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Complementos de Calculo

Lista de ejercicios Nro. 1

Profesor: Dr. Paul Acevedo Semestre 2019-A

Capıtulo 1. Topicos complementarios del sistema de los numeros reales

Metodos de demostracion

1. Pruebe que las siguientes proposiciones son verdaderas usando el metodo de demostracion indicado. No olvide

justificar cada paso de su demostracion.

a) Un entero a es un cuadrado perfecto si existe un entero b tal que a = b2.

Si m,n ∈ Z son cuadrados perfectos, entonces su producto mn tambien es un cuadrado perfecto. (Meto-

do directo)

b) Si n ∈ Z y 3n + 2 es impar, entonces n es impar. (Metodo por contrarrecıproca)

c) Si n = ab, donde a, b son enteros positivos, entonces a ≤√n o b ≤

√n. (Metodo por contradiccion

o reduccion al absurdo)

d) Si n ∈ Z, entonces n2 ≥ n. (Metodo por casos)

2. Metodo por induccion o Principio de induccion matematica

Suponga que se desea probar que una proposicion es verdadera para cualquier numero natural n (o para

cualquier numero natural n ≥ n0, con n0 ∈ N). Para ello, se define una funcion proposicional P (n) que

describe el enunciado.

Luego, para probar que P (n) es verdadera para todo n ∈ N (o para todo n ≥ n0), se realizan los siguientes

pasos:

(Base de la induccion) Mostrar que P (1) es verdadera (o P (n0) es verdadera).

(Paso de la induccion) Hipotesis de induccion. Se supone la veracidad de P (k) para k ∈ N (o para

k ≥ n0). Luego, se prueba que P (k + 1) es verdadera.

Se concluye, finalmente, que P (n) es verdad para todo n ∈ N (o para todo n ≥ n0).

Observacion: Si se considera cierto que P (i) es verdadero para todo 1 ≤ i ≤ k (o para todo n0 ≤ i ≤ k) en

la hipotesis de induccion, y se desea probar que P (k + 1) es verdadera, entonces el metodo es conocido como

induccion fuerte.

Muestre por induccion los siguientes enunciados:

a) Para todo n ∈ N, 7n − 4n es un multiplo de 3.

b) Para cualquier numero real a 6= 1 se cumple que

1 + a + a2 + . . . + an =an+1 − 1

a− 1.

c) Para todo n ≥ 5, 2n > n2.

3. En los siguientes ejercicios, primeramente indique el metodo de demostracion a utilizar y luego realice la

respectiva demostracion justificando cada paso de la misma. Recuerde que dentro de una demostracion es

posible utilizar otro metodo de demostracion. Si es el caso en algun ejercicio, indıquela explıcitamente.

a) Si p y q son enteros con q 6= 0, se dice que q divide a p si existe un entero k tal que p = kq. Cuando q

divide a p, se dice que q es un factor de p y que p es un multiplo de q. Se usara la notacion q|p para

decir que “q divide a p”.

Sean a, b, c enteros. Si a|b y a|c, entonces a|(mb + nc) para cualesquier m y n enteros.

b) Un entero positivo p > 1 es llamado primo si los unicos factores de p son 1 y p. Un entero positivo que

es mayor que uno y no es primo es llamado compuesto.

Un entero n > 1 es compuesto si, y solo si, existe un entero a tal que a|n y 1 < a < n.

c) Si n es un entero compuesto, entonces n posee un divisor primo menor o igual que√n.

Hint: Utilice el Teorema Fundamental de la Aritmetica: Todo entero positivo mayor que uno

puede ser escrito de forma unica como un primo o como el producto de dos o mas primos donde los

factores primos estan escritos en orden de tamano no decreciente.

d) ¿Es cierto que toda funcion continua y creciente es diferenciable?

e) Sean n,m ∈ Z, A = nZ y B = mZ.

Muestre que si n es un multiplo de m, entonces A ⊆ B.

¿Es la recıproca de la proposicion anterior verdadera?





Axiomas de campo y orden del sistema de los numeros reales

Muestre las siguientes proposiciones indicando, en cada paso, el axioma utilizado para su justificacion.

1. Muestre que los elementos inverso aditivo e inverso multiplicativo del sistema de los numeros reales son unicos.

2. Sean a, b ∈ R. Muestre que (a− b)2 = a2 − 2ab + b2.

3. Pruebe que el conjunto binario {0, 1} con las operaciones de suma + y producto · definidas por:

+ 0 1

0 0 1

1 1 0

· 0 1

0 0 0

1 0 1

es un campo.

4. Sean x, y ∈ R. Pruebe que x · y = 0 si, y solo si, x = 0 o y = 0.

5. Muestre que la relacion ≤ es una relacion de orden total sobre R.

6. Sean x, y, z ∈ R. Muestre que si x ≤ y y z > 0, entonces xz ≤ yz.

7. Sean x, y ∈ R tales que 0 < x ≤ y. Muestre que y−1 ≤ x−1.

8. Sean I, J intervalos en R. Muestre que I ∩ J es de nuevo un intervalo en R.

9. Sean a < b y x, y ∈ [a, b]. Muestre que |x− y| ≤ b− a.

10. Sean x, y ∈ R tales que para todo ε > 0, se cumple que x ≤ y + ε. Muestre que x ≤ y.

11. Sea x ∈ R tal que para todo ε > 0, 0 ≤ x < ε. Muestre que x = 0. Ademas, muestre que el resultado sigue

siendo cierto si para todo ε > 0, 0 ≤ x ≤ ε.





Supremo e ınfimo de conjuntos

1. Muestre que todo conjunto finito es acotado.

Hint: Use el principio de induccion matematica sobre la cardinalidad del conjunto.

