Introducción

Una de las razones que dificultan el aprendizaje de las matemáticas es porque se expresan en un lenguajeespecial, que es un dialecto del lenguaje natural (en nuestro caso, castellano), en el que no debe caber la posibilidad de interpretaciones diversas.

Para entender y aprender las matemáticas es necesario conocer su idioma, pues en caso contrario, aunque se digan cosas muy sencillas, no se entenderán.

.

Las matemáticas fueron primeramente utilizadas como métodode medida de las circunstancias y acontecimiento físico. Y quizás esa debería ser su principal función. Sin embargo, con el desarrollo de operaciones y sistemas matemáticosse cree haber sobrepasado el simple método de medida para convertir las matemáticas en un leguaje de expresión y demostración con el cual podemos averiguar toda la realidad física.

El Lenguaje Matemático

El lenguaje matemático es una forma de comunicación a través de símbolosespeciales para realizar cálculos matemáticos.

A continuación algunos ejemplos expresados en lenguaje natural y/o lenguaje matemático:

En el lenguajenatural no se utiliza el cero como numero.

En el lenguaje natural, sumar es aumentar y restar es disminuir. En el lenguaje matemático, sumar es aumentar o disminuir (si se suma un número negativo).

Cuando se dice un número, en el lenguaje natural se refiere a uno cualquiera determinado, mientras que en el lenguaje matemático se refiere a todos los números.

En el lenguaje matemático una curva simple es una curva que no se corta a si misma, aunque su forma sea extraordinariamente complicada.

Las matemáticas siempre se ligan a la existencia de símbolos que, paradójicamente, son necesarios para expresarlas de forma concisa y sencilla.

Como muestra, dos ejemplos de la forma en que simplifican los símbolos:

Euclídes (300 a.C.): Si un segmento rectilíneo se corta por un punto arbitrario, el cuadrado del total es igual a los cuadrados de cada uno de los segmentos y el doble del rectángulo cuyos lados son los segmentos.

Con símbolos: (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab.

Arquímedes (225 a.C.): El área de un círculo es igual a la del triangulo cuya base es el perímetro de su circunferencia y la altura es igual al radio.

Con símbolos: A = ¼ r 2.

Algunos Matemáticos Destacados

Pitágoras de Samos

Nació alrededor del 580 AC en Samos, Ionia

Falleció alrededor del 500 AC en Metapontum, Lucania

Era originario de la isla de Samos, situado en el Mar Egeo. En la época de este filósofo la isla era gobernada por el tirano Polícrates. Como el espíritu libre de Pitágoras no podía avenirse a esta forma de gobierno, emigró hacia el occidente, fundando en Crotona (al sur de Italia) una asociación que no tenía el carácter de una escuela filosófica sino el de una comunidadreligiosa. Por este motivo, puede decirse que las ciencias matemáticas han nacido en el mundo griego de una corporación de carácter religioso y moral. Ellos se reunían para efectuar ciertas ceremonias, para ayudarse mutuamente, y aun para vivir en comunidad.

En la Escuela Pitagórica podía ingresar cualquier persona, hasta mujeres. En ese entonces, y durante mucho tiempoy en muchos pueblos, las mujeres no eran admitidas en las escuelas.

Se dice que Pitágoras se casó con una de las alumnas.

El símbolo de la Escuela de Pitágoras y por medio del cual se reconocían entre sí, era el pentágono estrellado, que ellos llamaban pentalfa (cinco alfas).

Debido a la influencia políticaque tuvo la Escuela en esa época, influencia que era contraria a las ideas democráticas existentes, se produjo, tal vez, después del año 500 una revuelta contra ellos, siendo maltratados e incendiadas sus casas. Pitágoras se vio obligado a huir a Tarento, situada al sur de Italia. Algunos piensan que un año más tarde murió asesinado en otra revuelta popular en Metaponto.

El lenguaje matemático y sus aplicaciones (página 2)

Enviado por Maddy Giulliana López

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Se debe a Pitágoras el carácter esencialmente deductivo de la Geometríay el encadenamiento lógico de sus proposiciones, cualidades que conservan hasta nuestros días.

La base de su filosofía fue la cienciade los números, y es así como llegó a atribuirles propiedades físicas a las cantidades y magnitudes. Es así como el número cinco era el símbolo de color; la pirámide, el del fuego; un sólido simbolizaba la tetrada, es decir, los cuatro elementos esenciales: tierra, aire, agua y fuego.

Carl Friedrich Gauss

Nació el 30 de Abril 1777 en Brunswick, (Ahora Alemania)

Falleció el 23 de Febrero 1855 en Göttingen, Hanover (Ahora Alemania)

Cuando Gauss tenía diez años de edad, su maestro solicitó a la claseque encontrara la suma de todos los números comprendidos entre uno y cien. El maestro, pensando que con ello la clase estaría ocupada algún tiempo, quedó asombrado cuando Gauss, levantó en seguida la mano y dio la respuesta correcta. Gauss reveló que encontró la solución usando el álgebra, el maestro se dio cuenta de que el niño era una promesa en las matemáticas.

Hijo de un humilde albañil, Gauss dio señales de ser un genioantes de que cumpliera los tres años. A esa edad aprendió a leer, a hacer cálculos aritméticos mentales con tanta habilidad que descubrió un error en los cálculos que hizo su padre para pagar unos sueldos. Ingresó a la escuela primaria antes de que cumpliera los siete años.

Cuando tenía doce años, criticó los fundamentos de la geometría euclidiana; a los trece le interesaba las posibilidades de la geometría no euclidiana. A los quince, entendía la convergencia y probó el binomio de Newton. El genio y la precocidad de Gauss llamaron la atención del duque de Brunswick, quien dispuso, cuando el muchacho tenía catorce años, costear tanto su educaciónsecundaria como universitaria. Gauss, a quien también le interesaban los clásicos y los idiomas, pensaba que haría de la filología la obra de su vida, pero las matemáticas resultaron ser una atracción irresistible.

Cuando estudiaba en Gotinga, descubrió que podría construirse un polígono regular de diecisiete lados usando sólo la regla y el compás. Enseñó la prueba a su profesor, quién se demostró un tanto escéptico y le dijo que lo que sugería era imposible; pero Gauss demostró que tenía la razón. El profesor, no pudiendo negar lo evidente, afirmó que también él procedió de la misma manera. Sin embargo, se reconoció el mérito de Gauss, y la fecha de su

descubrimiento, 30 de Marzo de 1796, fue importante en la historiade las matemáticas. Posteriormente, Gauss encontró la fórmula para construir los demás polígonos regulares con la regla y el compás.

Gauss se graduó en Gotinga en 1798, y al año siguiente recibió su doctorado en la Universidadde Helmstedt. Las matemáticas no fueron el único tema que le interesó a este hombre; fue también astrónomo, físico, geodesta e inventor. Hablaba con facilidad varios idiomas, e inclusive dominó el ruso a la edad de sesenta años. En 1807 fue nombrado director del observatorio y profesor de astronomía en la Universidad de Gotinga.

A principios del siglo XIX, Gauss publicó sus Disquisiciones aritméticas, que ofrecían un análisis lúcido de su teoría de números, comprendiendo las complicadas ecuaciones que confirmaban su teoría y una exposiciónde una convergencia de una serie infinita.

Estudió la teoría de los errores y dedujo la curva normal de la probabilidad, llamada también curva de Gauss, que todavía se usa en los cálculos estadísticos.

En 1833 inventó un telégrafo eléctrico que usó entre su casa y el observatorio, a una distancia de unos dos kilómetros. Inventó también un magnetómetro bifiliar para medir el magnetismo y, con Weber, proyectó y construyó un observatorio no magnético. Tanto Gauss como Riemann, que fue discípulo suyo, pensaban en una teoría electromagnética que sería muy semejante a la leyuniversal de la gravitación, de Newton. Pero, la teoría del electromagnetismofue ideada más tarde, en 1873, por Maxwell, aunque Gauss ya poseía los cimientos matemáticos para la teoría. En 1840, las investigacionesde Gauss sobre la ópticatuvieron especial importancia debido a sus deducciones por lo que toca a los sistemasde lentes.

A la edad de setenta y siete años, Gauss falleció. Se ha dicho que la lápida que señala su tumba fue escrita con un diagrama, que construyó el mismo Gauss, de un polígono de diecisiete lados. Durante su vida, se reconoció que era el matemático más grande de los siglos XVIII y XIX. Su obra en las matemáticas contribuyó a formar una base para encontrar la solución de problemas complicadísimos de las ciencias físicas y naturales.

Euclídes

Nació en el año 365 AC en Alejandría, Egipto

Falleció alrededor del año 300 AC

Muy poco se sabe con certeza de su vida. Probablemente, fue llamado a Alejandría en el año300 AC. Sin duda que la gran reputación de Euclídes se

debe a su famosa obra titulada Los elementos Geométricos, conocida simplemente por Los Elementos. Tal es la importancia de esta obra que se ha usado como textode estudios cerca de 2000 años, veinte siglos, sin que se le hicieran correcciones de importancia, salvo pequeñas modificaciones. Los Elementos están constituidos por trece libros. A aquellos se ha agregado un XIV libro que comprende un trabajode Hipsicles del siglo II de nuestra era, y aún un XV libro con un trabajo de menor importancia.

Esta obra de Euclídes es el coronamiento de las investigaciones realizadas por los geómetras de Atenas, como así mismo de los anteriores. Euclídes no hace sino volver a tomar con más perfección los ensayos anteriores; hace una selecciónde las proposiciones fundamentales y las coordina convenientemente desde el punto de vista lógico. La forma que emplea es la deductiva.

Las definiciones que emplea son nominales, es decir, definiciones en que se da a una palabra una denotación que se determina a priori. Entre estas definiciones están las de:1.-Punto, que lo define como "una cosa que no tiene parte"2.-Línea "es una cosa que no tiene sino largo; es una longitud sin ancho"3.-Línea recta, es la que está igualmente situada con respecto a sus puntos.4.-"Los extremos de las líneas son puntos"5.-"Superficie es lo que tiene sólo ancho y largo"6.-"Los límitesde las superficies son líneas"7.-"Angulo es la inclinación de una línea con respecto a la otra".8.-"Ángulos adyacentes son los que tienen un lado común y los otros en línea recta"9.-"Angulo recto es aquél que es iguala su adyacente"10.-"Angulo agudo es el menor que el recto y ángulo obtuso, el mayor que el recto".

Además, define los triángulos isósceles, rectángulos, etc. y da otras definiciones de elementos que, como algunas de las anteriores, las seguimos usando.

Algunos Símbolos Matemáticos

Alfabeto Griego

Conclusión

Las matemáticas se valen de un dialecto o lenguajepara expresarse en forma concisa y abreviada. Este lenguaje en algunos casos se compone de letras griegas y otras veces de diversos símbolos universales.

El porque de este lenguaje único de las matemáticas podría ser para darle un carácteruniversal, es decir, darle entendimiento en cualquier lugar sea cual sea el idioma que se hable.

Bibliografía

http://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:Tabla_de_s%C3%ADmbolos_matem%C3%A1ticos

http://www.mat.usach.cl/histmat/html/ia.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Alfabeto_griego

http://www.geocities.com/ferman30/Lenguaje-Matematico.html

www.dma.fi.upm.es/gies/informates/Temas_Basicos/basicos_0_1.pdf

 

 

 

 

Autor:

Giulliana López

Punto Fijo – Venezuela

Giullianalopez_2[arroba]hotmail.com

Bachiller en Ciencias. Egresada en el año 2008

INAUGURACIÓN DEL CURSO ACADÉMICO 2005/06Lección inaugural que versará sobre:MATEMÁTICA Y LENGUAJEYMATEMÁTICA COMO LENGUAJEa cargo dePedro Miguel González UrbanejaCatedrático de MatemáticasI.E.S Sant Josep de CalassançDepartament de Matemàtiques2

MATEMÁTICA Y LENGUAJEYMATEMÁTICA COMO LENGUAJEEl momento en que comienza la comprensión del número ydel idioma se caracteriza por una profunda experienciaíntima, verdadero despertar del yo, que de un niño hace unhombre, un miembro de una cultura. [...]. En ese momentose produce un sentimiento súbito y casi metafísico de temory respeto a lo que significan profundamente las palabras“medir”, “contar”, “dibujar”, “formar”.O.Spengler (La decadencia de Occidente, cap.I.1).Ante la pulcritud de la demostración del primer teoremaquedé deslumbrado por ese mundo perfecto y límpido.Había descubierto el universo platónico, ajeno a loshorrores de la condición humana; e intuí que esos teoremaseran como majestuosas catedrales, bellas estatuas enmedio de las derruidas torres de mi adolescencia.Ernesto Sábato.Número Celeste! ¡Geometría Dorada!¡Verso Pitagórico! ¡Clave de Cristal!¡Canto de Divina boca en llamarada!¡Verso del Ardiente Pentáculo Astral!

