37

Febr

er

20

15

SCM / Notícies / 37Edita la Societat Catalana de MatemàtiquesFilial de l’Institut d’Estudis Catalans

• Barcelona Mathematical Days 2014

• Nova revista Reports@SCM

• 11a Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques

• Premi Abel 2014

Institutd’Estudis

Catalans

Fórmules matemàtiquesi filatèlia

Cob SCM Num 37.pdf 1 20/03/15 10:40

Societat Catalana de Matematiques

President: Xavier Jarque i RiberaVicepres.: Enric Ventura i CapellVicepres. Adj.: Iolanda Guevara

i CasanovaSecretari: Albert Ruiz i CireraTresorera: Natalia Castellana i VilaVocals: Albert Avinyo i Andres

Marta Berini i Lopez-LaraNuria Fagella i Rabionet

Alberto Herrero IzquierdoJosep Grane i ManlleuCarles Romero i ChesaManuel Udina i Abello

Delegat

de l’IEC: Joan Girbau i Bado

Comunicacions:

Carrer del Carme, 4708001 BarcelonaTel.: 932 701 620Fax: 932 701 180A/e: scm@iecat.net

Secretaria: Nuria FusterTel.: 933 248 583 de 10 a 17 h

SCM/NotıciesFebrer 2015. Numero 37

Edita:

Societat Catalana de Matematiques(filial de l’Institut d’Estudis Catalans)

Editor en cap: Xavier Jarquexavier.jarque@ub.edu

Disseny: Teresa Sabater

Foto de portada:

Formules matematiques i filatelia

ISSN: 1696-8247Diposit Legal: B.9480-2003

Index

La Junta informa 1Report de la Junta 1Resum economic 2

Editorial 5

Internacional 10La columna de l’EMS 10

In memoriam 12Ferran Hurtado (1951-2014) 12

Noticiari 14Nova revista Reports@SCM 14Alexander Grothendieck (1928-2014) 15Recordant Gilbert Baumslag 20Matematiques en joc 21Les universitats informen 24

Activitats 29Barcelona Mathematical Days 2014 29Estada matematica internacional a Andalusia 32Matematiques i Rellotges de Sol 3411a Jornada d’Ensenyament de les Matematiques 37Activitats amb ajut de la Societat 39

Contribucions 49Formules i filatelia 49

Premis 55Premi Abel 2014 55

Parlem de llibres 59Jaume Vallcorba i Plana, in memoriam 59

Raco biografic 61

Problemes 69

Tesis i treballs de fi de master 74

La Junta informa

Report de la Junta

Comencem aquest escrit informant del canvide Junta Directiva a la Societat Catalana deMatematiques. Dins l’ordre del dia de l’As-semblea General de la Societat Catalana deMatematiques 2014 hi havia l’eleccio del noupresident i del seu equip. A l’eleccio s’hi vapresentar la candidatura formada per: XavierJarque i Ribera com a president; Enric Venturai Capell com a vicepresident; Iolanda Guevara iCasanova com a adjunta a la vicepresidencia;Natalia Castellana i Vila com a tresorera, iqui subscriu aquest informe com a secretari. Elcandidat a president va informar dels aspectesmes importants del seu programa i finalmentla candidatura va ser escollida per vuitanta-sisvots a favor, un en contra i un nul. Agraım lafeina feta a l’anterior Junta Directiva i felicitemla nova.

Passem ara a informar de l’acte inauguraldel curs 2014-2015, que tingue lloc el 26 denovembre de 2014 a la Sala Pere i JoanCoromines de la seu de l’Institut d’EstudisCatalans. S’inicia a les sis de la tarda ambla conferencia ≪Historia de la matematica coma eina docent≫, impartida pel professor JosepPla (UB).

Dins el mateix acte, es va celebrar l’As-semblea General de la Societat Catalana deMatematiques.

L’Assemblea va comencar amb el lliuramentdel premi Albert Dou a Sarah Mitchell i TimMyers pel seu treball ≪A mathematical analysisof the motion of an in-flight soccer ball≫.

A continuacio es va passar a l’eleccio dela nova Junta Directiva per al perıode 2014-2018, informacio amb que hem comencat aquestescrit.

En el seguent punt de l’ordre del dia, elpresident de la SCM, Joan de Sola-Morales,presenta un informe de les activitats dutes aterme des de finals de 2013 fins a la data del’Assemblea.

L’informe comenca amb les dades actualsde la SCM: te vuit-cents deu socis, a qui s’haenviat un total de disset correus electronics ambanuncis i informacions. La comunicacio tambes’ha completat amb cent catorze tuits al compte

de Twitter (@soccatmat), la pagina web i lesinformacions de la SCM a l’E-news de l’EMS.

A continuacio va recordar els noms delsdiferents membres de la Junta Directiva, delComite Cientıfic i del Comite de Publicacions.En aquesta part tambe va llistar les diferentspublicacions de la SCM, destacant que aca-ba de sortir el primer numero de la revistaReports@SCM .

La part central de l’informe va estar dedi-cada a les activitats realitzades per la SCMdurant l’any 2014. Algunes d’aquestes ja vanser mencionades a la SCM/Notıcies 36 i lesposteriors estan resumides a la segona partd’aquest informe.

En el seguent punt de l’ordre del dia Mario-na Petit, tresorera de la SCM, va informar delscomptes de la Societat de l’exercici de 2013 i delpressupost per al 2015. Despres d’aclarir algundubte als assistents, ambdos van ser aprovatsper assentiment.

L’Assemblea va finalitzar amb el torn obertde paraules.

A mes de l’Assemblea, destaquem aquı lesactivitats realitzades des de l’aparicio de ladarrera SCM/Notıcies:

El 21 de maig hi va haver la 17a TrobadaMatematica, al voltant del tema ≪Divulgacio,difusio i comunicacio a la matematica catala-na≫.

El 4 d’octubre es va celebrar l’11a Jornadad’Ensenyament de les Matematiques, amb eltıtol 100 Anys de Matematiques amb Tots elsSentits - Emma Castelnuovo, in Memoriam.Cal destacar-ne l’exit, amb tres-cents seixantainscrits mes noranta assistents per videocon-ferencia.

Finalment, el 7 i 8 de novembre es van ce-lebrar els Barcelona Mathematical Days 2014,un congres internacional de recerca organitzatper la SCM. Els organitzadors principals vanser Lluıs Alseda, Carles Casacuberta i JordiGuardia, i el seu format va ser de quatreconferencies plenaries i sis sessions tematiques.Tambe cal felicitar els organitzadors per l’exitde l’esdeveniment, que va reunir mes de centseixanta participants.

1

En un altre ambit volem informar delprograma Bojos per les Matematiques, unaproposta conjunta de la FEEMCAT i la SCM.Bojos per les Matematiques es un curs d’unany de durada dirigit als estudiants del primerany de batxillerat de la modalitat de cienciesi tecnologia amb especial interes i talent perles matematiques. Aquest programa comptaamb el patrocini de la Fundacio Catalunya-LaPedrera i el suport del CRM, la UAB, la UB,la UPC i la UPF.

La SCM segueix esdeveniments i trobadesde recerca amb el fons de promocio d’activitats.Enguany hem ates les peticions d’ajuts alsworkshops i activitats seguents:

• Encuentros de Geometrıa Computacional.

• New Perspective in Discrete Dynamical Sys-tems.

• Interactions between Dynamical Systems andPartial Differential Equations (JISD 2014).

• Barcelona Topology Workshop.

Acabem aquest informe destacant que estaprogramat l’Edinburgh Mathematical Society- Societat Catalana de Matematiques JointMeeting (Barcelona 28-30 de maig de 2015).Reports@SCM SCM/Notıcies

Albert Ruiz CireraSecretari de la SCM

Informe comptable 2013 i pressupost 2015

Benvolguts socis,Ens plau fer-vos arribar el resum comptable de l’any 2013 i el pressupost per a l’any 2015,

aprovats a la recent Assemblea General del 26 de novembre de 2014.

Pressupost de la SCM per a l’any 2013(aprovat per l’Assemblea en data 13 de novembre de 2012)

Ingressos 2013 Despeses 2013

Quotes 30.000,00

Venda de publicacions 300,00

Inscripcions Cangur 82.000,00

Universitats (Cangur) 6.000,00

CX (per a concursos) 6.000,00

FECYT (per a Estalmat) 5.000,00

IEC (publicacions) 6.000,00

IEC (activitats cientıfiques) 6.000,00

Ingressos financers 2.000,00

Romanent 2012 10.500,00

Total 153.800,00

Publicacions 14.500,00

Nova revista digital 4.000,00

Traspas de quotes RSME, EMS 1.300,00

Despeses de representacio 4.000,00

Premi Evariste Galois 2.000,00

Olimpıada 3.000,00

Cangur 88.000,00

Estalmat 7.000,00

16a Trobada Matematica 1.500,00

10a Jornada d’Ensenyament 4.000,00

Jornada SCM de JovesInvestigadors 1.000,00

Museu de les Matematiques 3.000,00

Fem Matematiques 2.000,00

Despeses de personal 6.000,00

Despeses de secretaria 1.600,00

Despeses financeres 400,00

Missatgeria i correus 3.500,00

Conferencies i altres 7.000,00

Total 153.800,00

2

A continuacio us presentem el balanc real de les diferents activitats dutes a terme l’any 2013:

SCM comptes i ajuts 2013

Concepte Ajuts IEC Altres ajuts Ingressos Despeses

Ajuts activitats 10.000,00

Publicacions 5.000,00 402,99 20.375,98

Reports@SCM 2.404,32

Ajuts per internacionalitat 1.320,00 1.320,00

Quotes socis 27.491,00

Traspas de quotes EMS 1.296,00

Devolucio RSME 475,80

Despeses secretaria 121,08

Fons de promocio 6.247,17 6.247,17

Despeses de representacio 2.490,90

Premi Evariste Galois 1.000,00

Olimpıada Matematica 4.499,60

Olimpıada Fısica 2.097,91

Fundacio Privada Cellex 13.772,00

Fundacio La Pedrera 6.000,00

Cangur 2014 (cobrat el 2013) 24.212,00

Cangur 2013 14.782,00 73.604,13

Cangur 2013 (Valencia) 5.000,00

Estalmat (FEEMCAT) 20.400,00

Seminari Estalmat (FECYT) 3.400,00

Estalmat 19.465,31

10a Jornada Ensenyament 660,00 2.394,90

Jornada SCM de Joves Investigadors 690,25

Conferencies 1.459,84

FEEMCAT (La Pedrera) 4.000,00

Museu de les Matematiques 2.231,13

Missatgeria 1.371,24

Correus 3.797,25

Despeses personal 7.840,34

Ingressos financers 958,85

Despeses financeres 358,97

Totals 16.320,00 87.566,00 36.235,81 159.066,32

3

En resum, l’any 2013 hem tingut un total de 140.121,81 euros d’ingressos i un total de 159.066,32euros de despeses, cosa que fa que hi hagi un romanent negatiu de -18.944,51 euros. De tota maneraaquest romanent, que era negatiu el 31 de desembre de 2013, cal interpretar-lo convenienment; aquellcurs les inscripcions del Cangur 2014 es van fer majoritariament al mes de gener de 2014 (gairebe60.000 euros), cosa que va provocar aquesta diferencia entre els ingressos i les despeses. Duesobservacions mes pel que fa als comptes, la primera es que sembla estrany que la SCM subvencionil’Olimpıada de Fısica, pero de fet l’unic que ha fet la Societat ha estat fer de mitjancera entre laFundacio Privada Cellex i la Societat de Fısica; la segona fa referencia a les subvencions i despesesd’Estalmat: la subvencio pel seminari es va cobrar el 2013 pero la despesa es va fer el 2014.

Us detallem les activitats que han estat subvencionades amb el fons de promocio d’activitatsaquest any 2013. Val a dir que no sempre coincideix l’any del pagament de la subvencio amb l’anyde la concessio.

Fons de promocio d’activitats, 2013

Activitat Import

Barcelona Topology Workshop 2013 996,37

JISD 2012 245,83

V Jornades de l’A. Catalana de Geogebra 498,17

1a Jornada d’Investigadors Predoctorals (JIPI) 249,09

Juliols a la UB 700,00

XVI Jornades JAEM SBM-XEIX 2.000,00

JISD 2013 747,27

Topics in Complex Dynamics 310,44

Planter de Sondeigs i Experiments 4a edicio 500,00

Total 6.247,17

L’import del fons de promocio a l’inici de l’any 2013 era de 30.193,70 euros. Les despeses vanser de 6.247,17 euros i el fons va acabar amb un valor de 23.946,53 euros.

Deixant a part, com es tradicio, els diners del fons de promocio d’activitats, la Societat vacomencar l’any 2013 amb un valor positiu de 71.270,02 euros i va finalitzar amb un saldo positiude 52.275,51 euros.

Tot seguit us presentem el pressupost per a l’any 2015, aprovat a l’Assemblea General del 26de novembre de 2014.

Pressupost de la SCM per al 2015

Ingressos 2015 Despeses 2015

Quotes 26.000,00

Venda de publicacions 300,00

Inscripcions Cangur 90.000,00

Fundacio Catalunya-La Pedrera 6.000,00

(per a concursos)

Publicacions 22.500,00

Traspas quotes RSME, EMS 1.300,00

Despeses de representacio i quitances 4.000,00

Reunions europees 3.000,00

Premi Evariste Galois 2.000,00

4

Ingressos 2015 Despeses 2015

Fundacio Privada Cellex 20.000,00

(per a concursos)

IEC (publicacions) 6.000,00

IEC (activitats cientıfiques) 10.000,00

Ingressos financers 1.000,00

Romanent 2014 12.900,00

Total 172.200,00

Olimpıada Matematica 5.000,00

Cangur 95.000,00

Estalmat 5.000,00

EMS & SCM Joint Meeting 2015 6.500,00

12a Jornada d’Ensenyament 3.000,00

Museu de les Matematiques 3.000,00

Fem Matematiques 2.000,00

Despeses de personal 8.500,00

Despeses de secretaria 1.500,00

Despeses financeres 400,00

Missatgeria i correus 5.000,00

Conferencies i activitats 4.500,00

Total 172.200,00

Esperem que tots els ingressos s’acabin fent efectius i sigui possible tirar endavant totes lesactivitats i projectes que hi ha previstos sense haver de fer us de la guardiola.

Pel que fa al fons de promocio, a l’Assemblea del 26 de novembre es va decidir, tal com s’ha fetaquests darrers anys, fer-ne dues convocatories de 4.000 euros cadascuna.

Tambe us comuniquem la decisio de no augmentar les quotes de soci.

Mariona PetitTresorera de la SCM

Editorial

Editorial

Benvolguts socis i lectors,

Avui escric aquest, mes que probable, darrereditorial al tren de rodalies, anant a treballara la central des de la meva nova residenciaa Sant Sadurnı d’Anoia (i si cal l’acabare enel tren de tornada a casa). Despres de dotzeanys de viure a Salou ens hem traslladat aaquest petit poble de l’Alt Penedes, on esperemestar-nos forca anys, si Deu vol. Es dimarts10 de desembre, just despres del pont de laPurıssima, i fa un dia esplendid (net, assolellati fred, com a mi m’agrada), amb unes vistesespectaculars a la muntanya de Montserrat(malauradament, ara que ja soc de tornadacap a casa i enllesteixo l’editorial, mentre llegiael Twitter m’he assabentat que hi ha trespersones que han mort a causa dels forts vents;

aixı doncs no ha estat un dia tant esplendidmetereologicament parlant com semblava almatı).

En tot cas, com segurament alguns devosaltres ja sabeu, fa deu dies que a l’AssembleaGeneral de la SCM la candidatura a la Juntade la SCM que, juntament amb Enric Ventura,Iolanda Guevara, Natalia Castellana i AlbertRuiz vam presentar, va ser escollida. Per tant,la meva condicio de president de la SCM fa quela meva feina com a editor de la SCM/Notıcieshagi de concloure.

Aquest fet no gens imaginable quan vaiginiciar la feina d’editor ara fa un any i migfa que aquesta col·laboracio amb la SCM hagiestat molt mes curta del que em pensava(l’Enric, el meu predecessor, s’hi va estar vuit

5

anys). Pero les coses son com son. A hores d’arano sabem qui seguira fent aquesta feina tanmaca i al mateix temps tan intensa. Veurem.

No obstant aixo, haver editat tres numerosde la SCM/Notıcies no ha estat innocu pel quefa a la meva activitat com a membre de lacomunitat matematica catalana. Amb aixo vulldir que malgrat ser una tasca que demana forcadedicacio, m’ha servit per aprendre moltescoses de les activitats que es fan a casa nostrai m’ha obert els ulls a tota l’activitat querealitzen els nostres companys de secundaria.El balanc que en faig es molt positiu i deixoaquesta feina millor que quan vaig arribar.

No vull repetir-me amb algunes observa-cions que ja he fet en editorials anteriorspero hi ha algunes coses que vull destacar.La primera i mes important es la voluntat demolts de vosaltres per participar i ajudar-me.El contrapunt es el fet que hem de ser capacosd’engrescar gent nova i aixı descarregar de feinaals mes participatius. L’altra es la immensadificultat que suposa que la SCM/Notıciessurti puntualment; juliol i desembre, diguem.En el darrer editorial us deia que aquest copsı que ho havia aconseguit i que rebrıeu laSCM/Notıcies als voltants de la Diada! Nocal dir que els qui la vau llegir (em constaque almenys una persona ho va fer!) estaveuatonits ja que la SCM/Notıcies no us vaarribar fins a mitjan d’octubre, en el millordels casos. No es pas la meva intencio repartirculpes, ja que tots els processos editorials ide distribucio pateixen entrebancs que no sonatribuıbles a ningu en concret, pero el que sıque puc dir es que la SCM/Notıcies estavapreparada el 10 de juliol (i per aixo estavatan segur que aquest cop sı que ho haviaaconseguit). Aquest fet esta provocant que lapresent SCM/Notıcies vagi tard, ja que hi haseccions que depenen dels numeros anteriorsi algunes dinamiques propies dels contingutstambe pateixen aquests desajustos temporals.Em sap greu.

Finalment, una vessant que crec que calreconsiderar, i aixı ho vaig fer notar a l’acte depresentacio de la candidatura a la presidencia ala SCM, es la consideracio de la SCM/Notıciescom a font real de notıcies. Us copio literalmentel que vaig dir:

Des de ja fa uns anys tothom es mes o menysconscient del canvi que esta afectant lespolıtiques de comunicacio de les institucionsamb caracter general. Els twitters, els blogs,els webs, els correus electronics, etc. Totaixo no existia fa deu anys. Jo (perdoneu lareferencia tan personal), potser per taranna,hi crec molt. Sembla impossible, pero pera les noves generacions, un espai potenta la xarxa pot tenir mes efecte que deuvolums de la SCM/Notıcies. I que constique Enric Ventura (en mes gran mesura) i jopersonalment (durant el darrer any i escaig)hem estat els editors de la SCM/Notıcies ihem invertit un grapat d’hores en el seu bonfuncionament.

Sincerament penso que es molt importantque la SCM/Notıcies segueixi canalitzantla feina feta per la nostra comunitat i quesegueixi sent tambe un referent de comu-nitat per a tots aquells que no participenactivament i directa en les activitats quees realitzen, pero que se’n senten partıcips.Una altra cosa es la seva funcio com agenerador de notıcies en un mon on aquestesson tan volatils i immediates. Hi ha moltafeina a fer en aquest ambit i l’Albert enspot ajudar molt a portar-ho a terme (toti que la tasca mes urgent es buscar-me unsubstitut...).

No us vull entretenir mes. Us agraeixo moltla vostra disponibilitat. I agraeixo a RaquelHernandez i a Raquel Caparros l’ajut inesti-mable durant les edicions d’aquests numeros.Gracies de debo.

