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INSTITUCIÓN EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DEL PALMAR SEDE LICEO FEMENINO

1

Código FR- 17- GA

Versión: 002

Emisión 02/09/2008

Actualización 02/12/2010

Cronograma actividades grado 10 Periodo lectivo: TERCER Año lectivo 2018 DOCENTE RESPONSABLE: Subleyman Ivonne Usman Narváez Asignatura: trigonometría

SEMANA

No.

FECHA

TEMA – ACTIVIDAD

1 18 –22 DE JUNIO

ACTIVIDAD DE MEJORMIENTO INSTITUCIONAL No. 2 ACTIVIDAD DE CONCEPTOS PREVIOS

2 25 – 29 DE JUNIO

REVISION DE LAS ACTIVIDADES DE LA SEMANA ANTERIOR MEDIANTE EVALUACION ESCRITA IDIVIDUAL

OPERACIONES CON FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ACTIVIDAD No. 1 Y 2 (se deja tarea para semanas de receso)

3 23 – 27 DE JULIO

SIMPLIFICACION DE RACCIONES ALGEBRAICAS, ACTIVIDADES 3 Y 4 EVALUACION DE ACTIVIDADES 1, 2, 3 Y 4

4 30 JULIO – 3 DE AGOSTO

FACTORIZACION DE TRINOMIOS Y SOLUCION DE ECUACIONES. ACTIVIDAD 5 Y 6

5 6 - 10 DE AGOSTO

EVALUACION DE FACTORIZACION Y ECUACIONES IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS. EN PAREJAS ACTIVIDAD 7

6 13 – 17 DE AGOSTO

ENTREGA DE ACTIVIDAD VIRTUAL VIDEOS Y PROBLEMAS DE IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS. ACTIVIDAD 8

7 20 – 24 DE AGOSTO

EVALUACION IDENTIDADES Y ECUACIONES TRIGONOMETRICAS

8 27 –31 DE AGOSTO

REALIZACION DE ACTIVIDAD DE NIVELACION Y EVALUACION INDIVIDUAL

9 3 AL 7 DE SEPTIEMBRE

MARCHA EVALUATIVA ENTREGA DE ACTIVIDAD DE NIVELACION EN HOJAS DE BLOCK

10 10 AL 14 DE SEPTIEMBRE

EVALUACION DE TALLER DE PROFUNDIZACION (GRUPAL)


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a. Numérico: se encuentra el MCD de los coeficientes

b. Variable: sale la variable con el menor exponente

* Lo contrario de sacar factor común es aplicar la propiedad distributiva

a. Diferencia de cuadrados. Ej: a2 – b2 = (a - b) (a + b)

b. Diferencia de cubos. Ej: a3 – b3 = (a – b) ( a2 + ab + b2)

c. Suma de cubos. Ej: a3 + b3 = (a + b) ( a2 – ab + b2)

1 .FACTOR COMÚN

FACTORIZAR ES: Escribir una expresión algebraica Como producto de 2 o más factores

2. BINOMIOS

3. TRINOMIOS

a. Trinomio cuadrado perfecto. Ej: x2 + 2x + 1 =(x + 1)2 = (x +1) (x + 1)

X 1

b. Trinomio de la forma x2 + bx + c ejemplo: x2 – 8x + 15 = (x -5)(x-3)

Dos números que se sumados den b y multiplicados den c

c. Trinomio de la forma ax2 + bx + c

Se multiplica y se divide por a y se lleva a la forma x2 + bx + c

Ej: 2y2 – 7y + 3 se multiplica y se divide por 2

2(2y2 – 7y + 3) = (2y)2 – 7(2y) + 3(2) = (2y)2 – 7(2y) + 6

2 2 2

(2y – 6) (2y – 1) = 2 (y – 3) (2y -1) = (y – 3) (2y – 1)