2. (Caracterizacion de cota superior). Sea S ⊆ R un conunto no vacıo. Muestre que

u ∈ R es cota superior de S ⇐⇒ ∀t ∈ R : (t > u⇒ t /∈ S)

3. (Caracterizacion de cota inferior). Sea S ⊆ R un conunto no vacıo. Muestre que

v ∈ R es cota inferior de S ⇐⇒ ∀t ∈ R : (t < v ⇒ t /∈ S)

4. (Unicidad del ınfimo). Sea A ⊆ R un conjunto no vacıo y acotado inferiormente. Muestre que el ınfimo de

A es unico.

5. (Caracterizacion del ınfimo). Sea A ⊆ R un conjunto no vacıo y acotado inferiormente. Muestre que

w = ınf(A)⇔

1. w es cota inferior de A

2. ∀ε > 0,∃a = aε ∈ A : w + ε > a

6. (Monotonıa del supremo). Sean A,B ⊆ R conjuntos no vacıos tales que A ⊆ B. Si B es acotado supe-

riormente, muestre que A es acotado superiormente y

sup(A) ≤ sup(B).

7. (Aditividad del ınfimo). Sean A,B ⊆ R conjuntos no vacıos. Se define A + B := {a + b : a ∈ A, b ∈ B}.Muestre que si A y B estan acotados inferiormente, entonces A + B tambien lo esta y

ınf(A + B) = ınf(A) + ınf(B).

8. Sean A = {ai}i∈I y B := {bi}i∈I subconjuntos de R. Se define C := {ai + bi}i∈I . Si A,B son conjuntos

acotados inferiormente, entonces muestre que C es acotado inferiormente y

ınfi∈I{ai + bi} ≥ ınf

i∈I{ai}+ ınf

i∈I{bi}.

9. Sean a ∈ R y S ⊆ R un conjunto no vacıo. Se define aS := {as : s ∈ S}. Muestre que:

a) Si a ≥ 0 y S es acotado superiormente, entonces aS es acotado superiormente y sup(aS) = a sup(S).

b) Si a < 0 y S es acotado inferiormente, entonces aS es acotado superiormente y sup(aS) = a ınf(S).

10. Sean A,B ⊆ [0,+∞) conjuntos no vacıos. Se define AB := {ab : a ∈ A, b ∈ B}. Muestre que si A y B estan

acotados superiormente, entonces AB tambien lo esta y

sup(AB) = sup(A) sup(B).

11. Sean S ⊆ R un conjunto de numeros reales no negativos que esta acotado superiormente y se define S2 :=

{x2 : x ∈ S}.

a) Muestre que si u = sup(S), entonces u2 = sup(S2).

b) De un ejemplo que muestre que lo anterior puede ser falso si S no es un conjunto de reales no negativos.

12. Sean A y B dos conjuntos acotados de R.

a) Muestre que A ∪B es acotado y que

sup(A ∪B) = max{sup(A), sup(B)} y ınf(A ∪B) = mın{ınf(A), ınf(B)}.

b) Muestre que si A ∩B 6= ∅, entonces

sup(A ∩B) ≤ mın{sup(A), sup(B)}.

c) Halle dos conjuntos A,B tales que se alcance la igualdad en la desigualdad anterior. Ademas, halle A,B

tales que la desigualdad sea estricta.





Supremo e ınfimo de funciones

1. Sean A ⊆ R no vacıo y f : A→ R una funcion acotada. Si r ∈ R, muestre que:

a) sup(r + f) = r + sup(f).

b) ınf(r + f) = r + ınf(f).

2. a) Sean A,B ⊆ R no vacıos y h : A×B → R una funcion acotada. Se definen las siguientes funciones:

f : A −→ Rx 7−→ f(x) := sup

y∈Bh(x, y)

y

g : B −→ Ry 7−→ g(y) := ınf

x∈Ah(x, y).

Muestre que sup(g) ≤ ınf(f). Esta desigualdad suele expresarse como

supy∈B

ınfx∈A

h(x, y) ≤ ınfx∈A

supy∈B

h(x, y).

b) Sean A = B = I, con I el intervalo abierto (0, 1), y

h : A×B −→ R(x, y) 7−→ h(x, y) = 2x + y.

1) Para cada x ∈ A, halle f(x) = supy∈B h(x, y). Luego, halle ınf(f).

2) Para cada y ∈ B, halle g(y) = ınfx∈A h(x, y). Luego, halle sup(g).

3) ¿Se verifica la desigualdad esperada?

3. a) Sean A,B ⊆ R dos conjuntos no vacıos y h : A× B → R una funcion acotada. Se definen las siguientes

funciones:f : A −→ R

x 7−→ f(x) = supy∈B

h(x, y)

y

g : B −→ Ry 7−→ g(y) = sup

x∈Ah(x, y).

Muestre que se verifica el principio del supremo iterado, es decir,

sup(x,y)∈A×B

h(x, y) = supx∈A

supy∈B

h(x, y) = supy∈B

supx∈A

h(x, y).

b) ¿Existe un resultado analogo para el ınfimo? En caso afirmativo, enuncielo y demuestrelo; mientras que

en caso negativo, de un contraejemplo.





Axioma de completitud del sistema de los numeros reales y consecuencias

1. Sea A =

{3n + 5

7n + 12: n ∈ N

}. Muestre que sup(A) = 3

7 .

2. Considere los siguientes conjuntos:

A ={x ∈ R : x < 1

x

}.

