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Mora Valencia, Andrs Estimadores del ndice de cola y el valor en riesgo CUADERNOS DE ADMINISTRACIN, nm. 44, julio-diciembre, 2010, pp. 71-88 Universidad del Valle Cali, ColombiaDisponible en: http://redalyc.uaemex.mx/src/inicio/ArtPdfRed.jsp?iCve=225017586005

CUADERNOS DE ADMINISTRACIN ISSN (Versin impresa): 0120-4645 cuadernosadm@univalle.edu.co Universidad del Valle Colombia

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Estimadores del ndice de cola y el valor en riesgoMeans of estimating the tail index and the value at risk Estimateurs de lindice de queue et la valeur en risque

ResumenEste artculo presenta algunas metodologas para cuantificar riesgo cuando la distribucin de prdidas presenta eventos extremos, debido a que los activos financieros generalmente presentan alta curtosis. De esta manera, el principal concepto utilizado en el documento es el valor en riesgo (VaR, por sus siglas en ingls), medida introducida por J. P. Morgan en 1995. Desde el punto de vista estadstico, VaR es un cuantil de una funcin de distribucin; sin embargo, su valor depender de la forma de la distribucin que se utilice para ajustar los datos de prdida. Por tal razn, al estimar de manera confiable el parmetro de forma de la distribucin de prdidas, se obtiene un estimador confiable de medida de riesgo. La teora del valor extremo (EVT, por sus siglas en ingls) es una tcnica estadstica que ha sido empleada para tal fin. En este documento se utiliza la metodologa de EVT, denominada picos sobre el umbral (POT, por sus siglas en ingls), en el cual, se estima el parmetro de forma de la distribucin de excesos mediante mxima verosimilitud. Este mtodo de estimacin se revisa brevemente en el documento junto con el mtodo de mnimos cuadrados ponderados. Este ltimo se utiliza para cuantificar el estimador de Hill y con este valor se calcula el VaR para distribuciones con colas pesadas. Finalmente, se comparan las metodologas propuestas en el artculo para cuantificar VaR con otras dos metodologas que son simulacin histrica y bajo el supuesto de normalidad mediante pruebas de desempeo a dos casos.Palabras clave: ndice de cola, colas de Pareto, VaR, mxima verosimilitud, cuadrados ponderados. Cuadernos de Administracin Universidad del Valle No. 44 Julio-Diciembre 2010

Andrs Mora Valencia amora@cesa.edu.co Calle 35 No. 6-16 Colegio de Estudios Superiores de Administracin - CESA, Bogot - Colombia. Magster en Ingeniera Industrial, Universidad de los Andes, Bogot - Colombia. Especialista en Matemticas Avanzadas, Universidad Nacional de Colombia. Profesor investigador, Facultad de Administracin de Empresas, Colegio de Estudios Superiores de Administracin - CESA. Artculo Tipo 2: de reflexin Segn Clasificacin Colciencias Fecha de recepcin: junio 12 2010 Fecha de correccin: septiembre 14 2010 Fecha de aprobacin: septiembre 30 2010

72Means of estimating the tail index and the value at risk Estimadores del ndice de cola y el valor en riesgo Estimateurs de lindice de queue et la valeur en risque Estimateurs de lindice de queue et la valeur en risque Estimadores del ndice de cola y el valor en riesgo Means of estimating the tail index and the value at risk

AbstractThis article presents some methodologies to quantify risk when the loss distribution exhibits extreme events because the financial assets generally have high kurtosis. Thus, the main concept utilized in the document is the Value at Risk (VaR), a measure introduced by J. P. Morgan in 1995. From the statistical point of view, VaR is a quantile of a distribution function, but its value depends on the shape of the distribution that is used to fit the data loss. For this reason, in order to obtain a reliable measure of risk it is necessary to obtain a reliable shape parameter of the distribution of losses. The extreme value theory (EVT) is a statistical technique that has been used for this purpose. This document uses the EVT methodology, called peaks over threshold (POT), in which the shape parameter of the distribution of excesses is estimated by maximum likelihood. This estimation method is briefly reviewed in the document along with the weighted least squares method. The latter is used to quantify the Hill estimator and this value is used to calculate VaR for heavy tailed distributions. Finally, we compare the methods proposed in the article to measure VaR with two other methods that are; historical simulation and the assumption of normality through backtesting in two cases. Andrs Mora Valencia Silvio Borrero Caldas Keywords: tail index, Pareto tails, VaR, maximum likelihood, weighted squares.

RsumeCet article prsente quelques mthodologies pour quantifier un risque quand la distribution de pertes prsente des vnements extrmes, grce ce que les actifs financiers prsentent en gnral une haute kurtosis. De cette faon, le principal concept utilis dans le document est celui de valeur en risque (VaR, par ses sigles en Anglais), mesure introduite par J. P. Morgan en 1995. Du point de vue statistique, VaR est un quantile dune fonction de distribution ; cependant, sa valeur dpendra de la forme de la distribution que lon utilise pour ajuster les donnes de pertes. Par telle raison, aprs avoir estim dune manire de confiance le paramtre de forme de la distribution de pertes, on obtient un estimateur de confiance pour la mesure de risque. La thorie de la valeur extrme (EVT, par ses sigles en Anglais) est une technique statistique qui a t employ pour telle fin. Dans ce document on utilise la mthodologie EVT avec la mthode des dpassements de seuil (POT, par ses sigles en Anglais), dans laquelle, le paramtre de forme de la distribution dexcs est estim par la probabilit maximale. Cette mthode destimation est brivement repasse dans le document avec la mthode de minimes carrs pondrs. Ce dernier est utilis pour quantifier lestimateur de Hill et avec cette valeur on calcule le VaR pour les distributions avec des queues lourdes. Finalement, on compare les mthodologies proposes dans larticle pour quantifier le VaR avec deux autres mthodologies qui sont, la simulation historique, et lhypothse de normalit au moyen dessais de dgagement deux cas. Mots clef: Indice de queue, queues de Pareto, VaR, vraisemblance maximale, carrs pondrs.