2 2

4. POLINOMIOS

a. Por agrupación: x3 + 2x2 – x – 2 = (x3 + 2x2) – (x + 2)

= x2 (x + 2 ) – (x + 2) = (x2 – 1) (x +2)

= (x+2)(x-1)(x+1)

b. División sintética : x3 + 2x2 – x – 2 1 2 -1 -2

1 + 3 +2 1 3 2 0 Regla de Ruffinni (x -1) ( x2 + 3x +2) (x – 1) (x+2)(x +1)


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GUÍA No. 3 DE TRIGONOMETRÍA GRADO DÉCIMO

Como hemos podido apreciar en los estudios realizados en el segundo periodo a través de variados problemas de la práctica que se modelan mediante triángulos rectángulos como por ejemplo: conocer la altura de una edificación o de la colocación de una rampa entre otras en los cuales se han utilizado las razones trigonométricas

CONCEPTOS PREVIOS

A. CONSULTA

1. Recordar copiando en tu cuaderno cuando una funciones inyectiva, sobreyectiva y

biyectiva, realiza ejemplos.

2. Investiga qué es una función inversa y como se encuentran la inversa de una función

dada.

3. Escribe en el cuaderno 5 deberes del manual de convivencia para los padres.

B. FACTORIZACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

1. 4a2x

2b – 25x

2b

2. x4 – y

4

3. (a – b)2 – (a + b)

2

4.

-

5. a2 + 2ab + b

2 – a

3 – b

3

6. x2 – 2xy + y

2 – xz + yz

7. m7- 8m

5 + 16m

3

8. (a2 +a)

2 + 7(a

2+a) + 12

9. 25x2 – 80xy + 64y

2

10. n2 + n – 42

11. 9a3 – 12a

2b + 4a+ b

2

12. Cos2θ – sen

2 θ

13. Cos2θ + 2 cosθ + 1

14. 27sen3x + 8cos

3x

15. cos3x + sen

3x

16. Sen2∞ + sen∞ - 42

17. Cos4x + 3cos

3x – 4cosx

18. 4cosx – 32 + cos2x

19. Cot2∞ + 2cot∞tan∞ + tan

2∞

20. 6cos2x + 7cosx +2

21. Sen3x – cos

3x

22. Cos2x + cos

2xtan

3x

23. Sec2x + 5secx + 6

24. cot2x – 10cotx + 25

25. cos2x + 2cosx + 1

26. cos2x – 15cosx- 100

27. sc2x + 5cscx -50

28. cot2 x– 10cotx + 25

C. SOLUCIÓN DE ECUACIONES.

1. 3x -1 =0

2. 2(x +5)=2x – 5(x -3)

3. (x – 1)(x +2) – 2x = (x + 4)–( x+ 14)

4. 3f -

=

-

5. ( )( )

( ) = 0

6.

-

=

7. 6(p2 + 1)–(2p – 4)(3p + 2) = 3(5p + 21)

8. (t + 4)2 = 2t(5t- 1) – 7(t -2)

9. 4x2 + 3x – 22 = 0

10. 12h – 4h – 9h2 =0

11.

+ m =


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12. 3x + 2 = - x + 5

13.

+ 7 =

+ 5x

14.

15. y2 + 5y + 6 = 0

16. m2 + 6m – 7

17. 2p2 + 9 – 1 = 0

18. 2cosx = 3

19. 2senx + √ = 0

20. 2x + √ = 0

21. 2y =

22. Cos2x – 1=0

RECUERDA:

OPERACIONES CON FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

ACTIVIDAD EN CLASE

Escribir tres términos semejantes a cada término dado

1. 5tanx 2. 3cot2x 3. Csc(

) 4. –

5. 4cos

6.

sec9x 7.

sen2x 8.

cos2(

)

9. -

csc(

)