B ={

1n −

1m : n,m ∈ N

}.

a) Intuya cuales son el supremo y el ınfimo de cada uno de los conjuntos en el caso de que estos existan.

b) Demuestre que efectivamente los valores intuidos corresponden al supremo y al ınfimo.

c) ¿A y B poseen maximo y/o mınimo? Justifique su respuesta.

d) ¿Es A ∩B acotado inferiormente? Si es ası, ¿cual es su ınfimo?

3. Sean x, y, z ∈ R tales que

x ≤ z ≤ x +y

npara todo n ∈ N. Muestre que z = x.

Hint: Use la propiedad arquimediana de R.

4. Muestre que para todo x ∈ Q no nulo y para todo y ∈ I, x + y, x− y, x · y, xy e y

x son irracionales.

5. (Densidad de los numeros irracionales I) Muestre que para todo x, y ∈ R, con x < y, existe t ∈ I tal

que x < t < y.

6. El objetivo del siguiente ejercicio es introducir la funcion parte entera de x ∈ R.

a) Para x ≥ 0, considere el conjunto

E = {n ∈ Z+ ∪ {0} : n ≤ x}.

1) Muestre que existe sup(E) en R.

2) Mas aun, muestre que sup(E) ∈ E. Esto nos dice que existe max(E).

Usaremos la notacion [[x]] := max(E).

3) Justifique por que para todo x ≥ 0, [[x]] ≤ x < [[x]] + 1.

b) Para x < 0, considere el conjunto

F = {m ∈ Z− : m ≤ x}.

1) Muestre que existe sup(F ) en R.

2) Mas aun, muestre que sup(F ) ∈ F . Esto nos dice que existe max(F ).

Igual que antes, se usara la notacion [[x]] := max(F ).

3) Justifique por que para todo x < 0, [[x]] ≤ x < [[x]] + 1.

Por lo tanto, de los literales anteriores se justifica la definicion de la parte entera de un numero x ∈ Rcomo

[[x]] := max{k ∈ Z : k ≤ x}.

Ademas, esta definicion verifica que para todo x ∈ R,

[[x]] ≤ x < [[x]] + 1.

c) Muestre que [[·]] define una funcion sobre R a valores en Z. Grafique dicha funcion.

d) ¿Es [[·]] una funcion aditiva, superaditiva o subaditiva sobre R+? Justifique completamente su respuesta.




Capıtulo 2. Sucesiones numericas

Definicion de convergencia de una sucesion

1. Usando la definicion de lımite de una sucesion, muestre que:

a) lımn→+∞

√2 +

1

n=√

2.

b) Para todo r ∈ R, lımn→+∞

1

n + r= 0.

c) 1n2+n+2 no converge a 1

2 .

2. Sea xn = 1ln(n+1) para n ∈ N.

a) Usando la definicion de lımite de una sucesion, muestre que xn → 0.

b) Considere ε = 110 . Halle el valor de N = N(ε) ∈ N tal que verifique la definicion de lımite.

Hint: Use lo realizado en el literal anterior.

3. a) Muestre que

lımn→+∞

xn = 0 si, y solo si, lımn→+∞

|xn| = 0.

b) De un ejemplo de una sucesion {xn}n∈N tal que la convergencia de la sucesion {|xn|}n∈N no implique la

convergencia de {xn}n∈N.

4. Muestre que si xn ≥ 0 para todo n ∈ N y lımn→+∞

xn = 0, entonces lımn→+∞

√xn = 0.

5. Muestre que si 0 < x < 1, entonces lımn→+∞

nxn = 0.

Hint: Use el Teorema Binomial: sean a, b ∈ R. Para cualquier n ∈ N,

(a + b)n =

n∑k=0

(n

k

)an−kbk.

6. Suponga que lımn→+∞

xn = L y L > 0. Muestre que existe N ∈ N tal que para todo n ≥ N , xn ∈(12L, 2L

).





Propiedades de convergencia de una sucesion

1. Sean (xn)n∈N y (yn)n∈N dos sucesiones reales tales que xn → x e yn → y. Muestre que:

a) xn + yn → x+ y.

b) ∀λ ∈ R, λxn → λx.

2. Calcule los siguientes lımites:

a) lımn→+∞

(3√n)

12n .

b) lımn→+∞

(n+ 1)1

ln(n+1) .

3. Sea xn =√n+ 1 −

√n para n ∈ N. Muestre que (

√n xn)n∈N es una sucesion convergente y encuentre su

lımite.

4. a) De un ejemplo de una sucesion (xn)n∈N ( R convergente tal que lımn→+∞

∣∣∣∣xn+1

xn

∣∣∣∣ = 1.

b) De un ejemplo de una sucesion (xn)n∈N ( R divergente tal que lımn→+∞

∣∣∣∣xn+1

xn

∣∣∣∣ = 1.

Observacion: Los literales anteriores nos dice que si una sucesion (xn)n∈N ( R verifica que lımn→+∞

∣∣∣∣xn+1

xn

∣∣∣∣ =

1, entonces no podemos garantizar que la sucesion (xn)n∈N converge o diverge, es decir, el criterio no

permite decidir.

c) Sea (xn)n∈N ( R una sucesion tal que lımn→+∞

∣∣∣∣xn+1

xn

∣∣∣∣ = L > 1. Muestre que (xn)n∈N diverge.

5. a) Sea (xn)n∈N ( R una sucesion tal que lımn→+∞

|xn|1n = L < 1. Muestre que xn → 0.

b) De un ejemplo de una sucesion (xn)n∈N ( R convergente tal que lımn→+∞

|xn|1n = 1.

c) De un ejemplo de una sucesion (xn)n∈N ( R divergente tal que lımn→+∞

|xn|1n = 1.

Observacion: Los literales (b) y (c) nos dicen que si una sucesion (xn)n∈N ( R verifica que lımn→+∞

|xn|1n = 1,

entonces no podemos garantizar que la sucesion converge o diverge, es decir, el criterio no permite decidir.