Estimadores del ndice de cola y el valor en riesgo 1. Introduccinros es muy frecuente reportar la mxima prdida esperada dado un nivel de confiabilidad y en un tiempo determinado. Este concepto es conocido como VaR o el valor en riesgo, medida introducida por J.P. Morgan en 1995 en su documento de Riskmetrics. Desde el punto de vista estadstico, el VaR no es ms que un cuantil de una funcin de distribucin de prdidas dado un nivel de probabilidad. Sin embargo, las primeras aplicaciones de VaR presuman prdidas distribuidas normal. En riesgo financiero es poco comn encontrar un factor de riesgo cuya distribucin de prdidas sea normal; por lo general, en riesgo de mercado estas distribuciones de prdida presentan valores de curtosis1 ms alto que el de una normal, lo que indica que hay ms probabilidad en las colas de estas distribuciones que en la de una normal. Esto quiere decir que la probabilidad de que un evento extremo ocurra es muy baja, pero cuando se da, se incurre en grandes prdidas. En riesgo crediticio es comn tener distribuciones de prdidas asimtricas, y el coeficiente de asimetra de una normal es cero. Por tal razn no es conveniente utilizar el supuesto de normalidad en la distribucin de prdidas para cuantificar riesgo financiero. De esta manera, el presente documento se divide de la siguiente forma: en la seccin uno se presentan las distribuciones ms utilizadas para modelar prdidas extremas. La seccin dos presenta dos mtodos de estimacin de parmetros de distribuciones para luego ser aplicados en la cuantificacin de cuantiles, como medida de riesgo. La seccin tres describe brevemente el mtodo de picos sobre el umbral (POT, por sus siglas en ingls), es esta la metodologa ms utilizada bajo el enfoque de la teora del valor extremo. En la seccin cuatro se muestra cmo estimar VaR para 1.

En administracin de riesgos financie-

distribuciones de colas pesadas y mediante el mtodo POT. La seccin cinco aplica las metodologas expuestas en la seccin anterior a datos reales y que han sido analizados por varios investigadores, como tambin al IGBC. Finalmente la seccin seis concluye.

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2. Distribuciones de colas pesadasEn finanzas y seguros es de particular inters el estudio de distribuciones con alta probabilidad en las colas comparadas con una normal, las cuales se denominan distribuciones de colas pesadas. Una distribucin con un valor alto de curtosis se relaciona con una distribucin de colas pesadas. El capital de una compaa financiera puede verse gravemente afectado si la distribucin de prdidas de un activo financiero o de quejas en seguros es bien modelada por una distribucin de colas pesadas puesto que existe una probabilidad, muy baja, de que un evento extremo ocurra pero cuando este evento suceda causar grandes prdidas. Ejemplos de estas distribuciones estn la doble exponencial, t, modelos mezclados, Pareto y distribuciones con colas de Pareto. A continuacin se describe brevemente algunas de estas funciones utilizadas en finanzas. Para ms detalles, ver Ruppert (2004, pg. 28-36).

2.1. Distribucin doble exponencialEsta funcin tambin es conocida como distribucin de Laplace, que tiene colas un poco ms pesadas que las de una normal y su funcin de densidad est dada por: f (x) = 1 exp 2b ( |x ba| (

Donde a y b son los parmetros de localizacin y de escala respectivamente. La Figura 1 compara la funcin de una normal y una doble exponencial:

La curtosis mide qu tan elongada es una funcin de distribucin. Si este valor es mayor a tres, la distribucin presenta un pico alto y colas alargadas (pesadas), pero si es menor que tres, la distribucin es relativamente plana. Si es igual a tres la distribucin no es tan elongada ni tan plana (Canavos, 1988). La distribucin normal tiene una curtosis igual a tres.

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Figura 1. Comparacin de densidad de una distribucin normal estndar (lnea ms oscura) con una doble exponencial con parmetro de localizacin igual a cero y parmetro de escala igual a uno

Densidad

Densidad normal y doble exponencial

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0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 Datos Datos

Fuente: elaboracin propia basado en Ruppert (2004).

Como se puede observar, la funcin de densidad normal converge a cero mucho ms rpido que la de una doble exponencial a valores muy grandes de x. Esto tambin se puede observar al comparar las dos funciones. Si se asume una normal estndar, esta funcin es proporcional a exp (-1/2 (x)2) mientras que la de una doble exponencial es proporcional a exp(-|x|) si el parmetro de localizacin es igual a cero y el parmetro de escala igual a uno. Entonces el trmino (x)2 converge a - mucho ms rpido que -|x| cuando x Cuando la funcin de densidad se comporta como -|x|-(+1) para algn >0 , se obtienen colas ms pesadas y stas se denominan colas polinomiales (o tambin llamadas colas de Pareto), mientras que las de una Laplace se denominan colas expo-

nenciales. El parmetro se denomina el ndice de cola, el cual se estimar bajo una distribucin con colas de Pareto. Para distribuciones con colas polinomiales, las colas son ms pesadas entre ms pequeo es el valor de .

2.2. Distribucin tLa distribucin t ha sido ampliamente usada para modelar retornos de activos financieros. A medida que los grados de libertad () decrecen, la curtosis aumenta. Para valores grandes de |x| la funcin de distribucin es proporcional a -|x|-(+1), por lo tanto la t tiene colas polinomiales con =. Entonces, entre ms pequeo es el valor de , ms pesadas son las colas de una t.

Figura 2. Comparacin de densidad de una distribucin normal estndar (lnea ms oscura) con una t con dos grados de libertad

Densidad 0.4 0.3Andrs Mora Valencia Silvio Borrero Caldas

Densidad normal y t

0.2 0.1 -3 -2 -1 0 1 2 3

Fuente: elaboracin propia basado en Ruppert (2004).

Al igual que el caso anterior, la normal converge a cero mucho ms rpido que la t con = 2, segn puede observarse en la figura anterior.