Propiedades de los exponentes

a. 𝒙𝒏𝒙𝒎 = 𝒙𝒏 𝒎 𝒅. ( 𝒙

𝒚)𝒏 =

𝒙𝒏

𝒚𝒏 ; con y ≠ 0

b.𝒙𝒎

𝒙𝒏 = xm-n; con m>n e. (xy)n =xn *yn

c. (xm)n = x m.n f. (x + y)n ≠ xn + yn

Productos notables

a2 + b2 = (a+b)(a-b) (a + b)2 =a2 +2ab+b2

a3 – b3 =(a-b)(a2 +ab+b2 ) (a + b)3 =a3 +3a2b+3ab2+b3

a3 + b3 =(a+b)(a2 -ab+b2 )

Los términos semejantes de una expresión trigonométrica son aquellos que involucran los

mismos productos de funciones trigonométricas del mismo ángulo, por ejemplo: 3senx.cosx y

senx.cosx son términos semejantes


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ACTIVIDAD No. 1

A. REALIZA LAS SIGUIENTES OPERACIONES

1. senx + cosx + 3 senx + 5 cosx

2. tan2x + sec 2x – 5tanx + 4 tanx – 3 sec2x

3. csc(

) - cot2x + 5csc(

) + 4cot2x

4.

cos2x +

sen3x -

cos2x + sen3x

5. 4senx +2cosx +8senx + 4cosx

6. -9cosx + 3sen2x + 4cosx – 3sen2x

7. tanx + 2tany -6secx +4tanx

8.

sen(4x) +

sen (4x) +

cosx -

cosx

9. (

) ( (

) )

10. 9senx + 2cosx + 3 tanx – (tanx + secx + 2 cosx)

B. DADO QUE: P(x) = senx + 1; Q(x)= cos2x – senx +1; R(x)= sen2x + senx

S(x)= cos2x – cosx

ENCONTRAR

1. P(x) + Q(x)

2. Q(x) – R(x)

3. S(x) + R(x)

4. S(x) – R(x) + [P(x) + Q(x) – 1I]

5. [R(x) + S(x) + P(x)] - [P(x) – R(x)]

6. P(x) +R(x) – [1 + S(x) – Q(x)]

C. PROPONGA UN EJEMPLO Y COMPRUEBE CADA AFIRMACIÓN.

1. sen( + β) ≠ sen + sen β

2. cos( - β)≠ cos - cos β

3. tan (

) ≠

D. Resolver los siguientes productos

1. (cosx)(senx3cosx) 2. (tan2x)(tanx)(senx)(sen3x)

3. (cosxsenx)(cos2xsenx)(cosxsen2x) 4. (tanx)( cos2x)(senx)(cosx)

5. (cot3x) (cotx)(cotx)(cot2x) 6. (senx)(cosx)(cosx)(sen3x)(cos3x)

RECORDAR…

Sen2x ≠ 2senx (senx)n = sennx (sennx)m = senmnx

Sen2x = (senx)2 (senx)(cosx) = senxcosx


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E. Aplicar la propiedad distributiva para resolver los siguientes productos

1. 4tanx(tanx + tan3x)

2. senx (5sen4x – 2)

3. sec2x (1 + sec3x + tanx)

4. cosx(secx + 3senx) 5. cotx (tan2x – tanx)

F. Encontrar la expresión que representa el área de cada rectángulo

DIVISIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Para dividir expresiones que involucran funciones trigonométricas se procede de la misma forma que en la división de expresiones algebraicas. Resolver la operación

(tan3x + 2tan2x + 3tanx + 2) ( tanx + 1) Se resuelve la división siguiendo el mismo procedimiento que se utiliza para dividir polinomios tan3x + 2tan2x + 3tanx + 2 tanx + 1

-tan3x- tan2x tan2x + tanx + 2

tan2x + 3tanx - tan2x - tanx

2 tanx + 2

- 2 tanx - 2

0

ENTONCES: (tan3x + 2tan2x + 3tanx + 2) ( tanx + 1) = tan2x + tanx + 2


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ACTIVIDAD EN CLASE Hallar el cociente de cada división