Xavier JarqueEditor de la SCM/Notıcies

6

Agraıment i comiat

Aquest escrit vol ser unes paraules d’agraımenti comiat en nom de la Junta Directiva dela SCM que aquests dies ha finalitzat el seumandat. A mes de mi, que he ocupat el carrecde president, els altres membres han estatJoaquim Ortega-Cerda (vicepresident), AlbertRuiz Cirera (secretari, precedit en aquest carrecdurant els primers anys per Merce Ferre) iMariona Petit (tresorera).

Ocupar aquests carrecs ha estat per a totsquatre, en primer lloc, un gran honor. Lacomunitat matematica catalana ha estat al llargde la nostra vida professional l’ambient enque ens hem desenvolupat com a matematics,i l’oportunitat de servir-la directament desde la SCM durant aquests quatre anys haestat un verdader privilegi, que recordaremsempre. Moltes gracies doncs, per comencar,als socis de la SCM per haver-nos fet con-fianca, per donar-nos suport durant tot elperıode i per l’esperit col·laborador que haestat sempre present entre els socis de la nostraSocietat.

Es molt difıcil de dir ara tots els noms de lespersones que han treballat per a la SCM durantaquest perıode, pero vull esmentar, almenys,les grans arees de treball amb que ens sentimdeutors. En primer lloc, la nostra secretaria ad-ministrativa, Nuria Fuster, experta en la nostramanera de fer i una grandıssima professional.Gracies tambe als vocals de la Junta, als actualsi als que van ser-ho al principi, i al delegatde l’IEC. Tots ells han estat d’una gran ajudaper a nosaltres i alhora han contribuıt a fer-nospassar estones interessants i agradables. Tambegracies als comites editorials de les nostrespublicacions: el Butlletı, la SCM/Notıcies, elNoubiaix i la Reports@SCM. Igualment, estemmolt agraıts als membres del Comite Cientıfic,que tant ens han ajudat. Tambe, als molts queens han ajudat en l’organitzacio de trobades ijornades, als cursos de preparacio i als cursosdel programa Estalmat. Tambe, als que hanformat part de tants jurats dels premis idistincions. I als molts, moltıssims, que hanajudat a la realitzacio dels concursos dedi-cats als alumnes de secundaria, com ara l’O-limpıada, el Cangur, els Problemes a l’Esprint id’altres.

No podem oblidar tampoc les moltes insti-tucions amb que hem establert relacions i alian-ces i que sempre ens han donat suport. En pri-mer lloc, l’Institut d’Estudis Catalans, la nostracasa-mare, que ens ha allotjat i donat recolza-ment administratiu i economic, i ens ha facilitatl’ajut de la Secretaria Cientıfica, de la Secciode Ciencies i Tecnologia, la Gerencia, el Serveide Publicacions i el Gabinet de Comunicacio.Tambe les universitats catalanes, singularmentles que tenen estudis de Matematiques, aixı comels seus degans i directors de departament, etc.,que ens han donat ajut en tantes situacions.Igual que el CRM, amb qui hem tingut tan bonarelacio.

Tambe estem contents de les bones relacionsi les col·laboracions que hem tingut amb laReial Societat Matematica Espanyola (RSME),i les altres societats del Comite Espanyol deMatematiques (CEMAT), amb les quals enssentim agermanats. Amb la Societat Europeade Matematiques i amb la seva presidenta,que ens ha ajudat de tantes maneres, i tambeamb el Centre Internacional de MatematiquesPures i Aplicades (CIMPA). Tambe amb laFederacio d’Entitats per a l’Ensenyament de lesMatematiques a Catalunya (FEEMCAT) i lesorganitzacions que hi estan federades, aixı comamb la Societat Balear de Matematiques (SBM-Xeix) i la Societat d’Educacio Matematica Al-Khwarizmi, amb les quals tan be ens hementes sempre. Tambe ens enduem un granrecord del Centre de Recursos per Ensenyari Aprendre Matematiques (CREAMAT), i deles bones relacions que hi hem tingut. Unesment molt especial mereix tambe el Museu deMatematiques de Catalunya (MMACA), ambel qual sempre hem col·laborat i sempre enshem entes.

Unes paraules tambe als nostres patroci-nadors, sense els quals ens veurıem tan limi-tats. La Fundacio Privada Cellex, la FundacioCatalunya-La Pedrera, i el generos patrocina-dor particular del Barcelona Dynamical Sys-tems Prize.

Tambe dediquem unes paraules d’agraımenta la Junta Directiva que ens va precedir, pre-sidida pel professor Carles Perello, i finalmentagraım als membres de la nova Junta Directiva

7

la seva disponibilitat per treballar per a laSocietat. Els desitgem sort i encert, tot i que elseu entusiasme i el seu bon criteri fan preveureque no tindran pas necessitat dels nostres bonsauguris.

Si fem una repassada a les activitats re-alitzades per la SCM nomes durant aquest2014, podem dir que ens n’anem amb un regustben satisfactori. L’exit, com cada any, de laprova Cangur al mes de marc; la Trobada delmes de maig, aquest any dedicada a un temainnovador, la DDC (divulgacio, difusio i comu-nicacio); la decisio de convocar el BarcelonaDynamical Systems Prize 2015; la realitzaciodel congres conjunt amb les societats espanyolesi italianes a Bilbao al mes de juny; l’acordamb la Societat Matematica d’Edimburg perrealitzar una trobada conjunta a Barcelona(maig de 2015); l’enorme exit de la Jornadad’Ensenyament de les Matematiques a l’octubre(amb mes de tres-cents cinquanta participantsinscrits, nomes a Barcelona); l’aparicio del pri-mer numero de la nova revista Reports@SCM ;l’inici de la preparacio d’un nou concurs, elCangur-Primaria, que ja ens ha obert la portaa la relacio amb tants mestres d’ensenyamentprimari, que fan una feina tan rellevant. Tambela preparacio del nou programa formatiu Bojosper les Matematiques, del qual esperem moltsexits. I encara la presentacio d’una candidaturaa un premi important, que si no es conceditno sera sabut, pero que nomes de preparar-la

i de comprometre’ns-hi ja ens ha donat moltasatisfaccio (disculpeu-nos si som discrets enaquest punt).

Ens n’anem contents, doncs. Gracies a tantagent que ens ha ajudat hem fet moltes coses deles quals ens sentim satisfets.

No es dolent que cada quatre anys apa-reguin noves persones en la direccio d’unaassociacio com la nostra. Els nostres socis sonuna comunitat amplia i diversa, i la renovaciodels carrecs es una oportunitat ben bona perinvolucrar en el treball de la Societat noussectors. L’objectiu de la Societat hauria de seresdevenir cada cop mes representativa de lacomunitat matematica catalana, i aixo nomesho aconseguirem si fem que mes i mes perso-nes participin en tasques relacionades amb laSocietat.

Ja sabeu que totes les activitats de la SCMes fan de manera voluntaria i desinteressada.Per aquesta rao tots hem de veure que hi hacoses que, tot i ser convenients per a la nostraSocietat, no sempre es raonable pensar quesigui possible trobar prou voluntaris per fer-les.Dic aixo per demanar als socis que no nomesdonin suport a la nova Junta Directiva, o que lifacin arribar noves iniciatives, sino que tambes’ofereixin per treballar-hi. Jo penso que no espoca cosa el que la SCM ha fet fins ara, peroque de feina encara n’hi ha molta per fer! I emtemo que no ens l’acabarem!

Molt afectuosament,

Joan Sola-Morales RubioPresident de la SCM

Inici Junta

La candidatura que juntament amb EnricVentura (vicepresident), Iolanda Guevara (vi-cepresidenta adjunta), Natalia Castellana (tre-sorera) i Albert Ruiz (secretari), vam presentara l’Assemblea General de la Societat Catalanade Matematiques del dia 26 de novembre de2014 es va anar configurant a finals del curspassat, i es va consensuar a principis d’aquestcurs en diverses converses entre els qui formemla candidatura, altres socis de la SCM, i altresmembres de la comunitat matematica catalana.Volem agrair a la Junta sortint (molt espe-

cialment a Joan Sola-Morales com a presidentsortint), a tots els socis de la SCM que enshan encoratjat a presentar la candidatura,i a tots els assistens a l’Assemblea el seusuport.

Els reptes de la SCM en els propers anysson importants i tenen fronts diversos. En lapresentacio que vam fer de la candidatura eldia de l’Assemblea General vam desgranar-nealguns i en aquesta presentacio de la Junta en laSCM/Notıcies volem incloure’n un petit resum.

8

En primer lloc hi ha els reptes que ensarriben del mon de secundaria. El nostre equip,com sempre, es sensible a l’elevada carrega defeina de la comunitat catalana de professorsde matematiques de secundaria: les provesCangur, l’Olimpıada, l’Estalmat (Estımul delTalent Matematic), les competicions (esprint,marato, copa, relats, etc.), en son exemplesclars. Alguns cops, la SCM nomes posa granetsde sorra necessaris pero no determinants perfer rodar les activitats, i son altres institucionsi grups (FEEMCAT, Estalmat, etc.) les queen porten el pes, amb l’ajut necessari de lesentitats patrocinadores com ara la FundacioPrivada Cellex i la Fundacio Catalunya-LaPedrera, etc. En altres casos en som els actorsprincipals i els responsables ultims. Per mostrarla importancia d’aquesta dimensio de la SCMincorporem Iolanda Guevara com a vicepresi-denta adjunta per tal de coordinar de la millormanera possible la nostra participacio.

Mes enlla de les activitats anteriormentcomentades, val la pena mencionar dues novesactivitats que aquest proper curs es posen enmarxa. D’una banda, les proves Cangur pera primaria (conegudes amb el sobrenom deCanguret), que significaran l’extensio de lesactuals proves Cangur (per a alumnes de terceri quart d’ESO i primer i segon de batxillerat),als darrers cursos de primaria (cinque i sise).Aquest primer any te un caracter exploratorio experimental per tal de valorar la sevacontinuıtat futura. Si aquest projecte es con-solida, suposaria un augment molt significatiude l’activitat en un mon poc visible a laSCM com es el dels professors de primaria.D’altra banda, tambe s’inicia el programa Bojosper les Matematiques (http://feemcat.org/bojos/), pensat per a alumnes de primer debatxillerat amb un interes especial per lesmatematiques (que hauran d’assistir durantuna vintena de dissabtes a classes teoriques,practiques i tallers)1. Esperem que aquesta acti-vitat signifiqui tambe un augment dels treballsde recerca de secundaria en matematiques.