2.3. Distribucin ParetoLa funcin de densidad de una distribucin Pareto est dada por: f (x) = c x+

Donde F es la funcin de distribucin acumulada de X. Por lo tanto, en finanzas, si X representa las prdidas en una inversin, P(X > x) es la probabilidad de que una prdida sea mayor que x. La funcin de supervivencia de una Pareto est dada por: 1 - F(x) = c (x (

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Con x>c. Como se observa, la distribucin Pareto tiene colas polinomiales con ndice de cola igual a , tambin denominada constante de Pareto. La ventaja de usar una distribucin Pareto con respecto a la t en finanzas, es que el ndice de cola en una Pareto puede tomar cualquier valor positivo mientras que en la t, el ndice de cola solo toma valores enteros positivos. La funcin de supervivencia de una variable aleatoria X est dada por: P(X > x) = 1 F(x),

Con x>c. Para valores grandes de x, la funcin de supervivencia de una distribucin Pareto converge a cero a una tasa polinomial ms lenta que una exponencial; esto indica que la distribucin Pareto tiene una cola a la derecha ms pesada. La Figura 3 es una representacin de la Figura 2.12 de Ruppert (2004), y compara las funciones de supervivencia de una Pareto, normal y exponencial, de tal manera que las tres distribuciones tienen el mismo valor de 1- F(x) en x = 0.25.

Figura 3. Comparacin de las funciones de supervivencia de una distribucin normal, exponencial y Pareto* Cuadernos de Administracin Universidad del Valle No. 44 Julio-Diciembre 2010

Funciones de supervivencia 1-F(x) 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 1 2 Pareto Normal 3 Exp 4 x

* Los parmetros de la distribucin Pareto son c = 0.25 y =1.1, la normal tiene parmetros media cero y desviacin estndar 0.3113. Por su parte, la exponencial tiene parmetro =c/. Fuente: elaboracin propia basado en Ruppert (2004).

Como se observa en la figura anterior, la funcin de supervivencia de la normal decae mucho ms rpido que la de una Pareto, y la de la exponencial est en medio de las dos.

2.4. Distribuciones con colas de ParetoUna funcin de distribucin tiene cola derecha de Pareto si su funcin de supervivencia satisface la siguiente condicin: 1 1 - F(x) = L(x) = L(x) x- x

( (

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Donde >0 y L(x) es una funcin de variacin lenta en . x puede representar valores de prdidas (tomadas positivas). De manera similar se puede definir cola izquierda de Pareto. Ejemplos de estas distribuciones son Pareto, gamma inversa, t-Student, loggamma, F y Burr. Una funcin L se dice ser de variacin lenta en si: L(x) L(x) 1 cuando x

3.1. Mxima verosimilitudSea X1, X2,, Xn una muestra aleatoria (es decir, una coleccin de variables aleatorias independientes e idnticamente distribuidas, iid) de una distribucin con funcin de densidad f(x,) y sea L(x1, x2,,xn, ), la funcin de verosimilitud de la muestra en funcin del parmetro . Si t = u(x1, x2,,xn) es el valor de para el cual el valor de la funcin de verosimilitud es mxima, entonces T = u(X1, X2,, Xn) es el estimador de mxima verosimilitud de . Dada una funcin de densidad f(x,), se define la funcin de verosimilitud como: L(x,)=

Para todo .0 >En otras palabras, para valores muy grandes de x, el valor de la funcin L evaluada en x es muy cercano al valor de la funcin L evaluada en x, para un positivo. Distribuciones con colas de Pareto son las ms estudiadas en administracin de riesgo por ser distribuciones con colas muy pesadas, puesto que como se haba mencionado anteriormente, la probabilidad de que un evento extremo ocurra es muy baja, pero cuando este evento sucede, causa grandes prdidas.

f (x , )n i=1 i

Entonces, la funcin de verosimilitud para el ndice de cola de una distribucin Pareto est dada por: L(x,)= L(x,)=

2.4.1. Distribucin BurrEste es un caso de distribuciones con colas de Pareto y ser utilizado ms adelante para mostrar un ejemplo de grfico de cuantiles de Pareto. La funcin de densidad Burr tiene la siguiente forma (tomada de Klugman et al., 2008): f (x)= (x/ )

( c ) xn i=1 +1 i

c c ... c x +1 x +1 x +1 1 2 n Aplicando logaritmo a la funcin de verosimilitud y aprovechando las propiedades de los logaritmos, se obtiene:

( )( ) ( )n

log(x,)=

log() + log(c) - (+1)log(x )i i=1

x [1+(x/ ) ]

+1

Para valores de x, , , > 0. es el parmetro de escala y , son parmetros de forma. La distribucin Burr es muy usada en el campo de seguros para simular prdidas extremas y tiene los siguientes casos especiales: Distribucin Loglogstica cuando = 1 Distribucin Paralogstica cuando = Distribucin Pareto cuando = 1

Derivando esta expresin con respecto al parmetro , e igualando a cero: n = (x /c) i=1 i De esta manera se obtiene el estimador de mxima verosimilitud para como: =

n

(x /c)i i=1

n

n

A continuacin se presentan algunos mtodos de estimacin de parmetros de distribuciones ms comunes y se estimar el ndice de cola.Andrs Mora Valencia Silvio Borrero Caldas

3. Mtodos de estimacinSe vern los mtodos de estimacin mediante mxima verosimilitud y de mnimos cuadrados. Se comienza con la definicin del mtodo de mxima verosimilitud, tomada de Canavos (1988, p. 265).

Esto es cierto si se supone que la muestra aleatoria proviene de una distribucin Pareto. Pero si se supone que la distribucin tiene colas de Pareto (como la mayora de las distribuciones de prdidas en finanzas y seguros), interesa ms utilizar los datos de la cola de la distribucin que todos los datos en s, de otra manera se incurrira en un alto sesgo en la estimacin. Por lo tanto, se escoge un dato c de los xi y se usan los datos que superen este valor de c llmese n(c). As se obtiene el conocido estimador de Hill: hill= n(c) x >c log(xi/c)i

El estimador de Hill para 1/ se define formalmente de la siguiente manera: Dado unos estadsticos de orden de n observaciones X1, X2, , Xn, el estimador de Hill est dado por: Hk,n= 1 k

Para el grfico de cuantil cuantil Pareto (tambin conocido como el grfico de Zipf) se toma F(x) = 1 - x- , la funcin de distribucin acumulada de una Pareto, entonces la funcin cuantil tiene la forma, tomando la inversa de F(x): 1 Logq = log(1-p), para p (0,1) Y se obtendra un grfico para varios valores de : {-log ( 1-p), logqp } La pendiente de esta lnea recta sera un buen aproximado de 1/. Siguiendo la notacin formal de la definicin del estimador de Hill, el grfico corresponde a: {-log , ( n + 1 ) ,logx jn-j+1

LogXj=1

k

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n-j+1

- LogX n-k

Al comparar esta ecuacin con la anterior, se obtiene la siguiente igualdad: H k,n =1/. El valor de c es X n-k. Los datos x i que superan el valor de c que anteriormente se denominaba n(c), son ahora k. A continuacin se utilizar el mtodo de mnimos cuadrados ponderados para estimar , pero antes se ver la utilidad del grfico de cuantiles de Pareto.