1. (8senx + 8) 4

2. (cos2x – 2cosx -3) (cosx + 1)

3. (5tan2x – 11tanxsecx + 6sec2x) (tanx – secx)

4. (sec3x + 4sec2x + 4) (secx + 2)

5. (sen2x – 4senxcosx + 4cos2x) (senx – 8 cosx)

FACTORIZACIÓN DE EXPRESIONES CON FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Es posible Factorizar expresiones que involucran funciones trigonométricas mediante los mismos métodos que se utilizan en la factorización de polinomios.

ACTIVIDAD No. 2

I. FACTOR COMÚN MONOMIO En este caso es necesario identificar un factor que aparezca en todos los términos de la expresión y aplicar la propiedad distributiva. Factorizar las siguientes expresiones

a.

csc3x cotx -

cscx cotx

b. Sen2x + senxcosx c. 5tan22x + 25 tan2x d. 12cos3xsenx + 8cos2 e. 4sec3xtan2x – 2sec4xtan3x xsen2x + 4cosxsen3x

II. FACTOR COMUN POR AGRUPACION En este caso se separa la expresión en dos o más partes de igual cantidad de términos. En cada una de ellas se identifica el factor común y se aplica la propiedad distributiva. Factorizar las siguientes expresiones. a. 3cos3x + 6cos2xm+ 2cosx + 4 b. 4tan5x – 6tan4xn+ 2 tan3x + 2tan2x – 3tanx + 1 c. 3tanx – 5secx -3senxtanx + 5senxsecx III. DIFERENCIA DE CUADRADOS La diferencia de cuadrados de dos expresiones que involucran funciones trigonométricas es igual a la suma por la diferencia de las expresiones. Factorizar las siguientes expresiones. a. cos2x – sen2x b. Sen2x – cos2x c. cos2x – sen2xcos2x d. cot4x – 16cot2xcsc4x Factorizar los siguientes trinomios 1. 8cot2x + 12cotx – 8

2. Sec2u – 6secucscu+ 9csc2u

RECORDAR QUE… L a propiedad

distributiva de la multiplicación con

respecto a la adición.

ab + ac = a(b + c); ab – ac = a(b – c)


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3. Cos2x - 4√ + 4

4. Cot2β + 2cotβtanβ + tan

2β

5. Sec2θ + 4secθtanθ + 4 tan

2θ

6. 6sen2x + 7cosxsenx – 5cos2x 7. 7 senx – 60 + sen2x

RECORDAR QUE…

SIMPLIFICACION DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

SIMPLIFICACION: para simplificar una fracción en la que el numerados y el denominador son productos de funciones trigonométricas, se aplica la propiedad de cocientes de potencias de igual base. ACTIVIDAD No. 3 Simplificar las siguientes expresiones

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Para simplificar una fracción en la que el numerador y el denominador constan de dos o más términos, se factoriza el numerador y el denominador y se simplifican los factores comunes.

ACTIVIDAD No. 4 A. SIMPLIFICAR LAS SIGUIENTES EXPRESIONES

1.

2.

𝒂

𝒃𝒄

𝒅

= 𝒂𝒅

𝒃𝒄 con b,c,d ≠ 𝟎;

𝒂

𝒃

𝒄

𝒅 ad = bc


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B. Marcar con X la expresión equivalente a la expresión dada.

1.

2tanx – cosx - (2tanx + cosx)

2.

-

3.

4cos2x – 10senxcosx + 25sen2x 4cos2x + 25sen2x 4cos2x+ 10senx+ 25sen2x

4.

-

IV. SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS

Para Factorizar sumas o diferencias de cubos de expresiones que involucran funciones

trigonométricas se sigue el mismo método que se utiliza para Factorizar expresiones de la

forma.

