8/11/2019 Complemento de Schur y Desigualdad de Jensen

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MEXICO, D.F., MAYO 2013 1

Tarea 6: Desigualdades y Ejercicio sobre

Estabilidad ExponencialCarlo Cortes

I. INTRODUCCION

EN esta tarea se presentan algunas desigualdades utiles en

el analisis de sistemas con retardos y el estudio de la

estabilidad exponencial de un sistema.

II. COMPLEMENTO DE S CHUR

Teorema 1:   Sea   S   una matriz cuadrada en bloques de la

forma:

S  =

S 11   S 12

S T 12   S 22

donde  S 11  es una matriz simetrica  n × n  y  S 22  es una matrizsimetrica m × m. Entonces:

S 11  >  0

S 22  >  0

S 11 − S 12S −122  S T 12  >  0

S 22 − S T 12S −111  S 12  >  0

(1)

ademas

S −1 =

 A B

BT  C 

donde:  

A = (S 11 − S 12S −122  S T 12)−1

C  = (S 22 − S T 12S −111  S 12)−1

B  = −S −111  S 12C  = −AS 12S −1

22

Prueba 1: Necesidad : Suponga que  S >  0   y sea el vector

x = [x1x2]T  donde  x1 ∈ Rn y  x2  ∈ R

m, entonces ∀x = 0  se

tiene:

0 ≤ xT Sx  =

x1

x2

T  S 11   S 12

S 21   S 22

x1

x2

Desarrollando los productos se tiene:

xT Sx  =  xT 1 S 11x1 + xT 

1 S 21x2 + xT 2 S 12x1 + xT 

2 S 22x2   (2)

Suponga que   x2  ≡  0   en la expresion (2),entonces se tiene

0 < xT 1 S 11x1 lo cual implica que  S 11  >  0. Ahora suponga que

x1  ≡  0, entonces se tiene  0  < xT 2 S 22x2   lo cual implica que

S 22   >  0. Ahora tomemos   x1   =  −S −111  S 12x2   y sustituyendo

en (2) se tiene  0  < xT 2 (S 11 − S 12S −1

22  S T 12)x2   lo cual implica

que   S 11  − S 12S −122  S T 12   >   0. Tomando   x2   =  −S −1

22  S 21x1   se

tiene 0  < xT 2 (S 22−S 21S −1

11  S 12)x2  lo cual implica que  S 22−S 21S −1

11  S 12  >  0.

Suficiencia: Supongase que las condiciones (1) se satisfacen.

Entonces tomando A,  B  y  C   se realiza el siguiente producto:

I  =

S 11   S 12

S 21   S 22

 A B

BT  C 

  (3)

realizando el producto se tiene la siguiente matriz:S 11(S 11 − S 12S −1

22  S T 12)−1 − S 12S −122  S 21A   −S 12C  + S 12

S 21A− S 21A   −S 21S −111  S 12C  +

y finalmente factorizando algunos terminos se tiene:

A−1A   0

0   C −1C 

=

I    0

0   I 

  (4)

III. DESIGUALDAD DE J ENSEN

Teorema 2:  Para cualquier matriz constante   M   ∈  Rm×m,

M  = M T  > 0, escalar  γ > 0   , funcion vectorial  ω  : [0, γ ] →Rm tal que las integrales concernientes estan bien definidas,

entonces:

γ    γ 0

ωT 

(β )M ω(β )dβ  ≤ (   γ 0

ω(β )dβ )T 

M (   γ 0

ω(β )dβ )

Prueba 2:  Tomemos la siguiente desigualdad:

ωT (β )M ω(β )   ωT (β )

ωT (β )   M −1

≥ 0   (5)

Integrando (5) de  0  a  γ  se tiene:

 γ 

0  ωT (β )M ω(β )dβ 

 γ 

0  ωT (β )dβ 

 γ 0   ω(β )dβ γM  

−1 ≥ 0   (6)

y por el complemento de Schur visto en la seccion anterior

se tiene:   γ 0

ωT (β )dβMω(β )dβ −

   γ 0

ωT (β )1

γ M −1

   γ 0

ω(β )dβ  ≥ 0

(7)

finalmente se tiene:

γ 

   γ 0

ωT (β )M ω(β )dβ  ≥ (

   γ 0

ω(β )dβ )T M −1(

   γ 0

ω(β )dβ )

(8)

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IV. DESIGUALDAD

Para una matriz   M   ∈   Rn×n,   M >  0  y vectores   u  ∈  R

n,

v ∈ Rn se tiene:

2uT v ≤ uT M u + vT M −1v   (9)

Prueba 3:   Partimos de la siguiente desigualdad:

(M 1/2u −M −1/2v)2 ≥ 0

(M 1/2u−M −1/2v)T (M 1/2u− M −1/2v) ≥ 0

uT M u− 2uT v + vT M −1v ≥ 0

2uT v ≤ uT M u + vT M −1v

V. ESTABILIDAD EXPONENCIAL

Sea el sistema:

x(t) =  A0x(t) + A1x(t − h)   (10)

Muestre que con la funcional:

v(xt) =  xT (t)P x(t) +

   0−h

xT (t + θ)e2βθQx(t + θ)dθ   (11)

donde   P >   0   y   Q >   0   se cumple la primera condicion

del teorema de estabilidad exponencial. Encuentre condiciones

LM I  y la cota exponencial.

Para la condicion de cota por la desigualdad de Rayleigh

se tiene para la cota inferior lo siguiente:

v(xt) ≥ λmin(P )xt2 (12)

entonces  u(s) =  λmin(P )s2,   u(s)  >  0   y   u(0) = 0. Para la

cota superior tenemos:

v(xt) ≤ λmax(P )xt2h +

   tt−h

e2β(ξ−t)xT Qxdξ 

≤ λmax(P )xt2h+λmax(Q)maxxt

2ξ∈[t−h,t]

   tt−h

e2β(ξ−t)dξ 

≤ λmax

(P )xt2h

 +  1

2β λmax

(Q)xt2h

[1− e−2βh ]   (13)

finalmente se tiene:

v(xt) ≤ (λmax(P ) +  1

2β λmax(Q)[1− e−2βh])xt

2h   (14)

por lo tanto v(s) = (λmax(P )+  1

2β λmax(Q)[1−e−2βh])s2,

v(s) >  0  y  v(0) = 0.

Para la condicion de derivada se tiene:

dv(xt)

dt  + 2βv(xt) =  xT P A0x + xT A1P x(t − h)+

+xT AT 0 P x + xT (t − h)AT 

1 P x + xT Qx+

−xT (t − h)e−βh)Qx(t − h) + 2βxT P x

−2β  tt−h

xT (ξ )e2β(ξ−t)Qx(ξ )dξ +

+2β  tt−h

xT (ξ )e2β(ξ−t)Qx(ξ )dξ reduciendo terminos, se llega a la siguiente expresion en

forma matricial:

dv(xt)

dt  +2βv(xt) = −

  x(t)

x(t − h)

T  S 11   S 12

S T 12   S 22

  x(t)

x(t − h)

(15)

donde:

S 11  = −P A0 − AT 0 P  −Q− 2βP 

S 22  =  he−βhQ

S 12  = −A1P 

S T 12  = −AT 1 P 

entonces la condicion de derivada se satisface cuando

la ecuacion (15) es menor o igual a cero. Las condiciones

LMI para que se cumpla la desigualdad se obtienen del

complemento de Schur y son:

S 11  >  0

S 22  >  0

S 11 − S 12S −122  S T 12  >  0

S 22 − S T 12S −111  S 12  >  0

La cota exponencial para el sistema esta dada por:

x(t, φ) ≤ e−βt 

α2

α1xth   (16)

donde  α1  =  λmin(P )  y  α2  =  λmax(P ) +  1

2β λmax(Q)[1−

e−2βh]

REFERENCIAS

[1] A. S. Poznyak,   Advanced Mathematical Tools For Automatic Control Engineers, Elsevier, 2008, 774 pp.

[2] V. L. Kharitonov, K.Gu y J. Chen,   Stability of Time Delay Systems,Birkhauser, 2003, 353 pp.