colecciÓn de ejercicios 2º bach

8/6/2019 COLECCIN DE EJERCICIOS 2 BACH

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PROFESOR JANO [email protected] 668805224 Prof. VCTOR M. VITORIA

Bachillerato - Universidad

PROBLEMAS DE MATEMTICAS E j . exmenes 2 bach . - 1 -

PROBLEMAS DE MATEMTICAS

EJERCICIO N 1

Qu son sistemas equivalentes?

Dados los sistemas S y T :

Existe algn valor de a para el que S es equivalente a T?

Resolucin :

Dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.

Resolvemos por reduccin el sistema T :

Eliminamos la y multiplicando la primera ecuacin por 2 y sumando

a la segunda:4x + 4y 4z = 4 7x 4y 3z = 0

7x 4y 3z = 0 Eliminamos y entre la segunda y tercera: x + 4y +

3z = 8

11x - 7z = 4 8x = 8

x = 1 ; Sustituyendo obtenemos y = 1 ; z = 1

Si los sistemas son equivalentes esta solucin debe satisfacer todas las

ecuaciones de S, y en particular la tercera

Sustituyendo en la tercera de S tenemos: 1 + 2 + 3 = 5 + a

De donde a = 1

Es importante la distincin entre equivalentes e

iguales.


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EJERCICIO N 2

Hallar el rea limitada por x = 0 ; x = 1 ; y = 3x + 2 ; f(x) =

Resolucin

En el intervalo [0, 1] la ordenada de la recta siempre es mayor que la

ordenada de la curva. Adems, en ese intervalo, la curva es contnua,

ya que solo es discontnua en x = -1 y en x = -2

Por tanto es el rea que determina la recta, menos el rea quedetermina a curva

rea =

Aplicando la regla de Barrow.

Para hallar la integral de la curva, hacemos primero la integral,

descomponindola en fracciones simples:

Igualando numeradores: 2 = A(x + 2) + B(x + 1)

Para x = -2 ; 2 = -B

Para x = -1 ; 2 = A


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= [ 2L2 2L3 ] - [2L1 2L2 ] =

4L2 2L3 ( Aplicando la regla de Barrow )

El rea final es =

EJERCICIO N 3

Hallar el rea limitada por la curva y = x4 , la tangente en (1, 1) y el eje OY

Resolucin

Escribimos la ecuacin de la tangente en el (1,1), para ello hallamosla pendiente, que es la derivada en dicho punto.

y = 4x3 ; Para x = 1 se tiene la pndiente = m = 4.

La ecuacin de la tangente es:

y 1 = 4(x 1)

Despejando la y ; y = 4x 3 es la tangente.

Esta tangente corta al eje OY en el punto en que x = 0 ; en y = -3

Importante ver el valor de las funciones

en el intervalo, para saber cmo hallar

el rea.


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El rea con el eje OY es =

;

;

rea =

EJERCICIO N 4

Hallar el rea del recinto R(n) limitado por y = x2

4nx + 4n2

; y = x2

;OX

Resolucin

La curva y = x2 4nx + 4n2 es y = (x

2n)2 que es la curva y = x2 , cuyo vrtice

est trasladado al punto (2n, 0)

Las curvas se cortan en: x2 4nx + 4n2 =

x2 ; 4n2 4nx = 0 x = n ; y = n2

rea =

Recordar, que para hallar el rea con el

eje OY, hay que despejar la x


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;

;

rea =

Por simetra se ve, que las dos partes del rea son iguales.

EJERCICIO N 5

Calcular los determinantes:

|A| =

Resolucin

En |A| se puede sacar factor comn , por columnas de x, y , z

= x.y.z. sumando la primera fila a las otras tres,

= x.y.z. que desarrollando por la 1 columna y luego por

la ltima fila se obtiene |A| = -3xyz

Importante ver que las dos parbolas son iguales, con el vrtice trasladado


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En |B| restando a todas las columnas la 1 , |B| = =

a.b.c

En |C| Sumando a la 1 columna las otras tres |C| =

Sacando factor comn de (a+3) y restando a todas las filas la primera:

|C| = (a + 3) (a+3)(a-1)3

EJERCICIO N 6

Dadas las matrices A y B hallar a para que | A.B | = 1.000

A=a2

1 3

1 3 4

B=

1 23 4

5 6

Resolucin

A.B =

Al aplicar las propiedades de los determinantes, es muy prctico que quede el

determinante de una matriz triangular, pues su valor es el producto de los elementos

de la diagonal.