Valle Inclán.Van paralelos Lenguaje y GeometríaCon un punto supremo de armoníaJuntas están Matemática y Poesía.Gonzalo Sánchez Vázquez (Matemática y Poesía).Algunos dicen que la ciencia matemática es prosaicaPero nada hay tan bello como la fórmula algebraica.Pareado anónimo.Sr. Director, Sres/as. Jefes de Estudios, compañeras, compañeros, alumnas y alumnos:Con inspiración en un artículo del académico Lázaro Carreter y en una frase del filósofo Alain sobreGeometría y Poesía y tomando como hilo conductor los vínculos entre Matemática y Lenguaje os hablaréde la importancia de la Matemática en la forja del entendimiento y la voluntad y las diversas facultades,aptitudes y actitudes, en la formación integral de la persona como ciudadano educado y en particular de ladimensión cultural de la Matemática más allá del carácter instrumental que se le ha asignado en laEnseñanza Secundaria. Incluiré no sólo la relación entre Matemática y Lenguaje sino la Matemática comoconstructora de Lenguaje. Las citas anteriores son un botón de muestra que nos permiten adentrarnos en eltema con el apoyo de grandes expertos en el manejo del lenguaje.Las palabras que vais a tener la gentileza de escuchar os las dedico a todos los alumnos y alumnas deBachillerato, y en particular, y porque viene a cuento del tema, se las dedico también:a mis sobrinos que entre ellos son primos entre sí.3Matemática y Lenguaje.Al acompañar de forma paralela a toda civilización, las Matemáticas constituyen una de las grandesmanifestaciones del pensamiento con un desarrollo milenario estrechamente relacionado con los grandeshitos de la Cultura. Conocida es la implicación de la Matemática con las Ciencias de la Naturaleza y laTecnología; pero sus vínculos con la Filosofía, la Educación, el Lenguaje, la Poesía, la Literatura, las Artes, laBelleza, la Religión, la Mística, la Política, la Magia, etc., hacen de ella una manifestación de la racionalidadhumana que, navegando a lo largo de la Historia en todos los confines del Pensamiento, vertebra la Cultura,desde las más remotas civilizaciones hasta la inexorable informatización del mundo actual. La permanenteinteracción del desarrollo matemático con cualquier actividad humana hacen de esta ciencia uno de losgrandes logros culturales de la humanidad.De toda esta poliédrica dimensión cultural de la Matemática vamos a hablar de los vínculos de la Matemáticay el Lenguaje, sobre todo de la Matemática como creadora de lenguaje. De todo ello deduciremos latrascendental importancia que tiene la Matemática en la formación integral de la persona y en particular en laforja de dos potencias esenciales del ser humano: el entendimiento y la voluntad y sus diversas facultades,aptitudes y actitudes.

Ojeando y hojeando un libro del pensador y profesor de Filosofía francés Alain (seudónimo de EmileChartier) titulado "Charlas sobre Educación y Pedagogía infantil" (Editorial Losada, 2001) encontré unaafirmación muy audaz:«En la Educación infantil bastaría con enseñar Geometría y Poesía»Este autor se ha puesto de moda ahora con la edición de unos pensamientos a modo de antídoto contra lainfelicidad que acaba de publicar RBA Libros con el título Mira a lo lejos. En él aparecen frases lapidariasricas en sabiduría. Por ejemplo:«Cuanto más sabemos, más somos capaces de aprender».Pero volviendo a Poesía y Geometría, para mí• La Poesía es la más refinada manifestación del pensamiento humano para expresar los sentimientos.• La Geometría como ciencia de la forma y la extensión es la más refinada manifestación del pensamientohumano para expresar lo que percibimos por los sentidos.He aquí, para empezar una primera vinculación entre Matemática y Lenguaje como instrumentos deexpresión de elementos genuinamente humanos: los sentimientos y las percepciones.El brillante matemático K.Weierstrass escribía:«Un matemático que no tenga también algo de poeta no será nunca un matemático completo».La Poesía y la Matemática comparten no sólo la medida (en el caso de los versos rimados) sino en todocaso armonía, belleza, juego, artificio y creatividad. Por eso muchos poetas y matemáticos han comparado laexperiencia de demostrar un teorema con la de construir un poema.En algunos matemáticos como los pitagóricos –cuya doctrina moral está plasmada en los Versos Dorados–,Platón, O.Kayyan, Luca Pacioli, Descartes, Weierstrass, L.Carroll, F.Hausdorff, Poincaré, Hardy y otros,encontramos una gran dosis de poesía; mientras que en poetas como Dante, Novalis, Goethe, Pessoa,P.Valery, R.Alberti, G.Ferrater, W.Szymborska, hallamos un complaciente acercamiento a la Matemática.• Goethe: «El matemático no es perfecto sino cuando siente la belleza de la verdad».• F. Pessoa: «El binomio de Newton es tan bello como la Venus de Milo.»• P. Valery: «El eterno deseo de encadenar la morfología física y biológica, ... a la ciencia de las formas ... ylas fórmulas que sirven en las Artes es el tema que ha explorado este libro [Ghyca. El número de oro,Poseidón, Barcelona, 1978, pág.9], ¡Qué poema el análisis del número de oro, Φ.»Pero decíamos antes que íbamos a hablar sobre todo de la Matemática como creadora de lenguaje. Parte delo que voy a decir sobre este tema está inspirado en un artículo de F.Lázaro Carreter titulado «Espíritu de4geometría» (EL PAÍS, 5/12/99), que comienza con estas palabras:«¿Podríamos hablar sin la Geometría? Se cuela por todas las costuras del idioma, sin casi darnoscuenta ...»Mencionemos algunas de esta perlas del lenguaje con las que podremos apreciar que el mundo social ysobre todo el mediático, ha entrado a saco, a veces sin ningún respeto, en el santuario de Pitágoras,

Euclides y Descartes. Como dice el autor del artículo, se trata de expresiones geométricas que a veces sonmetáforas perfectamente válidas e idiomáticamente bellas pero que en general son ridículas cornadas a lalengua y tópicos tropos geométricos que sirven de muletillas del lenguaje. Vosotros juzgaréis.• Girar en torno al eje. Pentágono. Radio de acción. Infinito/a. Proyección. Inconmensurable. Espiral deviolencia. Medio. Recta final. Perspectiva. Cerrar el círculo• La política mundial gira en torno al eje del Pentágono americano cuyo radio de acción ha alcanzadouna infinita proyección que provoca a veces una inconmensurable espiral de violencia. Esperemosque la situación en Oriente Medio entre en una recta final dentro de una perspectiva democráticacuando se cierre el círculo de negociaciones.Señalamos frente a la espiral, la recta; mientras la espiral se vuelve y revuelve sin saber hasta dónde, la rectalleva como una sombra el adjetivo final. Cuando falta ya poco para que algo acabe (el curso, un partido defútbol, un proceso... ), dicen de ese algo que ha entrado en su recta final, aunque, paradójicamente, a vecestermina en curva, como ocurre con frecuencia en el remate de un curso escolar o de un partido de fútbol quesuele estar lleno de sobresalto, y alumnos o futbolistas lo recorren por curvas sinusoides durante los últimosdías del curso y en prórrogas, respectivamente.Así que de recta final, nada. En sentido matemático estricto está claro la incorrección semántica, porque unarecta final sería algo tan imposible como un círculo cuadrado. Lo correcto sería hablar de segmento final yaún así habría de aclarar que nos referimos a la longitud del segmento y no al número de puntos que hay enél, infinitos como en la recta, paradojas del infinito, con el que también se juega muy incorrectamente en ellenguaje ordinario, llamando infinito a lo que concebimos como muy grande o muy numeroso. A hablar, pues,de recta final se comete un grave error de bulto: se confunde segmento con recta, es decir: «se confunde eltodo con la parte» atentando contra el octavo y último axioma de Los Elementos de Euclides. Lo mismosucede con la expresión «cerrar el círculo» frase absurda o redundante en sí misma ya que el círculo es yauna curva cerrada; si acaso habría que decir cerrar el arco.Error similar se comete al llamar redondo a lo que es circular, como por ejemplo una copa o un vaso.Más fortuna tiene la frase «me ha salido redondo» que implícitamente alude a la perfección mayestática de lasimetría esférica como superficie cerrada que encierra un volumen determinado con la mínima superficie, poreso cumple una función esencial en la naturaleza, que sabe muy bien optimizar los recursos.Sigamos:• Conducta recta. Trayectoria rectilínea. Comportamiento sinuoso. Salirse por la tangente.• El Profesor A tiene una conducta muy recta lo que nos obliga a una trayectoria escolar muyrectilínea, en cambio, el Profesor B muestra un discurso muy sinuoso por eso cuando le

preguntamos suele salirse por la tangente.• Ver las cosas bajo un prisma de ..., o desde un ángulo de ... . Tener una visión poliédrica de ... .Desarrollar. Entorno.• Los prejuicios nos hacen ver las cosas bajo un prisma subjetivo que nos condena a una sesgadapercepción de la realidad desde un único ángulo. Debemos desarrollar una visión poliédrica (conmúltiples matices) de nuestro entorno.• Altas esferas. Sectores afectados. Segmento de jóvenes.• Tras las decisiones políticas que se toman en las Altas esferas siempre hay Sectores afectados delque no se libra el Segmento de jóvenes.• Punto de inflexión, giro de 180º.• La enfermedad ha provocado un punto de inflexión en mi vida, casi un giro de 180º.5Curiosamente algunos políticos manejan de forma muy ridícula, por incorrecta, la última expresión, cuando encampaña electoral hablan de dar un giro de 360º a tal o cual situación.• Círculos de empresarios. Polígonos de desarrollo. Curvas de crecimiento.• El gobierno ha negociado con los Círculos de empresarios nuevos Polígonos de desarrollo parahacer decrecer la curva del paro.• Aumento lineal. Asunto central. Situación puntual. Cero a la izquierda.• La empresa ha concedido un Aumento lineal a los trabajadores. Siendo el salario un Asunto central,esperamos que sea una Situación puntual, ya que el Sindicato ha sido un Cero a la izquierda.Así pues, hemos visto que en el lenguaje ordinario y coloquial se alude a las Altas esferas, a los Sectoresafectados, al Segmento de jóvenes, al Radio de acción, a la Proyección, a lo infinito o Inconmensurable, a laEspiral de violencia, a la Recta final, a la Perspectiva de visión, al prisma o el ángulo bajo el que se divisa unentorno que suele ser poliédrico. Y además de Círculos de empresarios (o de labradores o de artistas) hayPolígonos de desarrollo, Curvas de crecimiento, conductas rectas o sinuosas que determinan trayectoriasrectilíneas o se salen por la tangente. También hay incrementos lineales, asuntos centrales y situacionespuntuales que afectan, aunque uno sea un cero a la izquierda, y de vez en cuando nuestra vida hace unPunto de inflexión o un giro de 180º.Pero la cosa no queda aquí porque en la vida hay situaciones semejantes que se describen como paralelas.Incluso también hay vidas paralelas en la Literatura clásica, como la famosa obra de Plutarco. En cambiootras veces, sobre todo entre algunos partidos del arco parlamentario, se habla de posiciones convergentes,como indicando que tienden cada vez más a ser iguales –tan iguales, tan iguales, que parece imponerse en laPolítica el Pensamiento único–, mientras que si son divergentes cada vez distarán más.También se indica que algo está proporcionado o dimensionado como bien medido o ajustado para sufunción. Al situar la sensatez en el centro, a partir de Aristóteles, se identifica la mitad o el medio con lo

virtuoso. Y cuando se plantea resolver algo imposible se habla de que «es tan difícil como la cuadratura delcírculo» –uno de los problemas históricos más importantes de la Matemática–, interpretando de formaincorrecta esta quimera matemática, porque la cuadratura del círculo no es difícil, sino que simplemente esimposible. A veces, la torcida utilización del lenguaje matemático alcanza el paroxismo, como cuando, segúnuna moda reciente, algunos tertulianos hablan de la primera derivada o la segunda derivada de esta posición,esa cuestión o aquella situación. Aquí sencillamente el asunto no tiene nada que ver con la tangente de unacurva en un punto.Como broche de oro, a veces se dice, de forma vehemente y enfática, que algo es matemático al quererindicar que es absolutamente cierto, indudable, ineludible, inexorable, infalible, incontrovertible, etc. aunquenadie lo haya demostrado. En parte, el autoritarismo se basa en arbitrarias premisas, que se toman comopostulados, cuya reiteración mediática redundante convierte en axiomas para un amplio público poco crítico.Parece, pues, que no podríamos hablar sin Geometría, pero deberíamos utilizarla para hablar con másprecisión y mejorar la comunicación, aunque a veces, como se ha visto, se hace lo contrario. Aún así,comparando estas cornadas a la lengua con las del simple lenguaje de los móviles y los chats de Internet, nohay color.Por fortuna, algunas frases de origen matemático especialmente ridículas han desaparecido, por ejemplo, enmi niñez algunos cursis decían que fumaban cilindrines.También han desaparecido, en el lenguaje del sexo o del amor algunas frases geométricas de tinte ofensivo.En la literatura erótica de principios del siglo XX se llamaban horizontales a las mujeres de cama fácil(disculpad la grosera expresión, que no es mía). Sin embargo en la Literatura y en el cine, tanto de calidadcomo en los bodrios televisivos abundan los triángulos amorosos, tal vez porque como decía Dumas: «lacadena del matrimonio pesa tanto que es preciso sean dos para llevarla, y, a veces, tres». Curiosamente, enel lenguaje ordinario, se habla de triángulo como colección de tres elementos, con independencia de susituación o posición relativa. No así en Geometría que se exige que no estén alineados. ¡Cuidado noconfundir con alienados! Aunque los puntos alineados bien alienados están por ser ajenos al disfrute de totallibertad de movimiento; tienen sólo un grado de libertad.6Pero en el lenguaje del amor parece que no rigen las leyes universales del Álgebra y de la Aritmética, ya queen el amor 1+1 es infinito mientras que 2–1 es cero, la nada más absoluta, el que ha amado y ha sufrido lapérdida de su amor lo sabe (Lope de Vega). Y si hay hijos 1+1=3, 4, 5. Y es que el amor es inefable y no sóloestá más allá del Álgebra y de la Aritmética, sino que, parafraseando a Nietzche está incluso más allá del