𝒙𝟑 𝐲𝟑 (𝐱 𝐲)(𝐱𝟐 𝐱𝐲 𝐲𝟐

𝒙𝟑 𝐲𝟑 (𝐱 𝐲)(𝐱𝟐 𝐱𝐲 𝐲𝟐

RECUERDA


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V. FACTORIZACION DE TRINOMIOS

Para Factorizar expresiones con tres términos que involucran funciones trigonométricas se

utilizan los mismos métodos empleados para Factorizar trinomios cuadrados perfectos de la

forma x2 + bx + c y trinomios de la forma ax2+ bx + c

1. Factorizar las siguientes expresiones

ACTIVIDAD No. 5

Factorizar las siguientes expresiones

a. cos3x – sen3x

b. Tan6x – sec6x

c. sen3xcos3x – tan3xsec3x

d. cos6x + cos6xtan6x

e. sen2x + 2senxcosx + cos2x

f. tan2x – 6tanx + 9

g. cot2x + 4cotx +4

h. sec2x + 5secx +6

i. csc4x -5csc2x + 4

j. 6cos2x +7cosx + 2

RECUERDA QUE…

ACTIVIDAD 6

RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES

a. 2cosx = 3

b. 2senx + √ = 0

c. 2x + √ = 0

d. 2y =

e.

f. Cos2x – 1=0

Trinomio cuadrado perfecto:

a2 +2ab + b2 =( a+b)2 ó a2 -2ab + b2 =( a-b)2

Para factorizar un trinomio de la forma x2 + bx + c se

buscan dos números r y s cuya suma sea b y su producto sea

c de tal manera que: x2 + bx + c = (x + r) (x + s)

Trinomio ax2 + bx + c

6cos2x +7cosx + 2 = (3cosx + 2)(2cosx+ 1)

Hemos aprendido a volar como pájaros, a nadar como los peces, pero no hemos aprendido el arte de vivir junto, como hermanos

Martin Luther King


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IDENTIDADES Y ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

¿Cómo surgió?

Desde la aparición misma de la trigonometría, surgieron formulas e identidades, que permitieron encontrar los

valores de las funciones trigonométricas para otros ángulos, a partir de las funciones de ángulos ya conocidos.

Aunque muchos teoremas fueron formulados en términos geométricos, estos tenían un equivalente en

términos de senos y coseno ó de otras funciones trigonométricas. Por ejemplo, a partir del teorema de

Ptolomeo; “En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, la suma de los productos de los lados opuestos

es igual al producto de las diagonales”

Se puede establecer la identidad para el seno de la sustracción de dos ángulos

sen( )

dentro de los muchos matemáticos que fueron introduciendo relaciones útiles se encuentra el francés Francois

Viéte (1540- 1603), quien completó el sistema trigonométrico de los árabes y fue el autor de fórmulas

analíticas que se emplean en la resolución de triángulos oblicuángulos; logró establecer, por ejemplo, la

proporcionalidad del ángulo opuesto correspondiente, conocido como el teorema del seno.

¿En que se aplica?

Esta parte de la trigonometría tiene aplicación en diversas actividades de la vida diaria, tales como los

movimientos realizados por relojes de péndulo por resortes que actúan como amortiguadores, por los planetas

dentro de sus orbitas y en cosas más cotidianas como los trabajos de construcción de carreteras y edificios,

aplicando en forma correcta las reglas básicas de la trigonometría, es posible calcular medidas en gorma directa,

predecir el comportamiento de fenómenos relacionados con fuerzas, movimientos circulares y corrientes

eléctricas. La trigonometría permite también determinar la forma y las dimensiones de algún componente

básico dentro de los grandes y complejos mecanismos que vemos día tras día.

ACTIVIDAD No. 7

1. Hallo el valor de X

a. 2x(x + 3) – 5(x + 3) = 0

b.

2. Encuentro los valores de en el intervalo [0,2 ] que satisfacen

a. cos

b. tan = √ c. sen

√

3. Resuelvo la ecuación para X

a.