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| A.B | = ; 10a2 = 1.000 a = 10

EJERCICIO N 7

Calcular el valor de los determinantes.

|A| =

Resolucin

En el |A| sumando a la 1 columna la 2 |A| =

= (x 1) sacando factor comn de la 1 fila

= (x 1)(x + 1) sumando la 1 columna a la 2

= (x 1)(x + 1) (x 1)(x + 1)(x2 x + 1)

Mucho cuidado con el producto de matrices, sobre todo cuando hay

parmetros.


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El |B| es de Vandermonde :

|B| = (-2 x)(5 x)(-4 x)(5 + 2)(-4 + 2)(-4 5) = - 126(-2 - x)(5

x)(-4 x)

El |C1 es tambin de Vandermonde:

|C| = (b a)(c a)(c b)

EJERCICIO N 8

Demostrar sin desarrollar , la nulidad de los determinantes:

|A| =

Resolucin

En |A| la segunda columna es suma de la primera y tercera, luego es

combinacin lineal de ellas y el determinante es nulo.

En |B| , restando a todas las columnas la primera , se obtienen

columnas proporcionales:Error!Marcador no definido. Una de las propiedades de los

determinantes es, que si dos o ms lneas paralelas son

proporcionales, el determinante es nulo.

Es muy importante caer en la cuenta de que es de Vandermonde,

porque su clculo es muy sencillo.

Importante saber bien las propiedades de los determinantes y

utilizarlas cuando se ueda


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EJERCICIO N 9

Si calcular los determinantes:

|A|=

Resolucin|A| - A la segunda fila se le ha sumado la primera multiplicada por 7,

luego no vara el valor del determinante.

A la tercera fila se le ha dividido entre 2, luego el valor del determinante queda

dividido entre 2. |A| = 5/2

|B| - La primera fila ha cambiado dos lugares, y cada vez que se

cambia por una fila contigua el valor del determinante cambia de

signo. Como son dos veces, se queda igual. |B| = 5|C| - A la primera fila se ha restado la tercera, luego no vara.

A la segunda se le ha sumado la tercera multiplicada por 2, tampoco

vara.

A la tercera se le ha multiplicado por 2, luego el determinante queda

multiplicado por 2. |C| = 10

EJERCICIO N 10

Muy importante comparar cada determinante con el dado, y aplicar

bien las propiedades de los determinantes.


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Si calcular los determinantes:

Resolucin

|A| - A la primera fila se ha multiplicado por 2 y a la segunda se ha

dividido entre 2, luego el determinante queda igual. |A| = 5

|B| - A la segunda fila se ha sumado la primera multiplicada por 3,

luego el determinante no vara. A la tercera fila se ha sumado la

primera, luego tampoco vara. |B| = 5

|C| - A la primera fila se ha restado la tercera, luego no vara el

determinante. A la segunda se ha sumado la tercera, luego tampoco

vara. |C| = 5

Aunque los determinantes parezcan distintos, hay que estudiar

muy bien la relacin entre filas o columnas.


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EJERCICIO N 11

Comprobar la nulidad de los determinantes:

Resolucin

|A| - La tercera columna es igual a la primera multiplicada por 5:

Son proporcionales, luego el determinante es nulo.

|B| - Si a la segunda fila sumamos la tercera:

que tiene las dos primeras filas

proporcionales, por lo tanto es nulo

EJERCICIO N 11

Es muy importante la propiedad de los determinantes, de que no

varan si a los elementos de una lnea se les suma los de una


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Comprobar que el determinante es

mltiplo de 5Resolucin

Sumando la segunda columna a la tercera la tercera columna

es mltiplo de 5, por tanto se puede sacar 5 multiplicando:

5. que para cualquier valor del determinante, el resultado

es mltiplo de 5.

EJERCICIO N 12

Comprobar que

Resolucin:

Sumando a la primera fila las otras dos:

Importante recordar, que si una lnea del determinante es mltiplo

de un nmero, el determinante tambin lo es,


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Restando a la segunda y tercera columna la primera:

= (a + b + c) por ser triangular, el

determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal:

= (a + b + c)3

EJERCICIO N 13

Calcular el determinante

Resolucin

Restando a todas las filas la primera

Restando a la primera y tercera columna la cuarta (para hacer ceros )

y desarrollando por la cuarta fila = 1.

EJERCICIO N 14

Importante fijarse bien en los elementos de cada lnea , para

comprobarlo de una manera sencilla, utilizando las propiedades

Muy importante conseguir hacer ceros, para que el desarrollo sea

fcil.


