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Computacion Cuantica - Clase 1

Ariel Bendersky1

1Departamento de Computacion - FCEyN - Universidad de Buenos Aires

Octubre 2015 - ESANFI - Arica, Chile

Organizacion del curso

Clase 1 - Formalismo. Qubits, operadores unitarios y elmodelo de circuitos.

Clase 2 - Algoritmos cuanticos. Algoritmo de Deutsch-Jozsa,transformada de Fourier cuantica, algoritmo de factorizacionde Shor.

Clase 3 - Algoritmo de busqueda de Grover. Computacioncuantica basada en la medicion.

Clase 4 - No localidad. Desigualdades de Bell y loopholes. Lano localidad como recurso para computacion cuantica.

Clase 1

Un poco de historia.

Un qubit. Muchos qubits. Productos tensoriales.

Estados y evolucion temporal. Espacios de Hilbert yoperaciones unitarias.

El modelo de circuitos de la computacion cuantica.

Conjuntos universales de compuertas cuanticas.

Clase 1

Historia

1982 - Richard Feynman se da cuenta de que una computadoraclasica es muy ineficiente para simular sistemas cuanticos. Proponeusar sistemas cuanticos para simular otros sistemas cuanticos.

Historia

1985 - David Deutsch define las maquinas de Turing cuanticas.Eso le da un marco teorico a la computacion cuantica como laconocemos hasta hoy.¿Para que sirve?

Historia

1994 - Peter Shor descubre un algoritmo cuantico eficiente parafactorizar numeros naturales. Eso rompe los sistemas decriptografıa mas utilizados.

Historia

¿Como es una computadora cuantica?

Figura tomada de http://www.uibk.ac.at/th-physik/qo/research/trappedions.html

Historia

¿Como es una computadora cuantica?

Figura tomada de la tesis doctoral de Christian Schmiegelow.

Historia

¿Como se estudia?

Igual que en computacion clasica, en computacion cuantica nosabstraemos del hardware, y pensamos en cualquier sistema de dosniveles (qubit) como el analogo cuantico del bit clasico. Con eso enmente podemos desarrollar un formalismo unico, que no dependedel sistema fısico en cuestion, para estudiar computacion cuantica.

Formalismo

Los estados cuanticos

Definicion

El estado de un sistema cuantico esta representado por un vector|ψ〉 perteneciente a un espacio de Hilbert H con 〈ψ|ψ〉 = 1.

|ψ〉 es un vector columna complejo de modulo 1

|ψ〉 =

); |ψ〉 =

1+i√2

〈ψ| es el transpuesto conjugado de |ψ〉, tambien notado como |ψ〉†.

Formalismo

Los qubits

El qubit - Definicion

Se llama qubit a cualquier sistema de dimension 2. Es elequivalente cuantico del bit.

La base computacional

|0〉 =

)|1〉 =

)Notemos que es una base ortonormal: 〈0|1〉 = 0 y 〈i |i〉 = 1. Lacomputacion clasica solo admite estados de esta base canonica.

Formalismo

Los qubits

El qubit - Definicion

Se llama qubit a cualquier sistema de dimension 2. Es elequivalente cuantico del bit.

La base computacional

|0〉 =

)|1〉 =

)Notemos que es una base ortonormal: 〈0|1〉 = 0 y 〈i |i〉 = 1. Lacomputacion clasica solo admite estados de esta base canonica.

Formalismo

Los qubits

Estado mas general

|ψ〉 = cos (θ/2) |0〉+ sen (θ/2) e iφ|1〉

El estado de un qubit puede ser cualquier vector de modulo 1.Estan definidos a menos de una fase global.

La esfera de Bloch

Formalismo

Los qubits

Estado mas general

|ψ〉 = cos (θ/2) |0〉+ sen (θ/2) e iφ|1〉

El estado de un qubit puede ser cualquier vector de modulo 1.Estan definidos a menos de una fase global.

La esfera de Bloch

Formalismo

Los qubits

Dos qubits

La base computacional es:

{|00〉, |01〉, |10〉, |11〉}

donde |ij〉 = |i〉 ⊗ |j〉.

