tanto las variables x1 y x2 como los parametros α y β seencuentran definidos positivamente.

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A continuacion se desarrolla el determinante de la matrizHf (x)(segundo menor principal) para ver que condicion tienen quecumplir conjuntamente α y β para poder determinar el signo dela matriz. Esto es:

|H| = α(α− 1)xα−21 xβ2β(β − 1)xα1x

β−22 − (αβxα−1

1 xβ−12 )2

|H| = αβ(α− 1)(β − 1)x2α−21 x2β−2

2 − (αβ)2x2α−21 x2β−2

2

|H| = αβx2α−21 x2β−2

2 (−α− β + 1)

Tomando en cuenta los posibles valores que pueden tomar lasvariables y los parametros, la unica manera posible de definir ala matriz Hf (x), es si se cumple la no negatividad del segundomenor principal (|H| > 0). La condicion necesaria para esto es:

α + β ≤ 1

A partir de esta condicion se puede ver que Hf (x) unicamentepodra ser definida negativa si la condicion recientemente men-cionada se cumple de manera estricta, o en su defecto semidefini-da negativa si se cumple la condicion mediante la igualdad.

En consecuencia la funcion f(x1x2) = xα1xβ2 quedara defini-

da como estrictamente concava o concava dependiendo de si lacondicion se cumple, o no, de manera estricta respectivamente.

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Cuasiconcavidad y cuasiconvexidad

En este tercer apartado, en primera instancia se enuncianlas definiciones de las funciones cuasiconcavas y cuasiconvexas.Seguidamente se explica como es que se puede identificar a lasmismas en forma matematica. Por ultimo, se expone un ejemploen donde se muestra la clasificacion de una funcion en particu-lar, y se establece una relacion de implicancia con respecto a lasfunciones concavas y convexas.

Definiciones formales

Definicion 1.5: La funcion f : A→ R definida en el conjuntoconvexo A ⊂ RN , es cuasiconcava si el conjunto de contornosuperior, {x ∈ A : f(x) ≥ t}, es un conjunto convexo. Esto es:

f(x) ≥ t ∧ f(x′) ≥ t⇒ f(αx+ (1− αx′)) ≥ t

para cualquier t ∈ R;x, x′ ∈ A y α ∈ [0, 1]. Si la desigualdad re-cientemente planteada se cumple de manera estricta con x 6= x′ yα ∈ (0, 1), decimos que la funcion f es estrictamente cuasiconca-va.

De manera analoga, podemos decir que la funcion f es cuasi-convexa si el conjunto de contorno inferior, {x ∈ A : f(x) ≥ t},es el convexo. Esto es:

f(x) ≤ t ∧ f(x′) ≤ t⇒ f(αx+ (1− αx′)) ≤ t

para cualquier t ∈ R;x, x′ ∈ A y α ∈ [0, 1]. Si la desigualdad re-cientemente planteada se cumple de manera estricta con x 6= x′

y α ∈ (0, 1), decimos que la funcion f es estrictamente cuasicon-vexa.

De la definicion recientemente mencionada se deduce que unafuncion f es cuasiconcava si se cumple que:

f(αx+ (1− αx′)) ≥Min {f(x); f(x′)}

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para cualquier t ∈ R;x, x′ ∈ A y α ∈ [0, 1].

De lo dicho hasta el momento, se puede inferir que una funcionconcava, es automaticamente cuasiconcava. Hay que tener encuenta que la inversa no se tiene por que cumplir.

Para definir la cuasiconcavidad y cuasiconvexidad de una fun-cion de n variables, x1...xn, es necesario definir la matriz B.

B =

0 fx1 fx2 ... fxn

fx1 fx1x1 fx1x2 ... fx1xn

... ... ... ...fxn fxnx1 fxnx2 ... fxnxn

Si |B1| < 0, |B2| < 0, ..., |Bm| < 0, entonces la funcion es

cuasiconvexa.

Si (−1)i|Bi| > 0 (1 ≤ i ≤ m), entonces la funcion es cua-siconcava. Es decir, los signos tienen que ser alternados siendoel primero negativo.

Hay que tener en cuenta que |B1| hacer referencia al segundomenor principal (el primer menor principal serıa 0) y |Bm| hacereferencia al determinante de la matriz B.