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Calcular el determinante:

Resolucin

Restando a la primera fila la segunda, y a la segunda la tercera:

; Restando a la segunda columna la primera:

; Restando a la primera columna la tercera

multiplicada

por 2 :

EJERCICIO N 15

Comprobar que

Importante restar filas o columnas para hacerlo ms sencillo. Directamente

sera muy complicado.


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Resolucin

Restando a la primera columna la segunda y a la

tercera la cuarta:

; Restando a la segunda

columna la primera y a la cuarta la tercera:

= x.z ; Restando a la cuarta columna la primera:

= x.z x.z.x.z ( por ser triangular) = x2.z2

EJERCICIO N 16

Sea f(x) = Si no existe tal que f (c) = 0,

contradice el teorema de Rolle?Resolucin

Para que se verifique el teorema de Rolle debe cumplir tres condiciones:

a) Debe de ser contnua en el intervalob) Derivable en el abierto (-1, 1 )c) F(-1) = f(1)

Muy importante conseguir hacer ceros, ya que el desarrollo

por los elementos de una lnea sera muy largo.


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La funcin no es contnua en x = 0 :

No tiene lmite en x = 0

No es contnua en el intervalo dado. Por tanto al no cumplir las

condiciones , no contradice.

EJERCICIO N 17

Si f(x) es derivable , y f (x) , y f(0) = 3, demostrar

que Error!Marcador no definido.

Resolucin

Por ser derivable , lo es en el intervalo cerrado . Por ser

derivable, sabemos que es contnua en dicho intervalo. Cumple las dos

condiciones del teorema de Lagrange. Lo aplicamos en ese intervalo:

f( c ) =

Como f (x) , f(22) 22 + 3 Luego f(22) 25

EJERCICIO N 18

Estudiar la derivabilidad de la funcin en el punto x = 2 , en funcin de

f(x) =

Resolucin

Para que sea derivable debe ser contnua.

Contnua - Si entonces es contnua en x = 2

Muy importante hallar los lmites laterales para ver la continuidad.


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Luego para que tenga lmite debe ser - 2 + ;

= -2

Para = -2 es contnua en x = 2

Derivablef (2, + ) = 1 2x = -3 ; f (2, -) = = -2

Las derivadas laterales son distintas, luego no es derivable en x = 2

EJERCICIO N 19Estudiar la derivabilidad de la funcin en x = 1

f(x) =

Resolucin

Quitamos el valor absoluto, y se puede escribir: f(x) =

Primero estudiamos la continuidad en x = 1

Si entonces es contnua en x = 1

0 Adems f(1) = 0

Cumple la condicin, luego es contnua en x = 1

Derivable

f (1, - ) = -1 f (1, + ) = 2

Las derivadas laterales son distintas, luego no es derivable en x = 1

EJERCICIO N 20

Toda funcin derivable es continua. Luego hay que ver primero la

continuidad, pues si no es continua no puede ser derivable

Al estudiar la continuidad no basta con que tenga lmite, hay que

ver si la funcin est definida en el punto y si coincide su valor


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Sean las funciones : a) g(x) = b) f1 (x)

= (x 1).g(x) c) f2(x) = (x 1)2g(x) Estudiar la derivabilidad de f1(x) y

f2(x) en x = 1

Resolucin

f1(x) = Se ve claramente que es contnua en x = 1,

pues su lmite es cero, igual que el valor de la funcin en x = 1

Sin embargo no es derivable:

f1(1, -) = 2x 1 = 1 f1 (1, +) = 2x = 2 No es derivable en x = 1

f2 (x) = Se ve tambin que es contnua en x = 1

f2(1, - ) = 3x2 4x + 1 = 0 f2(1, + ) = 3x2 2x 1 = 0

Si es derivable en x = 1

EJERCICIO N 21

Sea f(x) = x2 3x + 4. Hallar la ecuacin de la tangente a f(x) en un punto

cualquiera a. Hallar le valor o valores de a para que esta recta pase por

P(0,0)

Resolucin

Para x = a ; y = a2 3a + 4 El punto es A(a, a2 3a + 4)

f (x) = 2x 3 ; f (a) = 2a 3 Luego la pendiente m = 2a 3

Muy importante la continuidad y las derivadas laterales


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La ecuacin de la tangente es: y - (a2 3a + 4 ) = (2a - 3) (x a)

Si pasa por el punto P(0,0), ste pertenece a la recta, luego satisface suecuacin:

Para x = 0 ; y = 0 ; -(a2 3a + 4) = (2a - 3) (-a)

-a2 3a + 4 = -2a2 + 3a ; a2 = 4 a = 2

EJERCICIO N 22

Sea la funcin f(x) =

Hallar los valores de a y b para que f(x) sea derivable

Resolucin

Primero vemos la continuidad. Si no es contua no puede ser derivable

Contnua : Tiene que tener lmite, es decir los lmites laterales iguales

Como los lmites deber ser iguales, de aqu sacamos una condicin:

a + 2b = 1 a

Derivable

f (1, - ) = a + 4bx = a + 4b ; f (1, + ) = 2x 2a = 2 2a

Para que sea derivable, las derivadas laterales deben ser iguales.