El segon dels reptes de la SCM esta centraten l’activitat universitaria. La SCM, en aquestambit, te un paper mes moderador que nopas d’actor principal. Pero moderar i sumarsensibilitats per poder portar a bon port pro-

jectes de caracter transversal entre institucionsi universitats alguns cops es molt important.Amb la nova creacio de la BGSMath ens hemdotat d’una supraentitat amb la intencio desumar sinergies. La SCM ha ajudat i vol seguirajudant perque tots aquests agents consolidinla recerca en matematiques a Catalunya. EnricVentura, com a vicepresident de la Junta, serala persona que tindra una maxima implicacioen tots aquests afers.

Dues novetats importants al voltant del’activitat de la SCM en l’ambit de la re-cerca han estat les seguents: d’una banda,l’organitzacio del primer congres internacionalBarcelona Mathematical Days 2014, del 7 al8 de novembre de 2014 (podeu trobar unarticle complet sobre el congres en aquestnumero, escrit per Carles Casacuberta, membredel Comite Organitzador). La idea dels seusimpulsors, amb Joan Sola Morales al capda-vant, era que tingues caracter internacional;d’altra banda, l’altra novetat es la sortida delprimer numero d’una nova revista de la SCM:Reports@SCM. Els editors en cap son NuriaFagella i Enric Ventura, i en aquest numerode la SCM/Notıcies tambe podeu trobar-ne unescrit.

Per finalitzar aquesta petita presentaciode la nova Junta, volia fer esment a trestemes de caracter transversal. Un fa referenciaa les polıtiques de comunicacio de les insti-tucions. Els twitters, els blogs, els webs, elscorreus electronics, etc. D’aixo ja us n’he parlata l’editorial.

Un altre eix de debat es l’efecte de laprofunda crisi que hem viscut en la nostracomunitat. Algunes decisions que s’han preshan tingut un impacte sever en la comunitatmatematica, molt especialment, molt, en lesnoves generacions. Algunes de les sortides icarreres professionals que abans eren les propiesde la nostra comunitat s’han, basicament, esfu-mat. Potser es una cosa temporal (tant de bo),pero la SCM no pot quedar al marge d’aquestfet. En aquest context, que pot fer la SCM perser atractiva a les noves generacions que surtende les nostres facultats? Que podem oferir-losper fer-nos interessants o utils? Quins interessostenen? Que podem fer pels matematics quetreballen a l’empresa?

1Ja existeixen altres activitats similars per a altres arees cientıfiques com ara Bojos per la Quımica o Bojos per la

Fısica, etc.

9

Finalment, voldria analitzar la visibilitat dela SCM al mon. En primer lloc, em vull referira la visibilitat a Catalunya mes enlla de Barce-lona. La meva impressio, potser equivocada, esque com que el volum mes gran de l’activitatde la comunitat (per raons, si voleu, de massacrıtica) te lloc a a Barcelona, oblidem una micales activitats mes enlla de la capital. La Juntaque presentem vol ser proactiva en aquest sentiti ens comprometem a fer-nos visibles en altresracons de Catalunya on es fan matematiques.En segon lloc, la SCM ha de voler jugar el seurol en la matematica universal. Ho ha de fer

assumint les seves dimensions i la seva realitat,sense imposar-se autolimitacions. Un exempled’aixo es el Barcelona Mathematical Days 2014.Hem de seguir treballant en l’organitzacio detrobades amb altres societats o comunitatsd’arreu, projectar-nos al mon tant com siguipossible, i trobar els mecanismes que ens facinvisibles alla on ens correspon.

En resum, i per finalitzar, tenim mes feinade la que podrem fer i necessitarem la vostraconfianca per dur-la a terme. Esperem (l’Enric,la Natalia, la Iolanda, l’Albert i jo mateix),doncs, tenir el vostre suport.

Xavier JarquePresident de la SCM

Internacional

La columna de l’EMS

En aquest numero destaquem:

• Les medalles Fields 2014: Els investiga-dors Artur Avila (Institut Nacional de Ma-tematica Pura i Aplicada i Universitat deParıs 7; sistemes dinamics) i Mark Hairer(Universitat de Warwick i Universitat deNova York; geometria aritmetica) son elsguardonats amb afiliacio europea de les me-dalles Fields. Podeu trobar mes informaciosobre els guardonats amb vıdeos de presen-tacio a l’enllac: http://www.icm2014.org/

en/awards/prizes/FieldsMedalist.

• Canvi de presidencia a l’EMS: El Consell del’EMS, reunit a Sant Sebastia els dies 28 i 29de juny, van elegir Pavel Exner (Academiade Ciencies Txeca), Mats Gyllenberg (Uni-versitat de Helsinki) i Sjoerd Verduyn Lunel(Universitat d’Utrecht) com a nou president,tresorer i secretari respectivament. El seumandat es fa efectiu a partir de gener de2015. Pavel Exner succeeix en el carrec depresident a la professora Marta Sanz-Sole,que ha estat presidenta de l’EMS des de generde 2011.

Des d’aquesta columna felicitem efusivamentMarta Sanz-Sole per la seva tasca tandestacada com a presidenta de l’EMS.

No us perdeu l’editorial escrit per MartaSanz a la Newsletter de l’EMS del mesde desembre: http://www.ems-ph.org/

journals/newsletter/pdf/2014-12-94.

pdf

• Traspas d’Alexander Grothendieck: El passat13 de novembre va morir un dels matematicsmes influents del segle xx, AlexanderGrothendieck. Alexander Grothendieck vatreballar principalment en la branca dela geometria algebraica. La seva novavisio de la geometria ha sigut (i es)enormement influent en recerca. Podeutrobar detalls sobre la seva vida i la sevamatematica als webs seguents: http://www.grothendieckcircle.org/, http://www.

ara.cat/premium/matematic-alexander-

grothendieck-mor_0_1248475357.html,http://www.lemonde.fr/disparitions/

article/2014/11/14/le-mathematicien-

alexandre-grothendieck-est-mort_

4523482_3382.html.

• Congres 7ECM: El sete Congres Europeu deMatematiques tindra lloc del 18 al 22 dejuliol de 2016 a la Universitat Tecnica deBerlın. El congres cobrira totes les arees deles matematiques pures i aplicades. Per a mes

10

informacio consulteu l’enllac: http://7ecm.de/download/7ECM_Save-the-date.pdf.

• Edinburgh Mathematical Society-SocietatCatalana de Matematiques Joint Meeting:Els dies 28-30 de maig de 2015 tindra lloca l’Institut d’Estudis Catalans (Barcelona)la trobada matematica de la Societat Ma-tematica d’Edimburg i la Societat Catalanade Matematiques. La trobada se centraraen arees de recerca d’interes per a ambduessocietats. Els conferenciants plenaris confir-mats d’aquesta trobada son: Istvan Gyongy(Universitat d’Edimburg), Carles Simo (Uni-versitat de Barcelona), Roberto Emparan(Universitat de Barcelona), Enric Ventura(Universitat Politecnica de Catalunya), JimWright (Universitat d’Edimburg). Estan pre-vistes sessions tematiques en: analisi, teo-ria geometrica de grups, geometria i fısicamatematica, biologia matematica, analisi es-tocastica i topologia. Trobareu mes informa-cio a l’enllac: http://emsscm2015.espais.iec.cat/.

• Imaginary: L’exhibicio itinerant ≪Imagi-nary≫ s’ha transformat en una plataforma enxarxa. Consulteu: http://imaginary.org/

network per a mes informacio.

• Canvis al web de l’EMS: Des del mesde juliol de 2014 l’EMS disposa d’un nouweb http://www.euro-math-soc.eu. Des-taquem la seccio ≪Jobs≫, on trobareu anun-cis per a matematics a Europa (inclososanuncis de postdocs): http://www.euro-

math-soc.eu/jobs-map.

• Altres notıcies de l’EMS:

I– Anuncis d’esdeveniments cientıfics del’EMS:

– 10-13 de juny de 2015: AMS-EMS-PMSCongress. Porto, Portugal http://aep-

math2015.spm.pt/. Sylvia Serfaty, Uni-versitat de Parıs 6, EMS distinguishedspeaker.

– 6-10 de juliol de 2015: European Me-eting of Statisticians, Amsterdam, Ho-

landa http://www.ems2015.nl/. Bernou-lli Society-EMS Joint Lecture: GunnarCarlsson (Universitat de Stanford, EUA).

– 31 d’agost-4 de setembre de 2015: 17thEWM General Meeting Cortona, Italyhttp://www.europeanwomeninmaths.

org/ EMS lecturer : Nicole Tomczak-Jaegerman (Universitat d’Alberta, Ca-nada).

– 18-20 de setembre 2015: EMS-LMSJoint Mathematical Weekend, Birming-ham, Regne Unit.

II– Proceedings EMS: Els proceedings delscinc primers ECM estan disponibles a:http://www.euro-math-soc.eu/ECM/.

Flaixos d’Europa

• Nova crida per a les Marie Sklodowska-Curie Innovative Training Networks (ITN).Data lımit: 13 de gener de 2015 per aprojectes de recerca centrats en la formacio.Mes informacio: http://ec.europa.eu/

research/participants/portal/desktop/

en/opportunities/h2020/calls/h2020-

msca-itn-2015.html#tab2.

• Nova crida per a propostes ERC StartingGrants. Data lımit: 3 de febrer de 2015.Les beques ERC Starting Grants estandestinades a investigadors principals enfase inicial de la seva recerca inde-pendent i del seu equip d’investigacio.Mes informacio: http://ec.europa.eu/

research/participants/portal/desktop/

en/opportunities/h2020/calls/erc-

2015-stg.html.

• Nova crida per a propostes ERC Conso-lidator Grants. Data lımit: 12 de marcde 2015. Les beques ERC Consolidatorestan destinades a investigadors prin-cipals en fase de consolidacio del seupropi equip i programa d’investigacio.Mes informacio: http://ec.europa.eu/

research/participants/portal/desktop/

en/opportunities/h2020/calls/erc-

2015-cog.html.

