Unidad 3 Codificación3.1 Grupos

Un grupo es un par (G; _) formado por un conjunto y una operación binaria quecumple:G0 La operación es cerrada, es decir, a * b G, para todo a,;b G.G1 La operación es asociativa, es decir, (a * b)* c = a * (b * c)) , para todo a,;b G._G2 El conjunto G tiene elemento neutro, que se denotará por e, respecto de la operación.G3 Cada elemento de G tiene inverso respecto de la operación. El inverso del elemento a €G se denotará por a -1.

Grupo fundamental: dado un espacio topológico X, se puede formar el conjunto de todoslos lazos en X que salen de un cierto punto, considerando como equivalentes a dos lazosque se puedan superponer mediante una homotopía (es decir, tales que se pueda deformar auno de ellos en forma continua hasta obtener el otro). A dicho conjunto se le asigna unaestructura (algebraica) de grupo, lo que determina el llamado grupo fundamental de X. Setrata de un invariante topológico muy útil. Por ejemplo, el grupo fundamental de unacircunferencia es Z, el conjunto de los números enteros (Z = {..., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ...}),hecho que resulta claro pues todo lazo cerrado sobre la circunferencia está determinadounívocamente por la cantidad de vueltas, y el sentido en que se las recorre. El grupofundamental de un toro es Z ´ Z, pues en este caso deben tenerse en cuenta las vueltasdadas "alrededor" del agujero, y también "a través" del mismo. Este resultado es, claro está,coherente con el hecho de que el toro puede pensarse como el producto cartesiano de doscircunferencias

Estas son algunas de las propiedades que tienen los grupos:

• El neutro es único. El inverso de cada elemento también es único.• El inverso del inverso de un elemento es el propio elemento: (x−1)−1 = x.• El inverso de un producto es el producto de los inversos, pero cambiado de orden:(xy)−1 =y−1x−1.• En un grupo la ecuación ax = b siempre tiene solución, que es única: x = a−1b.Análogamente, x = ba−1 es la única solución de xa = b.

3.1.1 Homeomorfismos

Se llama homeomorfismo entre dos espacios topológicos X e Y a una función f: X®Y que resulte biunívoca y bicontinua, es decir:f es "uno a uno" (biunívoca), lo que significa que para cada elemento x Î X existe un únicoy Î Y tal que f(x) = y y viceversa. Esto permite definir la función inversa, f-1:Y® Xf y f-1 son continuas (f es bicontinua)La noción de homeomorfismo responde a la idea intuitiva de "deformación", ydetermina cierta clase de equivalencia: dos espacios homeomorfos tienen las mismaspropiedades topológicas.

3.1.2 Isomorfismos.

Podríamos definir el significada de un isomorfismo que 2 semigrupos simplementeparezcan iguales, o que es cuando el dominio y la imagen de un isomorfismo propio puedenser o son idénticos.Con relación a este concepto podemos mencionar diversos teoremas, alguna de cuyasdemostraciones veremos a continuación.

a) Teorema: La relación G es isomorfo con G’ es una relación de equivalencia entregrupos.b) Teorema: En todo isomorfismo entre dos grupos, los elementos idénticos secorresponden y los inversos de elementos correspondientes también secorresponden.c) Teorema: Todo grupo abstracto G es isomorfo con un grupo de transformacionesdel grupo sobre sí mismo.

Demostración: Para comprender esta demostración el lector puede tener presente latabla indicada más arriba para n = 6.Asociemos a cada elemento a G la transformación ta : G G tal que ta(x) = xa.El lector puede observar la segunda fila de la tabla mencionada para ver todas lasimágenes de esta transformación: ta(e) = a; ta(a) = b; ta(b) = c; ta(c) = d; ta(d) = g; ta(g)= ePara otro elemento cualquiera de G, tendremos otra transformación; así para b Gtendremos tb : G G, tal que tb(x) = xb (tercera fila de la tabla). Vale decir que sia b ta tb.Sea G’ = {t : G G} definidas en la forma indicada. Será G’ = {ta, tb, tc, td, te, tg}para el caso de n = 6, todas transformaciones distintas, como puede verificarse observandolas diferentes filas de la tabla correspondiente.Por otra parte, podemos definir en G’ el producto de transformaciones, tal que: x G, x(tatb) = (xta)tb = (xa)tb = (xa)b = x (ab) = taby en el caso particular de nuestra tabla vemos que tab = tc . Esto significa que elproducto de dos transformaciones de G’ es otra transformación de G’. Luego este productoes cerrado.

En G’ existe te tal que x G, te(x) = xe = x. Luego te es la identidad.En G’ existe también ( ta)-1 = tg = t(a-1) y así para todas las transformaciones de G’.Luego cada elemento de G’ tiene en el conjunto su inversa.Esto nos indica que G’ tiene estructura de grupo y es isomorfo con el grupo abstractoconsiderado. Lo cual prueba la tesis.

3.1.3 Cíclicos.

Un grupo cíclico es un grupo que puede ser generado por un solo elemento; esdecir, hay un elemento a del grupo G (llamado "generador" de G), tal que todo elemento deG puede ser expresado como una potencia de a. Si la operación del grupo se denotaaditivamente, se dirá que todo elemento de G se puede expresar como na, para n entero.En otras palabras, G es cíclico, con generador a, si G = { an | n ∈ Z }. Dado que un grupogenerado por un elemento de G es, en sí mismo, un subgrupo de G, basta con demostrar queel único subgrupo de G que contiene a a es el mismo G para probar que éste es cíclico.Por ejemplo, G = { e, g1, g2, g3, g4, g5 } es cíclico. De hecho, G es esencialmente igual (estoes, isomorfo) al grupo { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } bajo la operación de suma módulo 6. Elisomorfismo se puede hallar fácilmente haciendo g → 1.Contrariamente a lo que sugiere la palabra "cíclico", es posible generar infinitos elementosy no formar nunca un ciclo real: es decir, que cada gn sea distinto. Un tal grupo sería ungrupo cíclico infinito, isomorfo al grupo Z de los enteros bajo la adición.Salvo isomorfismos, existe exactamente un grupo cíclico para cada cantidad finita deelementos, y exactamente un grupo cíclico infinito. Por lo anterior, los grupos cíclicos sonde algún modo los más simples, y han sido completamente clasificados.