} para j = 1, ..., n

3.1.1. Grfico de cuantiles de ParetoPor lo general, para saber si una distribucin se puede ajustar a una serie de datos se usa el grfico de cuantiles, y el ms usado es el grfico de cuantiles de una normal. Pero para este estudio el inters es utilizar la distribucin exponencial y Pareto, en lugar de la normal para ajustar datos empricos, puesto que en riesgo se estudian distribuciones para prdidas como la lognormal, Weibull entre otras.

La Figura 4 muestra el grfico de cuantil cuantil Pareto de 1,000 datos simulados de una Pareto con parmetro de forma igual a 1, y de una distribucin Burr con parmetros de forma igual a 1. Por lo tanto, el grfico de cuantil cuantil Pareto sirve como prueba de bondad de ajuste para verificar si los datos se distribuyen Pareto, as como la versin clsica del QQ-plot para una distribucin normal. Sin embargo, los datos (financieros en general) exhiben distribuciones

Figura 4. Grco de cuantiles de Pareto para una Pareto con =1 (izq) y una Burr con parmetros de forma igual a 1 (der)

Grco cuantil cuantil Pareto

Grco cuantil cuantil Pareto log(x) 6

log(x) 8 6 4 2 1 2 3 4 5 6 7

4 2 0 -2 -4 -6 1 2 3 4 5 6 7

Cuantiles de una exponencial estndar

Cuantiles de una exponencial estndarFuente: elaboracin propia.

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con colas de Pareto donde la linealidad se observa en la parte superior del grfico de cuantil cuantil Pareto. Esto ltimo se puede ver en el lado derecho de la Figura 4; los datos siguen una distribucin Burr. Para este caso un estimador de se puede obtener de la pendiente del grfico de cuantil cuantil Pareto, pero desde un punto donde se comienza a observar linealidad, y luego se resuelve mediante un mtodo de mnimos cuadrados ponderados. El problema se convierte en decidir desde qu punto se comienza a observar linealidad en el grfico de cuantiles.

Beirlant et al. (1996) proponen un estimador del ndice de cola como la pendiente de un grfico de cuantil cuantil Pareto a partir de un punto donde comience a notarse linealidad en el grfico de cuantiles. Este punto es:

{-

log(k + 1) ,logx n-k n+1

}

El problema es, como se mencion anteriormente, identificar el punto X n - k a partir del cual el grfico de cuantiles muestra linealidad, como se observa en la siguiente figura:Figura 5. Problema de seleccin de Xn k

3.2. Mnimos cuadrados ponderados (WLS)En algunas regresiones no es vlido aceptar que todos los errores provienen de una misma poblacin. Se supone que los errores son independientes pero tienen varianzas desiguales, que son proporcionales a una de las variables explicatorias (o independientes). De forma ms general se supone que var (e i) = 2vi , para cantidades positivas vi. Entonces el estimador de mnimos cuadrados ponderados es el valor de que minimiza (yi x i) 2/vi. Cuando todos los vi son iguales, ste se convierte en el caso de mnimos cuadrados ordinarios. Una ventaja de los estimadores de mnimos cuadrados ponderados (comparado al de mnimos cuadrados ordinarios) es que no son tan sensibles a valores atpicos. En ausencia de valores atpicos, un estimador de mnimos cuadrados ordinarios puede ser ms confiable (Birkes y Dodge, 1993). La solucin de los coeficientes de una regresin, en trminos matriciales, de un modelo de mnimos cuadrados ordinarios est dada por: =(xx) xy Donde X es la matriz de regresores y contiene las observaciones de las variables explicativas, Y es la matriz de la variable dependiente y contiene las observaciones de la variable explicada. X es la traspuesta de la matriz X. Pero para un modelo de mnimos cuadrados ponderados la solucin est dada por:Andrs Mora Valencia Silvio Borrero Caldas-1

Grco cuantil cuantil Pareto log(x) 6 4 2 0 -2 -4 -6 1 2 3 4 5 6 7 log X n-k ?

Cuantiles de un exponencial estndarFuente: elaboracin propia.

Este problema es equivalente a escoger el valor de k, el nmero de datos que superan a X n-k en el Grfico de Hill. Una vez solucionado el problema de seleccin de X n-k , se aplica el mtodo de mnimos cuadrados ponderados a la ecuacin con pendiente m: = logx n-k + m x +

(

log(k + 1) n+1

)2

=(xwx) xwy Donde W es una matriz diagonal con valores w (wi = 1/i). Para ms detalles del estimador de mnimos cuadrados ponderados se puede consultar la seccin 11.5 de Greene (2002).i

-1

que conlleva a solucionar la minimizacin de la siguiente expresin con respecto a m:

w (log( xx ) -mlog( k+1 )) jj,k n-j+m n-k j=1

k

De esta manera, la solucin es: 1/k = 1wj,k logj k k

mk,m =

( k + 1 )[ logx j

n-j+1

- logx n-k ]2

( (wj,k logj=1

k

xn-j+m xn-k

)

-mlog

(

k+1 j

))

2

De esta manera, la solucin es:

( k + 1 )[ logx - logx ] j m = 1/k = 1w log(( k + 1 )) j w =1 /log ( k + 1 ), Si se escogen los pesos igual a j1/k = 1wj,k logj k j k n-j+1 n-k k,m 2 j,k j,k

Sepuedemostrarqueeldenominador 1/k logj

k

( k+1 ) j

Se aproxima a 1, por lo tanto mk,m es el estimador de Hill, Hk,n. De esta manera, se ha obtenido el estimador de Hill mediante un mtodo de mnimos cuadrados y, anteriormente, mediante mxima verosimilitud. Otros estimadores ms avanzados basados en regresin de los ltimos datos en el grfico de cuantiles de Pareto han sido obtenidos, por ejemplo ver Shultze y Steinebach (1996), Kratz y Resnick (1996) y Csrg y Viharos (1998). Estos y otros estimadores son discutidos en Beirlant et al. (2004). Este texto presenta una revisin de estimadores que mitigan el problema de sesgo en la estimacin del ndice de cola, como tambin el problema de varianza. Otro mtodo muy usado para estimar (= 1/) es mediante la estimacin del parmetro de forma de una distribucin de Pareto generalizada (GPD, por sus siglas en ingls), que se describe brevemente a continuacin.