bien y del mal.Procedente del lenguaje matemático también tenemos tanto en la Literatura como en el lenguaje ordinario lasexpresiones circulares (circunloquio [rodeo redundante de palabras], las expresiones elípticas (elipsis: hechosintáctico o estilístico que suprime o elude lo que se sobreentiende), las expresiones hiperbólicas (que sonexageraciones) y las expresiones parabólicas (que ilustran una historia con comparaciones, alegorías ymetáforas), aunque justo es reconocer, aludiendo a la Historia de las Matemáticas, en particular a la Historiade las Secciones Cónicas, que en este caso, primero fue la semántica de los vocablos en el lenguajeordinario y después la acuñación –por Apolonio «El Gran Geómetra», posiblemente a sugerencia deArquímedes «El Sobrehumano» – de los términos en el ámbito geométrico. Efectivamente, el nombre dado alas Cónicas por el eximio matemático griego, procede de que el lenguaje pitagórico del Método de Aplicaciónde las Áreas para la solución geométrica de ecuaciones cuadráticas, emulaba el significado lingüístico deElíptico como deficiencia, de hiperbólico como excesivo y de parabólico como equiparable.En el espectáculo por excelencia, el fútbol, tal vez para darle prestigio a algo tan trivial como la disputa de unobjeto esférico por parte de dos grupos de personas, para introducirlo en una red de forma casi prismática, enlos medios se dice que el jugador ha perdido la verticalidad al disparar el balón que ha pasado precisamentea llamarse de forma ridícula y ñoña como el Esférico, aunque en modo alguno sea una esfera. Para poneruna nota de erudición sobre una afición tan sana cuando se practica y a veces tan demente y alienantecuando sólo se contempla, digamos que según el Fedón (110b) de Platón los griegos jugaban con balonesde doce pieles en forma de dodecaedro que al hincharse se aproximaban a la forma esférica, lo queconstituía un antecedente de nuestro balón de fútbol. Al principio de los tiempos modernos los balones defútbol tenían forma de icosaedro truncado –poliedro arquimediano formado por 12 pentágonos y 20hexágonos–, pero en la actualidad el balón oficial es un poliedro arquimediano (es decir, un poliedroinscriptible en una esfera, cuyas caras son polígonos regulares de varios tipos, aunque con la misma arista,siendo iguales todos los vértices del poliedro). Se trata del poliedro llamado RombIcosiDodecaedro menorformado por 20 triángulos, 30 cuadrados y 12 pentágonos. En este poliedro semirregular el tamaño de lascaras está bastante igualado y es la forma poliédrica más redondeada, ya que es el que más se aproxima a laesfera circunscrita –ocupa más del 94% de esta esfera–.Pocos sabios han tenido la gloria de ver adjetivado su nombre en el lenguaje coloquial. Los tres filósofos–matemáticos más importantes, Pitágoras, Platón y Descartes, elevan las ciencias matemáticas, cada uno ensu época, a un sublime e imperecedero estadio de instrumento de cultura, es más, hacen de la Matemática el

principal y más valioso elemento vertebrador de la cultura. Pitagórico se atribuye a algo o a alguien donde seadvierte una marcada orientación filosófica o una singular capacidad matemática; Platónico ha pasado a serequivalente a la pureza de lo ideal, espiritual o inmaterial, que se acentúan sobre todo cuando el adjetivocalifica al amor; y Cartesiano ha pasado a ser sinónimo de racional y metódico, en el sentido de analítico yriguroso. Así se habla tanto de una sentencia pitagórica o un intelecto pitagórico, como de un sentimientoplatónico, o una mente cartesiana.La Matemática racional y la Filosofía, como contemplación objetiva (más allá de la poesía) del admirableespectáculo (Theoria) del universo entero, tienen un origen común en los albores del siglo VI a.C. con elpronunciamiento pitagórico «el número es la esencia de todas las cosas» que conduce en el curso de lossiglos al galileano «la naturaleza está escrita en lenguaje matemático» y culmina en la actualidad con ladigitalización informática que reconvierte toda producción del intelecto humano en una sucesión de ceros yunos. Para Platón la Matemática es la imprescindible propedéutica para el ascenso a la Filosofía y paraDescartes la Matemática es la base racional de todas las ciencias y la fuente de toda certidumbre. En todaépoca la Matemática es la clave de la explicación de los fenómenos naturales y se arroga una función de darcuenta –aspira a «dar razón» en sentido filosófico– del orden natural, en un proceso que se inicia conPitágoras, se afianza con Platón, se consolida con Descartes y desemboca en la Física de Galileo, Newtony Einstein (bien está recordarlo en el año de su centenario).7Matemática, Lenguaje y Humor.Vamos ahora a introducir un punto de humor con paradojas lógico-semánticas y expresiones inducidas portérminos matemáticos aplicados en el lenguaje coloquial. No me atrevería a llamarlos chistes, pero meacercaré a ellos por su carácter sintético, enfático y lapidario, por la ambigüedad de los términos (en estecaso matemáticos) y el doble o triple sentido de ellos. También veremos famosos disparates de exámenes deMatemáticas y juegos de palabras a modo de acertijos, enseñanzas, sentencias o citas que juegan connúmeros y elementos matemáticos.• Como cualquier escolar sabe 1 1 14 4 2+ = .Pues bien, he aquí la «demostración» más rigurosa de que «para tener medios hacen falta cuartos».• Decía B.Franklin: «Si el hombre pudiera alcanzar la mitad de sus deseos, duplicaría sus problemas».• Entre la clase política que nos gobierna está muy extendida la creencia de que:«9 de cada 10 políticos están de acuerdo en que 1 de cada 10 políticos es un corrupto».• Paradojas en la naturaleza: «Las bacterias se multiplican dividiéndose».• Conversación en clase de Matemáticas: «Me gustan los polinomios, pero solo hasta cierto grado».

• Conversación entre matemáticos:«Hay tres clases de matemáticos, los que ese equivocan al contar y los que no».• Un cubo a una esfera: «Nunca tendrás una esquina donde caerte muerta».• ¿Cuál es animal con más de 2 patas y menos de 3?: «El pollo porque tiene dos y pico».• Animal con más de 3 ojos y menos de 4: «El π–ojo (piojo)».• Las cuatro reglas en el matrimonio:«Suma de obligaciones, resta de libertades, multiplicación de responsabilidades y división de bienes».• Las progresiones y la evolución:«Si todos tenemos 2 padres, 4 abuelos, 8 bisabuelos, 16 tatarabuelos, 32 tata tatarabuelos ... ¿cómo esposible que vengamos sólo de Adán y Eva?»• Perlas estadísticas:• Todos los políticos prometen antes de salir elegidos subir los sueldos, de forma que nadie cobre pordebajo de la media nacional.• No tener hijos es hereditario; si tus padres no tuvieron hijos, lo más probable es que tú tampoco lostengas.• La tasa de natalidad es doble de la tasa de mortalidad; por lo tanto, una de cada dos personas esinmortal.• El 20 por ciento de las personas muere a causa del tabaco. Por lo tanto, el 80 por ciento de laspersonas muere por no fumar. Así que queda demostrado que no fumar es peor que fumar.• La probabilidad de tener un accidente de tráfico aumenta con el tiempo que te pases en la calle. Portanto, cuanto más rápido circules, menor es la probabilidad de que tengas un accidente.• El 33 % de los accidentes mortales involucran a alguien que ha bebido. Por tanto, el 67 % restante hasido causado por alguien que no había bebido. A la vista de esto, esta claro que la forma más segurade conducir es ir borracho y a toda pastilla.• Disparates en exámenes:• Polígono: «Hombre que anda con muchas mujeres».• ¿Qué es un círculo? «Un polígono de dos lados: el de dentro y el de fuera».• Qué es la hipotenusa: «Lo que está entre los dos paletos».• Area del triángulo: «Es igual a la cuarta parte de la mitad de su lado por la semisuma de la raízcuadrada de tres».• Los cuatro evangelistas son tres: San Pedro y San Pablo.• Refrán: «Cifra eres y nada más, según donde estés, así valdrás».8Matemática, Lenguaje y Literatura.A lo largo de la Historia muchos matemáticos han realizado notables aplicaciones a la Literatura, algunas deellas de primera categoría. Muchos de los Diálogos de Platón (la República, el Timeo, el Menón,...) y variasobras de Descartes (El Discurso del Método, Las Reglas para la Dirección del Espíritu, La Geometría)que sitúan a la Matemática en el centro de atención, son auténticas joyas de la Literatura universal.Según Platón (República, 525d–527b).«La Aritmética fuerza el alma a servirse de la inteligencia pura para alcanzar la verdad en sí. [...] La

Geometría conduce a una contemplación más factible de la idea del Bien. Dirigirá el alma hacia laverdad y dispondrá la mente del filósofo para que eleve su mirada hacia arriba.»Según Descartes (Discurso del Método, DM.AT.VI.19).«Esas largas cadenas trabadas de razones muy simples y fáciles, que los geómetras acostumbran aemplear para llegar a sus más difíciles demostraciones, me habían dado ocasión para imaginar quetodas las cosas que entran en la esfera del conocimiento humano se encadenan de la misma manera.»Pero también en los tiempos modernos excelentes escritores, que también son filósofos y matemáticos, comoel famoso político y literato, José Echegaray (Premio Nobel de Literatura, 1904), Bertran Russell (PremioNobel de Literatura, 1950) y O.Spengler, ponderan el argumento matemático en sus escritos. Las famosasobras: Historia de la Filosofía Occidental de B.Russell (recientemente reeditaba en 2005, por RBA) y Ladecadencia de Occidente de O.Spengler realizan una rigurosa incardinación de la Matemática en la Historiade la Cultura, con profundas reflexiones sobre la incidencia de las Ciencias Matemáticas en la propia forja dela Cultura y el Pensamiento.Digno es de mencionar, entre otras muchas, interesantes obras literarias escritas por matemáticos, porejemplo: De propria vita de Cardano, Pensamientos de B.Pascal, Alicia en el País de las Maravillas deL.Carroll, Una infancia rusa de S.Kovaleskaya, Apología de un matemático de G.H.Hardy.También podemos citar obras no escritas por matemáticos donde la Matemática juega un cierto papel comoPlanilandia de E.Abbott, El Aleph de J.L.Borges, Kepler de A.Koestler, Congreso en Estocolmo de J.L.Sampedro, ... .Un paso más allá, en los últimos tiempos, es el ensayo o la novela donde la Matemática es protagonista o almenos un personaje importante, por ejemplo: El hombre que calculaba de M.Tahan, El tío Petros y laconjetura de Goldbach de A.Doxiadis, El teorema del loro de D.Guedj, El diablo de los números deH.M.Enzensberger, El enigma de Fermat de S.Singh, El sueño de Descartes de P.J.Davis, Érase una vezun número de A.Paulos, La mesura del món de D.Guedj, Damunt les espatlles dels gegants de Josep Pla, ...En el ámbito de la cinematografía la Matemática o el matemático es protagonista, entre otras películas, enLas dos caras del amor, Perros de paja y la reciente Una mente maravillosa.Matemáticas en El Quijote.En un año en que celebramos el cuarto centenario de la publicación de la primera parte del Quijote, debemosaludir a las Matemáticas que hay en la obra de Cervantes. Las hay, en efecto, en cuestiones de cálculo,números, medidas y proporciones, problemas e incluso Astronomía, así como alusiones a la utilidad de lasdiversas ciencias matemáticas. Veamos algunos textos indicativos:• 2ª Parte, Cap. XVIII. Referente a la ciencia de la Caballería:

• El caballero andante entre otras muchas cosas «ha de saber matemáticas, porque a cadapaso se le ofrecerá tener necesidad de ellas».• 2ª Parte, Cap. XX. Confrontación del Licenciado de Salamanca y el Bachiller Corchuelo:

• El Bachiller al Licenciado: «Apearos y usad de vuestro compás de pies, de vuestros círculos yvuestros ángulos y ciencia, que yo espero haceros ver estrellas con mi destreza».• Texto: «En lo que faltaba del camino les fue contando el licenciado las excelencias de la9espada con tantas razones demostrativas y con tantas figuras y demostracionesmatemáticas, que todos quedaron enterados de la bondad de la ciencia [...].• 1ª Parte, Cap. XXXIII. Orientaciones metodológicas para la conversión de infieles:

• «Les han de traer ejemplos palpables, fáciles, inteligibles, demostrativos, indubitables, condemostraciones matemáticas que no se pueden negar, como cuando dicen: “Si de dos partesiguales quitamos partes iguales, las que quedan son iguales” [Euclides, Axioma 3]; y, cuandoesto no entiendan de palabra, como en efecto, no lo entienden, háseles de mostrar con lasmanos [...]».Lo de «mostrar con las manos» no sabemos si se refiere a la utilización de técnicas docentesmás activas, mas prácticas con recursos manuales experimentales y manipulativos, o si másbien tiene que ver con los tradicionales métodos inductivos y deductivos de las Matemáticas,de modo que habría que añadir el “método de demostración por coacción”.Os voy a obsequiar ahora con un par de fábulas en forma de poesías matemáticas de las que podemosdeducir una sagaz moraleja.EL CERO, EL UNO Y EL DOS(Cayetano Hernández)Graves autores contaronque en la ciudad de los cerosel uno y el dos entrarony, desde luego, trataronde medrar y hacer dineros.Pronto el uno hizo cosecha,pues a los ceros honrabacon amistad muy estrechay dándoles la derechasu valor así aumentaba.Pero el dos es de otra cuerda,¡todo es orgullo maldito!y con táctica tan lerdalos ceros pone a la izquierday así no medraba un pito.En suma, el humilde unoLlegó a hacerse millonariomientras el dos, importuno,por su orgullo cual ninguno,no pasó de un perdulario.Luego, ved con maravillaen esta fábula ascéticaque el que es humilde más brilla,

y el que se exalta se humillahasta en la misma Aritmética.TIRO AL BLANCO(Eugeni D’Ors)Por presumir de certeroun tirador atrevidose encontró comprometidoen el lance que os refiero:Y fue, que ante una casetade la feria del lugarpresumió de no fallarni un tiro con la escopeta,y el feriante alzando el galloun duro ofreció pagarlepor cada acierto y cobrarlea tres pesetas el fallo.Dieciséis veces tiróel tirador afamadoy al fin dijo, despachadopor los tiros que falló:Mala escopeta fue el ceboy la causa de mi afrenta,pero ajustada la cuentaNI ME DEBES Ni TE DEBO.Y todo el que atentamenteeste relato siguiópodrá decir fácilmentecuántos tiros acertó.x y 16x 6, y 10.5x 3y 0+ = ⎫⎬ = = − = ⎭10Matemática, Lenguaje y Educación.Una de las características del lenguaje matemático es su univocidad y ausencia total de ambigüedad. Todasintaxis matemática se aplica a objetos y entidades perfectamente definidos sin ningún tipo de duda sobre suesencia ontológica, porque previamente se ha sometido a una férrea definición que precisa, determina,concreta, especifica, delimita, e individualiza las características del objeto en cuestión.Además, los argumentos matemáticos se establecen con la demostración, que los convierte enincontrovertibles, en verdades eternas y universales. Con la emergencia de la demostración como exigenciaintelectual, aparece la Matemática racional en el horizonte del siglo VI a.C., siendo este fenómeno cultural unhito esencial en el tránsito del mito al logos que tiene lugar en la cultura griega, por eso, la demostración seconsidera la aportación fundamental del Pitagorismo a la Matemática, lo que se ha valorado siempre muypor encima de sus magníficas contribuciones particulares en ámbitos concretos de esta ciencia que todavíahoy nutren el currículum de los libros de Matemáticas elementales. La demostración va mucho más allá de la

mera persuasión de la Retórica en la que los griegos eran grandes maestros, pues, es posible con persuasiónargüir lo falso contra lo verdadero como hacen habitualmente los políticos, que según la coyuntura degobierno o de oposición se atreven a defender un argumento y su contrario (de ahí los reproches de Sócrateshacia los sofistas). La demostración matemática convence por la ilación argumental irrefutable que alcanzaalgo legítimo mientras no se pongan en entredicho las leyes de la Lógica. Por eso a partir de Pitágoras laMatemática es universalmente considerada como un manantial primario de verdad objetiva.Definición y Demostración caracterizan y singularizan la actividad matemática frente al resto de todas lasdemás actividades humanas. En ellas se basa la importancia de la Matemática en la Educación y el prestigiogeneral que tiene la ciencia matemática en todo tipo de público frente a la argumentación retórica falaz quedesprestigia a la Política, por ejemplo. Por eso, es frecuente, como ya hemos apuntado antes, escuchar laexpresión ¡Esto es matemático! como una enfática y apasionada afirmación de que es una verdad absoluta eincontestable. Los matemáticos sabemos que ello no se ajusta completamente a la realidad matemática,porque ésta también es relativa. Sí, la realidad matemática también es relativa a las premisas más o menosarbitrarias admitidas a priori sobre las que se construye el magnífico edificio de la Matemática.Para Platón (República, VII, 521-527) la Matemática es un instrumento esencial para la educación einstrucción de la juventud. Su maestro de Geometría en la Magna Grecia, Arquitas de Tarento, comobrillante político y audaz reformador, había establecido la Matemática como componente esencial delcurrículum escolar, instituyendo las cuatro Ciencias (Artes Liberales) del Quadrivium pitagórico –Aritmética,Geometría, Música y Astronomía–, sancionado por Platón en La República y de vigencia secular casi hastanuestros días. Casi dos siglos antes, y en el origen, Pitágoras, acuña, como se sabe, el término Filosofía –amor a la sabiduría– y también –lo que no se conoce tanto–, el término Mathema vinculado al significado deconocer o aprender, pero no a un ámbito específico del saber, sino al saber en sí mismo, es decir, Mathemaes «lo que se puede aprender», lo formativo, «lo enseñable por antonomasia». A partir de entonces, en elmundo griego, la Matemática es la encarnación del conocimiento, según Platón mediante reminiscencia (elaprendizaje es un recuerdo promovido por la Educación, que fructifica cuando el Profesor alumbra elconocimiento en el alumno mediante una serie de cuestiones y preguntas bien hilvanadas [de formaheurística] Menón, 82b-85b). Así pues, la Matemática sería una actividad intelectual no vinculada a unespacio cultural concreto y particular del saber, sino al conocimiento en sí mismo, y anterior, como base, a

todo otro conocimiento, de ahí los estrechos vínculos primigenios de la Matemática con la Filosofía, comoactividades intelectuales que no sólo tendrían un origen común, sino que en el nacimiento de la Matemáticaracional en Grecia se realiza la condición de la Filosofía de dar cuenta o razón de la realidad. Precisamente,dar cuenta y dar razón, son términos matemáticos.A partir de aquí podemos entender la trascendencia que siempre ha tenido y tiene la Educación matemáticacomo materia obligatoria en todos los niveles de todos los sistemas educativos de todos los países conindependencia del régimen político. Y nosotros, Profesores de Matemáticas, es decir, profesionales de latransmisión del conocimiento matemático, como herederos del mundo clásico, enfatizamos con vehemencialas cualidades de las Matemáticas:• La capacidad para manejar la cantidad y la extensión, la lógica y la intuición, la inducción y la deducción,la observación y la imaginación, la curiosidad y la iniciativa, la invención y el descubrimiento, el análisis yla síntesis, la generalidad y la particularidad, la abstracción y la concreción, la precisión y la exactitud, lainterpolación y la extrapolación, la estructura y la implicación, la decisión y la construcción, la armonía yla creatividad, la interpretación y la descripción, la belleza y la utilidad, la regularidad y la disposición, ...,siempre bajo la acción del entendimiento y el imperio de la voluntad.Estas características de las Matemáticas hacen de ella una herramienta básica y esencial en la Educación delciudadano como instrumento fundamental de forjado no sólo de las estructuras intelectuales del ser humano,sino también de las diversas facultades, aptitudes y actitudes.11La idiosincrasia de la Matemática alimenta su función informativa que permite:• Adquirir un conjunto de conocimientos que hace posible familiarizarse con el mundo naturalcircundante, con herramientas para interpretar el mundo físico, natural y social, en términoscuantitativos y abstractos,pero sobre todo, por imperativo platónico, las Matemáticas tiene una función formativa para:• Desarrollar el pensamiento crítico y el rigor científico, inculcar una disciplina mental con la queoperar sobre cualquier tipo de pensamiento o de situación y a través de la resolución de problemasdesarrollar la iniciativa personal y la fortaleza para vencer obstáculos, estimulando la voluntad.La Matemática incide así decisivamente sobre el binomio entendimiento-voluntad que es la matriz del espírituhumano, de ahí la implicación esencial que como en los tiempos de Platón tiene, hoy y siempre, laMatemática en la Educación.O.Spengler (en su famosa obra La decadencia de Occidente, cap.I.1 [El sentido de los números], Austral,Madrid, 1998, pp141, 142) define de forma casi apocalíptica el acceso intelectual del niño a la Matemática y alidioma:

«El momento en que comienza la comprensión del número y del idioma se caracteriza por una profundaexperiencia íntima, verdadero despertar del yo, que de un niño hace un hombre, un miembro de unacultura. [...] A partir de ese momento existen propiedades bien determinables, conceptos, un nexo causal,un sistema del mundo circundante, una forma del mundo, leyes del mundo, [...]. La ley es lo sometido anúmeros. En ese momento se produce un sentimiento súbito y casi metafísico de temor y respeto a loque significan profundamente las palabras “medir”, “contar”, “dibujar”, “formar”.»Ya hemos dicho que Matemática en griego significa «lo que se puede aprender». Entonces, ¿por qué hay laconciencia de que son tan difíciles? Por varias razones, consecuencia de la naturaleza y característicassingulares de esta ciencia.• Porque aunque se aplica a aspectos muy concretos requiere un alto nivel de abstracción.• Porque son una ciencia progresiva y acumulativa, un complejo edificio en el que no se puedeascender a un nivel superior sin haber consolidado todos los inferiores.• Porque tienen un lenguaje propio, preciso, exacto y simbólico.Estas cuestiones vinculadas a las Matemáticas exigen que para obtener fruto en su cultivo se precise engrado sumo paciencia (que como término es el acrónimo de paz y ciencia, Paciencia = Paz + Ciencia),tranquilidad, reflexión, concentración y curiosidad.Como veis no he mencionado aspectos vinculados a la inteligencia, no es que no sean necesarios oconvenientes para estudiar Matemáticas. Una brillante inteligencia es conveniente para hacer cualquier tareahumana con calidad y también para triunfar en Matemáticas, pero no es imprescindible. Por su propianaturaleza, que acabamos de puntualizar, para estudiar con éxito en Matemáticas, son más importantes losaspectos humanos vinculados a la voluntad, como los mencionados: la paciencia, la perseverancia, laconstancia, la persistencia, la tenacidad, la firmeza, el tesón, la entereza, la dedicación, el empeño; todosellos son ineludibles para alcanzar y mantener la concentración, la reflexión y la curiosidad que requiere elestudio de las MatemáticasMas aún para triunfar en algo, más allá del azar y la fortuna, se necesita la motivación que proporciona laposibilidad de recoger los frutos enseguida. Pero debido a la propia naturaleza de las Matemáticas quehemos ido describiendo, el fruto no es inmediato, sino que se consigue a largo plazo, es como en laAgricultura. Para tener éxito en Matemáticas tenemos que trabajar asiduamente con esfuerzo, sembrando elcampo de la voluntad donde, según Descartes (Reglas para la dirección del espíritu, Regla IV) se planta lasemilla intelectual que tenemos en nuestra mente.Frente al «lo quiero todo, ahora y fácilmente» que plantean los jóvenes, la consecución de logros enMatemáticas requiere tener conciencia de que:

• Frente al «lo quiero todo» sólo tendré lo que puedo alcanzar con mi dedicación y esfuerzo.• Frente al «lo quiero ahora» sólo obtendré el fruto, poco a poco, y a medida de mi capacidad deasimilar con mi esfuerzo.• Frente al «lo quiero fácilmente » hay que saber que no existe más camino que el del trabajo y elesfuerzo personal.12Cuenta una famosa leyenda, relatada por el matemático y filósofo neoplatónico Proclo de Alejandría, unaconversación entre el rey Ptolomeo de Egipto y su asalariado como Profesor de Matemáticas del Museoalejandrino, Euclides:«El rey Ptolomeo preguntó cierto día a Euclides si no había un camino más corto para laGeometría que Los Elementos; obtuvo la siguiente respuesta: "En la Geometría no hay caminopara los reyes".»Como deducimos de esta anécdota real, esfuerzo, más esfuerzo y sólo esfuerzo exige el aprendizaje de lasMatemáticas. No se ha inventado otro camino para adquirir el conocimiento inmediato y la formaciónadecuada.La formación es incluso más importante que el conocimiento. Sabéis que la formación permanece y es laherramienta con la que nos enfrentamos al mundo, no sólo para comprenderlo, sino ante todo paratransformarlo; mientras que el conocimiento puede ser pasajero, es decir, puede que en nuestra vida adultano nos acordemos de tal o cual teorema, pero si en su momento lo asimilamos, sabremos, donde encontrar lafuente para recordarlo, y sobre todo, y lo más importante, gracias al estudio de ese teorema y las cuestionesvinculadas a él, tendremos a nuestra disposición y para siempre una serie de habilidades mentales ydestrezas intelectuales, que las necesitamos para desarrollar con dignidad y calidad otros muchos aspectosde nuestra existencia. Aquí es donde reside la importancia capital de la Educación matemática, en lapreparación y formación integral de la persona, a la que contribuye de forma definitiva.Permitidme, finalmente, recitaros un soneto de versos alejandrinos que compuse en un momento de devociónmística hacia la figura matemática iniciática de Pitágoras:

SONETO A PITÁGORASTu Teorema me enseñó a amar la Geometríay desde ésta aprendí a adorar la Matemáticaquise hacer la existencia menos enigmáticacon Platón pensando entrar en la Filosofía.Pitágoras, ayúdame a alcanzar la armoníaa que la vida sea menos problemáticasiendo el estudio y el amor nuestra pragmáticaconcediéndonos parte de tu sabiduría.Apliquemos en todo tu divina proporciónno sintamos temor hacia lo inconmensurableal transmitir estos valores en la educación.