=

b.

=


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En matemáticas superior, medicina e ingeniería muchas veces es necesario simplificar expresiones

trigonométricas, complicadas y expresarlas con otras equivalentes pero más sencillas. Así, en medicina un

osciloscopio exhibe a menudo una curva representada por la expresión

y =

sen 2 x +

sen4 y se puede demostrar que:

y = sen , en ingeniería se demuestra que si la distancia R horizontal por la que viaja un objeto,

llamada alcance está dada por R =

Vo2 sen cos entonces R =

Vo2 sen

A fin de adquirir práctica en la simplificación de expresiones trigonométricas complicadas, se utilizan las

identidades y manipulaciones algebraicas fundamentales

A) 1. Dibuja un circulo de r=1 y de r=R, traza en cada uno de los ejes cartesianos, en el primer

cuadrante ubica un punto en la circunferencia, traza una perpendicular desde este punto a los ejes X y

señala el ángulo en el origen

2. Encuentra en cada circulo las funciones trigonométricas siguientes

a.

1. sen =

2. cos =

3. tan =

4. cot =

5. sec =

6. csc =

b.

1. sen =

2. cos =

3. tan =

4. cot =

5. sec =

6. csc

B) a partir de estas identidades podemos deducir otras relaciones.

C) 1. Tomo como referencia el circulo de r=1 del literal A

2. ¿qué ecuación tiene la circunferencia unitaria? Escríbela

3. En la tabla A del numeral 2 literal A ¿a que es igual sen ?

4. Sustituye estos valores en la ecuación de la circunferencia unitaria .¿qué identidad encontraste?

Escríbela, esta expresión se llama identidad trigonométrica pitagórica.

5. De la identidad trigonométrica pitagórica sen2x + cos2x = 1, despeja senx,cosx, sen2x y cos2x

6. Toma la identidad trigonométrica sen2x + cos2x = 1 y divide cada termino por sen2x, ¿qué identidad

encontraste?

7. Toma la identidad trigonométrica sen2x + cos2x = 1 y divide cada termino por cos2x, ¿qué identidad

encontraste?

8. De las identidades encontradas en los numerales 6 y 7, despeja sec2x. csc2x, tan2x, cot2x,secx,

cscx,tanx, cotx

Una identidad es una igualdad que se cumple para todos los valores de las variables

donde la expresión este definida. Si la variable es la función trigonométrica de un

ángulo, entonces la identidad se denomina trigonométrica.


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9. Escriba en una tabla las 8 identidades fundamentales

10. Elabora una nueva tabla donde clasifiques las identidades anteriores en Recíprocas, por cociente, y

pitagóricas.

A. ¿COMO PROBAR UNA IDENTIDAD?

Realmente no existe un método específico que permita a una persona probar si una igualdad es o no

identidad. En última instancia el éxito depende de la habilidad del interesado y del nivel de

preparación que tenga en algebra sin embargo, queremos sugerir un procedimiento que facilite el

proceso de trabajo.

1. Se puede transformar el primer miembro de la igualdad hasta obtener el segundo o el segundo hasta

obtener el primero o transformar ambos miembros.

2. Si uno de los miembros contiene sólo una función trigonométrica, conviene transformar el otro

miembro en términos de esa misma función, luego compara.

3. Si los dos miembros de la igualdad parecen igualmente complicados, trate de llevarlos a una sola

función y compare, si no puede llevarlos a una sola función, transfórmelos en senos y cosenos, y

compare. Es ese caso conviene recordar las identidades fundamentales

4. Factorice y simplifique cuando sea posible

5. Algunas veces, para obtener la conversión deseada es necesario multiplicar el numerador y el

denominador de un miembro por un mismo factor.

Esto es equivalente a multiplicar la fracción por la unidad

6. Determine para que valores del ángulo no es válida la expresión. Recuerde no es posible la división

por cero, no existe las raíces pares de números negativas.