Un administrador de riesgos est interesado en las prdidas que exceden un umbral u. Este enfoque es denominado el mtodo picos sobre el umbral (POT, por sus siglas en ingls), y ha sido estudiado por Smith (1989), Davison y Smith (1990) y Leadbetter (1991)2. Existe una amplia literatura en EVT y entre ellos estn: Embrechts et al. (1997), Resnick (1987), de Haan y Ferreira (2006), Coles (2001), Falk et al. (2004), Reiss y Thomas (1997). McNeil et al. (2005), Malevergne y Sornette (2006), Moix (2001) y Balkema y Embrechts (2007).

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4.1. Distribucin de los excesos (F(u))Se define como: F(u) = P(x-u|X > u) = F(x+u) - F(u) 1 - F(u)

Esto es, la probabilidad de que una prdida muy grande menos un umbral u sea menor que x dado que esa prdida excedi el umbral. El mtodo tradicional usado en la teora del valor extremo es el block-maxima; sin embargo, el mtodo POT usa datos de manera ms eficiente y por tal razn ha sido empleado recientemente (Gilli y Kellezi, 2003, p. 4).

4.2. Teorema del lmite para las distribuciones de excesoEn la teora del valor extremo, el siguiente resultado es de gran importancia para el clculo de medidas de riesgo: lim P u XR

4. Mtodo de picos sobre el umbralLa teora del valor extremo (EVT, por sus siglas en ingls) es una tcnica que estudia la importancia de los eventos atpicos. Esta tcnica se basa en mtodos para estimar probabilidades condicionales concernientes a eventos de cola y recientemente ha sido aplicada a riesgo financiero. En otras palabras, EVT es el estudio de las colas de las distribuciones. La teora del valor extremo dice que el valor ms grande o ms pequeo de un conjunto de valores tomados de la misma distribucin original tiende a una distribucin asinttica que slo depende de la cola de la distribucin original (Vose, 2002). EVT ha sido probado tilmente para modelar eventos catastrficos en seguros y otros eventos financieros, como prdidas inesperadas en crdito (Embrechts et al., 1998). 2.

( X - u > x|X > u )= 1 - G (x) (u)

Donde (u) es una funcin positiva tal que 1 + x > 0 y G es la funcin de distribucin de Pareto generalizada, X R es el punto final a la derecha de la distribucin de datos. Lo que es equivalente a: lim P sup |F - G (x)| = 0 u u x R x [ x R - u) Que es el teorema de Pickands, Balkema y de Haan. En otras palabras, lo que dice el teorema es que la funcin de distribucin de excesos Fu se aproxima a una funcin GPD cuando u tiende a X R .

Extreme value analysis of environmental time series: an application to trend detection in ground-level ozone (with discussion), Models for exceedances over high thresholds (with discussion) y On a basis for peaks over thresholds modeling.

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VaR es un cuantil, suponga que: x1 = VaR(p1 ) y x0 = VaR(p0 ). p1 po =

( VaR ) VaR(p1 ) (p0)0

4.3. GPD (Distribucin de Pareto Generalizada)G (x) =

{

1 - (1 + x) , si = 0 1 - e-x , si = 0

-1/

Despejando VaR(p1) y eliminando el subndice 1: p0 1/ VaR (p) = VaR (p ) p ,

( )

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Y la versin estandarizada es igual a: G, , (x) = G

( x+ )

Donde es el parmetro de forma y caracteriza la cola de la distribucin, es el parmetro de escala de la distribucin. = 1/, donde es el ndice de cola. A continuacin se vern los mtodos de cuantificacin de cuantiles como medida de riesgo.

Donde VaR(p ) es el estimado emprico del VaR; o es decir, el cuantil emprico de la distribucin de prdidas. As, el VaR es igual al cuantil empp0 rico escalado por un factor de base ,y el p exponente depende del ndice de cola. Cuando el ndice de cola aumenta, el valor de VaR estimado al nivel p disminuye.

( )

5.2. VaR bajo el mtodo POTAsumiendo que la cola de la distribucin de prdidas se aproxima a una GPD, VaR(p) est dado por: 1 - p - -1 VaR(p) = u + Nu / n Donde u es el umbral escogido (o estimado), y son los parmetros de escala y de forma de una distribucin de Pareto generalizada, Nu es la cantidad de datos que exceden el umbral y n el total de datos de la muestra. Por lo tanto Nu/n es un estimador emprico de la cola de los datos que han superado un umbral u. Este estimador de cola de distribucin se debe a Smith (1987).

5. Estimacin del VaRValor en riesgo o VaR es la medida de riesgo financiero ms comnmente usada. Esta medida fue introducida por J.P. Morgan y sus documentos tcnicos pueden ser consultados en Internet. VaR mide la mxima prdida esperada dado un nivel de confiabilidad en un tiempo determinado. Para ms detalles3, ver por ejemplo J.P. Morgan (1995) y el texto de Jorion (2001). Otra definicin de VaR es la mnima prdida esperada en el p% de los peores casos: xp = inf{x : F(x) p}, es decir, un cuantil de la funcin de distribucin de prdidas.

((

) )

6. AplicacinEn esta seccin se muestra una aplicacin a datos de seguros (constantemente revisado bajo el enfoque de la teora del valor extremo ver por ejemplo Degen et al., 2007) y a un caso nacional, IGBC.