Tu doctrina nos enseña lo que es demostrableTus números y poliedros engendran percepciónPor eso tu magisterio ha sido perdurable.Muchas gracias a todos por vuestra atención.Pedro Miguel González Urbanejapgonzale@xtec.catI.E.S. Sant Josep de CalassançDepartamento de MatemáticasBarcelona, 12 y 14 de setiembre de 200513Referencias.♦ AMSTER,P: La Matemática como una de las Bellas Artes. SigloXXI Argentina. Buenos Aires, 2004.♦ ANDRADAS,C.: Póngame un Kilo de Matemáticas. Editorial S.M. Madrid, 2000.♦ BALBUENA,L ; GARCÍA JIMÉNEZ,J.E.: El Quijote y las Matemáticas (en el Día Escolar de las Matemáticas).Servicio de Publicaciones de la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM).Badajoz, 2005.♦ BALBUENA,L ; García Jiménez,J.E.: El Quijote y las Matemáticas. Consejería de Educación y Ciencia de la Junta deComunidades de Castlla–La Mancha, 2005.♦ BRACHO,R: El gancho matemático. Port-Royal Ediciones. Granada, 2000.♦ CHARTIER, E.: Charlas sobre Educación y Pedagogía infantil, Editorial Losada, Buenos Aires, 2001.♦ CHARTIER, E (Alain).: Mira a lo lejos. RBA Libros. Barcelona, 2003.♦ DAVIS, P.J.: El sueño de Descartes. Labor. MEC. Madrid, 1989.♦ DESCARTES,R.: Discurso del Método / Reglas para la dirección de la mente. Orbis. Barcelona,1983.♦ DIVERSOS AUTORES: Historia del Pensamiento. Ediciones Orbis, Barcelona, 1983. Vol.1. Cap.1 ; Vol.2. Cap.3♦ EGGERS,C.: El nacimiento de la Matemática en Grecia. Eudeba, B. Aires, 1995. Caps. 1, 2.♦ GÓMEZ,J.: L’altra cara de les Matemàtiques: Biblioteca de l’Ateneu. Ketres Editora. Vilanova i la Geltrú, 2000.♦ GONZÁLEZ URBANEJA, P: Experiencias en el Aula. Comunidad Escolar. nº 197, p.14. Ministerio de Educación yCiencia. Junio 1988.♦ GONZÁLEZ URBANEJA, P: Taller de Matemática recreativa. Cuadernos de Pedagogía, nº 166, Enero 1989, pp.65-66.♦ GONZÁLEZ URBANEJA, P.:2001. La implicació de la matemàtica en l’educació, segons Plató. Bulletí 09/2001ABEAM, pp.13-15, 2001.♦ GONZALEZ URBANEJA, P.M.: La Matemática de la Revolución Francesa (en Seminario Orotava de Historia de laCiencia, Actas, año III, pp.93-132). Las Palmas, 1997.♦ GONZALEZ URBANEJA, P.M.: Las raíces del Cálculo Infinitesimal en el siglo XVII. Alianza Universidad, Madrid,1992. Prefacio.♦ GONZALEZ URBANEJA,P.M.: Los orígenes de la Geometría Analítica. Fundación Canaria Orotava de Historia de laCiencia, Tenerife, 2003. Cap.8.♦ GONZÁLEZ URBANEJA,P.M.: Matemáticas y matemáticos en el mundo griego (en El legado de las Matemáticas: deEuclides a Newton). pp.24-75.Universidad de Sevilla, 2000. Cap.1.♦ GONZALEZ URBANEJA,P.M.: Pitágoras, el filósofo del número. Nivola, Madrid, 2001. Caps.1, 2, 8.♦ GONZALEZ URBANEJA,P.M.: Platón y a Academia de Atenas. Nivola. Madrid. En imprenta. Caps. 3, 6, 7, 9.♦ GONZALEZ URBANEJA, P.M.: Legado y herencia de Pitágoras. Apuntes de CPR, núm.10. pp. 16-21.CPR Palencia.

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Informates.edu Dpto. de Matem¶atica Aplicada, FI-UPM.

0. Temas b¶asicos0.1. Lenguaje matem¶atico y s¶³mbolosLenguaje natural y lenguaje matem¶aticoUna de las razones que di¯cultan el aprendizaje de las matem¶aticas es porque se expresan en un lenguajeespecial, que es un dialecto o jerga del lenguaje natural (en nuestro caso, castellano), en el que no deben caberlas ambigÄuedades ni la posibilidad de interpretaciones diversas.Para entender y aprender las matem¶aticas es necesario conocer su idioma, pues en caso contrario, aunque sedigan cosas muy sencillas, no se entender¶an.Algunos ejemplos que hacen del lenguaje matem¶atico un lenguaje especial son los siguientes:1. En el lenguaje natural no se utiliza el cero como n¶umero.2. En el lenguaje matem¶atico, una recta es el ejemplo m¶as sencillo de curva.3. En el lenguaje natural, sumar es aumentar y restar es disminuir. En el lenguaje matem¶atico, sumar esaumentar o disminuir (si se suma un n¶umero negativo).4. En el lenguaje natural, ser iguales es ser indistinguibles. En el lenguaje matem¶atico, una igualdad es unaequivalencia.

5. Cuando se dice un n¶umero, en el lenguaje natural se re¯ere a uno cualquiera determinado, mientras queen el lenguaje matem¶atico se re¯ere a todos los n¶umeros.6. En el lenguaje matem¶atico una curva simple es una curva que no se corta a s¶³ misma, aunque su formasea extraordinariamente complicada.7. En el lenguaje matem¶atico, la diferencia entre 11 y 6 siempre es 5, mientras que en el lenguaje naturaldepende del publico presente (su tama~no, su n¶umero de cifras, su paridad, etc).Necesidad de s¶³mbolos en el lenguaje matem¶aticoLas matem¶aticas siempre se ligan a la existencia de s¶³mbolos raros que, parad¶ojicamente, son necesarios paraexpresarlas de forma concisa y sencilla. Como muestra, dos ejemplos de la forma en que simpli¯can los s¶³mbolos:² Euclides (300 a.C.): Si un segmento rectil¶³neo se corta por un punto arbitrario, el cuadrado del total esigual a los cuadrados de cada uno de los segmentos y el doble del rect¶angulo cuyos lados son los segmentos.Con s¶³mbolos: (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab.² Arqu¶³medes (225 a.C.): El ¶area de un c¶³rculo es igual a la del tri¶angulo cuya base es el per¶³metro de sucircunferencia y la altura es igual al radio.Con s¶³mbolos: A = ¼r2.

SIMBOLOS MATEMATICOS

Símbolo Nombre se lee como Categoría

=

igualdad igual a todos

x = y significa: x y y son nombres diferentes que hacen referencia a un mismo objeto o ente.

1 + 2 = 6 − 3

≔≡

:⇔definición se define como todos

x := y o x ≡ y significa: x se define como otro nombre para y (notar, sin embargo, que ≡ puede también significar otras cosas, como congruencia)P :⇔ Q significa: P se define como lógicamente equivalente a Q

cosh x := (1/2)(exp x + exp (−x)); A XOR B :⇔ (A B) ¬(A B)

Aritmética

Símbolo Nombre se lee como Categoría

adición más aritmética

+4 + 6 = 10 significa que si a cuatro se le agrega 6, la suma, o resultado, es 10.

43 + 65 = 108; 2 + 7 = 9

−

substracción menos aritmética

9 − 4 = 5 significa que si 4 es restado de 9, el resultado será 5. El símbolo 'menos' también se utiliza para denotar que un número es negativo. Por ejemplo, 5 + (−3) = 2 significa que si 'cinco' y 'menos tres' son sumados, el resultado es 'dos'.

87 − 36 = 51

×·*

multiplicación por aritmética

7 x 6 = 42 significa que si se cuenta siete veces seis, el resultado será 42.

4 x 6 = 24 ó 4 * 6 = 24 ó 4 · 6 = 24

÷/:

división entre aritmética

significa que si se hace seis pedazos uniformes de cuarenta y dos, cada pedazo será de tamaño siete.

24 / 6 = 4

∑ sumatoria suma sobre ... desde ... hasta ... de aritmética

∑k=1n ak significa: a1 + a2 + ... + an

∑k=14 k² = 1² + 2² + 3² + 4² = 1 + 4 + 9 + 16 = 30

∏

producto producto sobre... desde ... hasta ... de aritmética

∏k=1n ak significa: a1a2···an

∏k=14 (k + 2) = (1 + 2)(2 + 2)(3 + 2)(4 + 2) = 3 × 4 × 5 × 6 = 360

Lógica proposicional

Símbolo Nombre se lee como Categoría⇒→

implicación material o en un solo sentido

implica; si .. entonces; por lo tanto

lógica proposicional

A ⇒ B significa: si A es verdadero entonces B es verdadero también; si B es

verdadero entonces nada se dice sobre A.→ puede significar lo mismo que ⇒, o puede ser usado para denotar funciones, como se indica más abajo.

x = 2 ⇒  x² = 4 es verdadera, pero 4 = x² ⇒  x = 2 es, en general, falso (ya que x podría ser −2)

/ tal que ejemplo x/y se lee x tal que y⇔↔

doble implicación si y sólo si; sii[1] lógica proposicional

A ⇔ B significa: A es verdadera si B es verdadera y A es falsa si B es falsa.

x + 5 = y + 2 ⇔  x + 3 = y

∧conjunción lógica o intersección en una reja

ylógica proposicional, teoría de rejas

la proposición A ∧ B es verdadera si A y B son ambas verdaderas; de otra manera es falsa.todo es verdadero de los valores

n < 4 ∧  n > 2 ⇔  n = 3 cuando n es un número natural

∨disyunción lógica o unión en una reja

ológica proposicional, teoría de rejas

la proposición A ∨ B es verdadera si A o B (o ambas) son verdaderas; si ambas son falsas, la proposición es falsa.

n ≥ 4 ∨  n ≤ 2 ⇔ n ≠ 3 cuando n es un número natural

¬/

negación lógica no lógica proposicional

la proposición ¬A es verdadera si y sólo si A es falsa.una barra colocada sobre otro operador es equivalente a un ¬ colocado a la izquierda.

¬(A ∧ B) ⇔ (¬A) ∨ (¬B); x ∉ S ⇔  ¬(x ∈ S)

Lógica de predicados

Símbolo Nombre se lee como Categoría∀ cuantificación universalpara todos; para cualquier; para cada

lógica de predicados

∀ x : P(x) significa: P(x) es verdadera para cualquier x

∀ n ∈ N: n² ≥ n

∃ cuantificación existencial existe por lo menos un/oslógica de predicados

∃ x : P(x) significa: existe por lo menos un x tal que P(x) es verdadera.

∃ n ∈ N: n + 5 = 2n

∃!

cuantificación existencial con marca de unicidad

existe un/os único/slógica de predicados

∃!  x : P(x) significa: existe un único x tal que P(x) es verdadera.

∃!  n ∈ N: n + 1 = 2

:

reluz tal quelógica de predicados

∃ x : P(x) significa: existe por lo menos un x tal que P(x) es verdadera.

∃ n ∈ N: n + 5 = 2n

Teoría de conjuntos

Símbolo Nombre se lee como Categoría

{ , }

delimitadores de conjunto el conjunto de ...teoría de conjuntos

{a,b,c} significa: el conjunto consistente de a, b, y c

N = {0,1,2,...}

{ : }{ | }

notación constructora de conjuntos

el conjunto de los elementos ... tales que ...

teoría de conjuntos

{x : P(x)} significa: el conjunto de todos los x para los cuales P(x) es verdadera. {x | P(x)} es lo mismo que {x : P(x)}.

{n ∈ N : n² < 20} = {0,1,2,3,4}

∅{}

conjunto vacío conjunto vacío teoría de conjuntos

{} significa: el conjunto que no tiene elementos; ∅ es la misma cosa.

{n ∈ N : 1 < n² < 4} = {}

∈∉pertenencia de conjuntos

en; está en; es elemento de; es miembro de; pertenece a

teoría de conjuntos

a ∈ S significa: a es elemento del conjunto S; a ∉ S significa: a no es elemento del conjunto S

(1/2)−1 ∈ N; 2−1 ∉ N

⊆⊂subconjunto es subconjunto de

teoría de conjuntos

A ⊆ B significa: cada elemento de A es también elemento de BA ⊂ B significa: A ⊆ B pero A ≠ B

A ∩ B ⊆ A; Q ⊂ R

∪ unión conjunto-teorética la unión de ... y ...; uniónteoría de conjuntos

A ∪ B significa: el conjunto que contiene todos los elementos de A y también todos aquellos de B, pero ningún otro.

A ⊆ B ⇔  A ∪ B = B

∩

intersección conjunto-teorética

la intersección de ... y ...; intersecciónteoría de conjuntos

A ∩ B significa: el conjunto que contiene todos aquellos elementos que A y B tienen en común.

{x ∈ R : x² = 1} ∩ N = {1}

\

complemento conjunto-teorético

menos; sinteoría de conjuntos

A \ B significa: el conjunto que contiene todos aquellos elementos de A que no se encuentran en B

{1,2,3,4} \ {3,4,5,6} = {1,2}

Funciones

Símbolo Nombre se lee como Categoría

( )[ ]{ }

aplicación de función; agrupamiento de funciones

para aplicación de función: f(x) significa: el valor de la función f sobre el elemento xpara agrupamiento: realizar primero las operaciones dentro del paréntesis.

Si f(x) := x², entonces f(3) = 3² = 9; (8/4)/2 = 2/2 = 1, pero 8/(4/2) = 8/2 = 4

f:X→Y

mapeo funcional de ... a funciones

f: X → Y significa: la función f mapea el conjunto X al conjunto Y

Considérese la función f: Z → N definida por f(x) = x²

Números

Símbolo Nombre se lee como Categoría

N

números naturales N números

N significa: {0,1,2,3,...}, pero véase el artículo números naturales para una convención diferente.