Sacamos la segunda condicin:

A + 4b = 2 2a ; Formamos el sistema:

De donde a = 0 ; b = 1/2

Importante recordar ,que la pendiente de la tangente en un punto es

la derivada de la curva en dicho punto.


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EJERCICIO N 23

Sea f(x) = x| x 1 | es derivable en x = 1?

Resolucin

Quitamos el valor absoluto: f(x) =

Se ve claramente que es contnua en x = 1

Derivable:f (1, -) = 2x 1 = 1 ; f (1, +) = -2x + 1 = -1

No es derivable en x = 1. El punto x = 1 es un punto anguloso, que tiene

dos tangentes

EJERCICIO N 24

Las grficas que siguen corresponden a las funciones :

f (x) = xsen( x) ; g(x) = x2sen( x) ; h(x) = x2cos( x) en el intervalo

[-2, 2] pero no se sabe si estn en ese orden o si estn desordenadas.

Relacionar de forma razonada cada grfica con la funcin

correspondiente

Importante mirar primero la continuidad, porque adems de ser requisito, nos

suele dar alguna condicin entre los parmetros

Cuando hay valores absolutos, para hallar los lmites o derivadas, lo mejor

es quitar el valor absoluto, descomponer la funcin en trozos


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Resolucin

La del medio y la de la derecha son funciones del

seno, porque se anulan para

x = 2 y x = -2Luego la de la izquierda es h(x). Adems el coseno es funcin par y la

x est al cuadrado. Es simtrica respecto del eje OY.

La de la derecha es g(x) porque es impar.

La del medio es f(x), que es par.

EJERCICIO N 25

La grfica que sigue corresponde a una funcin f :

Entre las tres grficas restantes estn representadas la de su derivadaprimera f (x) y la de su derivada segunda f (x). Adems hay otra grfica sinrelacin con las anteriores.

Sabiendo que las grficas estn representadas en el mismo intervalo,cul de entre las tres es la grfica de f (x)? cul es la de f (x)?

Es importante estudiar los puntos donde se anula la funcin, as como

su paridad


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Resolucin

Suponiendo que los mnimos de la funcin dada estn en x = 2 y x = -2:

f(x) -


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EJERCICIO N 27

Hallar en qu puntos la tangente a f(x) = x3 3x + 1 es paralela a OX y

escribir su ecuacin

Resolucin

Si es paralela a OX, es decir horizontal, la pendiente es cero; m = 0 ;

y= 0Y= 3x2 . 3 = 0 ; x = 1 ; Los puntos P(1, -1) ; P(-1, 3)

En P(1, -1) la ecuacin es: y + 1 = 0(x 1) ; y + 1 = 0

En P(-1, 3) la ecuacin es y 3 = 0(x + 1) ; y 3 = 0

EJERCICIO N 28Las grficas que se muestran en la figura adjunta corresponden a una funcin f,

a su derivada f y otra funcin g. Todas ellas estn definidas en un mismo

intervalo. Desafortunadamente, al componer el dibujo ( en el que se muestran

tambin los ejes) las grficas han sido colocadas al azar

Identifica de forma razonada, cul de ellas corresponde a f, cul a f y cul a

g.

Resolucin

La tercera, C, es f(x). La primera, A , es f (x) . La segunda, B, es g(x)

f(x) es creciente en (0,a) luego f (x) > 0 en (0,a)

f(x) es decreciente en (a,c) luego f (x) < 0 en (a,c)

f(x) tiene mximo en x = a luego f (x) = 0 en x = a

f(x) tiene inflexin en x = b luego f (x) tiene tangente horizontal en x

= b

f (x) = 0 en x = b

Importante recordar que el producto de las pendientes de dos rectas

perpendiculares es igual a -1

Si la tangente es horizontal, la inclinacin es cero, y la pendiente es cero.