Propiedades

Dado un grupo cíclico G de orden n (donde n puede valer infinito), y dado g ∈ G, se tiene:

 G es abeliano; es decir, su operación es conmutativa: ab = ba para cualesquiera a y

b ∈ G. Esto es cierto, puesto que cualquier par de enteros a y b, a + b mód n = b + amód n.

 Si n < ∞, entonces gn = e, puesto que n mód n = 0.  Si n = ∞, entonces el grupo tiene exactamente dos generadores: 1 y -1 en Z, y sus

imágenes isomórficas en otros grupos cíclicos infinitos.

 Todo subgrupo de G es cíclico. De hecho, para n finito, todo subgrupo de G es

isomorfo a un Zm, donde m es divisor de n; y si n es infinito, todo subgrupo de Gcorresponderá a un subgrupo mZ de Z (el cual es también isomorfo a Z), bajo elisomorfismo entre G y Z.

3.1.4 Cosets

Tenemos gH = H si y solamente si g es un elemento de H, desde como H es un subgrupo,debe ser cerrado y debe contener la identidad.Cualquier dos cosets izquierdos son o idénticos o desuna -- los cosets izquierdos forman apartición de G: cada elemento de G pertenece a un y solamente un coset izquierdo.Particularmente la identidad está solamente en un coset, y ese coset es H sí mismo; éste estambién el único coset que es un subgrupo. Podemos ver esto claramente en los ejemplosantedichos.Los cosets izquierdos de H en G sea clases de equivalencia debajo de relación de

equivalencia en G dado cerca x ~ y si y solamente si x -1y ∈ H. Las declaraciones similaresson también verdades para los cosets derechos.Todos los cosets izquierdos y todos los cosets derechos tienen igual orden (número deelementos, o cardinality en el caso de infinito H), igual a la orden de H (porque H está símismo un coset). Además, el número de cosets izquierdos es igual al número de cosetsderechos y se conoce como índice de H en G, escrito como [G : H ]. Teorema de Lagrangepermite que computemos el índice en el caso donde G y H sea finito, según el fórmula:

|G | = [G : H ] · |H |

En matemáticas, si G es a grupo, H a subgrupo de G, y g un elemento de G, entoncesgH = {gh : h un elemento de H } es a coset izquierdo de H en G, yHectogramo = {hectogramo : h un elemento de H } es a coset derecho de H en G.Solamente cuando H es normal voluntad los cosets derechos e izquierdos de H coincida,que es una definición de la normalidad de un subgrupo.A coset es un coset izquierdo o derecho de algunos subgrupo adentro G. Desde entoncesHectogramo = g ( g−1Hectogramo ), los cosets derechos Hectogramo (de H ) y los cosetsizquierdos g ( g−1Hectogramo ) (de conjugación subgrupo g−1Hectogramo ) son iguales. Porlo tanto no es significativo hablar de un coset como ido o correcto a menos que un primerespecifique a subgrupo subyacente.Para grupos abelian o los grupos escritos aditivo, la notación utilizaron cambios a g+H yH+g respectivamente.

Si H no es normal en G, entonces sus cosets izquierdos son diferentes de sus cosetsderechos. Es decir, hay a en G tales que ningún elemento b satisface ah = Hb. Estosignifica que la partición de G en los cosets izquierdos de H es una diversa partición que la

partición de G en cosets derechos de H. (Es importante observar eso algunos los cosetspueden coincidir. Por ejemplo, si a está en centro de G, entonces ah = Ha.)Por otra parte, el subgrupo N es normal si y solamente si gN = Ng para todos g en G. Eneste caso, el sistema de todos los cosets forma a grupo llamado grupo del cociente G /H con

el ∗ de la operación definido cerca (ah )∗(bH ) = abH. Puesto que cada coset derecho es uncoset izquierdo, no hay necesidad de distinguir “cosets izquierdos” de “cosets derechos”.

EjemplosEl añadido grupo cíclico Z4 = {0, 1, 2, 3} = G tiene un subgrupo H = {0, 2} (isomorfo aZ2). Los cosets izquierdos de H en G sea

0 + H = {0, 2} = H1 + H = {1, 3}2 + H = {2, 0} = H3 + H = {3, 1}

Hay por lo tanto dos cosets distintos, H sí mismo, y 1 + H = 3 + H. Observe eso H ∪ (1 +H ) = G, tan los cosets distintos de H en G partición G. Desde entonces Z4 es grupo abelian,los cosets derechos serán iguales que la izquierda (esto no es difícil de verificar).Otro ejemplo de un coset viene de la teoría de espacios del vector. Los elementos (vectores)de una forma del espacio del vector Grupo Abelian debajo adición de vector. No es durodemostrar eso subspaces de un espacio del vector esté subgrupos de este grupo. Para unespacio del vector V, un subspace W, y un vector fijo a en V, los sistemasse llaman afine los subspaces, y son los cosets (ambos a la izquierda e a la derecha, puestoque el grupo es Abelian). En términos de geométrico los vectores, éstos afinan subspacesson todos los “alinean” o “acepilla” paralelo al subspace, que es una línea o un plano quepasa con el origen.