7. Finalmente, si aplicando todo lo anterior no logra probar que la igualdad es una identidad, usted tiene

derecho a pensar que tal vez no sea identidad. En este caso, proceda así, reemplace el ángulo por un

valor donde la expresión está definida y halle el resultado. Si los valores obtenidos son distintos en los

dos miembros de la igualdad, entonces la igualdad dada NO ES UNA IDENTIDAD.

B. Siguiendo las indicaciones anteriores, demostrar si las siguientes expresiones son

identidades o no.

ACTIVIDAD VIRTUAL

OBSERVA Y COPIA LOS CINCO EJEMPLOS DE SOLUCIÓN DE IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS EN HOJAS DE BLOCK CUADRICULADO AL IGUAL QUE EL CUESTIONARIO QUE SE ENCUENTRA EN EL BLOG DE MATEMATICAMENTEHABLANDO Y LUEGO RESULVE LAS IDENTIDADES PROPUESTAS A CONTINUACIÓN EN EL CUADERNO DE TRIGONOMETRIA

1. Sec2 (1 – sen2 ) = 1

2.

-

=

3. .

= 2 tan

4.

=

( )


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5. 1 – tan4 = sec4 (cos2 - sen2 )

6. cos (sec - cos ) = sen2

7. cot (tan + cot ) = csc2

8. sec ( sec )= tan2

9. (csc - cot ) (csc + cot ) = 1

10.

= 1 + cos

Copiar en el cuaderno de matemáticas el modelo pedagógico de la institución

RESUMEN DE IDENTIDADES

Vive como si fueses a morir

mañana. Aprende como si fueses

a vivir siempre.

Mahatma Gandhi.

http://lifeder.com/frases-de-gandhi/


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Ningún esfuerzo quedará sin su merecida recompensa

SIUN


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ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

¿Qué es una identidad ? Una identidad es una igualdad que se cumple para todo valor de las variables.

Ejemplo: sen2 + cos2 = 1 ¿Qué es una ecuación? Una ecuación es una igualdad que se cumple para ciertos valores de la variable. Ejemplo: 3y +1 =0

Una ecuación es trigonométrica cuando la incógnita (variable) es el ángulo de una función trigonométrica.

Ejemplo: tan2

¡RECUERDA!

Si:

1. a.b = 0 entonces a =0 y/o b=0

2. am = an entonces m =n

3. ax2 + bx + c =0 entonces x = √

Solución de una ecuación de segundo grado por formula general


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Para resolver una ecuación trigonométrica deben tenerse en cuentan 2 aspectos.

1. RESOVER LA PARTE ALGEBRAICA: que consiste en aplicar las identidades fundamentales y las propiedades del álgebra con el objeto de escribir la ecuación en términos de una sola función.

2. RESOLVER LA PARTE TRIGONOMETRICA: consiste en hallar los valores del ángulo que satisfacen la ecuación.

Ejemplo; cos2x + 2 cosx – 3 = 0 para 0

Esta ecuación de que grado es?

Resuelve la ecuación por factorización

Recuerda que si a.b =0 entonces a=0 y/o b=0

Que valores puede tomar x Si el valor de x no lo hubiéramos restringido al intervalo [0,360], ¿Cuál sería

la solución?

ACTIVIDAD No. 8 1. Resuelve los siguientes ecuaciones (igualdades) e indica para que valores la respectiva

variable la igualdad es cierta.

a. 3x – 6 = 0

b.

m + 5 = 2 (m +

)

c. y2+ 5y +6 =0

d. a + b = 7

e. 2y2 – 7(y+3) = (y +5)(y-2)

f. x4 – 10x2 + 9 =0

g. 3 2x + 5 = 3 5x -1

h.