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EJERCICIO N 29

Sea f(x) derivable y f (x) . Si f(1) = 1, Puede asegurarse

que f(21) 61?. Qu se puede decir de f(40)?

Resolucin

Por ser derivable, es contnua . Podemos aplicar el teorema de

Lagrange en el intervalo [1, 21]

f (c ) = f(21) = 20.f ( c) + f(1) f(21) = 20.f ( c) + 1

Como f (x) 3 tenemos : f(21) 20.3 + 1 ; f(21) 61

Consideramos ahora el intervalo [1,40]

f ( c) = f(40) = 39.f ( c) + f(1) ; f(40) = 39.f ( c) + 1

Como f (x) 3 tenemos : f(40) 39.3 + 1 ; f(40) 118

EJERCICIO N 30

Sea la funcin g(x) =

Para qu valores de a puede aplicarse el teorema de Rolle a g(x) en [-

1, 1]?

Resolucin

Condiciones del teorema de Rolle: contnua en [-1, 1]

derivable en (-1, 1) f(-1) = f(1)

1 Esta funcin es contnua en todo el intervalo porque son dos

polinomios, siempre contnuos. El nico punto donde puede no serlo

es el x = 0

Adems f(0) = 0

Muy importante estudiar el crecimiento y decrecimiento para ver el

signo de la funcin derivada

Muy importante saber aplicar el teorema de Lagrange, una vez de verque cumple las condiciones


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Es contnua en x = 0

2 f (0, - ) = a(x + 1) + ax = a f (0, + ) = (x 1)2 + 2x(x 1) = 1

Luego a debe ser igual a 1 para que sea derivable3 Adems para a = 1 f(-1) = 0 ; f(1) = 0

Cumple las tres condiciones de Rolle para a = 1

EJERCICIO N 31

Sea la funcin g(x) =

Para qu valores de a puede aplicarse el teorema de Rolle a g(x) en [-1,

1]?

Resolucin

Condiciones del teorema de Rolle: contnua en [-1, 1]

derivable en (-1, 1)

f(-1) = f(1)

1 Esta funcin es contnua en todo el intervalo porque son dos

polinomios, siempre contnuos. El nico punto donde puede no serlo

es el x = 0

Adems f(0) = 0

Es contnua en x = 0

2 f (0, - ) = a(x + 1) + ax = a f (0, + ) = (x 1)2 + 2x(x 1) = 1

Luego a debe ser igual a 1 para que sea derivable

3 Adems para a = 1 f(-1) = 0 ; f(1) = 0

Cumple las tres condiciones de Rolle para a = 1

Importante estudiar las tres condiciones, pues si falla una, ya no se

puede aplicar el teorema

Importante estudiar las tres condiciones, pues si falla una, ya no se puede

aplicar el teorema


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EJERCICIO N 32

Sea la funcin f(x) = Calcular a y b para que f(x) sea

continua, y estudiar la derivabilidad de la funcin

Resolucin

Contnua: Si es contnua en x = 1

Luego debe ser 0 = a + b

Adems f(1) = 0

Si entonces es contnua en x = 3

luego debe ser 3a + b = 4

Adems f(3) = 4

Del sistema obtenemos a = 2 ; b = -2

Derivabilidad:

f(1, -) = 2x = 2 ; f (1, +) = a = 2 Es derivable en x = 1

f (3, -) = a = 2; f ( 3, +) = 0 No es derivable en x = 3

EJERCICIO N 33

Comprobar si f(x) = verifica el teorema de Rolle

Muy importante, adems de la igualdad de los lmites laterales,

la existencia de la funcin en el punto.


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Resolucin

Debe cumplir tres condiciones: contnua en el

cerrado [1, 3]

Derivable en el abierto (1, 3)f(1) = f(3)

Continuidad: Si entonces es contnua en x = 1

Adems f(1) = 2.

Es contnua en [1, 3]

Derivabilidad:

f(1, -) = 2 ; f (1, +) = -1 No es derivable en x = 1

No es derivable en (1, 3), luego no cumple las condiciones.

EJERCICIO N 34

Sea la funcin f(x) = Hallar p para que f(x) sea contnua

En qu punto de (- , 1) la tangente es paralela a 4x + 2y 3 = 0?

Resolucin

Continuidad: Si entonces es contnua en x = 1

Luego debe ser 1 + p = 0

Adems f(1) = 0

Tangente:

Para que sea paralela debe ser mtag = mrecta ycurva = yrecta

-2x = -2 x = 1 P(1,0)

Si no se cumple alguna de las condiciones el teorema ya no es

cierto.