Eva MirandaUniversitat Politecnica de Catalunya

11

In memoriam

Ferran Hurtado, 1951-2014

El 2 d’octubre de 2014 va morir Ferran Hurta-do, gran matematic i investigador referent in-ternacional en geometria discreta, combinatoriai computacional. Fernando Alfredo HurtadoDıaz va neixer a Valencia i va passar partde la seva infantesa i adolescencia a Manresa,on els seus pares eren professors de dibuix al’institut d’ensenyament mitja de la ciutat. Vaestudiar matematiques a la Universitat de Bar-celona on, despres d’obtenir la llicenciatura, vaesdevenir professor de problemes de geometria,disciplina que acabaria sent la seva passio coma matematic. Les dificultats d’aquells anys perseguir una carrera academica a la universitat elvan portar, com a molts dels seus companys,a optar a una catedra de matematiques al’ensenyament secundari. Durant el seu pasper l’ensenyament secundari, a mes dels bonsrecords que va deixar a molts estudiants, vaescriure diversos llibres de text, els primersen catala despres de la dictadura. Escrits ambla seva caracterıstica bonhomia i sentit del’humor, els textos Curs de Matematiques I, II iIII i Curs de Matematiques de COU, escrits encol·laboracio amb Jordi Puig i Albert Brichs, iAtles de Matematiques van esdevenir textos dereferencia a l’ensenyament secundari a principisdels anys vuitanta i avui encara estan a lavenda.

A mitjan la decada dels vuitanta algunsantics companys d’en Ferran el van convencerperque es reintegres a la universitat i vaobtenir una placa de professor titular d’es-cola universitaria a la Universitat Politecnica

de Catalunya. El precedia una reputacio dematematic amb una solida formacio i va seracollit des de bon comencament amb respectei satisfaccio pels seus col·legues i companys,alguns dels quals havien estat alumnes seus ala Facultat de Matematiques de la Universitatde Barcelona. En Ferran va decidir incorporar-se al programa de doctorat de MatematicaDiscreta i Telematica i, arribat el momentd’iniciar la seva tesi doctoral, em vaig oferir afer-li de director, conscient que seria una feinaagraıda i enriquidora per a tots dos. En aquellsmoments hi havia en el camp de la matematicadiscreta una gran efervescencia de temes nous,impulsats sobretot per la forta empenta deldesenvolupament de la informatica. Vaig anara veure’l al seu despatx, que en aquells tempses trobava a les golfes de l’edifici que avuies el rectorat de la Universitat Politecnica deCatalunya, carregat amb articles i projectes.Em va mirar amb ulls d’infant i em va dir:≪a mi el que m’agradaria es fer geometria≫.Feia poc en un congres havia coincidit ambun grup d’investigadors que feien geometriacomputacional, una area que estava fent elsprimers passos (el primer text amb aquest tıtolhavia aparegut feia menys de cinc anys) i que,per la importancia dels algorismes geometricsen els grafics per ordinador, estava rebent unimpuls extraordinari. Li vaig explicar algunsdels problemes que havia escoltat i li vaig dirque si volia introduir-se en aquesta area hauriad’anar a aprendre-la on s’estava fabricant, alvoltant de Godfried Toussaint a la UniversitatMcGill de Mont-real. En Godfried va acceptaramablement acollir en Ferran i aixı es com, alsseus trenta-cinc anys, en Ferran es va embarcaren el que seria una de les aventures de la sevavida. De seguida es va sentir comode en lageometria computacional, en que els algoris-mes estaven tan a prop de les demostracionssintetiques que dominava i apreciava tant.

En poc temps va establir connexions ambla incipient comunitat espanyola de geometriacomputacional, en la qual de seguida va exercirun lideratge indiscutit, i va iniciar una intensaactivitat internacional que acabaria convertint-

12

lo en un investigador de referencia extra-ordinariament apreciat pels seus col·legues.

En els mes de cent cinquanta articles d’investi-gacio que va publicar hi ha una extensa llista demes de cent setanta coautors que conte els nomsmes rellevants del panorama internacional dela geometria computacional a escala interna-cional, com Pankaj Agarwal (Universitat deDuke), Jin Akiyama (Universitat de Cienciesde Toquio), David Avis (Universitat McGill deMont-real), Bernard Chazelle (Universitat dePrinceton), Stefan Felsner (Universitat Tecnicade Berlın), Godfried Toussaint (Universitat Mc-Gill de Mont-real), Jorge Urrutia (UniversitatNacional Autonoma de Mexic) o Emo Welzl(ETH-Zurich), per citar-ne nomes uns quantsentre els mes rellevants. En Ferran estava parti-cularment satisfet de la seva llarguıssima llistade col·legues i amics, als quals tractava ambexquisida elegancia en les visites que li feiena Barcelona, ciutat de la qual tots guardavenun excel·lent record, i als quals visitava sovinta qualsevol part del mon. El juny de 2011es va organitzar una edicio internacional delsEncuentros de Geometrıa Computacional percelebrar el 60e aniversari d’en Ferran. El nivelli la quantitat de participants de tot el mon

en aquest esdeveniment son potser la millorexpressio del paper central que jugava en Ferranen la comunitat internacional de geometriacombinatoria i computacional. De la reunioen va sortir el volum especial ComputationalGeometry (Lecture Notes in Computer Science,Springer 2012), que recull contribucions a moltsdels problemes que en Ferran va treballar ala seva vida: triangulacions, convexitat, poli-gonitzacions de punts o grafs geometrics. Ames del plaer que sentia i transmetia perpensar problemes geometrics, els seus col·leguestambe apreciaven la seva extensa cultura en elmon del vi, de la gastronomia, de la pintura,de la musica o de la literatura, que feiend’en Ferran un humanista complet amb unaconversa extremadament enriquidora. A mes deles matematiques, en Ferran cultivava la pintu-ra, era un guitarrista consumat, un excel·lentcuiner i la seva erudicio en el mon dels vins eraantologica.

Cometa Halley (Ferran Hurtado)

La seva desaparicio deixa un buit enor-me entre els seus companys, des del grupde recerca que dirigia fins a la comunitatmatematica catalana, espanyola i internacio-nal. La pagina web Ferran Hurtado Memo-rial (http://ferranhurtado.blogspot.com)recull les expressions de condol de molts delsseus col·legues i amics. Tal com es repeteix unai altra vegada en aquests breus escrits, Ferran,el teu record es viu i et trobem molt a faltar.

Bartomeu Coll i VicensGrup de recerca TAMI. UIB

13

Noticiari

Nova revista Reports@SCM

La Societat Catalana de Matematiques (SCM)ha posat en marxa una nova revista de re-cerca en matematiques, electronica i orien-tada a estudiants: Reports@SCM. El pri-mer numero es accessible des de l’adrecahttp://reportsascm.iec.cat.

Fa un any, el president de la SCM, JoanSola-Morales, va engegar aquesta iniciativa, quefou molt ben acollida des del comencament,tant per part del Comite Cientıfic com per laJunta de la SCM. Per portar-la a la practica,la Junta va nomenar els actuals dos coeditorsen cap de la revista, Nuria Fagella (Univer-sitat de Barcelona) i Enric Ventura (Univer-sitat Politecnica de Catalunya), i un ComiteEditorial format per deu professors repartitsentre les diverses universitats catalanes quecobreixen la majoria d’arees de recerca enmatematiques.

La Reports@SCM neix amb la motivaciode cobrir una necessitat nova del col·lectiud’estudiants catalans de matematiques d’ultimany de grau, de master i de doctorat. Des del’ultim canvi de pla d’estudis, tots els estudiantsd’ultim any de grau i de master han d’escriurei defensar un projecte de fi de grau/master,sota la direccio d’un professor tutor. Habi-tualment sol consistir en la lectura, analisi iaprofundiment, per part de l’estudiant, d’al-guns textos matematics sobre un tema especıficdel seu interes; quan es possible, s’intenta quel’estudiant faci tambe alguna aportacio propia

sobre el tema, ja sigui en forma de variacio,resolucio d’algun altre cas particular no fet a laliteratura, aplicacio de les eines apreses a algunaltre context o problema, etc.

Aquests casos en que l’estudiant fa algunaaportacio propia mes enlla del que llegeixson casos d’iniciacio a la recerca matematica.Malgrat aixo, i potser amb alguna excepciomolt puntual, el nivell matematic de l’estudianti la profunditat matematica d’aquests treballsno son suficients perque se’n pugui derivarun article de recerca publicable en revistesespecialitzades de la seva materia.

En aquesta situacio, i un cop l’estudiantacaba l’esmentat projecte, aquestes primerespasses d’introduccio a la recerca matematica,encara que modestes, queden oblidades dinsalgun calaix d’algun despatx universitari. Larevista Reports@SCM neix amb la intencio dedonar sortida i visibilitat als millors d’aqueststreballs, rescatant-los de l’oblit en que podri-en caure. Tant si l’estudiant deixa el monacademic com si s’encamina cap a l’obtenciod’un doctorat, Reports@SCM vol ajudar afer visible aquesta feina en el currıculum del’autor, ajudant-lo en les seves primeres passesen el mon de la publicacio en matematiques.Efectivament, quan un jove ha d’escriure elseu currıculum, es molt diferent que hagi dedeixar l’apartat de publicacions en blanc, queno que pugui posar-hi ni que sigui un sol articlepublicat (en una revista modesta, al seu abast).Esperem, doncs, que aquesta iniciativa siguiutil als nostres estudiants i a la comunitatmatematica en general.

La nova revista Reports@SMC es gratuıta,electronica, sense edicio en paper, de lliureacces des del nostre web (tant per consultaren lınia com per baixar-se els articles enformat PDF), i oberta a tota la comunitatmatematica catalana, espanyola i internacional.La Reports@SCM publica articles curts, d’unalongitud aproximada de deu pagines, sobretotes les arees de les matematiques en sentitampli: matematica pura, matematica aplica-da, estadıstica matematica, fısica matematica,ciencies de la computacio, i qualsevol aplicacio

14

a la ciencia o la tecnologia en que la matematicajugui un paper central. Per ser considerat pera la seva publicacio, l’article ha d’estar escriten angles, amb un resum en catala, ha deser matematicament correcte, i ha de conteniralguna contribucio original, encara que siguimodesta. Totes les presentacions seguiran unproces estandarditzat de revisio per experts,que acabara amb l’acceptacio o el rebuig del’article per part del Comite Editorial.