5.1. Estimacin de VaR con colas de ParetoSuponga que las prdidas (positivas) X tienen distribucin con colas de Pareto: 1 - F(x) = P(X > x) = L(x)x- De la denicin de funcin de variacin lenta L: L(x) L(x) 1 cuando x0

6.1. Caso Danish FireEn el primer caso4, los datos comprenden 2,167 reclamos en seguro contra fuego en Dinamarca, donde las prdidas se expresan en millones de Coronas Danesas (DKM), desde marzo 1 de 1980 hasta diciembre 12 de 1990. Estas prdidas corresponden a eventos que incluyen daos a edificaciones,Cuadro 1. Estadstica descriptiva de los datos Danish Fire Estadstica Prdida en DKM 1.00 1.32 1.77 3.38 18.76 483.76 2.96 263.25 26.04 Fuente: elaboracin propia.

Sea x1 x o , entonces: L(x 1 ) L(x 0 ) 1 cuando x0

p1 p(X > x 1 ) L(x 1 )x - 1 = = = po p(X > x o ) L(x 0 )x - 0

( )

x1 x0

-

Andrs Mora Valencia Silvio Borrero Caldas

Puesto que, desde el punto de vista estadstico VaR es un cuantil, suponga que: x1 = VaR(p1 ) y x0 = VaR(p0 ). p1 po =

( VaR ) VaR(p1 ) (p0)0

Min Primer cuartil Mediana Media Coeciente de asimetra Curtosis Tercer cuartil Max

Q ( 0.99 )

Despejando VaR(p1) y eliminando el subndice 1: p0 1/ 3. Los avances (p ) recientes acerca de VaR pueden consultarse en: www.gloriamundi.org VaR (p) = VaR ms p , 4. Estos datos estn disponibles en: www.ma.hw.ac.uk/~mcneil/

( )

Donde VaR(p ) es el estimado emprico del VaR; o es decir, el cuantil emprico de la distribucin de prdidas. As, el VaR es igual al cuantil empp0

Figura 6. 2167 datos de prdida en el caso de fuego en Dinamarca

Figura 8. Densidad de los datos analizados y densidad de la distribucin lognormal Ajuste lognormal a los datos de prdida

Datos de Danish re Millones de DK 250 200 150 100 50 500 1000 1500 2000 Periodo en das

Densidad 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 5 10 15 20 25 30 35 LognormalFuente: elaboracin propia. Figura 9. Correlograma de los datos para analizar Datos de Danish Fire

81

x

Datos empricos

Fuente: elaboracin propia. Figura 7. QQ-Plot de los datos analizados QQ-Plot de datos de Danish re

Cuantiles empricos 250 200 150 100 50 -3 -2 -1 0 1 2 3 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 Cuantiles de distribucin normalFuente: elaboracin propia.

ACFCuadernos de Administracin Universidad del Valle No. 44 Julio-Diciembre 2010

50

100

150

200

x

Fuente: elaboracin propia.

mobiliario y propiedad personal. Los datos han sido ajustados por inflacin para reflejar precios a 1985 (McNeil, 1997). Se inicia con un anlisis exploratorio de los datos (Figura 6). La estadstica descriptiva muestra que los datos de prdida para analizar se alejan de una distribucin normal, como se observa en el grfico de cuantiles y corroborado por el test de Jarque Bera5 (Figura 7), (Anexo 1). 5. La hiptesis nula es normalidad de los datos.

De acuerdo con las pruebas de bondad de ajuste, la distribucin que ms se adecua a los datos es una lognormal. En la Figura 8 se muestran las densidades de los datos empricos y la lognormal con los parmetros que se encuentran en el Anexo 2. Anteriormente se muestra el grfico de funcin de autocorrelacin (Figura 9). Como se observa en La Figura 9, los datos no exhiben correlacin serial. Esto sucede a menudo

82

con datos del sector seguros (y prdidas por riesgo operativo) y se puede presumir que son observaciones iid; sin embargo, esto no es muy comn con los datos financieros. Ver Resnick (1997) para pruebas adicionales de independencia aplicadas a este caso. A continuacin, en la Figura 10, se presenta el Grfico de Hill. Pareciera que el Grfico de Hill se estabiliza en un alrededor de 1.5, es decir un de 0.67. La Figura 11 muestra el resultado de aplicar el mtodo POT al caso analizado.

Los puntos representan los datos de la cola de la distribucin en escala logartmica y la diagonal que atraviesa estos puntos es el ajuste de la distribucin GPD. La lnea punteada vertical presenta el VaR al 99% estimado mediante la metodologa POT, y es de DKM 27.28. La parbola punteada representa el intervalo de confianza del clculo del VaR, que al nivel de confianza del 95%, se tiene como lmite inferior DKM 23.36 y lmite superior de DKM 33.16. Estos resultados son obtenidos escogiendo un umbral de 10 DKM; de esta forma, el (1/) estimado es de 0.497 con un error estndar de 0.136, como se observa en el Anexo 3.

Figura 10. Grco de Hill para los datos por analizar Threshold

29.00 2.5 alpha, 2.0 1.5 1.0 0 15 201

4.66

3.00

2.22

1.84

1.60

1.39

1.22

1.07

410

619

828

1060

1316

1572

1828

2084

Order Statistics Fuente: elaboracin propia. Figura 11. Estimacin del VaR mediante el mtodo POT y ajuste de la cola de los datos a una GPD

1-F(x)(on a log scale) 2e-02 5e-03 1e-03 2e-04Andrs Mora Valencia Silvio Borrero Caldas

95 99

5e-05 10 20 50 100 200 x (On a log scale)Fuente: elaboracin propia.