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Pero x = 1 no pertenece al abierto (- , 1)

EJERCICIO N 34

Estudiar la funcin: y =

Resolucin

a) Dominio : ( - , -2) )b) Cortes con los ejes: (0, - 1/2) ; (-1/2, 0)c) No es simtricad) Asntotas: Para lela al eje OX ; x ; y = 0

Paralela al eje OY; y ; x = -2 ; x = 1

No tiene oblicua

e) Mximos y mnimos: y = que siempre es menor que

cero

Por tanto siempre es decreciente

e) Para x < -2 la funcin es negativaPara 2 < x < -1/2 la funcin es positiva

Para 1/2 < x < 1 la funcin es negativa

Para x > 1 la funcin es positiva

f) En ste caso la derivada segunda es complicada para hallar sus races.

EJERCICIO N 35

Sea f(x) derivable en todos los puntos de R. Adems f(0) = 2 y f (0 ) = -2

Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente, es decir la misma derivada

Es importante el estudio del crecimiento, cuando no hay mximos ni

mnimos


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Se definen las funciones g(x) = ef(x) y h(x) = f(ex).

Hay datos para hallar g(0) y h(0)?

Resolucing(x) = f (x).ef(x) ; g(0) = f(0).ef(0) = -2.e2

h(x) es una funcin compuesta: Llamando t(x) = ex h(x) = f.t (x) =

f(ex)

h(x) = f (t(x)).t (x)

h(0) = f (t(0)).t (0) = f (e0).e0 = f (1) no conocido.

No se puede hallar h(0)

EJERCICIO N 36

Sea el polinomio P(x) = Ax2 + Bx + C que cumple P(0) = 1 ; P(1) = 1 y

la tangente a su grfica en x = 0 es paralela a y = 2x + 3. Obtener si es

posible los coeficientes A, B y C

Resolucin

Condiciones: Para x = 0 la funcin es = 1

Para x = 1 la funcin es = 1

Para x = 0 la mtag = mrecta (por ser paralelas)

El sistema ser: 1 = C

1 = A + B + C

y = 2Ax + B

mrecta = 2 2 = B

Luego B = 2 ; C = 1 ; A = -2

A veces conviene descomponer la funcin en dos, y aplicar la derivada de lafuncin compuesta


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EJERCICIO N 37

La funcin y = x3 + Ax2 + Bx + C tiene por tangente en P(1,1) a la recta

y = 3x 2 , y dems tiene un extremo relativo en x = 4. Hallar A, B y C

Resolucin

En P(1,1) la mtag = 3 = y

Condiciones: P(1,1) es un punto de la curva

Para x = 1 ; y = 3

Para x = 4 ; y = 0 (por ser un extremo relativo)

y = 3x2 + 2Ax + B

Restando a la tercera ecuacin la segunda, queda A = -8

Sustituyendo en la segunda B = 16

Sustituyendo en la primera C = -8

EJERCICIO N 38

Importante recordar, que la pendiente de la tangente es la

derivada, y que dos rectas paralelas tienen la misma pendiente

Importante sacar del enunciado tantas condiciones comocoeficientes a calcular.


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Estudio completo de la funcin f(x) = x2 2 | x |

Resolucin:

Podemos escribir: f(x) =

a) Es una funcin contnua , los lmites laterales en x = 0 son igualesal valor de la funcin en dicho punto.

b) f (x) =

f (x) =

Tiene dos mnimos

c) En x = 0 no es derivable. f (0, -) = 2 ; f (0, +) = -2En x = 0 tiene dos tangentes . Es un punto anguloso.

En x = 0 tiene un mximo relativo. M(0,0)

d) Corta a los ejes en x = 2 y en x = -2e) Es una funcin par, simtrica respecto del eje OY

EJERCICIO N 39

Estudio completo de la funcin f(x) =

Resolucin

En las funciones con valor absoluto, adems de desdoblarlas en dos, hay que

fijarse en los puntos angulosos, que suelen ser extremos relativos.


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a) Es una funcin contnua.

; f(0) = 0

b) Asntotas: Cuando x : y = = indeterminado

Aplicando L Hpital : ; y = 0 es asntota horizontal

c) y = e-x x.e-x = e-x (1 x) = 0 ; x = 1 es posible extremo relativo

y = e-x(x 2) ; Para x = 1 ; y < 0 luego es mximo; M(1, e-1)

d) y = 0 ; x = 2 posible punto de inflexin.y = e-x(3 x) que para x = 2 es distinta de cero. Es pues P.I(2,

2.e-2)

e) En 0 < x < 1 y > 0 es creciente

En 1 < x < y < 0 es decreciente

f) Para x > 0 la funcin es siempre positiva

EJERCICIO N 40

Sea f(x) = L(x3 3x). Hallar : dominio, extremos relativos y asntotas

Resolucin

a) Para que exista la funcin , debe ser x3 3x > 0 ; x(x2 3) > 0Las tres soluciones determinan cuatro intervalos , de los cuales dos

son positivos y dos negativos.