Ejemplo 1.4: El siguiente ejemplo consiste en analizar la cua-siconcavidad de una funcion del tipo Cobb-Douglas. Sabemosque esta funcion tiene la siguiente forma:

f(x1x2) = xα1xβ2

con x1, x2, α, β > 0

En este caso la matriz B estara dada por

B =

0 αxα−11 xβ2 βxα1x

β−12

αxα−11 xβ2 α(α− 1)xα−2

1 xβ2 αβxα−11 xβ−1

2

βxα1xβ−12 αβxα−1

1 xβ−12 β(β − 1)xα1x

β−22

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A partir de esto se calculan los signos de |B1| y |B2|.

Se puede ver que |B1| < 0 ya que

|B1| = (0)(α(α− 1)xα−21 xβ2 )− (αxα−1

1 xβ2 )2

donde (αxα−11 xβ2 )2 > 0 y por lo tanto se tiene que

|B1| = −α2x2α−21 x2β

2 < 0

Ahora, para ver como es que esta definida la funcion Cobb-Douglas hay que determinar el signo de |B2| = |B|. Si es ne-gativo, la funcion sera cuasiconvexa, y si es positivo, la funcionsera cuasiconcava.

Calculando |B2|, se tiene que:

|B2| = [αxα−11 xβ2αβx

α−11 xβ−1

2 βxα1xβ−12 + βxα1x

β−12 αxα−1

1 xβ2αβxα−11 xβ−1

2 ]−

[βxα1xβ−12 α(α− 1)xα−2

1 xβ2βxα1x

β−12 + β(β − 1)xα1x

β−22 αxα−1

1 xβ2αxα−11 xβ2 ]

|B2| = x3α−21 x3β−2

2 [2(αβ)2 − (β)2α(α− 1)− (α)2β(β − 1)]

|B2| = x3α−21 x3β−2

2 [2(αβ)2 − 2(αβ)2 + (β)2α+ (α)2β]

|B2| = x3α−21 x3β−2

2 [β2α+ α2β]

|B2| = αβ(α + β)x3α−21 x3β−2

2 > 0

Se puede deducir que la funcion f(x1x2) = xα1xβ2 es cuasiconca-

va para cualquier valor de α y β.

Lo mencionado recientemente se relaciona de manera directacon la forma que toman las curvas de indiferencia de esta funcionpara distintos valores de α y β. Las curvas de indiferencia de unafuncion del tipo Cobb-Douglas son estrictamente convexas paracualquier valor de estos parametros. Por lo tanto para cualquiervalor de α y β el conjunto de contorno superior con respecto aesas curvas de indiferencia sera convexo, pudiendo decir entoncesque la funcion f(x1x2) = xα1x

β2 es cuasiconcava para cualquier

valor de α y β.

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Sin embargo, se menciono anteriormente que si bien la con-cavidad de una funcion asegura la cuasiconcavidad de la misma,la inversa no tiene porque cumplirse, y en este ejemplo esta im-plicancia unidireccional se puede ver claramente.

La funcion f(x1x2) = xα1xβ2 es estrictamente concava para va-

lores que cumplan con α + β < 1 y concava para valores quecumplan con α + β = 1. Viendo ambas condiciones de manerasimultanea se tiene que:

α + β ≤ 1

El cumplimiento de esta desigualdad, a su vez, implica valoresde los parametros que tambien cumplen con los requisitos paraque la funcion sea definida como cuasiconcava. Pero este ulti-mo requisito, como ya fue mencionado, es que estos parametrospueden tomar cualquier valor, y esto puede ser que no cumplacon la desigualdad planteada para asegurar la (estricta) concavi-dad de la funcion Cobb-Douglas.

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Supuestos sobre las preferencias del

consumidor

Esta seccion esta dedicada a brindar un conocimiento basicosobre la teorıa microeconomica7, que a la vez sirva de motivacionpara el lector.

A continuacion se enuncian los supuestos que se hacen sobrela preferencias de un consumidor modelo, haciendo hincapie enlas implicancias graficas que tiene la inclusion de cada una deestas, siendo el objetivo poder reconocer facilmente los elementostopologicos dentro del problema de eleccion de este consumidor.

Supuestos de racionalidad

Completas: Dados dos pares cualquiera de alternativas, todoindividuo tiene sus preferencias definidas respecto a las mismas.Bajo este supuesto se deja de lado la indecision del individuo.Este supuesto permite formar el mapa de indiferencias de unindividuo.

Transitivas: Si un individuo prefiere una canasta x a otracanasta y, y a su ves prefiere la canasta y a la canasta z, entoncesprefiere la canasta x a la canasta z. Con este supuesto se dejande lado las decisiones circulares. En lo que refiere al problemamatematico este supuesto es el que posibilita la maximizacion dela utilidad del individuo, evitando que las curvas de indiferenciase crucen.