VaR(p) = VaR(p0)

(p )

p0

1/

6.1.1. Mtodo de mnimos cuadrados ponderadosSe seleccionaron los 109 datos extremos como en el mtodo POT y se estima un = 0.3406 (1/) mediante este mtodo, con un error estndar de 0.0185 y un R 2 ajustado del 75.65% (ver Anexo 4). El VaR usando la aproximacin de colas de Pareto sera estimado en: VaR(p) = VaR(p0 )

Usando VaR(p0 ) = 9.97, el cuantil emprico donde p 0 es el 5%, entonces VaR 0.01 = 29.16: VaR(p) = 9.97

(

0.05 0.01

)

1/1.5

En el siguiente cuadro se muestra el backtesting para los datos analizados. Al comparar los tres mtodos junto con el cuantil emprico se obtiene:Cuadro 2. Comparacin de los mtodos para calcular VaR al 99% Cuantil emprico VaR al 99% 26.04 Colas Pareto POT (u = 10) 1/ Grco Colas Pareto M.C.P Hill 27.28 29.16 17.25

83

(p )

p0

1/

Usando VaR(p0) = 9.97, el cuantil emprico donde p0 es el 5%, entonces VaR 0.01 = 17.25: VaR(p) = 9.97

(

0.05 0.01

)

0.3406

Figura 12. Mtodo de los mnimos cuadrados ponderados para estimar con los datos Danish Fire

Fuente: elaboracin propia.

Mtodo de mnimos cuadrados ponderados logDatos 5.5 5.0 4.5 4.0 3.5 3.0 logprob 2.5 1 2 3 4 5

En el siguiente cuadro se muestra el backtesting para los datos analizados.Cuadro 3. Prueba de desempeo para los datos Danish Fire Modelo VaR 95% 1166 das de backtesting Simulacin histrica Supuesto de normalidad POT (u =10) Modelo VaR 99% 1166 das de backtesting Simulacin histrica Supuesto de normalidad POT (u =10) Colas Pareto 1/ Grco Hill Colas Pareto M.C.P Modelo VaR 99.9% 1166 das de backtesting Simulacin histrica Supuesto de normalidad POT (u =10) Colas Pareto 1/ Grco Hill Colas Pareto M.C.P Excepciones esperadas = 58 49 (0.88) 62 (0.28) Excepciones esperadas = 12 17 (0.05) 31 (0.00) 17 (0.05) 13 (0.28) 34 (0.00) Excepciones esperadas = 1 3 (0.03) 25 (0.00) 3 (0.03) 2 (0.11) 7 (0.00) Fuente: elaboracin propia. Cuadernos de Administracin Universidad del Valle No. 44 Julio-Diciembre 2010 64 (0.20)

Fuente: elaboracin propia.

Si se escoge un alrededor de 1.5 se observa una estabilidad en el Grfico de Hill. El VaR, usando la aproximacin de colas de Pareto, sera estimado en: VaR(p) = VaR(p0)

( )

p0 p

1/

Usando VaR(p0 ) = 9.97, el cuantil emprico donde p 0 es el 5%, entonces VaR 0.01 = 29.16: 6. Se usa una ventana de1/1.5 das y el periodo de backtesting comprende desde 12 de octubre de 1985 hasta 31 de diciembre 1,000 0.05 de 1990, para VaR(p) = 9.97 un total de 1,166 das. El mtodo de simulacin histrica consiste en calcular la medida de riesgo como el 0.01 percentil de las prdidas histricas al nivel solicitado. El mtodo de normalidad asume que las prdidas se distribuyen En el siguiente cuadro se muestra el backtesting para los datos analizados.normal con media y desviacin de las prdidas histricas y cuantiles 1.65, 2.33 y 3.09 para el 95%, 99% y 99.9%.

(

)

Los valores en parntesis indican los p-valores para la prueba binomial. Un p-valor menor a 0.05 puede indicar evidencia de no aceptar el modelo.

Al comparar los tres mtodos junto con el cuantil emprico se obtiene:

Colas Pareto M.C.P

7 (0.00) Fuente: elaboracin propia.

Los valores en parntesis indican los p-valores para la prueba binomial. Un p-valor menor a 0.05 puede indicar evidencia de no aceptar el modelo. Al nivel del 90%, el supuesto de normalidad funciona bien, pero al aumentar el nivel de confiabilidad este supuesto falla. Para cuantiles altos el mtodo basado en colas de Pareto funciona bien.

Figura 13. Correlograma del IGBC

Logretorno diario del IGBC ACF 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 50 100 150 200

84

6.2. Caso IGBCEn esta seccin se probarn los mismos mtodos aplicados al IGBC, el tradicional ndice accionario colombiano. A continuacin se presenta la estadstica descriptiva ms importante del IGBC entre el 29 de junio de 2001 y el 30 de junio de 2010.Cuadro 4. Estadstica descriptiva del IGBC Estadstica Min Mediana Media Coeciente de asimetra Curtosis Max < Q (0.01) Valor del IGBC 776.54 7381.515 6441.77 -0.11 -1.60 12697.7 834.993 Logretorno diario del IGBC -11.05% 0.15% 0.11% -0.21 12.45 14.69% -4.63%

Fuente: elaboracin propia.

Como se observa en el Cuadro 4, los logretornos diarios del IGBC presentan una alta curtosis, no tan grande como el caso de los datos de Danish Fire, pero es un buen ejemplo por analizar para el propsito de este artculo. No hay evidencia estadstica que permita aceptar la hiptesis nula de normalidad de los logretornos del IGBC en el periodo de anlisis basado en la prueba Jarque-Bera (Anexo 1). El correlograma muestra que hay cierta autocorrelacin en los logretornos diarios del IGBC, lo

Fuente: elaboracin propia. Figura 14. Grco de Hill para el IGBC

Threshold 4.993-02 7 xi(cl, p=0.95) 6 5 4 3 2Andrs Mora Valencia Silvio Borrero Caldas

1.65e-02

1.04e-02

7.04e-03

4.45e-03

2.60e-03

8.22e-04

1 15 73 139 214 289 364 439 514 589 664 739 814 889

Oder StatisticsFuente: elaboracin propia.

cual es natural que suceda en la mayora de series financieras de este tipo. Esto no ocurre con datos de prdida por riesgo operativo o en seguros como se observ en la aplicacin anterior. Esto puede conllevar problemas en la estimacin de parmetros mediante el mtodo POT, puesto que este mtodo asume que la serie es iid. La Figura 14 presenta el Grfico de Hill para los logretornos negativos del IGBC, y con el valor de en el eje de las ordenadas. En este caso se observa el problema de alto sesgo al lado derecho del Grfico de Hill. Embrechts et al. (1997, pg. 194) denominan este tipo de casos como Hill horror plot. Pero al inicio del grfico se observa cierta estabilidad alrededor de = 0.5. Al seguir los mismos pasos aplicados a los datos Danish Fire, se obtiene el resultado del backtesting7 para los datos del IGBC:Cuadro 5. Prueba de desempeo para el IGBC Modelo 95% 1195 das de backtesting Simulacin histrica Supuesto de normalidad Modelo 99% 1195 das de backtesting Simulacin histrica Supuesto de normalidad Colas Pareto 1/ Grco Hill Colas Pareto M.C.P Modelo 99.9% 1195 das de backtesting Simulacin histrica Supuesto de normalidad Colas Pareto 1/ Grco Hill Colas Pareto M.C.P Excepciones esperadas = 60 65 (0.22) 61 (0.40) Excepciones esperadas = 12 21 (0.01) 41 (0.00) 15 (0.15) 25 (0.00) Excepciones esperadas = 1 6 (0.00) 18 (0.00) 0 2 (0.12) Fuente: elaboracin propia.