Con todos estos datos sera muy interesante representar la

funcin


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- < x < 0 ; es positivo, luego existe la

funcin

< x < ; tambin es positivo, luego tambin existe.

b)y = El numerador se hace cero para x = 1 y para x = -1

Pero para x = 1 no existe. Solamente puede haber extremo en x = -1

y = ; Para x = -1 y < 0 Hay Mximo , M(-1, L2 )

c)Cuando x tiende a ms infinito , la y tiende a ms infinito. Luego no hayasntota horizontal

Cuando y tiende a menos infinito , las asntotas son x = 0;

EJERCICIO N 41

Sea y = x3 + bx2 + cx + d . Hallar los coeficientes ,si la tangente en el

punto de inflexin P.I(1,0) es y = .3x + 3

Resolucin

Condiciones: El punto (1,0) pertenece a la curva

Para x = 1 la segunda derivada es nulaPara x = 1 la derivada es igual a la pendiente de la tangente = 3

y = 3x2 + 2bx + c ; y = 6c + 2b

Importante para hallar las asntotas, que cuando x tiende a valer cero, su

Neperiano tiende a menos infinito.


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b = -3 ; c = 0 ; d = 2

EJERCICIO N 42

Dada f(x) = x2 1 definida en [-3, 2], sea P una particin del intervalo tal

que P = . Calcular la suma superior y la suma

inferior correspondiente a la particin en ese intervalo.

Resolucin

Hallamos los valores mximo y mnimo de la

funcin en las distintas particiones:

[-3, -2] Mximo = 8 ; mnimo = 3

[-2, -1] Mximo = 3 ; mnimo = 0

[-1, 1 ] Mximo = -1 ; mnimo = 0

[ 1, 2 ] Mximo = 3 ; mnimo = 0

Suma inferior = 1.3 + 1.0 + 2.0 + 1.0 = 3

Suma superior = 1.8 + 1.3 + 2.(-1) + 1.3 = 12

Importante recordar que en el punto de inflexin se anula la segunda

derivada.

Importante hallar bien los valores mximos y mnimos de la funcin

en la particin


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EJERCICIO N 43

Calcular la suma superior e inferior para f(x) en [1, 4] correspondiente a la *

particinResolucin

[0, 1] Mximo = 3 ; mnimo = 2

[1, 2] Mximo = 3 ; mnimo = 1

[2, 4] Mximo = 4 ; mnimo = 1

Suma inferior = 2.1 + 1.1 + 1.2 = 5Suma superior = 3.1 + 3.1 + 4.2 = 14

EJERCICIO N 44

Sin calcular I = , es cierto que 18

Resolucin

Sabemos que m(b a) M(b a) siendo M el mximo de

la funcin y m el mnimo

Para x = 5 es el mximo ; M = 50 pues sen2(x2 + 1) es siempreque 1

Para x = 3 es el mnimo ; m = 9

9.(5 3) 50.(5 3) . Luego 18

Importante fijarse bien en la amplitud de los intervalos

Importante recordar que el valor del rea est comprendido entre el rectngulo de

altura mnima (por defecto ) y el rectngulo de altura mxima ( por exceso).


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EJERCICIO N 45

Aplicar la integracin por partes, para obtener

Resolucin

u= Lx ; du =

dv = (xn + x2 ).dx ; v =

Llamando I a la integral dada:

I = Lx.

= Lx.

= Lx.

EJERCICIO N 46

Hallar la primitiva de f(x) = que valga cero en x = 1

Resolucin

Por descomposicin en fracciones simples:

Es muy importante integrar bien dv, y tener en cuenta los signos.