6. Usando el teorema de estriccion y las propiedades de convergencia de una sucesion, en los casos en que se

puedan aplicar, muestre que:

a) xn = 2n

n diverge.

b) xn = (−3)√n diverge.

c) xn = 1n! → 0.

d) xn = (1 + (−1)n)n diverge.

e) xn = an

n! → 0, para cualquier a ∈ R fijo.

f ) xn = n1n → 1.

Hint: Muestre, usando el teorema binomial, que existe una sucesion (an)n∈N tal que an → 0 y n1n −1 ≤

an.

7. Muestre que si (xn)n∈N y (yn)n∈N son sucesiones convergentes, entonces las sucesiones

un = maxn∈N{xn, yn} y vn = mın

n∈N{xn, yn}

son convergentes.

Hint: Muestre primero que para cualesquier a, b ∈ R

max{a, b} =a+ b+ |a− b|

2y mın{a, b} =

a+ b− |a− b|2

,

y use este resultado para probar lo requerido.





Sucesiones monotonas

1. Muestre que xn =

n∑k=1

1

k2, con n ∈ N, es una sucesion convergente.

2. Sea la sucesion definida por x1 > 1

xn+1 = 2− 1xn

, para n ∈ N.

Muestre que (xn)n∈N es acotada y monotona. Concluya que la sucesion es convergente y calcule su lımite.

3. Sea S ⊆ R un subconjunto infinito que esta acotado superiormente. Muestre que existe una sucesion creciente

(sn)n∈N contenida en S tal que

sup(S) = lımn→+∞

sn.

4. Sean p > 0 y

yn =

√p si n = 1√p + yn−1 si n ≥ 2

a) Muestre explıcitamente que existe M = M(p) > 0 tal que para todo n ∈ N, yn ≤M .

b) Muestre que (yn)n∈N converge y halle su lımite.

5. Considere la sucesion xn =(1 + 1

n

)n, para n ∈ N.

a) Muestre que (xn)n∈N es una sucesion creciente.

Hint: Use la siguiente desigualdad, conocida como la desigualdad de Bernoulli: para todo numero

real x > −1 y para todo n ∈ N(1 + x)n ≥ 1 + nx.

b) Muestre que para todo n ∈ N y para todo u en el intervalo abierto(−1, 1

n

)(1 + u)n ≤ 1

1− nu.

Hint: Muestre que x = 11+u − 1 verifica la desigualdad de Bernoulli.

c) Usando 5b, muestre que (xn)n∈N es acotada superiormente.

d) Finalmente, muestre que el numero e se encuentra bien definido como

e = lımn→+∞

xn.

6. Sea (xn)n∈N una sucesion tal que 0 < xn < 1 para todo n ∈ N y 1nxn→ 0. Demuestre que lım

n→+∞(1−xn)n = 0.





Subsucesiones y teorema de Bolzano-Weierstrass

1. Muestre que la siguiente sucesion no es convergente:

xn = 1− (−1)n +1

n.

2. Sean (xn)n∈N e (yn)n∈N dos sucesiones. Se define la sucesion (zn)n∈N como

zn :=

xn+12

si n es impar

yn2

si n es par.

Muestre que

(zn)n∈N es convergente ⇐⇒ (xn)n∈N , (yn)n∈N son convergentes y lımn→+∞

xn = lımn→+∞

yn.

3. a) Sea xn = n1n , con n ∈ N. Muestre que

xn+1 < xn ⇐⇒(

1 +1

n

)n

< n.

Ademas, muestre que(1 + 1

n

)n< n para todo n ≥ 3, y concluya que (xn)n∈N converge.

b) Muestre que lımn→+∞

n1n = 1 usando el hecho que la subsucesion (x2n)n∈N converge al mismo lımite de

(xn)n∈N, es decir, L = lımn→+∞

x2n = lımn→+∞

xn, y ası, concluya que L = 1.

4. Sea (xn)n∈N una sucesion acotada y se define

αn := supk≥n

xk, con n ∈ N, y L := ınfn∈N

αn.

Muestre que existe una subsucesion de (xn)n∈N tal que converge a L.

5. (Definicion) Sea (xn)n∈N una sucesion de numeros reales. Se dice que:

xn diverge a +∞ (xn → +∞) si, y solo si, ∀r > 0, ∃N = N(r) ∈ N, ∀n ≥ N : xn > r.

xn diverge a −∞ (xn → −∞) si, y solo si, ∀r > 0, ∃N = N(r) ∈ N, ∀n ≥ N : xn < −r.

Usando la definicion anterior, muestre que:

a) Si (xn)n∈N es una sucesion creciente no acotada, entonces xn → +∞.

b) Si (xn)n∈N es una sucesion decreciente no acotada, entonces xn → −∞.

Usando el resultado anterior, muestre que toda sucesion no acotada posee una subsucesion monotona tal que

diverge o a +∞ o a −∞.

6. Muestre que si (xn)n∈N no es acotada, entonces existe una subsucesion(xnk

)k∈N

tal que

lımk→+∞

1

xnk

= 0.

7. Sea (xn)n∈N una sucesion acotada y s = supn∈N

xn. Muestre que si s /∈ {xn : n ∈ N}, entonces existe una

subsucesion de (xn)n∈N que converge a s.





Sucesiones de Cauchy

1. a) Usando la definicion, muestre que la sucesion sn = 1 + 12! + . . .+ 1

n! , con n ∈ N, es de Cauchy.

b) Usando la definicion, muestre que la sucesion (ln(n))n∈N no es Cauchy.