Els autors d’un article que aparegui a laReports@SCM son lliures de publicar en el fu-tur qualsevol desenvolupament posterior o ver-sio ampliada de l’article, amb l’unica condiciod’esmentar l’article publicat a la Reports@SCMamb la corresponent cita completa.

Un dels objectius importants d’aquesta no-va revista es el de mantenir una mitjana detemps raonablement curta entre la recepciod’un document i la seva acceptacio o rebuig,i entre la seva acceptacio i la seva publicacio.Aquest segon perıode sera especialment breu ja

que, en tractar-se d’una revista electronica, elsarticles acceptats es faran publics al web de larevista tan bon punt passin per la revisio deformat, d’estil i de llenguatge, si s’escau.

El Comite Editorial esta format pelsseguents professors de les diverses universitatscatalanes, representatius d’un ampli ventalld’arees de les matematiques: Marta Casane-llas (UPC, geometria algebraica, filogenetica),Pedro Delicado (UPC, estadıstica i investiga-cio operativa), Nuria Fagella (UB, dinamicacomplexa), Alex Haro (UB, sistemes dinamics),David Marın (UAB, geometria complexa idiferencial), Xavier Massaneda (UB, analisicomplexa), Eulalia Nualart (UPF, probabi-litats), Joaquim Ortega-Cerda (UB, analisi),Francesc Perera (UAB, algebra no commutati-va, algebres d’operadors), Julian Pfeifle (UPC,geometria discreta, combinatoria, optimitza-cio), Albert Ruiz (UAB, topologia), Gil Solanes(UAB, geometria diferencial), i Enric Ventura(UPC, teoria de grups).

Nuria Fagella i Enric VenturaEditors en cap Reports@SCM

Alexander Grothendieck (1928-2014)

Alexander Grothendieck ha estat un dels ma-tematics mes importants dels darrers cent anys.La seva produccio cientıfica es d’una origina-litat i projeccio enormes; les idees i caminsque ha obert al llarg de la seva vida arrelenen els fonaments de la geometria algebraica ison objecte de permanent actualitat entre elsespecialistes mes prestigiosos. Mes enlla dels

conceptes introduıts i dels teoremes demostrats,Grothendieck es conegut tambe a causa d’unperiple vital i academic convuls, que el va dur aretirar-se de la comunitat cientıfica i passar elsdarrers anys de la seva vida allunyat de l’entornen el qual havia excel·lit.

A l’hora d’analitzar succintament la vida il’obra de Grothendieck resulta fonamental elrelat autobiografic que va escriure l’any 1985(no publicat, accessible a internet), Recolteset semailles (RS), en el qual repassa algunesvicissituds de la seva vida, de la seva obra i dela manera com entenia la creacio matematica.

Uns retalls de la biografia de Grothendieckpermetran emmarcar la seva trajectoria. Gro-thendieck neix a Berlın el 1928. El seu parees un anarquista jueu rus, Alexander Shapiro,que despres d’haver participat en les revoltesde 1905 i 1917 ha fugit del creixent antise-mitisme de la Unio Sovietica, i la seva mare,una socialista revolucionaria alemanya, HankaGrothendieck. Davant l’ascens d’Adolf Hitler al

15

poder l’any 1933, els pares es traslladen a Parıs,deixant el petit Alexander a cura d’uns amics enuna granja del nord d’Alemanya. El caracter re-volucionari de la parella Shapiro-Grothendieckels duu a lluitar a la guerra d’Espanya, al costatde les Brigades Internacionals. Tornen a Francal’any 1939, on son internats en els camps obertspel Govern frances per tancar els anarquistesi altra gent ≪indesitjable≫. El pare acaba aAuschwitz, on es perd el seu rastre el 1942,mentre que la mare es internada al camp deRieucros (Lozere), on es retrobara amb el petitAlexander, que viatja sol des d’Alemanya finsal sud de Franca. Sens dubte, aquests avatarsmarcaran el caracter de Grothendieck.

L’etapa formativa de Grothendieck co-menca els anys 1942-1944, en els quals assisteixal College Cevenol, a prop del camp d’inter-nament, en unes condicions gens favorables.En paraules seves: ≪J’etais le plus age, et leseul a aller au lycee, a 4 ou 5 kilometresde la, qu’il niege ou qu’il vente, avec deschaussures de fortune qui toujours prenaientl’eau≫. Despres, accedeix a la Universitat deMontpellier, on estudiara la llicenciatura deMatematiques, sense destacar especialment enels seus resultats academics o potser sı... Gro-thendieck estava descontent amb els calculs delongituds, arees i volums que els presentaven,ja que al seu parer hi mancava una definicioprevia d’aquests conceptes, mostrant aixı el seuesperit matematic innat, demanant un perqueabans d’un com calcular-los. Per satisfer lesseves inquietuds, va desenvolupar una versiogeneral de la integral de Lebesgue, sense haverllegit ni coneixer l’obra del mateix Lebesgue. Elprofessor J. Soula li va comentar que aquestsproblemes havien estat resolts per Lebesgueforca anys abans, pero lluny de desanimar eljove Grothendieck, aquest episodi li va donarla confianca suficient en si mateix per endinsar-se en la recerca matematica. A mes, tal comassenyala a les RS, ens trobem davant d’untret caracterıstic que s’aniria reproduint al llargde la seva carrera; Grothendieck no estavainteressat a llegir llibres, on apareixen les ma-tematiques que ja estan fetes, sino a descubrirles que estan per fer: ≪Les livres, on ne les litpas, on les ecrit.≫

El 1948 el professor J. Soula adreca aquestestudiant tan especial a Parıs, a l’encontred’Elie Cartan, aleshores d’edat molt avancada,

perque faci una tesi doctoral. Alla comencal’etapa mes productiva del matematic, etapaque s’allarga fins el 1970, uns anys en que revo-lucionara els fonaments de diverses disciplines.Henri Cartan i Andre Weil acullen Grothendi-eck, qui troba un ambient excel·lent al Parısde l’epoca, incorporant-se al Seminaire Cartan,dedicat aquell curs a la topologia algebraica i lateoria de feixos, i gaudint de l’esperit Bourbaki.Despres del primer any, els seus mentors l’adre-cen a Nancy per desenvolupar una tesi doctoralen l’equip de J. Dieudonne i L. Schwarz, queestan analitzant les propietats generals delsespais localment convexos que reflecteixin lespropietats dels exemples mes coneguts, essenci-alment els espais de funcions i de distribucions.Li proposen fins a catorze problemes que se’lsresisteixen, problemes que resol en un any.Dieudonne comenta: ≪Quand il s’agit en 1953de lui decerner un doctorat, il fallut choisirentre six memoires, dont chacun aurait fait unebonne these≫; com a tesi doctoral presenta laseva memoria sobre els espais nuclears. Defineixels productes tensorials completats entre dosespais localment convexos, E⊗εF i E⊗πF , queen general no coincideixen, i introdueix unacategoria d’espais sobre els quals sı que esdona aquesta coincidencia, els espais nuclears.Mostra que la categoria d’espais nuclears tebones propietats d’estabilitat, que bona partdels espais funcionals que apareixen en lateoria de distribucions son nuclears i que es lanuclearitat d’aquests espais la que esta a la basedel teorema dels nuclis de Schwarz.

A partir del mateix 1953 de la defensa de laseva tesi doctoral, Gothendieck perd interes enl’analisi funcional i s’orienta cap a la geometriai la topologia algebraiques, disciplines en granefervescencia i desenvolupament als seminarisde Parıs del moment. En la seva reorientaciocientıfica tindra una gran influencia J. P. Serre,

16

amb qui mantindra una correspondencia abun-dant i de qui dira mes endavant que va inspirarmoltes de les idees que va desenvolupar. En par-ticular, Serre havia promogut la utilitzacio dela teoria de feixos en geometria algebraica en elseu article ≪Faisceaux algebriques coherents≫,teoria que Grothendieck va analitzar en unarticle conegut com el ≪Tohoku≫, en referenciaa la revista en que va ser publicat: Grot-hendieck s’interessa per l’algebra homologica,ben establerta per als moduls en el llibrefundacional de Cartan i Eilenberg de l’any1956, i n’extreu la nocio de categoria abelianai les propietats estructurals que assegurarenl’existencia de resolucions injectives en aquestcontext mes general. De cop, unifica l’analisidels functors Tor i Ext definits per als moduls ila cohomologia de feixos (definida fins aleshoresde forma ad hoc) com a reflexos d’una teoriames general i, en un cert sentit, mes fonamental.He esmentat aquest treball perque mostra, ja enels seus inicis, un dels trets fonamentals de lacreativitat de Grothendieck: per tal d’entendreun problema o una teoria (la cohomologiade feixos en aquest cas) se n’allunya en unproces de generalitat cada vegada mes gran,pero no superflu, fins a situar-lo en un contexton les particularitats del problema inicial nodestorbin la seva analisi, de manera que lasolucio esdevingui natural. Grothendieck estames interessat a elaborar teories generals quea resoldre problemes concrets, amb el conven-ciment que aquests trobaran solucio com aconsequencia de les propietats estructurals de lateoria que els emmarca. Com dira P. Deligne, elseu continuador mes destacat, referint-se a total’obra de Grothendieck, ≪Il etait unique danssa facon de penser. Il lui fallait comprendre leschoses du point de vue le plus general possibleet une fois que les choses etaient ainsi compriseset posees, le paysage devenait si clair que lesdemonstrations semblaient triviales≫.