{|a| : a ∈ Z} = N

Z

números enteros Z números

Z significa: {...,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,...}

{a : |a| ∈ N} = Z

Q

números racionales Q números

Q significa: {p/q : p, q ∈ Z, q ≠ 0}

3.14 ∈ Q; π ∉ Q

R números reales R números

R significa: {limn→∞ an : ∀ n ∈ N: an ∈ Q, el límite existe}

π ∈ R; √(−1) ∉ R

C números complejos C números

C significa: {a + bi : a, b ∈ R}

i = √(−1) ∈ C

√

raíz cuadradala raíz cuadrada de; la principal raíz cuadrada de

números reales

√x significa: el número positivo cuyo cuadrado es x

√(x²) = |x|

∞

infinito infinito números

∞ es un elemento de la línea extendida de números reales mayor que todos los números reales; ocurre frecuentemente en límites

limx→0 1/|x| = ∞

| |

valor absoluto valor absoluto de números

|x| significa: la distancia en la línea real (o en el plano complejo) entre x y zero

|a + bi | = √(a² + b²)

Órdenes parciales

Símbolo Nombre se lee como Categoría

≤≥

comparación es menor o igual a, es mayor o igual a órdenes parciales

x ≤ y significa: x es menor o igual a y; x ≥ y significa: x es mayor o igual a y

x ≥ 1 ⇒  x² ≥ x

Geometría euclídea

Símbolo Nombre se lee como Categoría

π

pi pi Geometría euclideana

π significa: la razón de la circunferencia a su diámetro.

A = πr² es el área de un círculo con radio r

Combinatoria

Símbolo Nombre se lee como Categoría

!

factorial factorial combinatoria

n! es el producto 1×2×...×n

4! = 24

Análisis funcional

Símbolo Nombrese lee como

Categoría

normanorma de; longitud de

análisis funcional

xes la norma del elemento x de un espacio vectorial normado

x+y ≤ x + y

Cálculo

Símbolo Nombre se lee como Categoría

∫

integración integral desde ... hasta ... de ... con respecto a ... cálculo

∫ab f(x) dx significa: el área, con signo, entre el eje-x y la gráfica de la función f entre

x = a y x = b

∫0b x² dx = b³/3; ∫x² dx = x³/3

f ' derivación derivada de f; f prima cálculo

f '(x) es la derivada de la función f en el punto x, esto es, la pendiente de la tangente en ese lugar.

Si f(x) = x², entonces f '(x) = 2x y f ' '(x) = 2∇ gradiente del, nabla, gradiente de cálculo

∇f (x1, …, xn) es el vector de derivadas parciales (df / dx1, …, df / dxn)

Si f (x, y, z) = 3xy + z² entonces ∇f = (3y, 3x, 2z)

∂

derivación parcial derivada parcial de cálculo

Con f (x1, …, xn), ∂f/∂xi es la derivada de f con respecto a xi, con todas las otras variables mantenidas constantes.

Si f(x, y) = x²y, entonces ∂f/∂x = 2xy

Ortogonalidad

Símbolo Nombre se lee como Categoría

⊥ perpendicular es perpendicular a ortogonalidad

x ⊥ y significa: x es perpendicular a y; o, más generalmente, x es ortogonal a y.

Álgebra matricial

Símbolo Nombre se lee como Categoría

⊥perpendicular traspuesta matrices y vectores

(a,b) con ⊥ al lado o a modo de potencia significa que el vector se debe colocar no de izquierda a derecha, sino de arriba a abajo. En numerosos trabajos de investigación se utiliza esta sintaxis al no poder representar en un documento vectores verticales.

Teoría de rejas

Símbolo Nombre se lee como Categoría

⊥ fondo el elemento fondo teoría de rejas

x = ⊥ significa: x es el elemento más pequeño.

Véase también

Wikipedia: Cómo se edita una página contiene información acerca de cómo producir símbolos matemáticos en otros artículos.

Referencias

1. ↑ sii es usado por los matemáticos como jerga ocasional, no está reconocido como un término estándar, por lo que tampoco suele aparecer en textos formales.

"Este artículo utiliza símbolos matemáticos"

Enlaces externos

Jeff Miller: Earliest Uses de Various Mathematical Symbols, http://members.aol.com/jeff570/mathsym.html

TCAEP - Institute of Physics, http://www.tcaep.co.uk/science/symbols/maths.htm

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:S%C3%ADmbolos_matem%C3%A1ticos"

La Matemática y el Lenguaje

¿Qué lugar se le da, en la enseñanza de la Matemática, a la lectura comprensiva?.

Es sabido que los niños comienzan a conocer los números por medio del recitado, luego el

conteo y, poco a poco descubren regularidades que les permitirán apropiarse del sistema de

numeración. Sistema de numeración que es posicional y hermético desde su escritura.

¿Y desde su lectura?. Cuando escribimos 435, lo leemos cuatrocientos treinta y cinco. La

lectura no es posicional. Si lo fuera deberíamos leer cuatro, tres, cinco. Pero, no le leemos

así.

La enunciación de un número implica la descomposición aditiva, multiplicativa o ambas al

mismo tiempo. La numeración hablada supone siempre una operación aritmética.

En algunos casos se emplea la adición Por ejemplo 1.008. “mil ocho” . 1.000 + 8 y,a veces se

emplea una multiplicación. 6.000, “seis mil” . es 6 x 1.000 O bien ambas: 4.800 , “cuatro mil

ochocientos” es 4 x 1.000 + 8 x 100

Como se puede observar la información que da el número 2.458 es hermética y no

proporciona las potencias de la base, éstas quedan a cargo del lector.

Por otra parte la conjunción “Y”, que representa lingüísticamente la adición, solo aparece

cuando se trata de reunir decenas y unidades, y no entre centenas y unidades. Por ejemplo:

se lee treinta y cinco, pero no trescientos y cinco. Además los números 11, 12, 13, 14 , 15 ,

se leen once, doce, trece, catorce y quince No haciendo mención a la formación de los

mismos. Esto hace que muchos niños los lean como “diez y uno”, “diez y dos”, etc.

Empleando prefijos.

Si hacemos referencia a kilómetro. Kilolitro, kilogramo., notamos que todos comienzan con el

prefijo kilo. KILO: significa mil. Lo cual nos indica que 1 kilómetro nos está indicando 1.000

metros, la equivalencia entre ambas unidades km y m está indicada. 1 kilolitro = 1.000 litros

y kilogramo = 1.000 gramos

Similar situación se da con el prefijo hecto que significa 100. Hectómetro serán 100 metros; 1

hectolitro serán 100 litros y hectogramo serán 100 gramos.

El prefijo deca significa 10. decámetro serán 10 metros; 1 decalitro serán 10 litros y

decagramo serán 10 gramos.

Decí significa la décima parte de. Por lo tanto. Decímetro la décima parte del metro. Centi

significa la centésima parte de. Por lo tanto. centímetro la centésima parte del metro. Mili

significa la milésima parte de. Por lo tanto. milímetro la milésima parte del metro. Lo mismo

sucede con las unidades restantes en las otras magnitudes.

Incursionemos por la geometría.

Las dificultades que encuentran los alumnos provienen de:

No definir los términos o los conceptos. Definirlos incorrectamente. Confundir concepto con

propiedad

Veamos algunos.

La palabra triángulo quiere decir tri-tres, ángulos. Tres ángulos y no tres lados. Es cierto que

toda figura triángular será trilátera. Pero, también es cierto que no es conveniente que los

niños fijen el término triángulo solo haciendo referencia a los lados y no a los ángulos.

¿Por qué no se usa la palabra trilátero y si cuadrilátero?. El cuadrilátero tiene cuatro lados,

pero también tiene cuatro ángulos, es decir es cuadrángulo.

¿Y pentágono?. (penta – cinco, gono – ángulo) cinco ángulos. Hexágono (hexa- seis; gono –

ángulo) seis ángulos Heptágono, octógono, etc Hacen mención a la cantidad de ángulos.

Si queremos hacer mención a la cantidad de lados. Pentalátero, hexalátero, heptalatero, etc.

Es conveniente que los niños conozcan el significado de los términos que se emplean en

Matemática, esto ayudará a la comprensión del concepto,

¿Se puso a pensar que significan los términos: equilátero, isósceles, escaleno?. Equilátero:

equi-igual . látero- lados. Iguales lados. ¿Qué figuras equiláteras conoce?.

Isósceles: Proviene del griego isóskeles, (isos – iguales skélos – piernas) significa piernas

iguales. Una persona parada presenta sus piernas del mismo tamaño.

Escaleno Proviene del griego skalenós. Piernas desiguales. Aplicado a los triángulos significa

medida de lados desiguales.

Diagonal. Para muchos alumnos la diagonal es un segmento que está “torcido” o “inclinado”,

esto hace que no reconozcan las diagonales de una figura , cuándo visualmente no se

presentan de esa forma. Diagonal: es el segmento determinado pro dos vértices no

consecutivos.

Ángulos

Ángulos consecutivos: comúnmente se dice que dos ángulos son consecutivos cuando tienen

un lado y el vértice en común. ¿Pueden los ángulos tener el lado y no el vértice en común?.

Lo correcto es : dos ángulos son consecutivos cuando tienen un lado en común y ningún otro

punto común. De esta manera se evita la posibilidad de considerar que un ángulo este

incluido en el otro.

Los ángulos adyacentes también son consecutivos, pero con otra característica particular.

Dos ángulos son adyacentes cuando tienen un lado en común y los otros dos lados son

semirrectas opuestas. Presentan la propiedad de ser suplementarios.

También es importante distinguir la relación entre ángulos: o por su posición y o por la

relación entre sus amplitudes.

Por la posición de uno con respecto a otro: ángulos adyacentes, consecutivos, opuestos por

el vértice, correspondientes, conjugados, alternos.

Por la relación entre sus amplitudes: complementarios, suplementarios.

Los ángulos complementarios son aquellos cuya unión equivale a un ángulo recto. O bien,

haciendo referencia a sus amplitudes. Los ángulos complementarios son aquellos cuya suma

de sus amplitudes equivale a 90º . ¿Pueden tres ángulos ser complementarios?. Si, por

ejemplo si sus amplitudes son de; 30º ; 20º y 40º.

Los ángulos suplementarios son aquellos cuya unión equivale a un ángulo llano. O bien,

haciendo referencia a sus amplitudes. Los ángulos suplementarios son aquellos cuya suma

de sus amplitudes equivale a 180º . ¿Pueden tres ángulos ser complementarios?. Si, por

ejemplo si sus amplitudes son de; 30º ; 80º y 70º. Es decir, por ejemplo, los ángulos de un

triángulo.

Los símbolos

Otro de los lenguajes que emplea la Matemática es el lenguaje simbólico.

El uso del signo = El signo = , usado por primera vez en 1557, por Robert Recorde. Antes se

emplea la abreviatura ae, sílaba inicial de la palabra aequális, que significa “ igual” . Este

signo no es sinónimo de resultado, representa la equivalencia entre dos expresiones. Por

ejemplo: 7 = 4 + 3 , 7 = 1 + 6, 2 + 5 = 7 Implica la lectura tanto de izquierda a derecha

como de derecha a izquierda. No siempre el resultado de un problema está a la derecha del

signo igual. Ejemplo: Juan tiene 8 caramelos, le regalan algunos caramelos. Ahora tiene 12

caramelos. ¿Cuántos caramelos tiene ahora?.

Los niños de primer grado/ año de la EGB, lo resuelven por conteo. 8 que tengo . 9,10,11,12,

y luego simbolizan: 8 + 4 = 12 , el 4 NO está a la derecha del igual, los niños lo identifican

como el resultado del problema.

¿Qué errores son los observado comúnmente?.

1. Separador de cualquier cosa. Frente al siguiente problema: Juan tiene 18 figuritas y

Fernando tiene 6 figuritas. Deciden juntarlas y repartirlas en partes iguales entre tres

amigos. ¿Cuántas figuritas recibe cada uno?.

Se observa en muchas carpetas de los alumnos: 18 + 6 = 24 : 3 = 8 Con lo cual se está

indicando que 18 + 6 = 8. Cosa que no es cierta. El problema está bien resuelto, la

simbolización no.

Se debió hacer de esta forma: 18 + 6 = 24 24 : 3 = 8 , cada uno recibe 8 figuritas.

2. Sinónimo de resultado. La necesidad de encontrar un resultado “ único”, lleva a los

alumnos a hacer 3 a + 8 = 11 a

Es interesante observar que, por un lado los alumnos “saben” que no se puede sumar una

expresión con letras o con otra solo numérica. Pero lo hacen igual. ¿Por qué?. Por la

necesidad de encontrar un resultado. Han fijado que siempre se debe encontrar un resultado

único. Luego suman.

3. El cálculo del dcm y el mcm de dos o más números.

Primero debe entenderse que el m.c.m y el d.c.m. son operaciones matemáticas.

El m.c.m. es el múltiplo común menor de varios números. Aquí se observa que la

simbolización empleada es la siguiente m.c.m.= 30 Esta forma de escribirlo es lo mismo que

indicar + = 8 , ¿cuáles son los números que sumados dan 8?. Esto lleva a que, nuestro

alumnos, no tomen conciencia de la operación que están realzando y procedan de forma

mecánica.

Lo correcto Indicar entre se realiza la operación. m.c.m. (10 , 15) = 30 d.c.m (10 , 15 ) = 5

Para más información. Palacios, A.Alvarez;A. Argeram,O. Biografía de las palabras. Ed.

Magisterio del Río de la Plata 1.995 Bs.As.

Ressia de Moreno. B, Novembre; A,Becerril, M. La Matemática escolar . Capítulo 1. Ed- Aique.