7. ConclusionesEn este documento se aplicaron algunos mtodos para estimar el ndice de cola de distribuciones con cola de Pareto, para estimar VaR a tres niveles diferentes de confiabilidad. Estos mtodos se aplicaron a un caso en particular analizado por investigadores bajo el marco de la teora del valor extremo y al IGBC. El mtodo que ms se aleja del valor de VaR emprico al 99%, en el primer caso, es el que se usa calculando el estimador de Hill mediante mnimos cuadrados ponderados. Esto se puede deber a la escogencia del punto en donde se comienza a observar linealidad en el grfico de cuantiles de Pareto. El mtodo basado en colas de Pareto con observacin directa del ndice de cola en el Grfico de Hill, arroja valores aproximados al cuantil emprico de los datos. El backtesting en los dos casos de aplicacin muestra que el VaR bajo el supuesto de normalidad funciona bien a un nivel de confiabilidad del 95%; sin embargo, cuando el nivel de confianza es del 99% y 99.9% este mtodo falla. En riesgo operativo, Basilea sugiere estimar el capital regulatorio como el VaR al 99.9%. Por lo tanto, los administradores de riesgo deberan utilizar medidas basadas en colas de Pareto puesto que los hechos estilizados en riesgo operativo muestran que las distribuciones de prdida presentan colas pesadas y son asimtricas. Algo similar ocurre con riesgo crediticio y de mercado. En los dos casos de aplicacin se observa que los mtodos basados en colas de Pareto, en general, se desempean mejor que el mtodo de simulacin histrica y bajo el supuesto de normalidad. Sin embargo, la estimacin ptima del ndice de cola es un problema an no resuelto debido al tradeoff que hay entre sesgo y varianza en la estimacin. Existen otras tcnicas de estimacin como por ejemplo el de momentos, remuestreo y mtodos robustos, que quedan para una futura investigacin. De esta manera, si el administrador de riesgos trata con distribuciones de prdidas que exhiben colas pesadas, se recomienda tener en cuenta las diversas formas de estimar el ndice de cola de estas distribuciones y as obtener un estimado de VaR mediante los mtodos sugeridos en este artculo.

85

Nuevamente el supuesto de normalidad falla en los cuantiles ms altos. La combinacin de mtodos de colas de Pareto funciona bien en tales casos. Estas medidas de riesgo calculadas en el backtesting son medidas incondicionales de riesgo. Una aplicacin de medidas condicionales de riesgo a la tasa interbancaria es realizada por Melo y Becerra (2006).

7.

Se decide no adicionar el mtodo POT puesto que se necesitan slo prdidas y stas son 932. El estimador de mediante el mtodo de M.C.P. es 0.4 al escoger 220 datos extremos (10% de la cola).

Cuadernos de Administracin Universidad del Valle No. 44 Julio-Diciembre 2010

8. AgradecimientosEl autor agradece las valiosas sugerencias y recomendaciones de los evaluadores annimos que ayudaron significativamente a mejorar la versin previa de este artculo.

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86

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Anexo 1. Prueba de normalidadJarque Bera Test data: danish X-squared = 21160166, df = 2, p-value < 2.2e-16 data: logretigbc X-squared = 14130.91, df = 2, p-value < 2.2e-16Distribucin Lognormal Cauchy t Gamma Exponencial Weibull Logstica Normal Parmetros Media=0.79, D.E. = 0.72 Escala= 0.51, Loc.= 1.60 g.l. = 0.92 Forma = 1.30, Tasa= 0.38 Tasa= 0.30 Escala = 3.29 Forma = 0.96 Escala= 1.59, Loc.= 2.35 Media=3.38, D.E. = 8.51

Anexo 2. Estadsticos de las Pruebas Kolmogorov-Smirnov (K-S) y AndersonDarling(A-D) para los datos Danish Fire

87K-S 0.1375 0.222 0.7448 0.2019 0.2558 0.2733 0.2999 0.3896 A-D 87.19 201.6 1734.39 INF INF INF INF INF

8.

Las pruebas K-S y A-D se corrieron con las libreras de R, stats y ADGofTest respectivamente. Varios textos explican las tres pruebas ms comnmente usadas, ver por ejemplo Evans y Olson (2002, p. 98-99) para una breve descripcin de estas pruebas. El mtodo K-S es mejor que la Chi-cuadrado para tamaos pequeos de muestra; sin embargo, la prueba A-D pondera las diferencias entre las distribuciones en sus colas en mayor medida que en sus rangos medios. La hiptesis nula de estas pruebas es que no hay diferencias significativas entre la distribucin emprica y la terica.

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Anexo 3. Resultados de la metodologa POT utilizando R y el paquete evir$threshold [1] 10

Anexo 4. Resultados de la regresin por medio de mnimos cuadrados ponderadosResiduals:Min 1Q Median 3Q Max

88

$p.less.thresh [1] 0.9497 $n.exceed [1] 109 $method [1] "ml" $par.ests xi beta 0.4968062 6.9745523 $par.ses xi beta 0.1362093 1.1131016 > gpd.q(salida2,.99) Lower CI Estimate Upper CI 23.36194 27.28488 33.16277

-0.14418 -0.09626 -0.04740 0.06230 Coe cients:Estimate (Intercept) 2.05906 Std. Error 0.05468 t value 37.66 Pr(>|t|)