L’any 1957 Grothendieck sorpren la comu-nitat matematica amb una nova prova, mes ge-neral, del teorema de Riemann-Roch. L’origend’aquest resultat es el calcul de la dimensio del’espai de funcions meromorfes amb zeros i polsfixats sobre una superfıcie de Riemann. Despresde la introduccio dels feixos en geometriaalgebraica, el problema per a les varietats dedimensio arbitraria es transforma en donaruna formula polinomica per a la caracterıstica

d’Euler χ(X,F) d’una varietat algebraica llisaX i un feix localment lliure F en funcio d’unsinvariants numerics de X i de F . Hirzebruchhavia aconseguit donar aquesta formula per ales varietats complexes, resultat publicat l’any1956, utilitzant de forma essencial metodestranscendents, i mes particularment la teoriade cobordisme de Thom. Es plantejava alesho-res trobar una prova algebraica que permetesestendre el teorema a les varietats definidessobre un cos arbitrari. Grothendieck no solsproporciona aquesta prova algebraica, sino queva molt mes enlla: introdueix el grup K(X)de classes de fibrats d’una varietat, variacionsdel qual s’aplicaran amb exit en la topologiaalgebraica per part d’Atiyah i Hirzebruch i enl’algebra per part de Bass i Serre, per donarlloc a tota una nova teoria, la teoria K; tambeintrodueix el punt de vista relatiu, segons elqual l’objecte natural d’estudi de la geometriason els morfismes entre varietats algebraiques,reduint-se aleshores l’analisi de les varietatsparticulars als morfismes constants. La provaprocedeix per un metode recurrent en lesdemostracions de Grothendieck: les propietatsestructurals dels elements que intervenen enla formulacio del teorema li permeten anarreduint la formula que vol obtenir pas a pas,com si de treure’n les capes d’una ceba estractes, fins a un calcul senzill que efectuasobre l’espai projectiu i que conclou el teorema.Grothendieck utilitzara, un cop i un altre,aquesta tecnica de devissage per demostrarteoremes generals per reduccio a una situacioquasi trivial.

Els resultats obtinguts fins aleshores i lesidees que presenta en els diferents seminaris enque participa donen gran renom a AlexanderGrothendieck, cosa que li permet adrecar unaponencia a l’ICM d’Edimburg de 1958, en laqual esbossa un programa visionari i molt am-bicios de refundacio de la geometria algebraicaque li ocupara bona part del seu temps fins a laseva retirada de l’Institut d’Estudis Avancats(IHES) de Parıs l’any 1970. En aquells mo-ments, la necessitat de trobar una bona formu-lacio de la geometria algebraica estava determi-nada en part per l’actualitat de les conjecturesde Weil sobre el nombre de solucions de lesequacions algebraiques definides sobre un cosfinit, que suggerien profundes connexions entrel’aritmetica de les varietats definides sobre un

17

cos finit i la topologia de les varietats complexesassociades, establint una fusio entre dos monsaparentment molt diferents, l’un discret i l’altrecontinu. L’objectiu era trobar una cohomologiade Weil amb bones propietats, que ara nodetallarem. A la introduccio, Grothendieck as-senyala que ≪it seems already certain that they[cohomological methods] are to overflow thispart of mathematics [algebraic geometry] in thecoming years≫. Pero, previament a les conjec-tures de Weil, Grothendieck es proposa ana-litzar i profunditzar l’estudi cohomologic delsfeixos coherents iniciat per Serre, ja que entenque donaran nous resultats i nous metodesde demostracio de resultats establerts sensemetodes cohomologics, com ara el teorema deles funcions holomorfes de Zariski, situant-los en un context mes adequat que permetestendre’ls i generalitzar-los. Aquest programas’anira materialitzant en milers de pagines,en les quals els resultats i les construccionsmes originals se segueixen sense solucio decontinuıtat. El reconeixement a aquest immenstreball comportara la concessio, l’any 1966, dela medalla Fields a l’ICM de Moscou.

En aquest perıode comptara amb lacol·laboracio inestimable de col·legues i dei-xebles destacats: d’una banda Dieudonne iSerre; el primer aporta rigor i tenacitat enl’establiment de la teoria d’esquemes, mentreque el segon inspira moltes de les idees quedesenvolupara Grothendieck; de l’altra, els par-ticipants dels Seminaires du Bois-Marie (SGA),entre els quals M. Artin o deixebles com araL. Illusie, J. L. Verdier o P. Deligne.

Es impossible resumir aquı les aportacionsmes importants de Grothendieck en el perıode1958-1968, per la qual cosa ens cenyirem acomentar succintament tres idees que ell mateixselecciona, en les primeres pagines de RS, comles mes importants d’entre les seves contri-bucions i que obeeixen, en un cert sentit, auna evolucio ascendent de la nocio d’espai engeometria: esquema, topos, motiu.

Esquemes: en els anys cinquanta es vanproposar, basicament, dues aproximacions ala definicio de varietat algebraica per part deSerre i Chevalley, aproximacions que patien dediverses mancances. A mes, ambdues aproxi-macions suposaven treballar amb un cos base,de manera que eren poc apropiades per aalgunes de les aplicacions previstes, com ara

les propietats diferencials, en que intervindranels elements nilpotents, o les aritmetiques, enque la base natural es Z. Grothendieck prencom a objecte basic de la geometria algebraicaun anell commutatiu qualsevol A i el conjuntdels seus ideals primers amb la topologia deZariski, SpecA, associa un feix estructural aaquest espai, O, i defineix un esquema comun espai topologic amb un feix estructuralque localment es isomomorf a l’espectre d’unanell. Sembla que aquesta construccio era meso menys coneguda a l’epoca; el que distingeixGrothendieck es el convenciment que aquestaes la bona nocio i el desenvolupament d’unaextensıssima teoria al seu voltant que es con-creta en els dos milers de pagines dels inacabats≪Elements de geometrie algebrique≫ (EGA),redactats amb l’ajut de Dieudonne. Aquestaes una contribucio tan fonamental que haesdevingut el llenguatge basic en que s’insereixla geometria algebraica i, a traves d’ella, lageometria aritmetica i la teoria de nombres.

Topos: el proces de construir objectes ma-tematics enganxant objectes definits localmentque coincideixen sobre les interseccions (reco-llement) es habitual en topologia. La topologiade Zariski dels esquemes permet, en principi,estendre aquest procediment a la geometriaalgebraica, pero la pobresa d’aquesta topologiano el fa gaire efectiu. Per remediar aquestproblema Grothendieck introdueix el metodede descens i, anant mes lluny, les nocions desitus i topos. Grothendieck observa que, desdel punt de vista de la teoria de feixos, lageometria d’un espai topologic es redueix alreticle dels seus conjunts oberts. Com assenyalaCartier, ≪l’originalite de Grothendieck a ete dereprendre l’idee de Riemann que les fonctionsholomorphes multivaluees vivent en realite, nonpas sur les ouverts du plan complexe, maissur les surfaces de Riemann etalees≫. Aquestessuperfıcies s’apliquen unes en les altres formantuna categoria, que generalitza el reticle delsoberts de l’espai. Adaptant aquesta idea ala geometria algebraica, Grothendieck defineixel site etale d’un esquema, li associa la ca-tegoria de feixos (el topos etale) i la teoriade cohomologia associada. En particular, pera una varietat algebraica X definida sobreun cos algebraicament tancat i per a cadaprimer ℓ diferent de la caracterıstica del cos,Grothendieck defineix la cohomologia ℓ-adica

18

H∗(X,Zℓ) i demostra que es una bona cohomo-logia de Weil, almenys fins al punt que les tresprimeres conjectures de Weil se segueixen deles propietats generals d’aquesta cohomologia.Faltava l’equivalent de la hipotesi de Riemannper a la funcio zeta d’una varietat algebraica,que demostraria Deligne uns anys mes tard, el1974, aplicant resultats de formes modulars ipropietats de monodromia.

Motius: el grups de cohomologiaH∗(X,Zℓ) per a ℓ variable, i d’altres queno hem introduıt, tenen propietats paral·leles.La teoria de motius es una primera temptativaper trobar una cohomologia entera, i racionalper extensio d’escalars, de la qual aquests grupsserien les realitzacions ℓ-adiques. Grothendieck,que mai va publicar res referit al ioga delsmotius, assenyala que el que cal es entendrela categoria dels motius i analitzar les sevespropietats, de manera que les conjecturesde Weil se segueixin de l’estructura generald’aquesta categoria. Aquest es un camı noreexit encara, tot i que la influencia de la teoriade motius ha estat molt important i, a partir delanys noranta, amb el treball de V. Voevodskysobre la categoria derivada de motius, entred’altres, ha conegut un gran renaixement.

L’any 1970 Grothendieck decideix aban-donar l’IHES, el seu habitat natural des dela creacio d’aquesta institucio a finals delsanys cinquanta, en descobrir que part delfinancament de la institucio prove de fonsmilitars. Aixo xoca frontalment amb les sevesconviccions pacifistes i antimilitaristes. Els quiel coneixien, com Cartier, assenyalen pero quela seva crisi existencial i cientıfica comencaforca abans, l’any 1966. En un moment quela polıtica mundial esta dominada pel rebuiga la guerra del Vietnam i per la guerra fredaentre els dos grans blocs, Grothendieck es negaa viatjar a la URSS per recollir la medallaFields l’any 1966, i comenca a plantejar-se laimportancia de les matematiques davant d’unarealitat tant punyent. Segons Cartier, aquestsentiment no fa sino augmentar al llarg delsanys, en especial el maig de 1968, fet pel qual lasortida de l’IHES no es sino una consequenciad’un proces interior llargament conreat.

L’ICM de Nica representa el trencamentde Grothendieck amb l’entorn matematic enel qual s’havia instal·lat els darrers vint anys.El juliol de 1970 Grothendieck crea Survivreet Vivre, un grup pacifista que ben aviatesdevindra ecologista radical, al qual s’incor-poren matematics prestigiosos com Chevalley iSamuel. Grothendieck, una autoritat cientıficamolt influent, no aconsegueix l’impacte desitjata traves d’aquesta nova experiencia i a poc apoc es va tancant en si mateix.