2.007 Bs.As.

Copyright © Patricia Gabrielli 2010-2011, todos los derechos reservados ver página del autor

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IMPORTANTE PARA CONCIDERAREL LENGUAJE MATEMÁTICO EN LOS TEXTOS ESCOLARES(Primer ciclo de EGB)'CARLOS ROSALES LÓPEZQuizás una de las técnicas más interesantes para el estudio de los textos escolaresen la actualidad lo es la denominada «técnica de zoom», en virtud de la cualse realiza en principio una aproximación global al conocimiento de las característicasde los textos, y en un segundo momento, profundizamos intensamente en elestudio de alguna de sus caraterísticas específicas, pudiendo volver nuevamente ala percepción global del mismo a fin de no perder contacto con su realidad total.Desde hace algún tiempo pretendo poner en marcha un sistema de análisis yvaloración didáctica de textos escolares tomando como punto de partida un esquemageneral constituido por seis grandes categorías y dieciocho subcategoríaseminentemente susceptibles de desarrollo. Dichas categorías son:L Motivación.2. Activación del aprendizaje.3. Contenidos.4. Lenguaje verbal.5. Lenguaje icónico.6. Características formales.La aplicación de dicho esquema al análisis de textos del área de matemáticasen el ciclo inicial puso de relieve la necesidad de tratar de forma no diferenciadalas categorías de lenguaje verbal y lenguaje icónico bajo una más amplia que sepodría denominar lenguaje matemático. Con ello el proyecto inicial se reduciría acinco categorías, pero, al mismo tiempo, cada una de éstas vendría a desarrollarseen un número considerablemente mayor de subcategorías que el que se conteníaen el primer esquema general. Resumidamente, hemos llegado a identificar los siguientescomponentes significativos dentro de la categoría de expresión matemática:L Adaptación al proceso de adquisición del lenguaje matemático.2. Características del lenguaje matemático verbal.3. Características del lenguaje gráfico.' Este artículo se ha extraído de una obra más amplia de C. ROSALES: «Orientaciones para elanálisis y evaluación de textos escolares», no publicada.

154 CARLOS ROSALES LÓPEZ1. ADAPTACIÓN AL PROCESO DE ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE MATEMÁTICOPOR EL NIÑODe acuerdo con G. Mialaret^ las etapas por las que pasa el niño en el procesode adquisición del lenguaje matemático son las siguientes:1. La acción.2. Asociación de la palabra con la acción.3. G>nducta del relato.4. Abstracción matemática.5. Lenguaje gráfico.6. Lenguaje simbólico.Muy resumidamente, este proceso viene a significar lo siguiente. El primerlenguaje del niño es la actividad que éste desarrolla, con objetos del medio o con

materiales especialmente diseñados para estimular el aprendizaje intuitivo de diversascuestiones lógicas y matemáticas. El segundo lenguaje o fase estaría constituidopor una actividad en la que el niño combina la manipulación de objetos conla expresión verbal mediante la cual explica lo que está haciendo. La tercera fase,del relato, tiene lugar cuando el niño, sin realizar ninguna actividad, en ausenciade los objetos, es capaz de explicar verbalmente lo que ha hecho en otro momento.La cuarta fase, de abstracción matemática, se produce cuando el niño es capazde explicar verbalmente no ya una determinada operación con referencia específicaa elementos concretos de la realidad, sino cuando es capaz de referirse a unarealidad general, esquematizada como resultado de la captación de elementos comunesa diversas circunstancias específicas. La quinta etapa, de lenguaje gráfico,se produce cuando el alumno utiliza en sus explicaciones y operaciones matemáticasno ya la palabra sino la representación gráfica. A esta fase del lenguaje matemáticoel alumno podría acceder mediante una doble vía: o bien como continuacióndel proceso anterior, o bien directamente desde la realidad de los objetos ylas acciones, a su representación gráfica, sin el paso intermedio de la palabra. Laúltima etapa en la adquisición del lenguaje matemático por el niño implica el accesode éste al conocimiento y utilización de los signos matemáticos específicoscomo son los correspondientes a la numeración, a las operaciones básicas del cálculo,a las operaciones con conjuntos, etc. Para acceder a esta última etapa dellenguaje matemático se puede seguir la misma doble vía que en el caso anterior.Al tratar de evaluar los textos de matemáticas según este apartado, debemosen primer lugar delimitar cual es para nosotros el proceso más adecuado de desarrollodel lenguaje matemático. En este sentido parece necesario hacer una aclaración.En principio, en el proceso de desarrollo del lenguaje subyacen cuatro tiposbien delimitados: lenguaje de la acción, lenguaje de la palabra, lenguaje gráficoy lenguaje simbólico. El niño debe tomar contacto con ellos desde el primermomento de aprendizaje de las matemáticas pero se debe insistir predominante-^ G. MiALARET: Las matemáticas: cómo se enseñan, cómo se aprenden. Pablo del Río. Madrid,1977, págs. 26-30.

154 CARLOS ROSALES LÓPEZ1. ADAPTACIÓN AL PROCESO DE ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE MATEMÁTICOPOR EL NIÑODe acuerdo con G. Mialaret^ las etapas por las que pasa el niño en el procesode adquisición del lenguaje matemático son las siguientes:1. La acción.2. Asociación de la palabra con la acción.3. G>nducta del relato.4. Abstracción matemática.5. Lenguaje gráfico.6. Lenguaje simbólico.Muy resumidamente, este proceso viene a significar lo siguiente. El primerlenguaje del niño es la actividad que éste desarrolla, con objetos del medio o conmateriales especialmente diseñados para estimular el aprendizaje intuitivo de diversascuestiones lógicas y matemáticas. El segundo lenguaje o fase estaría constituidopor una actividad en la que el niño combina la manipulación de objetos conla expresión verbal mediante la cual explica lo que está haciendo. La tercera fase,del relato, tiene lugar cuando el niño, sin realizar ninguna actividad, en ausenciade los objetos, es capaz de explicar verbalmente lo que ha hecho en otro momento.La cuarta fase, de abstracción matemática, se produce cuando el niño es capazde explicar verbalmente no ya una determinada operación con referencia específicaa elementos concretos de la realidad, sino cuando es capaz de referirse a unarealidad general, esquematizada como resultado de la captación de elementos comunesa diversas circunstancias específicas. La quinta etapa, de lenguaje gráfico,se produce cuando el alumno utiliza en sus explicaciones y operaciones matemáticas

no ya la palabra sino la representación gráfica. A esta fase del lenguaje matemáticoel alumno podría acceder mediante una doble vía: o bien como continuacióndel proceso anterior, o bien directamente desde la realidad de los objetos ylas acciones, a su representación gráfica, sin el paso intermedio de la palabra. Laúltima etapa en la adquisición del lenguaje matemático por el niño implica el accesode éste al conocimiento y utilización de los signos matemáticos específicoscomo son los correspondientes a la numeración, a las operaciones básicas del cálculo,a las operaciones con conjuntos, etc. Para acceder a esta última etapa dellenguaje matemático se puede seguir la misma doble vía que en el caso anterior.Al tratar de evaluar los textos de matemáticas según este apartado, debemosen primer lugar delimitar cual es para nosotros el proceso más adecuado de desarrollodel lenguaje matemático. En este sentido parece necesario hacer una aclaración.En principio, en el proceso de desarrollo del lenguaje subyacen cuatro tiposbien delimitados: lenguaje de la acción, lenguaje de la palabra, lenguaje gráficoy lenguaje simbólico. El niño debe tomar contacto con ellos desde el primermomento de aprendizaje de las matemáticas pero se debe insistir predominante-^ G. MiALARET: Las matemáticas: cómo se enseñan, cómo se aprenden. Pablo del Río. Madrid,1977, págs. 26-30.

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mente en principio en el lenguaje de la acción, después en el de la palabra, en tercerlugar en el gráfico-icónico y en último lugar en el simbólico. Si revisamos librosantiguos para la enseñanza de las matemáticas vemos que no se hace apenasreferencia al lenguaje de la acción ni al de la imagen. Predominan ampliamentelos lenguajes verbal y simbólico que el niño ha de aprender desde el principio ycon unas características poco adaptadas a su capacidad de comprensión, por loque con frecuencia se provoca un aprendizaje nominal, superficial.En el nivel correspondiente al ciclo inicial predominan fundamentalmente loslenguajes de tipo activo, verbal, gráfico y menos el simbólico. El análisis de textosde este nivel nos revela una utilización predominante de los lenguajes gráficos yverbal, y en menor medida, de los lenguajes activo y simbólico. La misma naturalezadel texto pone límites al lenguaje de la acción, aunque hay excepciones. Algunostextos recientes vienen acompañados de materiales especialmente diseñadospara manipular. Sin embargo, la característica más frecuente es que la actividad seestimule no ya sobre objetos sino sobre la imagen. Esta ha pasado a ocupar un lugarfundamental en el texto, al punto de que la palabra pasa a ser como un elementocomplementario de la imagen.El lenguaje simbólico, que en este primer ciclo se limita a los signos representativosde la numeración, de las operaciones con conjuntos y de las operacionesbásicas de cálculo, es, en realidad muy limitado y su adquisición debe venir facilitadapor los otros tipos de lenguaje matemático.2. CARACTERÍSTICAS DEL LENGUAJE MATEMÁTICO VERBAL

Dentro de la dimensión verbal del lenguaje matemático de los libros de textoes necesario referirse a tres importantes aspectos relativos al vocabulario, a la expresióny a las implicaciones psicopedagógicas.En principio, existe una cierta similitud entre la adquisición del lenguaje matemáticoy la del lenguaje verbal en términos generales. El niño comienza porcomprender multitud de términos que no siempre utiliza. Por ejemplo, comprendeel significado de verbos como juntar, alargar, tomar, sacar, comparar. Comprendetambién el significado de nombres como montón, fila, hilera, trozo, docena,ciento, etc.Resulta necesario que los textos de matemáticas tomen como vocabulario departida estas expresiones que de forma natural el niño conoce antes de iniciar laescolaridad básica. Ahora bien, será necesaria una larga serie de ejercicios de perfeccionamientoy precisión matemática de dichas expresiones naturales y es necesariauna estimulación progresiva para que el niño vaya poniendo en práctica lo

que hasta entonces sólo comprende. Según investigaciones de Vandevalde, elniño no llega a conocer plenamente el significado de expresiones como «másque», «menos que», «dos veces más que» y «dos veces menos que» hasta un nivelcorrespondiente a un sexto curso de escolaridad.

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Según Mialaret en el proceso de adquisición del vocabulario matemático esnecesario realizar ejercicios de:— Presentación de la palabra asociándola con el significado correspondiente.— Ejercicios que permitan establecer vínculos entre la palabra y su significadoy al revés, entre las propiedades matemáticas y las palabras con que se expresan.— Ejercicios para la consolidación y recuerdo de la palabra.Así pues, los textos de matemáticas para el nivel inicial deberían partir del vocabulariomatemático natural e ir presentando ejercicios como los indicados queestimularan un uso progresivamente preciso y que evitaran ciertos errores y confusionesfáciles en los primeros cursos en el uso de las palabras nuevas. Estas deberánaparecer muy dosificadas, arropando siempre a los nuevos términos, otrosya conocidos suficientemente por los alumnos.Dentro de la utilización del lenguaje verbal por el niño de primer ciclo es necesariodistinguir entre el uso que hace del vocabulario, propiamente dicho y eluso que se hace de las expresiones o frases. Parece necesario insistir además, encuanto al vocabulario en los aspectos comunes pero no siempre respetados de suprecisión (términos usados sin posibilidad de confusiones o ambigüedades), sufamiliaridad, es decir, que pertenezcan en su mayor parte al dominio del alumno,su graduación, es decir, que se introduzcan pocos términos nuevos por unidad deaprendizaje y fundamentalmente, su consolidación, a través de la aparición delmismo término varias veces más, de forma espaciada a través de las siguientes unidadesdel texto.En cuanto a la utilización de la frase como unidad significativa en la que se integrala palabra, es necesario que responda por una parte a las exigencias de precisión,exactitud expresiva y brevedad para facilitar la comprensión del contenido.Pero al mismo tiempo es necesario que presente unas características de flexibilidady tono conversacional y ameno, sentido estético adaptado a las formasnormales de expresión del niño y de las personas que lo rodean.El análisis de textos del ciclo inicial revela a este respecto la casi nula utilizaciónde la frase en sentido conversacional y estético. Las expresiones que se utilizancon más frecuencia se componen de una sola o pocas palabras y tienen un caráctereminentemente indicativo, imperativo. Por ejemplo, aparecen muchas vecesexpresiones como «suma», «resta», «calcula», «rodea en los conjuntos», etc.Muy pocas veces aparece la interrogación y la impresión general resultante es quela palabra se utiliza como simple complemento de la imagen y de los números.Las expresiones más amplias aparecen en los enunciados de los problemas pero,como ya se ha indicado en el estudio de contenidos, los problemas constituyenuna mínima parte de las unidades de los textos de matemáticas. El lenguaje verbalse constituye en un reflejo fehaciente de las características del texto de matemáticaspara este nivel. Falta contextualización (que se podría lograr en parte a travésdel lenguaje verbal), falta contacto directo con el alumno (también verificable a

