P-1

Concurso Nacional de Matemática César Vallejo 2011

Quinto Grado de Secundaria

1. Se cumple que

p q =

V : si =F

F: si =V

p

p

además, el esquema molecular (∼ p → q) ∨ (∼ q ↔ r) re-

sultó falso. Determine el valor de verdad de las siguientes

proposiciones.

I. (p c q) c r

II. r c q

III. [(r c q) c p] c (r c q)

A) VFFB) VFVC) FFVD) FFF

2. Dada la siguiente tabla de distribución de frecuencias

li xi fi hi Hi

[ 2 - ⟩ a

[ - ⟩ 7

[ - ⟩ 4a 0,25

[ - ⟩ 16 7 0,75

[ - ] 4a

calcule la varianza.

A) 21,75B) 13,44C) 13,52D) 24,75

3. El número de toneladas de arroz que produce en una semana una empresa arrocera es una variable aleatoria discreta (x) cuya distribución de probabilidad es como sigue.

x P(x)

1 0,1 – k

2 2k – 0,02

3 2k+0,04

4 k

5 k – 0,02

6 3k

7 2k+0,02

8 k

La empresa arrocera recibe S/.400 por producir a lo más 2 toneladas y S/.500 por producir de 3 a 5 toneladas; S/.800 si produce más de 5 toneladas pero tiene un gas-tosemanalfijoencomprasdeherramientasdeS/.134.Calculelautilidadsemanalesperadadedichaempresa.

A) S/.500 B) S/.482C) S/.620 D) S/.605

4. Se quiere organizar un puente aéreo entre 2 ciudades conplazassuficientesdepasajeycargaparatransportara1600personasy96toneladasdeequipaje.Losavionesdisponibles son de 2 tipos: 11 del tipo A y 8 del tipo B. La contratación de uno del tipo A, que puede transportar a200personasy6toneladasdeequipaje,cuesta50000dólares; la contratación de uno del tipo B, que transporta a100personasy15toneladasdeequipaje,cuesta30000dólares. ¿Cuántos aviones de cada tipo deben utilizarse para que el costo sea mínimo?

A) 4 de A y 8 de BB) 11 de A y 2 de BC) 11 de A y 8 de BD) 6 de A y 4 de B

Tema

P

Prueba Final - Quinto Grado de Secundaria

P-2

5. Sea f una función

f xxx x x

( ) = −−

+− +

31

1

2 12

Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda.

I. Posee inversa cuando x ∈ ⟨1; 2⟩ II. La función es creciente ∀ x ∈R–{1}

III. La función es impar.

A) VVV B) VVF

C) FFV D) VFF

6. Sea f una función f xax a

x( ) = + −

+1 22

; x ∈R – {2} además

f*=f; donde f*: la función inversa. Halle f*(4).

A) 1/4 B) 1/2

C) –1/2 D) –1/4

7. Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda

I. La ecuación x – y4=4 ; x; y ∈Z , x:primotieneinfinitas

soluciones.

II. La ecuación x4+y4+z4=2002w; x ; y ; z ; w son enteros,

tiene una solución.

III. La ecuación x2+6xy+8y2+3x+6y=2; x; y ∈ Z tiene

cuatro soluciones.

A) VVF B) VVV

C) FFV D) FVF

8. Sea f(x) un polinomio de coeficientes enteros tal que

satisfacen f(0)=20. Además

f(x1)= f(x2)= f(x3)= . . . = f(xn)=2011 donde x1; x2, . . . xn son

enteros diferentes. Encuentre el máximo valor de n.

A) 3 B) 5

C) 8 D) 4

9. Sean (a1; a2; a3; . . . ;an) ∈⟨0; 1⟩ y además

tn a a a

a a ann

n=

+ + +· · . . .

. . .1 2

1 2 con log ( ) .a

i

n

itn n n M− −

=∑ 11

≥ ;

n ≥ 3.

Halle el máximo valor de M.

A) 1 B) 0

C) 2 D) –1

10. Si el sistema lineal

ax y z

x ay z a

x y az a

+ + =

+ + =

+ + =

1

2

2

3

no tiene solución, determine a2+a.

A) 1 B) 2

C) 4 D) 3

11. Dos regiones pentagonales convexas se intersecan y de-

terminan regiones poligonales como las sombreadas en

elgráfico.

Calcule el número de diagonales del polígono que limita

la región poligonal del máximo número de lados que se

formaalintersecardichasregiones.

A) 20 B) 27

C) 35 D) 44

12. Enunhexaedroregular(cubo)ABCD-EFGH, con centros en

A y G, se trazan los arcos de radios AE y GH, respectivamen-

te, que se intersecan en P. Calcule la m APG.