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Igualando numeradores:

2 = A(x + 1)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(x + 1)

Para x = 0 ; 2 = 2A ; A = 1

Para x = -1; 2 = -B ; B = -2

Para x = -2 ; 2 = 2C ; C = 1

Llamando I a la integral dada: I =

Son tres Neperianos:

I = Lx 2L(x + 1) + L(x + 2) + K

Todas las funciones primitivas estn en : F(x) = Lx 2L(x + 1) + L(x +

2) + K

Para x = 1 , la funcin F(x) debe ser cero . F(x) = 0

Sustituyendo x = 1, obtenemos el valor correspondiente de K:

F(x) = 0 = L1 2L2 + L3 + K; Pero L1 = 0 ; Luego K= 2L2 L3

La funcin pedida ser: F(x) = Lx 2L(x + 1) + L(x + 2) + 2L2 L3

Que, aplicando las operaciones de logaritmos se puede escribir:

F(x =

EJERCICIO N 47

Es muy importante, descomponer bien el denominador, y hallar el

valor de K en cada caso.


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Hallar el lmite:

Resolucin

= indeterminado; Aplicando L Hpital :

Seguimos aplicando hasta que no sea

indeterminado:

EJERCICIO N 48

Calcular el lmite:

Resolucin:

indeterminado. Para aplicar LHpital

escribimos en forma de cociente:

indeterminado.

Aplicando LHpital:

Cada vez que se aplica LHpital ,hay que ver si sigue siendo o no

indeterminado


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EJERCICIO N 49

Dada la matriz A , hallar k para que exista la matriz inversa, y calcular A-1

para k = 2

A =

Discusin

Para que exista la matriz inversa A-1 , el determinante de A ha de ser

distinto de cero.

|A| =

Para k = 1 ; k = 3 No existe la matriz inversa A-1

Para k 1 ; k 3 Existe la matriz inversa A-1

Resolucin

A-1 = (Adj A)t Para k = 2 sustituyendo arriba, |A| = 1

Importante recordar, que para poder aplicar LHpital , debe ser

un cociente indeterminado,


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La matriz Adjunta de A es : Adj (A) =

A-1 = =

Se puede comprobar si est bien la inversa sabiendo que A.A-1 = A-1.A

= I

EJERCICIO N 50

Hallar para que exista la inversa de A, y calcular A-1 para = 1

A =

Discusin

Para que exista la matriz inversa, el determinante de la matriz debe

ser distinto de cero.

|A| = = ( - 2) Para no existe la inversa

Es muy importante tener mucho cuidado con los signos al hallar

la matriz adjunta.


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Resolucin

|A| = = -1 Adj(A) =

A-1 =

Sea A la matriz A = Calcular (I + A).(I A)-1

Resolucin

I = I + A = I A =

| I A | = 1 por ser triangular. Adj ( I A ) =

( I A )-1 =

( I + A ).( I A )-1 =

Importante de, adems de tener cuidado con la adjunta, no olvidarse que luego

es la traspuesta.


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EJERCICIO N 51

Hallar los valores de x para los que existe A-1 , siendo A =

Resolucin

Para que exista la inversa A-1 el determinante de A debe ser distinto de

cero

2.| x | - | x 2 | = 0 Debe ser 2.| x | = | x 2 |

Hay dos posibilidades: 2x = x 2 de donde x = -2

2x = -x + 2 de donde x = 2/3

Existe A-1 para todos los valores x - 2 ; x 2/3

EJERCICIO N 52

Sean las matrices A y B. Hallar el rango de A y B en funcin de

Para hallar la inversa, cuidado primero con la adjunta y no olvidar la

traspuesta

Al ser valor absoluto | x 2 | , la diferencia

x 2 pude ser positiva o negativa. Por eso hay que dar dos

soluciones.


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DiscusinEn el caso de A es ms fcil hallar el rango por

determinantes

|A| =

Si el rango de A = 3 ( el determinante es distinto de cero)

Si el rango de A es 2

En el caso de B es muy fcil viendo las filas o columnasproporcionales y por lo tanto dependientes unas de otras.

B = Si = 1 las filas y columnas son

proporcionales, dependientes, El rango es 1

Si No son todas proporcionales. El rango es 2.

EJERCICIO N 53

Hallar el rango de la matriz A en funcin de a y b

Resolucin

Las columnas segunda, tercera y cuarta son proporcionales. La tercera

fila es suma de las dos primeras. Luego solamente hay dos filas y dos

columnas que pueden ser linealmente independientes. El rango ser igual o

menor que 2

Importante recordar que el rango es el nmero de filas o

columnas linealmente independientes.


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Si a = 3b el determinantes es nulo, el rango de A es 1

Si a 3b el determinantes es distinto de cero. El rango de A es 2

EJERCICIO N 53

Ha

Recordar que el rango por filas es igual al rango por columnas. Si en

las columnas hay dependencia, tambin debe haber en las filas


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colecciÓn de ejercicios 2º bach

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