2. Sean (xn)n∈N, (yn)n∈N dos sucesiones de Cauchy. Muestre que:

a) (xn + yn)n∈N es una sucesion de Cauchy.

b) (xnyn)n∈N es una sucesion de Cauchy.

3. Sean y1, y2 ∈ R tales que y1 < y2. Para n ≥ 3, se define

yn :=1

3yn−1 +

2

3yn−2.

Muestre que la sucesion (yn)n∈N es convergente y halle su limite.

4. Definicion de sucesion contractiva. Se dice que una sucesion (xn)n∈N ( R es contractiva si existe 0 <

λ < 1 tal que para todo n ≥ 2

|xn+1 − xn| ≤ λ |xn − xn−1| .

λ es llamada la constante de la sucesion contractiva (xn)n∈N.

a) Muestre que toda sucesion contractiva es de Cauchy.

b) Sea L ∈ R el lımite de una sucesion contractiva (xn)n∈N con constante λ. Muestre que

1) |xn − L| ≤ λn−1

1−λ |x2 − x1| .2) |xn − L| ≤ λ

1−λ |xn − xn−1| .

5. Considere la sucesion (xn)n∈N = (√n)n∈N. Muestre que lım

n→+∞|xn+1 − xn| = 0 y, sin embargo, (xn)n∈N no

es una sucesion de Cauchy. ¿Contradice este ejemplo la definicion de sucesion de Cauchy o la definicion de

sucesion contractiva? Explique su razonamiento.

6. Considere la sucesion (xn)n∈N definida por

xn =

x1 > 0, si n = 1

12+xn−1

, si n ≥ 2.

Muestre que (xn)n∈N es contractiva y halle su lımite.

7. Sea (xn)n∈N una sucesion de Cauchy tal que posee una subsucesion(x

nk

)k∈N

convergente, digamos a L.

Muestre que la sucesion (xn)n∈N es convergente al mismo lımite L.

8. Sean (xn)n∈N e (yn)n∈N sucesiones de Cauchy. Muestre que la sucesion zn = |xn − yn| es convergente.




Capıtulo 3. Teoremas sobre continuidad

Definicion ε− δ de lımite y caracterizacion por sucesiones

1. Usando la definicion ε− δ, muestre que para cualquier a ∈ R

a) lımx→a

x3 = a3.

b) lımx→a

sin(x) = sin(a).

2. Sean f : Dom(f) ⊆ R→ R una funcion y x0 un punto de acumulacion de Dom(f). Muestre que

lımx→x0

f(x) = L ⇐⇒ lımx→x0

|f(x)− L| = 0.

3. Muestre que lımx→1

x2 − x+ 1

x+ 1=

1

2, usando:

a) La definicion ε− δ.

b) La caracterizacion de lımite a traves de sucesiones.

4. Muestre que los siguientes lımites no existen:

a) lımx→0

(x+ sgn(x)), donde sgn(x) es la funcion signo de x definida por

sgn(x) =

1, si x > 0

0, si x = 0

−1, si x < 0.

b) lımx→0

sin

(1

x

).

5. Sean f, g : A ⊆ R→ R funciones tales que lımx→x0

f(x) = L1 ∈ R y lımx→x0

g(x) = L2 ∈ R. Muestre que

lımx→x0

max{f(x), g(x)} = max{L1, L2} y lımx→x0

mın{f(x), g(x)} = mın{L1, L2}.





Propiedades de lımites de funciones. Definicion de continuidad y caracterizacion a traves de

sucesiones

1. Sean f : Dom(f) ⊆ R → R y g : Dom(g) ⊆ R → R dos funciones y x0 ∈ Dom(f)a ∩ Dom(g)a. Suponga que

existen C > 0 y r > 0 tales que |f(x)| ≤ C para todo x ∈ (x0 − r, x0 + r) y que lımx→x0

g(x) = 0. Muestre que

lımx→x0

f(x)g(x) = 0.

2. Sea f : R→ R una funcion que satisface que para todo x, y ∈ R, f(x+ y) = f(x) + f(y).

a) Si lımx→0

f(x) = L ∈ R, entonces muestre que L = 0.

b) Ademas, muestre que para todo x0 ∈ R, existe lımx→x0

f(x).

Hint: Note que para todo x, x0 ∈ R, f(2x) = f(x+ x) = 2f(x) y f(x) = f(x− x0) + f(x0).

3. (Lımites laterales) Sea f una funcion definida para x > x0, con x0 ∈ Dom(f)a. Se dice que f tiene lımite

L por la derecha en x0, y se denota lımx→x+

0

f(x) = L si

∀ε > 0,∃δ = δ(ε, x0) > 0: ∀x ∈ Dom(f), 0 < x− x0 < δ =⇒ |f(x)− L| < ε.

Sea f una funcion definida para x < x0, con x0 ∈ Dom(f)a. Se dice que f tiene lımite L por la izquierda

en x0, y se denota lımx→x−

0

f(x) = L si

∀ε > 0,∃δ = δ(ε, x0) > 0: ∀x ∈ Dom(f),−δ < x− x0 < 0 =⇒ |f(x)− L| < ε.

Recuerde que es usual utilizar la siguiente notacion cuando existen los lımites laterales:

f(x+0 ) = lımx→x+

0

f(x) y f(x−0 ) = lımx→x−

0

f(x),

y que existe la siguiente relacion con el lımite bilateral:

lımx→x0

f(x) = L⇐⇒ f(x+0 ) = f(x−0 ) = L.

a) Muestre que

f(x+0 ) = L⇐⇒ ∀ (xn)n∈N ∈ Dom(f) estric. decreciente que converge a x0, lımn→+∞

f(xn) = L.

b) Suponga que f es creciente sobre (a, b] y acotada. Muestre que existe f(a+) y que f(a+) = ınfx∈(a,b]

f(x).