log5(x – 2)=3log5 2 -

log5 (x – 2)

i. Despejar “x” en 3log5x - 2 log5 x =1

2. Resuelve las siguientes ecuaciones

a) tan2 + csc2 -3 = 0; para 0°

b) 2sen – 1 = 0; para 0°

c) 2cos + √ =0; para 0°

d) 2csc + 4 = 0; para 0°

e) cot2 - 2 csc2 +5 = 0 ;para 0°

f) 1 - sen2 x + 2cosx = 3; para 0°

g) 3tan2x - 2sec2x + 1 = 0; para 0°

h) sen + cos = 1; para 0°

i) senx+ √ = 0; para 0°

j) . √ = 0; ; para 0°

Cuando la solución de la ecuación se toma en el intervalo

[0°,360°], la solución se denomina básica o fundamental.


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RECUERDA QUE:

sen(-𝜃) 𝑠𝑒𝑛𝜃

cos(-𝜃) 𝑐𝑜𝑠𝜃

tan(-𝜃) 𝑡𝑎𝑛𝜃

cot(-𝜃) 𝑐𝑜𝑡𝜃

sec(-𝜃) 𝑠𝑒𝑐𝜃

csc(-𝜃) 𝑐𝑠𝑐𝜃


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sen2 cos2

Sen √

1- sen2 + cos2 =1

cos2 2

cos √

cot2 = csc2 - 1

IDENTIDADES FUNDAMENTALES cot = √

ES UNA IGUALDAD QUE SE PITAGÓRICAS 2- 1 + cot2 = csc2

CUMPLE PARA TODOS LOS VALORES

DE LAS VARIABLES csc √

1 = csc2 - cot2

tan2 = sec2 - 1

tan = √

3- tan2 + 1 = sec 2 sec √

1 = sec2 - tan2


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sen . cos

4- tan

cos

COCIENTES

cos = cot . sen

5- cot

sen =

IDENTIDADES FUNDAMENTALES

ES UNA IGUALDAD QUE SE

CUMPLE PARA TODOS LOS VALORES sen

DE LAS VARIABLES 6- sen csc

RECÍPROCAS cos

7- cos

sec

tan

8- tan

cot


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TALLER DE NIVELACIÓN INSTITUCIONAL No. 3

1. La gráfica muestra un modelo de escuadra. El ángulo b mide 60° y el lado BC 48 cm. B 48cm A C Resuelve el triángulo. Recuerda que es hallar todos los lados y ángulos.

2. Si cos x = 2/3, donde sen x < 0 ;halle sen x, tan x

3. En un triángulo rectángulo ABC, calcule las razones trigonométricas cos A y sec A, csc A, tan A.

4. En la gráfica, la altura (h) de la montaña y el valor de (X) miden respectivamente

5. De acuerdo a la figura del triángulo responde:

a. ¿Cuál es el valor del lado b del triángulo

anterior?

b. ¿Cuál es el valor del lado a del triángulo anterior?

c. ¿Cuál es la medida del ángulo < B?

6. Simplificar las expresiones trigonométricas;

a. (sen 3ө * csc ө) +( cos3ө * sec ө)

b. ((sen ө * csc2 ө) - sen ө) / cot ө

c. (csc ө * sen3 ө) – 1

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4Asen


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d. (1-csc2θ)/(cos2θ csc2θ)

e. tanθ / sec θ

7. ¿Cuál es el valor del ángulo para que se cumplan cada una de las ecuaciones

trigonométricas para el intervalo [0° - 360°]?

a. ((sen ө * csc2 ө) - sen ө) / cot ө = ½

b. 2 cos x = 1

c. 2 sen ө = 1

No podemos resolver problemas pensando de la

misma manera que cuando los creamos


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TALLER DE PROFUNDIZACIÓN INSTITUCIONAL No. 3

A.

B. GRAFICAR 1. y = -2x +3

2. y = - x2+ 2x -2

3.

4. y = -

sen2x

5. y = senx + cosx

6. y = senx – cosx

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