“comprobación de soluciones de ed.”

7/21/2019 “Comprobación de soluciones de ED.”

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“Comprobación de soluciones de ED.”

Ramí rez Trejo Moisés de Jesús.

Profesor: DCIQ Pedro Naa Di!uero.

Ecuaciones Diferenciales "plicadas.

#rupo: IMI$%"

&ec'a de en(re!a: Juees )* de Ma+o de ),*-.



olución De /na Ecuación Diferencial.

Definición:

/na solución de una ecuación diferencial es cual0uier función ó relación 0ue sa(isface la

ecuación1 dic'o en o(ras palabras1 la reduce a una iden(idad.

*.2.* oluciones E3plí ci(as

Definición:

/na función o relación 0ue sa(isface a una ecuación diferencial + en su es(ruc(ura la

ariable dependien(e se e3presa (an solo en (érminos de la4s5 ariable4s5

independien(e4s5 + cons(an(e4s5 se llama solución e3plici(a.

*.2.) Ejemplos

Probar 0ue las funciones definas por

+

son dos soluciones e3plí ci(as de la ecuación diferencial

olución:

Deriando 4*5

sus(i(u+endo 4*5 + sus deriadas en 465

por (an(o

es solución e3plí ci(a de la ecuación diferencial 465.



Deriando 4)5

sus(i(u+endo 4)5 + sus deriadas en 465

por (an(o

es solución e3plici(a de la ecuación diferencial 465.

Probar 0ue la función definida por

es una solución e3plí ci(a de

olución:

Deriando 4*5

sus(i(u+endo 4*5 + sus deriadas en 4)5

por (an(o17Ecuaciones diferenciales7

es solución e3plí ci(a de la ecuación diferencial.

Probar 0ue la función definida por

es solución e3plí ci(a de la ecuación diferencial

olución:

Deriando 4*5


por (an(o1 es solución e3plici(a de la ecuación diferencial

De(ermine los alores de m (ales 0ue



sea una solución de la ecuación diferencial

olución:

Deriando 4*5


o bien

como en 465 1 en(onces 465 se reducir á a una iden(idad solo si

resoliendo 485

por (an(o1 es solución de 4)5 si + solo si

.

Comprobación

i 1 en(onces .

Deriando

sus(i(u+endo + sus deriadas en 4)5

por (an(o si 1 en(onces es solución de 4)5.

i 1 en(onces .

Deriando



sus(i(u+endo + sus deriadas en 4)5

por (an(o si 1 en(onces es solución de 4)5.

En (odos los ejemplos an(eriores 'emos (ra(ado soluciones en las cuales la ariable

dependien(e es e3presada en función de la4s5 ariable4s5 independien(e4s51 refiriéndonos

a és(as como soluciones e3plici(as de la ecuación diferencial dada1 sin embar!o1

podemos (ener soluciones definidas implí ci(amen(e.

oluciones Implí ci(as

Definición:

/na función ó relación 0ue sa(isface a una ecuación diferencial + 0ue inolucra en su

es(ruc(ura (an(o ariables dependien(es como independien(es decimos 0ue es una

solución implí ci(a de la ecuación diferencial dada.

*.2.8 Ejemplos

*5 9a e3presión

define a + implí ci(amen(e como una función de 3. Demos(rar 0ue es(a función es solución

implí ci(a de la ecuación diferencial

olución:

Deriando implí ci(amen(e 4*5

deriando nueamen(e




7Ecuaciones diferenciales7

+6 $ 63 ; 6+ < - es solución implí ci(a de 4)5.

*.= Problema de >alor Inicial + de &ron(era

"nalicemos es(os dos concep(os median(e el si!uien(e ejemplo.

/na par(í cula P se muee a lo lar!o del eje 3 4fi!ura *.*5 de (al menara 0ue su

aceleración en cual0uier (iempo ( , es(a dada por .

Encuen(re la posición 3 de la par(í cula medida del ori!en ? a cual0uier (iempo ( @ ,1

asumiendo 0ue inicialmen(e ( < , es(a localizada en 3 < ) + es(a iajando a una elocidad

< $-.

Trabaje con la par(e a5 si solamen(e se sabe 0ue la par( í cula es(a localizada inicialmen(e

en 3 < ) cuando ( < , + en 3 < = cuando ( < *.

&i!ura *.*

3

? P

abemos 0ue la aceleración en ? de la par(í cula es

Como < $-1 cuando ( < ,1 es(o es 4,5 < $-

así

in(e!rando

Como 3 < )1 ( < ,1 es(o es 34,5 < )

en consecuencia



de donde 4)51 define la posición de la par(í cula en cual0uier ins(an(e de (iempo (@,.

Considerando nueamen(e la aceleración en ? de la par(í cula como

Procediendo como en a5 (enemos 0ue la elocidad de la par(í cula iene dada por

en es(e caso no e3is(e condición para 4(51 en(onces in(e!rando nueamen(e

de(erminemos en 4851 usando la condición 1 es(o es

así

por o(ro lado1 cuando A 1 es(o es 1 en(onces de 4-5

en consecuencia

de donde 4251 define la posición de la par(í cula en cual0uier ins(an(e de (iempo del

in(eralo .

El problema an(erior se reduce a resoler las formulaciones ma(emá(icas si!uien(es



/na diferencia impor(an(e en(re ellas es 0ue en a5 las condiciones sobre la función

desconocida 3 + su deriada 37 es(án especificadas en un solo alor de ariable

independien(e 4en es(e caso ( < ,5. Mien(ras 0ue en b5 las condiciones sobre la función

desconocida 3 se especifican en dos alores 4dis(in(os5 de la ariable independien(e 4en

es(e caso ( < , + ( < *5.

9os dos (ipos de problemas presen(ados en a5 + b5 se llaman problemas de alor inicial +

de fron(era respec(iamen(e.



Definición:

/n problema de alor inicial1 es un problema 0ue busca de(erminar una solución a una

ecuación diferencial suje(a a condiciones sobre la función desconocida + sus deriadas

especificadas en un alor de la ariable independien(e. Tales condiciones se llaman

condiciones iniciales.

Definición:

/n problema de alor de fron(era1 es un problema 0ue busca de(erminar una solución a

una ecuación diferencial suje(a a condiciones sobre la función desconocida especificadas

en dos o más alores de la ariable independien(e. Tales condiciones se llaman

condiciones de fron(era.

No(a: En !eneral el problema de alor inicial para de(erminar la solución a una ecuación

diferencial de orden n deber á es(ar suje(o a las condiciones iniciales.

oluciones #enerales + Par(iculares

Para comprender es(os concep(os1 resolamos los si!uien(es problemas de alor inicial.

Consideremos la ecuación diferencial

suje(a a las si!uien(es condiciones iniciales

upon!amos 0ue por al!ún medio la resolemos + ob(enemos 0ue

es solución de la ecuación diferencial 4*5. /sando en 465 la condición 1 se (iene

en consecuencia

deriando 485usando en 485 la condición 1 se (iene



+ por (an(o1 la solución 465 (oma la forma

en el ejemplo

represen(a la olución #eneral de la ecuación diferencial 4*51 mien(ras 0ue

represen(a una olución Par(icular de 4*5.

De acuerdo con lo an(erior podr í amos en(onces es(ablecer las si!uien(es definiciones.

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