A) 90° B) 120°C) 135° D) 108°

13. Calcule la razón de volúmenes del cilindro de revolu-

ción y el octaedro regular P-ABCD-Q , inscrito en el cilin-

dro, de manera que PAB y QCD estén contenidos en las

bases.

A) 1π

B) 2

π

C) 3π

D) 2π

P-3

Concurso Nacional de Matemática César Vallejo 2011

14. Sea ABCD un tetraedro regular, tal que DH es la altura

relativa a la cara ABC y M es punto medio de DH. Calcule

la distancia de C al plano determinado por A, B y M, si la

arista del tetraedro tiene como longitud .

A) 2

B) 3

C) 23

D) 2

2

15.EnunprismahexagonalregularABCDEF-GHIJKL de vo-

lumen V calcule el volumen del tetraedro ADHK.

A) V9

B) 29V

C) V3

D) V6

16.Apartir del gráficoobtenga el valor deAC si CD=1 y

BC=2. Considere mDCB=θ.

45ºD

C

B

A

A) 52

+ senθ B) 52

2+ senθ

C) 52

− senθ D) 52

2− senθ

17. Calcule el valor de

csc10°+csc50°–csc70°.

A) 4 B) 6

C) 7 D) 8

18. Si x1 y x2 representan las dos menores soluciones po-

sitivas de la ecuación

5senx – 12cosx=–13sen3x

donde 1 < x2, calcule 2x1+x2.

A) π/2 B) 3π/4

C) π/3 D) π

19. Calcule el valor de

sen sen sen senπ π π π

10210

310

410

A) 516

B) 58

C) 5 18−

D) 5 14−

20. Un valor para x que cumple con la condición

52

3 3 552

0cos cosπ π+

+ −

=x x es

A) π

223

− arccos

B) π

212

23

− arccos

C) π

212

13

− arccos

D) π

213

− arccos

21. A partir de la ecuación

sen (sen cos )2 2 2 5x x x− + = calcule el valor de

cos (sen cos )2 2 2x x x+ +

A) –4 B) 4

C) 2 D) 2 2

Prueba Final - Quinto Grado de Secundaria

P-4

22. Si ABCD es un rectángulo con BC=12 y AB=5, determi-

ne el mínimo perímetro del paralelogramo MNPQ.

A) 13 2

B) 13

C) 26

D) 17

A

M

Q D

CNB

P

23. Calcule la suma de soluciones de la siguiente ecuación

2cos22x+cos2xsen3x+3sen22x=3

si x ∈ ⟨0; π⟩

A) 5π/2 B) 8π/5

C) 2π D) 3π

24. Si x; y representan números reales no nulos, determine el

máximo valor de la expresión

x x y

x y

2 2

2 24

4

− −+( )

A) 2 B) 2 2 1−( )C) 1 D) 2 1−

25. En un triángulo ABC se cumple

m m ABC ACB− = 23π

yelcircunradioesochoveces

el inradio. Entonces, senA2

será igual a

A) 1/3 B) 1/4

C) 1/6 D) 1/8

26. Las soluciones de una ecuación de quinto grado son

cos ,cos ,cos ,cos cos

π π π π π

10310

510

710

910

y

entoncesdichaecuaciónes

A) 8x5 – 20x3 – 5x=0 B) 16x5 – 20x3+5x=0

C) 16x5 – 20x3 – 5x=0 D) 16x5 – 8x3 – 5x=0

27. Determine el rango de la función f, si

f(x)=sen4x+cos4x – cos2x+14

sen22x

A) [0; 1] B) [0; 2]

C) [–2; 2] D) [1: 2]

28.Enelgráficosemuestraunacircunferenciaconcentro

en O y radio unitario, además el punto Q es tangente

con la semicircunferencia de diámetro BA. Si OD=2 y

DP= 3 , entonces la medida del ángulo APB es

O

P

Q

BD A

A) arctan2 3 B) arctan 3

C) arctan32

D) arctan 33

29. Encuentre el número de soluciones de la ecuación

senx+sen2x+sen3x+sen4x=cosx+cos2x+cos3x+cos4x

si x ∈ ⟨0; 2π⟩.

A) 3 B) 4

C) 5 D) 6

30. Si A, B y C son las medidas de los ángulos de un triángu-

lo, además se cumple

2tanB=tanA+tanC,

calcule el máximo valor de

cosA+cosC.

A) 3 29

B) 2

2

C) 3 24

D) 3 28