Observacion: Resultados similares se tienen para el lımite lateral por la izquierda realizando los ajustes

respectivos.

4. Sean f : Dom(f) ⊆ R → R una funcion y x0 ∈ Dom(f)a. Muestre que las siguientes afirmaciones son

equivalentes:

a) Existe lımx→x0

f(x).

b)

∀ε > 0,∃δ = δ(ε, x0) > 0: ∀x, y ∈ Dom(f), 0 < |x− x0| < δ, 0 < |y − x0| < δ =⇒ |f(x)− f(y)| < ε.

5. Sean a, b, c ∈ R tales que a < b < c. Suponga que f, g son dos funciones tales que f es continua en [a, b], g es

continua en [b, c] y que f(b) = g(b). Muestre que la funcion

h : [a, c] −→ R

x 7−→ h(x) =

f(x), si x ∈ [a, b]

g(x), si x ∈ [b, c]

es continua en [a, c].

6. a) Sean f : R → R una funcion continua en R y S := {x ∈ R : f(x) = 0} el conjunto de los ceros de f .

Muestre que si (xn)n∈N ( S y x = lımn→+∞

xn, entonces x ∈ S.

b) Sea f : R → R una funcion continua en R tal que S = Q. Muestre que f es la funcion nula en R, es

decir, f(x) = 0 para todo x ∈ R.

c) Sean a, b ∈ R tales que a < b. Muestre que existen m ∈ Z y n ∈ N tales que a < m2n < b.

d) Sea f : R→ R una funcion continua en R tal que S ={

m2n : m ∈ Z, n ∈ N

}. Muestre que f es la funcion

nula en R.

7. Sean f, g : R→ R dos funciones continuas en x0. Muestre que las funciones

M(x) := max{f(x), g(x)} y m(x) := mın{f(x), g(x)}

son continuas en x0.

8. Sean f, g : R→ R dos funciones continuas en (a, b). Encuentre todos los valores de x tales que la funcion

h : (a, b) −→ R

x 7−→ h(x) =

f(x), si x ∈ (a, b) ∩Q

g(x), si x ∈ (a, b) ∩ I

sea continua en x.

9. Sea f una funcion creciente sobre [a, b].

a) Muestre que existen f(c+) y f(c−) para cualquier c ∈ (a, b), y ademas,

f(c+) = ınfx>c

f(x) y f(c−) = supx<c

f(x).

b) Se define jf (c) := f(c+)− f(c−). jf (c) es conocido como el salto de f en c. Muestre que f es continua

en c si, y solo si, jf (c) = 0.

c) Considere el conjunto {ck : f es discontinua en ck, con k = 1, . . . , n}. Muestre que

n∑k=1

jf (ck) ≤ f(b)− f(a).

d) Sean m ∈ N y Jm(f) :={c ∈ (a, b) : jf (c) > 1

m

}. Muestre que card(Jm(f)) <∞.

e) Finalmente, muestre que el conjunto de puntos de discontinuidad de f es a lo mas contable.





Mas sobre continuidad de una funcion. Teoremas del maximo-mınimo, de Bolzano, del valor

intermedio y de la inversa continua

1. (Continuidad de la composicion de funciones) Sean f : C ⊆ R → R y g : D ⊆ R → R dos funciones

tales que f(C) ⊆ D. Muestre, usando la caracterizacion de continuidad a traves de sucesiones, que si f es

continua en c ∈ C y g es continua en f(c) ∈ D, entonces la composicion g ◦ f : C → R es continua en c.

2. El objetivo de este ejercicio es mostrar que la nocion de continuidad es ligeramente mas general en cuanto a

su aplicacion que la nocion de lımite solamente.

a) (Continuidad de una funcion en puntos aislados) Sea f : Dom(f) ⊆ R → R una funcion y

x0 ∈ Dom(f). Si x0 no es un punto de acumulacion del Dom(f), es decir, si x0 es un punto aislado del

Dom(f), entonces la definicion de continuidad (version ε − δ) de f en x0 es la misma que la dada en

clase para cuando x0 es un punto de acumulacion del Dom(f).

Por tanto, muestre que si x0 ∈ Dom(f) es un punto aislado, entonces f es continua en x0.

Observacion: Esto nos permite concluir que toda funcion es automaticamente continua en los puntos

aislados de su dominio.

b) Muestre o de un contraejemplo a esta afirmacion: Toda sucesion de numeros reales es una funcion

continua.

3. Construya una funcion f definida en el intervalo abierto (0, 2) que verifique que:

a) Sea discontinua en 12 , 1 y 3

2 pero continua en el resto de puntos.

b) Sea continua en (0, 2) excepto en todos los puntos de la forma 1n con n ∈ N.

4. Usando la caracterizacion de ınfimo, muestre que si f : [a, b]→ R es continua en [a, b], entonces f alcanza su

mınimo, es decir, existe xm ∈ [a, b] tal que f(xm) = mına≤x≤b

f(x).

5. Sean I ⊆ R un intervalo y f : I → R una funcion continua en I. Muestre que el conjunto f(I) es un intervalo.

Hint: Use la caracterizacion de intervalo: I ⊆ R es un intervalo si, y solo si, para cualesquier a, b ∈ I y c ∈ Rtales que a < c < b, entonces c ∈ I.

6. Sea f : [a, b]→ R una funcion continua en [a, b] tal que f(x) > 0 para todo x ∈ [a, b]. Muestre que existe un

numero α > 0 tal que f(x) ≥ α para todo x ∈ [a, b].