〈ij |kl〉 = δikδjl

n-qubits

La base computacional esta formada por todas las n-uplas binarias:

{|0...00〉, |0...01〉, |0...10〉, |1...11〉}

El espacio de Hilbert de n qubits Hn tiene dimension 2n.

Formalismo

Los qubits

Dos qubits

La base computacional es:

{|00〉, |01〉, |10〉, |11〉}

donde |ij〉 = |i〉 ⊗ |j〉.

〈ij |kl〉 = δikδjl

n-qubits

La base computacional esta formada por todas las n-uplas binarias:

{|0...00〉, |0...01〉, |0...10〉, |1...11〉}

El espacio de Hilbert de n qubits Hn tiene dimension 2n.

Formalismo

La evolucion temporal

Evolucion unitaria

La evolucion de un sistema cuantico en un estado |ψinicial〉 estadada por:

|ψinicial〉 −→ |ψfinal〉 = U|ψinicial〉

donde U es un operador (matriz) unitario: U† = U−1.Un ingrediente de la computacion cuantica es controlar esasoperaciones U.

Ejemplo

|0〉 −→ |1〉 se hace mediante

(0 11 0

)Porque |1〉 = U|0〉.

Formalismo

Evolucion unitaria

La evolucion de un sistema cuantico en un estado |ψinicial〉 estadada por:

|ψinicial〉 −→ |ψfinal〉 = U|ψinicial〉

donde U es un operador (matriz) unitario: U† = U−1.Un ingrediente de la computacion cuantica es controlar esasoperaciones U.

Ejemplo

|0〉 −→ |1〉 se hace mediante

(0 11 0

)Porque |1〉 = U|0〉.

Formalismo

Importante

Toda operacion unitaria se puede implementar. Es decir, se puedenforzar interacciones que hagan que un sistema evolucione deacuerdo a un operador unitario dado.

Formalismo

Las mediciones proyectivas

Descripcion matematica de las mediciones

Una medicion esta definida por un conjunto de proyectores {Πi}*con

∑i Πi = Id . La mecanica cuantica dice:

La probabilidad de obtener el resultado i al realizar dichamedicion al estado |ψ〉 es pi = 〈ψ|Πi |ψ〉.El estado del sistema luego de obtener el resultado i es:

|ψi 〉 =Πi |ψ〉√〈ψ|Πi |ψ〉

* Un proyector es un operador tal que Π2 = Π.

Formalismo

Los observables

Se llama observable a cualquier operador hermıtico A = A†.

El valor medio de dicho observable en el estado |ψ〉 es〈ψ|A|ψ〉.La medicion de un observable se hace a partir de medir losproyectores que resultan de su diagonalizacion. A =

∑i αi Πi ,

luego:

〈ψ|A|ψ〉 = 〈ψ|∑

αi Πi |ψ〉 =∑

αi 〈ψ|Πi |ψ〉 =∑

Los autovalores αi son los posibles resultados de la medicionde A.

Formalismo

Los observables

∑i αi Πi ,

luego:

〈ψ|A|ψ〉 = 〈ψ|∑

αi Πi |ψ〉 =∑

Formalismo

Los observables

∑i αi Πi ,

luego:

〈ψ|A|ψ〉 = 〈ψ|∑

αi Πi |ψ〉 =∑

Formalismo

Los observables

∑i αi Πi ,

luego:

〈ψ|A|ψ〉 = 〈ψ|∑

αi Πi |ψ〉 =∑

Formalismo

Computacion cuantica

Computos cuanticos

Los computos cuanticos tienen tres etapas:

Preparar un estado trivial. Tıpicamente: |000...0〉 =∣∣0⟩.

Aplicar una operacion unitaria U al estado. Dicha operaciones la implementacion del algoritmo cuantico.

Realizar una medicion trivial. Tıpicamente, medirproyectivamente en la base computacional.

Interpretar el resultado de la medicion.

