Ejercicios algebra1. Utilice el mtodo de eliminacin de Gauss Jordn, para encontrar todas las soluciones (si existen) de los siguientes sistemas lineales:1.1 x 4y 7z = 15x -7y - z = 5-4x + y + 6z = -4

1-4-71F2 + F3 --> F2F1 (-1) + F2 --> F2F1 (4) + F3 --> F3F2 (-1/2) --> F2F2 (15) + F3 --> F3F2 (4) + F1 --> F1F3 (-112) --> F3F3 (6) + F2 --> F2F1 (31) + F1 --> F11-4-711-4-71

5-7-151-6510-2120

-416-4-416-4-416-4

1-4-711-4-7110-311

0-212001-6001-60

0-15-2200-15-22000-1120

10-3111001

01-600100

00100010

Comprobando los resultados: x = 1; y = 0; z = 0

x 4y 7z = 1 => 1 - 4(0) 7(0) = 1 => 1 0 0 =1 => 1=1

5x -7y - z = 5 => 5(1) 7(0) 0 = 5 => 5 0 0 = 5 => 5 = 5

-4x + y + 6z = -4 => -4(1) + 0 + 6(0) = -4 => -4 + 0 + 0 = -4 => -4 = -41.23x 4y -7z = 115x 7y z = -18

3-4-71F1(1/3) --> F11-4/3-7/3F1(-5) + F2 --> F21/3

5-7-1-185-7-1-18

1-4/3-7/31/3F2(-3) --> F21-4/3-7/3F2(4/3)-F1 --> F11/3

0-1/332/3-54/301-3254

10128/372

01-3254

El sistema tiene infinitas soluciones, escribimos el vector que satisfaga las dos ecuaciones despejando cada una as:Despejando la primera ecuacinX 128/3z = 72X= 72 + 128/3zDespejando la segunda ecuacin-y -32z = 54-y = 54 32zEl vector queda as[72 + 128/3z , 54 + 32z]

1.3

2. Resuelva el siguiente sistema lineal, empleando para ello la inversa (utilice el mtodo que prefiera para hallar A-1 ).Resolucin por determinantes:

Resolucin por Gauss JordanCalculamos el determinante

3-4-7

5-7-23-7-2--45-2+-757

-41616-46-41

3(-42 - 2) + 4(30 8) 7(5 + 28)-126 6 + 120 32 35 + 196Determinante = 117

F1 + F3 F3El sistema tiene una nica solucin, aplicamos el mtodo Gauss Jrdan:

3-4-71003-4-7100

5-7-20105-7-2110

-416001-1-3-1100

F3 (-1) F3F3 (2) + F2 F2 ^ F3 (7) + F1 F1

3-4-710010170-60-7

5-7-20107-10-21-2

131-10-1131-10-1

F2 (-17) + F1 F1 ^ F2 (- 3) + F3 F3F1 (- 1/129) F1

10170-60-712900-4017-41

-7102-12-7102-12

131-10-12201-73-7

F1 (7) + F2 F2 ^ F1 (- 22) + F3 F3

10040/129-17/12941/12910040/129-17/12941/129

-7102-12010538/129-248/129545/129

2201-73-7001-1783/129761/129-1805/129

A continuacin multiplicamos la matriz resultante por el vector [ -11 -9 7 ][ ] [ -11 -9 7 ] = = 0

[ ] [ -11 -9 7 ] = = 1

[ ] [ -11 -9 7 ] = = 1

Ahora probamos que los valores resultantes satisfagan el sistema de ecuaciones:

1. 3x 4y -7z = -113(0) -4(1) -7(1) = -110 4 -7 = -11-11 = -112. 5x -7y 2z = -95(0) -7(1) 2(1) = -90 7 2 = -9-9 = -93. -4x +y + 6z = 7-4(0) + 1 + 6(1) = 70 + 1 + 6 = 77 = 7Es la solucin.

5. Encuentre la ecuacin general del plano que:

5.1 Contiene a los puntos P= (-8,4,1), Q=(-1,-8, -3) y R=(-3,-2,-1)

Hacemos la resta entre los puntos P y Q, y la resta entre los puntos P y R:P-Q= (-8;4;1) - (-1;-8;-3)= (-7;12;4)P-R= (-8;4;1) - (-3;-2;-1)= (-5;6;2)

Con los resultados hacemos el producto vectorial entre ellos (-7;12;4) ^ (-5;6;2)= (0;-6;-18)Despus reemplazamos en la frmula de la ecuacin del plano

A= (0,-6;-18) x (x- (-8); y-4; z-1)A= 0x+0 -6y+24 -18x+18=0A= -6-18z+6=05.2 Contiene al punto P= (-1,-8, -3) y tiene como vector normal a n = 3i + 2j - 5ka(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0

Sustituimos:3(x-(-1)) + 2(y-(-8)) - 5(z-(-3))=03(x+1)+2(y+8)-5(z+3)=03x+3+2y+16-5z-15=03x+2y-5z+4=0

6. Encuentre todos los puntos de interseccin de los planos: 1 = 9x -2y -8z = 10 y 2 = -5x -7y -8z = 2

F1 (5) + F2 F2Resolvemos el sistema por medio de Gauss

F1 (1/9) F19-2-8101-2/9-8/910/9

-5-7-825-7-82

F2 (- 9/73) F2F2 (2/9) + F1 F1

1-2/9-8/1010/91-2/9-8/1010/9

073/9-112/968/901112/73-612/657

1040/73-66/73

01112/73-612/657

Una vez resulto por Gauss, obtenemos las siguientes ecuaciones:

x + = despejando x queda: x = - resolviendo queda: x=

y + = despejando queda: y = - resolviendo queda: y =

El punto de interseccin de los planos 1 y 2 es ( , )Para demostrarlo reemplazamos los valores de las coordenadas en las ecuaciones as: 1 = 9x -2y -8z = 10 y 9( ) 2( ) -8 = 10

= 10 = 1010 = 10

2 = -5x -7y -8z = 2-5() 7( ) -8 = 2 = 2 = 22 = 2Es la solucin.