7. Sean f : [a, b]→ R y g : [a, b]→ R dos funciones continuas en [a, b]. Muestre que el conjunto

E := {x ∈ [a, b] : f(x) = g(x)}

posee la siguiente propiedad:

Si (xn)n∈N ( E tal que xn → L, entonces L ∈ E.

8. Sin hacer uso del teorema fundamental del algebra, muestre que todo polinomio de grado impar, con coefi-

cientes reales, tiene al menos una raız real.

9. Seaf : [0, π2 ] −→ R

x 7−→ f(x) := supx∈[0,π2 ]

{x2, cos(x)}.

Muestre que f alcanza su mınimo en [0, π2 ]. Ademas, muestre que el punto xm donde f alcanza su mınimo es

una solucion de la ecuacion cos(x) = x2.

10. Muestre que los teoremas del valor intermedio y de Bolzano son equivalentes.

11. Sean I ⊆ R un intervalo y f, g : I → R dos funciones.

a) Si f y g son crecientes en I, muestre que la funcion f+g es creciente en I. Si, ademas, f es estrictamente

creciente en I, entonces muestre que f + g tambien es estrictamente creciente en I.

b) Muestre que las funciones f(x) = x y g(x) = x − 1 son estrictamente crecientes en [0, 1], pero que su

producto fg no es creciente en [0, 1].

c) Muestre que si f y g son crecientes positivas en I, entonces su producto fg es creciente en I.

12. Considere la funcionf : [0, 1] −→ R

x 7−→ f(x) =

x, si x ∈ Q ∩ [0, 1]

1− x, si x ∈ I ∩ [0, 1].

a) Muestre que f es inyectiva en [0, 1].

b) Muestre que f es continua solo en x = 12 .

c) Halle la funcion inversa f−1.

d) ¿En que puntos es continua f−1?




Capıtulo 4. Teoremas sobre diferenciacion

Definicion de diferenciabilidad de una funcion y caracterizacion a traves de sucesiones

Teorema de Caratheodory, regla de la cadena y teorema de la funcion inversa

1. Sean I ⊆ R un intervalo abierto y f : I → R una funcion. Usando la definicion ε − δ, muestre que si f es

diferenciable en x0 ∈ I, entonces f es continua en x0.

2. Usando el metodo de induccion matematica, y las propiedades de lımites y continuidad, muestre que si

f1, . . . , fn son n funciones definidas en un intervalo abierto I ⊆ R tales que son diferenciables en x0 ∈ I,

entonces

n∏k=1

fk es diferenciable en x0 y, ademas,

(n∏

k=1

fk

)′

(x0) =

n∑k=1

(f ′k(x0)

n∏j=1j 6=k

fj(x0)).

Justifique cada uno de los pasos realizados.

3. Consideref : R −→ R

x 7−→ f(x) =

x2, si x ∈ Q

0, si x ∈ I.

Muestre que f es diferenciable unicamente en x = 0. Ademas, halle f ′(0).

4. Sea f : R→ R una funcion tal que f(0) = 0 y f(x) ≥ |x| para todo x ∈ R. Muestre que f no es diferenciable

en x = 0. ¿Que pasa si f(x) ≤ |x| para todo x ∈ R?

5. Sea x0 ∈ R.

a) Muestre que existe una funcion f : R→ R continua en x0 que verifica que para todo x ∈ R

sin(x) = sin(x0) + f(x)(x− x0)

y f(x0) = cos(x0).

b) Usando lo anterior, muestre que

lımx→0

sin(x)

x= 1.

6. Considere la funcionf : R −→ R

x 7−→ f(x) =

x2 sin(1x

), si x 6= 0

0, si x = 0.

a) Muestre que f es diferenciable en R y halle su derivada.

Hint: Haga uso de las reglas de la cadena y del producto para probar la diferenciabilidad en todo x 6= 0.

Puede asumir conocido que (sin(x))′ = cos(x).

b) Muestre que f ′ no es continua en x = 0.

7. Sea f : R→ R una funcion diferenciable en x0, donde x0 es un cero de f . Muestre que

|f | es diferenciable en x0 ⇐⇒ x0 es un cero de f ′.

8. Considere la funcionarc cos : [−1, 1] −→ [0, π]

x 7−→ arc cos(x).

Usando el teorema de la funcion inversa, muestre que la funcion arc cos(x) es diferenciable en (−1, 1) y su

derivada esta dada pord

dx(arc cos(x)) = − 1√

1− x2

para todo x ∈ (−1, 1). Ademas, demuestre que arc cos(x) no es diferenciable en x = −1 y x = 1.




Capıtulo 4. Teoremas sobre diferenciacion

Teorema de Rolle y teorema del valor medio

1. Sean f : [a, b] → R una funcion y x0 ∈ (a, b) un punto de extremo local de f . Si f es diferenciable en x0,

entonces muestre que f ′(x0) = 0.

Nota: Recuerde que x0 es un punto de extremo local (maximo o mınimo local) de f si existe δ > 0 tal que

f(x0) ≤ f(x) ∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ∩ (a, b) (mınimo local)

o

f(x0) ≥ f(x) ∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ∩ (a, b) (maximo local).

2. Sea f : [a, b] → R una funcion continua en [a, b] y diferenciable en (a, b). Si f ′(x) = 0 para todo x ∈ (a, b),

entonces muestre que f es una funcion constante en [a, b].

3. Sea f : R → R una funcion diferenciable en R tal que existe 0 < λ < 1 que verifica que para todo x ∈ R,

|f ′(x)| ≤ λ. Muestre que la ecuacion f(x) = x posee una unica solucion, es decir, muestre que existe un unico

u ∈ R tal que f(u) = u.