Es decir

pi =⟨0∣∣U†ΠiU

∣∣0⟩

Formalismo

Computos cuanticos

Es decir

∣∣0⟩

Formalismo

Computos cuanticos

Es decir

pi =⟨0∣∣U†Πi

U∣∣0⟩

Formalismo

Computos cuanticos

Es decir

∣∣0⟩

Formalismo

Complejidad cuantica

Dificultad

La complejidad (cantidad necesaria de recursos) de un algoritmocuantico tiene que ver con la dificultad de implementar U.

Por eso

Exigimos que el estado inicial y la medicion sean triviales. Si no, essimple trivializar U:

∣∣0⟩ = 〈Ψ|Πi |Ψ〉 =⟨0∣∣Πi

∣∣0⟩donde |Ψ〉 = U

∣∣0⟩ y Πi = U†ΠiU. Fijando el estado inicial y lamedicion metemos toda la complejidad en U.

Formalismo

Si todos los algoritmos cuanticos consisten en aplicar unaoperacion unitaria. ¿Por que algunos algoritmos son mas complejos–difıciles– que otros?Los proximos slides veremos eso:

El modelo de circuitos.

Formalizaremos levemente la nocion de complejidad.

Formalismo

El modelo de circuitos

Es simplemente una representacion grafica de las operacionesunitarias.

Ejemplo

|0〉 U Πi

pi = 〈0|U†ΠiU|0〉

Formalismo

Ejemplo

|0〉 U Πi

pi = 〈0|U†ΠiU|0〉

Formalismo

Ejemplo

|0〉 U Πi

pi = 〈0|U†ΠiU|0〉

Formalismo

Ejemplo

|0〉 U Πi

pi = 〈0|U†ΠiU|0〉

Formalismo

Ejemplo

|0〉 U Πi

pi = 〈0|U†ΠiU|0〉

Formalismo

Ejemplo

|0〉 U Πi

pi = 〈0|U†ΠiU|0〉

Formalismo

Circuitos de muchos qubits

|0〉 U1U3

U5|0〉 U2U4|0〉

Se entiende como:

U(1,2,3)5 (Id (1) ⊗ U

(2,3)4 )(U

(1,2)3 ⊗ Id (3))(U

(1)1 ⊗ U

(2)2 ⊗ Id (3))|000〉

Formalismo

Algunas unitarias utiles

Unitarias de un solo qubit.

(1 00 1

), X = σX =

(0 11 0

Y = σY =

(0 −ii 0

), Z = σZ =

(1 00 −1

H = 1√2

(1 11 −1

), S =

(1 00 i

T = Uπ/8 =

0 e i π4

Formalismo

Controlled not

Es una compuerta de negacioncontrolada que hace interactuardos qubits.

CNOT |00〉 = |00〉

CNOT |01〉 = |01〉

CNOT |10〉 = |11〉

CNOT |11〉 = |10〉

En general: Controlled U

Es una compuerta U controlada.

CU|00〉 = |00〉

CU|01〉 = |01〉

CU|10〉 = |1〉U|0〉

CU|11〉 = |1〉U|1〉

Con U = X se obtiene CNOT .

Formalismo

Controlled not

Es una compuerta de negacioncontrolada que hace interactuardos qubits.

CNOT |00〉 = |00〉

CNOT |01〉 = |01〉

CNOT |10〉 = |11〉

CNOT |11〉 = |10〉

En general: Controlled U

Es una compuerta U controlada.

CU|00〉 = |00〉

CU|01〉 = |01〉

CU|10〉 = |1〉U|0〉

CU|11〉 = |1〉U|1〉

Con U = X se obtiene CNOT .

Formalismo

Conjuntos universales de compuertas cuanticas

Conjuntos universales de compuertascuanticas

Definicion

Decimos que un conjunto S de compuertas cuanticas es universalsi cualquier unitaria U (de cualquier numero de qubits) puedeaproximarse por una secuencia de aplicaciones de operaciones de S.

Nuestro caso de interes

CNOT y operaciones de un solo qubit son universales.