EL LENGUAJE MATEMÁTICO EN LOS TEXTOS ESCOLARES 157través del diálogo, aunque sea escrito) y abunda la automatización de operacionesque por su carácter reticente, repetitivo, no necesitan de mucha explicación. Hayque hacer honor al creciente protagonismo del lenguaje gráfico que viene a ocuparlo que en los antiguos textos era exposición verbal deductiva, pero ello no justificatotalmente la carencia de una expresión verbal más fluida, dialogante y estéticaque podría ser vehículo de estímulos motivadores y de referencias contextualizadoras

para las operaciones matemáticas.2.1. Implicaciones psicopedagógicas del lenguaje verbal. Además de los aspectoslingüísticos a que nos hemos referido (vocabulario y expresión) es necesariotomar en consideración los posibles efectos psicopedagógicos positivos o negativosque para el aprendizaje pueda representar el lenguaje verbal. Uno de los elementosa considerar primeramente lo es el grado de concrección-abstracción delos enunciados de las actividades y problemas. Así, G. Mialaret pone como ejemploa este respecto una experiencia en la que el mismo tipo de problemas se propusoa un grupo de alumnos formulados en tres niveles verbales: abstracto, intermedioy concreto. La forma más concreta era^:— «Pedro dice a Pablo»: tengo 63 francos más que tú. Si reunimos nuestrodinero, tendremos en conjunto 379 francos. ¿Qué cantidad tiene Pedro y quécantidad tiene Pablo?La forma intermedia era:— «Calcular dos números sabiendo que sumados dan 250 y que si se resta elmenor del mayor se obtiene 160».La forma abstracta era:— «Calcular dos números conociendo su suma y su resta».Estos problemas, propuestos a niños de tercero y cuarto cursos dieron lugar aunos porcentajes de realización de 64,54 % en el primer caso, de 53,17 en el segundoy de 18,33 % en el tercero. Aun cuando esta experiencia se realizó conniños de edad correspondiente al segundo ciclo, no cabe duda que resulta posibletrasladar lo fundamental de los resultados a niños de primer ciclo también.Otro factor que resulta necesario considerar en este apartado es el que podríamosdenominar «respeto a las secuencias psicológicas a través de las secuenciaslingüísticas correspondientes». Así por ejemplo, y según el mismo autor, si nosotrosdecimos a un niño que reste ocho de treinta y seis, probablemente, hasta los8 ó 9 años este niño tenderá a seguir la misma frecuencia impuesta por la expresiónverbal y tratará de realizar 8-36 en lugar de 36-8. En general, hasta los ochoaños, en que el niño accede al dominio de la capacidad de reversibilidad, presentatendencia a verse dominado por la secuencia lingüística, le cuesta desvincular deésta la secuencia psicológica. Esto se pone de manifiesto en ejemplos como el siguiente'':— «En un tonel había 17 litros de vino. No quedan más que cuatro. ¿Cuántosse han sacado?».' G. MIALARET: Oh. cit., pág. 68.

" G. MIALARET: Ob. cit., pág. 36.

CARLOS ROSALES LÓPEZLa primera tendencia del niño en este caso es la de realizar una operación siguiendoel orden indicado por la expresión lingüística, con lo que pondría 17-4= 13. Para resolver mentalmente bien el problema ha de ser capaz de «pensar» enla estructura matemática, diferenciarla de la lingüística rechazando la primerasanción de ésta y entonces llegará a «diseñar» la operación correcta, 17 - =4.Algo parecido ocurre con los problemas de compras y ventas, beneficios, devoluciónde dinero, etc.3. CARACTERÍSTICAS DEL LENGUAJE GRÁFICODentro de este apartado parece necesario distinguir tres importantes aspectosrelativos a:— Las características formales de las ilustraciones.— Las características semánticas de las ilustraciones.— Las características funcionales de las ilustraciones.3.1. Características formalesExiste una amplia serie de rasgos que es necesario tener en cuenta porque a lalarga contribuyen de manera decisiva a hacer más comprensibles los contenidosque a través de la imagen se quieren vehiculizar. Entre los rasgos que se podríancitar están por ejemplo:

— Proporcionalidad del tamaño de la imagen respecto a la hoja del libro.— Distribución armónica de imagen y texto escrito.— Tamaño de la imagen.— Grado de complejidad o simplicidad de la representación.— Variedad o repetición de imágenes.— Grado de expresividad formal de la misma.El análisis de imagen en los libros de este nivel nos revela que ocupa entre un25 % a un 90 % del total de la superficie de la hoja, siendo más frecuentes losvalores situados por encima del 50 %. La imagen, el lenguaje gráfico en general seha convertido en el elemento central de la expresión matemática en este primerciclo de EGB. Se constituye en un sustituto de la actividad manipulativa y sirvecomo punto de apoyo y referencia para la realización de múltiples actividades gráficasy numéricas. El lenguaje de la palabra, como ya hemos indicado, pasa a convertirseen simple complemento del de la imagen gráfica. A veces la palabra antecedea la imagen indicando la operación a realizar sobre la misma. Así por ejemplo:— «Dibuja y completa». A continuación aparecen tres diagramas indicandouna operación de suma; se proporcionan las imágenes de los sumandos y el niñoha de realizar la del resultado.En otras ocasiones, aunque esto es más raro, aparece en primer lugar la imageny a continuación el texto escrito que presenta las operaciones o los problemasa resolver.

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en realidad ocurre, imágenes compuestas por multitud de diagramas y códigos relaciónales(sobre todo flechas) que engloban objetos y figuras geométricas. Si porel contrario, se hubiera concedido en un texto una mayor importancia a una metodologíanaturalista o geométrico inductiva y dinámica, nos encontraríamos conimágenes y códigos gráficos de una naturaleza diferente.Hay que considerar asimismo, una actualidad psicológica de la imagen en lamedida en que se aproxima a los centros de interés fiandamentales del niño. En elcaso de editoriales de gran ámbito, las imágenes que encontramos presentan nopocas disfiancionalidades en la medida en que nos acercamos a la realidad experienciade un determinado alumno o de un grupo reducido de alumnos. Se podríarecordar el caso curioso de la unidad de un texto en la que aparecen embarcacionesdeportivas solamente y estaba siendo utilizada por alumnos de un pueblopescador. La acomodación de la imagen en este aspecto puede realizarse solamentea un nivel muy general pero aun en este caso, habría que advertir la necesidadde evitar los desfases temporales: con niños de seis años un avión no puedeser de hace veinte ni un tren del siglo pasado. Quizás si en el ámbito de las cienciassociales pero no tanto en el de matemáticas.3.3. Características funcionales de las ilustracionesSon varias las funciones didácticas que pueden desempeñar las imágenes enlos textos de matemáticas; entre ellas quizás las más significativas son las de motivación,la sustitutiva, la redundante-asociativa y la de complementación. La primeratiene la misión de atraer la atención del alumno sobre determinados aspectosmatemáticos. Para ello la imagen del libro de texto se ha de diseñar en funciónde poner de relieve a través de su forma, su color, su situación, aquellos faaoresque se consideran más importantes para la reflexión matemática. La función motivadorade la imagen se ha de dar siempre y de manera simultánea con las otrasfunciones mencionadas.La función de sustitución tiene su razón de ser fundamentalmente y en virtudde lo que se ha dicho sobre todo en los primeros momentos del aprendizaje. Esun lenguaje representativo de otros (numérico, verbal) que resultarían más difícilesde comprender quizás. Esta función sustitutiva se manifiesta por ejemplo, enlas operaciones de cálculo cuando en lugar de números se presentan imágenes o

cuando al alumno se le indica que complete una operación presentada en imágenescon otra imagen también. Gradualmente la función sustitutiva va dejando pasoa la función complementaria. Se podría mencionar también en este proceso laexistencia de la función redundante asociativa cuando por ejemplo, una determinadaoperación se presenta mediante imágenes acompañadas de números. Al cabode cierto número de ejercicios de asociación de imagen-número, aquella desaparecey las operaciones de cálculo se presentan sistemáticamente con números yla presencia de la imagen viene a ser más esporádica y de carácter contextualizador-motivante.

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Finalmente, se ha considerado como otra característica a estudiar el grado deexpresividad de la imagen. Resulta evidente que el carácter impresionista del dibujo,tratándose de objetos reales, así como la utilización de los colores fundamentales(rojo amarillo, azul y verde) constituyen factores importantes al respecto.Técnicas como las utilizadas en el comic y los dibujos animados para resaltardeterminados componentes de una imagen sobre la que se quiere llamar la atenciónresultan apropiadas a la hora de proyectar imágenes para estos textos del cicloinicial.3.2. Características semánticas de las ilustracionesEn este apartado tratamos de evaluar el nivel de abstracción concrección delos contenidos que se vehiculizan a través de las ilustraciones y el nivel de actualidadde las mismas, entendiendo actualidad en los planos científico y psicológico(proximidad a la experiencia personal del alumno).En cuanto al primer aspecto, resulta indudable que la imagen cumple un papelde etapa intermedia entre el lenguaje de la acción, manipulativo, y el lenguajeabstracto que utiliza el simbolismo matemático de los números, las letras y otrossignos diversos. En este sentido, la imagen en principio ha de ser concreta, representarpersonas, objetos de la realidad y progresivamente ha de estilÍ2arse, esquematizarsepara permitir que la atención del alumno se centre en las propiedadesmatemáticas de esa realidad y no en los aspectos más superficiales de la misma. Sepodría decir, por lo tanto que el contenido o significado de la imagen ha de sercada vez menos natural y más matemático o abstracto. Este proceso justifica, porejemplo, que si en principio los conjuntos y sus operaciones se representan mediantecasas, árboles, coches, etc., pronto esos objetos se sustituyen a través de laestilización de sus formas o a través de la aceptación convencional en figuras geométricascomo triángulos, círculos, etc., de distintos colores y tamaños. Este procesode abstracción en la significación icónica que es evidentemente válido para laejercitación y desarrollo de las operaciones de cálculo, no lo es sin embargo parala realización de problemas en los que el alumno tenga que tomar conciencia deuna determinada circunstancia real en que se sitúa el problema. En este caso laimagen ha de ser no tan esquemática sino más bien representativa del contexto real.En resumen, las imágenes reales han de acompañar más a los planteamientosde los problemas, mientras que las esquematizadas lo han de hacer a las operacionesbásicas. Sólo en niveles superiores, como los correspondientes al ciclo superioren que los problemas matemáticos se plantean también a nivel de abstracción,tendría razón de ser la imagen esquemática o abstracta.El segundo aspecto a evaluar en la semanticidad de la imagen hace referenciaa su actualidad científica y psicológica. La actualidad científica viene determinadapor la propia naturaleza de la metodología y sobre todo, de los contenidos que seutilizan y a los que ya se ha aludido con anterioridad. Cuando estos elementos básicosse centran en la teoría de conjuntos y el desarrollo del cálculo, las imágenesdel texto lógicamente deberán servir a la realización de los mismos y serán, como

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en realidad ocurre, imágenes compuestas por multitud de diagramas y códigos relaciónales(sobre todo flechas) que engloban objetos y figuras geométricas. Si porel contrario, se hubiera concedido en un texto una mayor importancia a una metodologíanaturalista o geométrico inductiva y dinámica, nos encontraríamos conimágenes y códigos gráficos de una naturaleza diferente.Hay que considerar asimismo, una actualidad psicológica de la imagen en lamedida en que se aproxima a los centros de interés fiandamentales del niño. En elcaso de editoriales de gran ámbito, las imágenes que encontramos presentan nopocas disfiancionalidades en la medida en que nos acercamos a la realidad experienciade un determinado alumno o de un grupo reducido de alumnos. Se podríarecordar el caso curioso de la unidad de un texto en la que aparecen embarcacionesdeportivas solamente y estaba siendo utilizada por alumnos de un pueblopescador. La acomodación de la imagen en este aspecto puede realizarse solamentea un nivel muy general pero aun en este caso, habría que advertir la necesidadde evitar los desfases temporales: con niños de seis años un avión no puedeser de hace veinte ni un tren del siglo pasado. Quizás si en el ámbito de las cienciassociales pero no tanto en el de matemáticas.3.3. Características funcionales de las ilustracionesSon varias las funciones didácticas que pueden desempeñar las imágenes enlos textos de matemáticas; entre ellas quizás las más significativas son las de motivación,la sustitutiva, la redundante-asociativa y la de complementación. La primeratiene la misión de atraer la atención del alumno sobre determinados aspectosmatemáticos. Para ello la imagen del libro de texto se ha de diseñar en funciónde poner de relieve a través de su forma, su color, su situación, aquellos faaoresque se consideran más importantes para la reflexión matemática. La función motivadorade la imagen se ha de dar siempre y de manera simultánea con las otrasfunciones mencionadas.La función de sustitución tiene su razón de ser fundamentalmente y en virtudde lo que se ha dicho sobre todo en los primeros momentos del aprendizaje. Esun lenguaje representativo de otros (numérico, verbal) que resultarían más difícilesde comprender quizás. Esta función sustitutiva se manifiesta por ejemplo, enlas operaciones de cálculo cuando en lugar de números se presentan imágenes ocuando al alumno se le indica que complete una operación presentada en imágenescon otra imagen también. Gradualmente la función sustitutiva va dejando pasoa la función complementaria. Se podría mencionar también en este proceso laexistencia de la función redundante asociativa cuando por ejemplo, una determinadaoperación se presenta mediante imágenes acompañadas de números. Al cabode cierto número de ejercicios de asociación de imagen-número, aquella desaparecey las operaciones de cálculo se presentan sistemáticamente con números yla presencia de la imagen viene a ser más esporádica y de carácter contextualizador-motivante.

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Es necesario mencionar también la importancia de la función complementadora.La imagen se combina con la palabra en numerosas ocasiones y las más delas veces ocupa el lugar de protagonista. La palabra viene a constituir una serie deindicaciones para el trabajo sobre el contenido presentado por la imagen. Comoya se ha indicado, a veces la imagen antecede a la representación gráfica, con loque encauza ya desde el principio las características de la observación. En otrasocasiones se presenta primero la imagen permitiendo una observación inicial másabierta, Ubre y después la palabra dirige la actividad del alumno para profundizaren determinados aspectos.CARLOS ROSALES LÓPEZProfesor Titular de DidácticaUniversidad de Santiago