Hint: Para demostrar la existencia de u ∈ R, considere la sucesion (xn)n∈N definida para todo n ∈ N por

xn = f(xn−1),

con x0 ∈ R cualquiera fijo. Muestre que la sucesion (xn)n∈N converge y luego use la continuidad de f para

concluir lo requerido.

4. Sean I ⊆ R un intervalo abierto y f, g : I → R dos funciones diferenciables en I. Suponga que a, b ∈ I

satisfacen que a < b y f(a) = f(b) = 0. Muestre que existe x ∈ (a, b) tal que

f ′(x) + f(x)g′(x) = 0.

Hint: Considere la funcion h(x) = f(x)eg(x).

5. Use el teorema del valor medio para probar que x−1x < ln(x) < x− 1 para todo x > 1.

Hint: Use que ddx ln(x) = 1

x para todo x > 0.

6. (Teorema de Cauchy del valor medio) Sean f, g : [a, b] → R dos funciones continuas en [a, b] y diferen-

ciables en (a, b). Si g′(x) 6= 0 para todo x ∈ (a, b), entonces muestre que existe x0 ∈ (a, b) tal que

f(b)− f(a)

g(b)− g(a)=f ′(x0)

g′(x0).

Hint: Considere la funcion h(x) = f(b)−f(a)g(b)−g(a) [g(x)− g(a)]− [f(x)− f(a)] y muestre primero que h esta bien

definida.

7. Usando el teorema del valor intermedio para funciones continuas y el teorema de Rolle, muestre que la grafica

de la funcion f(x) = x3 + πx+ r, donde r ∈ R es cualquier valor fijo, corta el eje x exactamente una vez.

Hint: Muestre primero que al menos corta una vez el eje x, y luego demuestre que solo corta una vez.

8. Compruebe que las hipotesis del teorema del valor medio se verifican para la funcion

f :[0, π2

]−→ R

x 7−→ f(x) =√

1− sin(x).

Ademas, halle un valor x0 que satisfaga la conclusion del teorema del valor medio.




Capıtulo 5. Teoremas sobre integracion

Integral de Darboux, teoremas fundamentales del calculo y teorema del valor medio para integrales

1. Seaf : [0, 2] −→ R

x 7−→ f(x) =

1, si 0 ≤ x ≤ 1

2x + 1, si 1 < x ≤ 2.

Usando la caracterizacion de Darboux integrabilidad, muestre que f es Darboux integrable en [0, 2].

2. Considere la funcion

f : [0, 1] −→ R

x 7−→ f(x) =

1, si x = 0 o x = 1

1q , si x = p

q , con p ≥ 0, q > 0 naturales y m.c.d(p, q) = 1

0, si x es irracional.

a) Sea ε > 0 y se define ε∗ = mın{ 12 , ε}. Muestre que existe un numero finito de racionales x ∈ [0, 1] tales

que f(x) ≥ ε∗

2 . Denote a dichos racionales por {r0, r1, . . . , rn}, donde r0 = 0 y rn = 1.

b) Defina la particion Q = {x0, . . . , x2n+1} donde

x0 = 0, x2n+1 = 1, x0 < x1 < x2 < . . . < x2n+1

x1 < r1, con x1 <ε∗

2(n + 1)

x2 < r2 < x3, con x3 − x2 <ε∗

2(n + 1)

· · ·

x2n−2 < rn−1 < x2n−1, con x2n−1 − x2n−2 <ε∗

2(n + 1)

x2n < 1, con 1− x2n <ε∗

2(n + 1).

Muestre que U(f,Q) < ε∗.

c) Muestre que L(f,Q) = 0.

d) Usando (2b) y (2c), muestre que f es Darboux integrable.

e) Halle el valor de∫ 1

0f(x) dx.

3. Sea ϕ : [a, b] → [c, d] una funcion diferenciable con derivada continua en (a, b) y que verifica que ϕ(a) = c y

ϕ(b) = d. Ademas, sea f : [c, d]→ R continua en [c, d].

a) Muestre que las funciones f y (f ◦ ϕ) · ϕ′ son Darboux integrables.

b) Se define la funcion

G : [a, b] −→ R

x 7−→ G(x) =

∫ x

a

f(ϕ(t))ϕ′(t) dt.

Muestre que G es diferenciable en (a, b) y que para todo x ∈ (a, b)

G′(x) = f(ϕ(x))ϕ′(x).

c) Se define la funcion

F : [c, d] −→ R

x 7−→ F (x) =

∫ x

c

f(t) dt.

Muestre que F ◦ ϕ es diferenciable en (a, b) y que para todo x ∈ (a, b)

(F ◦ ϕ)′(x) = G′(x).

d) Use el literal (3c) para mostrar que F ◦ ϕ = G en (a, b).

e) Use el literal (3d) para mostrar que∫ b

a

f(ϕ(x))ϕ′(x) dx =

∫ d

c

f(x) dx.

4. Sea f : [a, b]→ R una funcion creciente en [a, b].

a) Muestre que f es Darboux integrable en [a, b].

b) Considere la funcion

g : [a, b] −→ Rx 7−→ g(x) = f(a)(x− a) + f(b)(b− x).

Muestre que g es continua en [a, b].

c) Muestre que

g(b) ≤∫ b

a

f(x) dx ≤ g(a).

d) Muestre que existe c ∈ [a, b] tal que∫ b

a

f(x) dx = f(a)(c− a) + f(b)(b− c).

5. Sean f : R → R una funcion continua en R y ϕ1, ϕ2 : R → R funciones diferenciables en R. Muestre que la

funciong : R −→ R

x 7−→ g(x) =

∫ ϕ2(x)

ϕ1(x)

f(t) dt

es diferenciable en R. Ademas, obtenga una formula para g′(x).

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