Definicion

Decimos que un conjunto S de compuertas cuanticas es universalsi cualquier unitaria U (de cualquier numero de qubits) puedeaproximarse por una secuencia de aplicaciones de operaciones de S.

Nuestro caso de interes

CNOT y operaciones de un solo qubit son universales.

Ideas para la demostracion

La compuerta de Toffoli

••

Niega el tercer qubit cuando los dos primeros tienen un 1.

Implementacion

• • • • T

• • T † T † S

H T † T T † T H

Puedo usar Toffoli tranquilo.

Ideas para la demostracion

La compuerta de Toffoli

••

Niega el tercer qubit cuando los dos primeros tienen un 1.

Implementacion

• • • • T

• • T † T † S

H T † T T † T H

Puedo usar Toffoli tranquilo.

Resultado intermedio

Toda matriz unitaria de NxN puede construirse a partir delproducto de matrices de la forma

1 0 · · · · · · 00 1 · · · · · · 0...

.... . .

...a bc d

......

. . ....

0 0 · · · · · · 1

llamadas matrices de dos niveles.

Demostracion

Primero notemos que para todo vector (x , y) existe una unitaria Vtal que:

(√xx∗ + yy∗

)En efecto,

V =1√

xx∗ + yy∗

(x∗ y∗

−y x

)cumple eso y es unitaria.

Demostracion

De igual forma, para un vector |ζ〉 = (ζ1, ..., ζN) vale que:

VN−1...V1|ζ〉 =

〈ζ|ζ〉

Si la inversa de U es:

U† =

ζ1 ζ∗2 · · · ζ∗N

ζ2. . .

...ζN · · ·

tenemos que VN−1...V1U

† es:

VN−1...V1U† =

1 0 · · · 00... U ′†

Repetimos inductivamente y listo.

Lo que falta

Falta ver que cada unitaria de dos niveles se puede escribir comoCNOT y unitarias de un solo qubit.

Paso 1 - Idea

Si V es una unitaria de dos niveles, llevar esos niveles al 11..11 y el11..10. La idea es usar los dos niveles originales, por ejemplo100101 y 001000 y usar un bit en el que difieran para hacer, conCNOT o (X ⊗ Id)CNOT (X ⊗ Id) los cambios en cada bit en elque difieren. Finalmente, un swap del qubit que usamos de controlcon el ultimo.

Lo que falta

Paso 2 - Final

Hacer una unitaria en el ultimo qubit controlada por todos losdemas:

•••••U

¿Como se hace con CNOT y unitarias de un qubit?

Lo que falta

Una forma es agregar n − 1 qubits auxiliares y usar compuertas deTofolli (que sabemos implementar).

• •• •• •• •• •

|0aux〉 • •

|0aux〉 •

target U

El truco es que el anteultimo qubit es 1 si todos los anteriores loson, por eso lo uso para controlar.

Lo que falta

Como realizar U de manera controlada. Se puede hacer mediante:

• •

En resumen

Resultado principal

Toda unitaria se puede implementar con compuertas CNOT , quehacen interactuar los qubits de a dos, y unitarias de un solo qubit.

Pregunta pendiente

¿Hay operaciones unitarias mas simples que otras? Sı. Llamaremoscomplejidad de la implementacion de una operacion unitaria a lacantidad de compuertas CNOT y de un qubit que son necesariasen dicha implementacion.Una definicion asintoticamente equivalente es la cantidad decompuertas CNOT necesarias.

Importante

Dada una unitaria, no hay un metodo para saber la mejor manerade implementarla. De ahı que se sigan optimizando algunasunitarias conocidas.38/39

En resumen

Resultado principal

Pregunta pendiente

Importante

En resumen

Resultado principal

Pregunta pendiente

Importante

Hoy vimos...

Un poco de formalismo.

CNOT y unitarias de un qubit son universales.

Definimos la complejidad de un algoritmo cuantico.

Hoy vimos...

computación cuántica - clase 1aici.uta.cl/aci/images/stories/clase1.pdf · computaci on cu antica...

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