Si las preferencias son completas y transitivas, se dice que lasmismas son racionales, y que lo sean es una condicion necesariapara la existencia de una funcion de utilidad.

7Una primer curso de microeconomıa requerirıa la incorporacion de con-ceptos que se pueden encontrar en Teorıa Microeconomica de Walter Nichol-son, o Microeconomıa Intermedia de Hal R. Varian.

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Supuestos de deseabilidad

Monotonicidad fuerte: Una canasta que posee mas de almenos un bien que otra, es preferida a esta ultima. Siempre quese de este supuesto las curvas de indiferencia seran decrecientes.

Monotonicidad debil: Una canasta que posee mas de todoslos bienes que otra, es preferida a esta ultima. Siempre que secumpla este supuesto, las curvas de indiferencia no podran tenerpendiente positiva en ninguno de sus tramos.

Insaciabilidad local: Para cada canasta hay otra a una dis-tancia arbitrariamente pequena que es preferida a la primera.Este supuesto impide la existencia de curvas de indiferencia grue-sas.

Supuestos de convexidad

Convexidad estricta: La tasa marginal de sustitucion es de-creciente, es decir, que a medida que el individuo tenga menosde un bien estara mas dispuesto a sacrificar mas del otro poruna unidad adicional del primero. Este supuesto hace referenciaa la valoracion de la escasez por parte de los individuos. A su vezimplica que la funcion de utilidad es estrictamente cuasiconca-va entonce las curvas de indiferencia son estrictamente convexas(condicion necesaria y suficiente).

Convexidad: La tasa marginal de sustitucion puede ser cons-tante, es decir, el individuo esta dispuesto a dar lo mismo querecibe. Implica que la funcion de utilidad es cuasiconcava en-tonces las curvas de indiferencia son convexas (condicion nece-saria y suficiente).

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Conclusiones

Durante el recorrido de este capıtulo, se han abordado diferen-tes temas. En los primeros tres tıtulo del mismo, se introdujeronuna serie de conceptos topologicos y se mostro la aparicion delas mismos en la teorıa microeconomica.

Mientras que la idea del primer tıtulo fue mostrar la recu-rrente aparicion de los conjuntos convexos en el problema de laeleccion del consumidor, en el segundo y en el tercero, la ideafue la de facilitar el analisis de funciones para que se puedanclasificar a las mismas como concavas, convexas, cuasiconcavaso cuasiconvexas. Cada uno de estos tıtulos conto con ejemplosde aplicabilidad practica cuya idea fue la de mostrar al lector laaparicion y aplicabilidad de distintos conceptos topologicos.

Hace falta remarcar que si bien a lo largo de este capıtulo laaplicabilidad de estos conceptos topologicos se limito al campode la microeconomıa, su aplicabilidad es de vasto alcance.

Finalmente en el cuarto tıtulo se hiso una breve introduccionde algunos supuestos microeconomicos. En el presente capıtu-lo, este tıtulo aparece como un cierre, pero su proposito es jus-tamente el contrario. Deberıa ser pensado como una pequenapuerta de entrada a la teorıa microeconomica.

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Lecturas Futuras

Bilas, R. A. (1967). Microeconomic theory: A graphicalanalysis, McGraw-Hill.

Engelking, R. and I. Matematyczny (1977). General topol-ogy, PWN Warsaw.

Kreps, D. M. (1990). A course in microeconomic theory,Harvester Wheatsheaf New York.

Love, R. F., J. G. Morris, et al. (1988). Facilities location,North-Holland Amsterdam.

Mas-Colell, A., M. D. Whinston, et al. (1995). Microeco-nomic theory, Oxford university press New York.

Nicholson, W. and D. C. Stapleton (1985). Microeconomictheory, Dryden Press.

Phelps, R. R. (1993). Convex functions, monotone opera-tors, and differentiability, Springer.

Roberts, A. W. and D. E. Varberg (1973). Convex func-tions, Academic Press.

Spanier, E. H. (1994). Algebraic topology, Springer Verlag.

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Bibliografıa

Mas-Colell, A., Whinston, M. y Green, J. MicroeconomicTheory. Oxford University Press 1995.

Bernardello, A., Bianco, M., Casparri, M., Garcıa Fronti,J., Olivera de Marzana, S. Matematica para economistascon Excel y Matlab. Editorial Omicron 2010.

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