Passa dos anys al Col·legi de Franca, enuna placa que li aconsegueix Serre, i el 1973es trasllada a la Universitat de Montpelliercom a professor de base, universitat en la qualromandra fins a la jubilacio l’any 1988. Aixono vol dir, pero, que Grothendieck abandoniles seves reflexions cientıfiques. A Montpellierrep a uns pocs matematics propers i escriualgunes reflexions matematiques, entre les qualsdestaquen A la poursuit des champs, Esquissed’un programme i La longue marche a traversla theorie de Galois, que circulen entre un grupde matematics de confianca. En aquests textosalbira teories i desenvolupaments que son, aramateix, a la base de la recerca de diversos grupsarreu del mon. A principis dels anys noranta,abans de retirar-se definitivament, llega unesvint mil pagines de manuscrits i reflexions a unamic, escrits que romanen en algun indret de laUniversitat de Montpellier i que, en bona part,estan encara per descobrir.

El 1988 renuncia al premi Crafoord, que lies atorgat conjuntament amb P. Deligne perl’Academia Sueca en reconeixement a la sevaobra. Grothendieck passa els darrers anys dela seva vida apartat de tot entorn cientıfic iacademic, en l’anonimat d’un petit poble delPirineu frances. La seva activitat se centra enla cura de les vinyes i el camp i en les sevesreflexions personals, que produeixen el textautobiografic Recoltes et semailles i La clef dessonges, en el qual reflecteix les seves inquietudsespirituals. Mor el 13 de novembre de 2014 al’hospital de Saint Girons.

Per a saber-ne mes, consulteu el webhttp://www.grothendieckcircle.org/.

Pere PascualUniversitat Politecnica de Catalunya

19

Recordant Gilbert Baumslag

Gilbert Baumslag, professor emerit distingit delCity College de Nova York i de la UniversitatCity de Nova York, va morir el passat 20d’octubre de 2014 als vuitanta-un anys, despresd’una curta malaltia.

Baumslag, que era sud-africa, va estudiara la Sud-africa de l’apartheid, pero hi estavacompletament en contra, i mes d’un cop vaajudar a algun conciutada discriminat perquestions de raca a Sud-africa protegint-lode l’assetjament, o ajudant-lo a sortir de lapreso. Era un bon esportista i va ser ungran afeccionat als esports, especialment alcriquet, ben popular a la seva terra natal.Li agradava organitzar partits espontanis decriquet al carrer, davant la casa d’estiu quetenia a l’illa de Nantucket, a la costa deMassachusetts.

Els estudis de matematiques els va cursar ala Universitat de Witwatersrand, a Johannes-burg, i a continuacio va fer el seu doctorat ala Universitat de Manchester, sota la direcciode Bernhard Neumann. Es va doctorar l’any1956, i la seva tesi contenia una amplia gammade resultats sobre grups nilpotents i grups ambarrels uniques.

Despres d’arribar als Estats Units per anara Princeton a finals dels anys cinquanta, vapassar gairebe tota la seva carrera academica al’area de Nova York, primer a la Universitat deNova York, i despres al City College de NovaYork i al Graduate Center de la UniversitatCity de Nova York, amb nomes un petit intervalen que va treballar a la la Universitat Rice deHouston.

Un dels seus resultats mes elegants es elque demostra que els productes corona (wreathproducts) infinits i no trivials no admetenuna presentacio finita [1]. Juntament ambBoone i Novikov [3], va demostrar que unabona quantitat de problemes de decisio per agrups finitament presentats no son decidiblesalgorısmicament.

Els grups de Baumslag–Solitar s’anomenenaixı en honor seu i de Donald Solitar, coautorsde l’article [2]. Ell va ser el primer que va donaruna descripcio de les seves propietats, incloentel primer exemple de grup no hopfia. Encaraavui dia els grups de Baumslag i Solitar propor-cionen contraexemples importants i exemples

il·lustratius en diversos ambits de la teoria degrups.

En els anys seixanta va introduir tecniquesinspirades en metodes de geometria algebraicaper estudiar equacions en grups, un concepteque ha arribat al seu maxim exponent entreballs posteriors al 1990, i que es objected’intensa recerca en l’actualitat. L’any 1984,conjuntament amb Roseblade [4], va iniciar unestudi dels subgrups dels productes directesde grups lliures. En els trenta anys que hanpassat des de llavors, aquests subgrups hanproporcionat una gran quantitat d’exemples isegueixen sent font de fenomens inusuals enteoria de grups.

En el marc incomparable de l’Institut deRecerca de Ciencies Matematiques de Berke-ley es va celebrar un semestre dedicat a lateoria de grups durant el curs 1988–1989, enel qual Baumslag va ser una figura central.Aquesta reunio va ajuntar per primer cop lacomunitat d’investigadors de la Unio Sovieticaamb els investigadors occidentals, i va propiciarel desenvolupament de la teoria dels grupshiperbolics, a mes d’avancar en un ampli ventallde branques de la teoria de grups. A continua-cio, el professor Baumslag va desenvolupar lesprimeres propietats dels grups automatics ambBridson, Shapiro i Short [5]. En aquesta teoriaes fan efectives les condicions per a l’existenciad’algorismes efectius pels problemes de decisioen grups.

Un dels aspectes mes coneguts del treballde Gilbert Baumslag va ser en l’ambit dela teoria de grups computacional. Va ser ellıder de diversos grups d’investigadors arreudel mon, treballant en el projecte MAGNUS,consistent en un programari per treballar sobregrups, tant finits com infinits. Aquesta einava representar una gran innovacio en diversosambits, en particular la seva interfıcie grafica,que era avancada per al seu temps. Malgratque molts dels problemes que tracta son inde-cidibles algorısmicament per a la classe sencerade grups finitament presentats, una cosa quenormalment desanima els investigadors a posar-se amb ells, sota la direccio de Baumslags’han desenvolupat algunes eines molt efici-ents en un gran ventall de problemes per auna classe molt amplia de grups. El siste-

20

ma inclou mecanismes per engegar algorismesque intentin resoldre un problema en parti-cular, fent servir diversos tipus d’algorismes,probabilıstics, per exemple, o els anomenatsalgorismes genetics.

Durant mes de quaranta anys, Baumslag vaser un dels organitzadors del Seminari de Teoriade Grups de Nova York. Aquest seminari, fun-dat per Wilhelm Magnus, es un dels que portames temps en funcionament ininterromput, mesde seixanta anys. Baumslag era el director de laCooperativa de Teoria de Grups de Nova York idel Centre d’Algoritmes i Programari CientıficInteractiu, on treballaven en un ampli ventallde projectes. Baumslag va organitzar el serverde preprints en teoria de grups, un precursor del’ara indispensable arxiv.

Baumslag era un home generos en diversosaspectes. Era generos amb les seves idees,sempre tenia una suggerencia per abordar unproblema. Al llarg dels anys, va acollir cen-tenars d’investigadors a l’area de Nova York,entre ells alguns de catalans, com Josep Burilloi Enric Ventura. Era conegut per prestar el seusuport a investigadors joves. Va dirigir mes devint tesis doctorals, desde 1960 fins a 2006. La

seva mort sera molt sentida dins la comunitatmundial de teoria de grups.

Referencies

[1] Baumslag, Gilbert, ≪Wreath products andfinitely presented groups≫, Math. Z., 75(1960/1961), 22–28.

[2] Baumslag, Gilbert and Solitar, Donald,≪Some two-generator one-relator non-Hopfian groups≫, Bull. Amer. Math. Soc.,68 (1962), 199–201.

[3] Baumslag, Gilbert; Boone, W. W., andNeumann, B. H., ≪Some unsolvable pro-blems about elements and subgroups ofgroups≫, Math. Scand., 7 (1959), 191–201.

[4] Baumslag, Gilbert and Roseblade, JamesE., ≪Subgroups of direct products of freegroups≫, J. London Math. Soc. (2), 30 (1)(1984), 44–52.

[5] Baumslag, G.; Gersten, S. M.; Shapiro,M., and Short, H., ≪Automatic groups andamalgams≫, J. Pure Appl. Algebra, 76 (3)1991, 229–316.

Pep BurilloUniversitat Politecnica de Catalunya

Matematiques en joc. Exposicio temporal al Museu del Joguet deCatalunya, Figueres

L’exposicio ≪Matematiques en joc≫, va estaroberta fins l’11 de gener de 2015 al Museudel Joguet de Catalunya, i va significar una

invitacio a fer una mirada matematica al joci al joguet en general.

c© Museu del Joguet de Catalunya c© Museu del Joguet de Catalunya c© Museu del Joguet de Catalunya

21

c© Museu del Joguet de Catalunya c© Museu del Joguet de Catalunya

c© Picanyol c© Modulmax c© Museu del Joguet de Catalunya

Les matematiques son gairebe sempre inherentsen els jocs. Les normes, els criteris d’equitat, elscriteris per discernir les jugades, el recomptede punts o els criteris per determinar elsguanyadors d’un joc acostumen a tenir unaformulacio matematica.

c© Picanyol

Les matematiques tambe aporten al jocun toc de misteri i sorpresa. Alguns fets ma-tematics sorprenents poden despertar la nostra

curiositat, i ser elevats a la categoria de trucs demagia o, fins i tot, d’esdeveniments diabolics.

Les matematiques tambe poden ser belles.Aquesta aportacio estetica la trobem en unavarietat de jocs, com en tots aquells en que calcomposar formes geometriques.

El raonament logic, base de les mate-matiques, forma part de la resolucio d’enigmesi trencaclosques i el trobem, tambe, darrerede les estrategies. A mes a mes, alguns tren-caclosques tenen una formulacio directamentnumerica o geometrica.

La simulacio del mon dels adults tambe prend’aquest totes les seves matematiques. Trobemjocs on s’estimula el calcul i les equivalenciestot jugant a les botiguetes o a comprar i vendreterrenys i equipaments.

D’una altra banda, molt sovint, el joc esposa al servei de les matematiques aportant unmarc ludic, agradable i divertit en l’objectiu delseu aprenentatge. Fins i tot, alguns estris peral calcul poden acabar prenent forma de joc.

22

Totes aquestes reciprocitats es mostren al’exposicio amb una col·leccio de joguets benvariats.

Coincidint amb l’any de jubilacio de l’Ot elBruixot, s’ha inclos una mostra dels problemes,entreteniments i jocs de logica, geometria inumeracio d’en Picanyol, il.lustrats amb els seuspersonatges unics.

En paral.lel a l’exposicio s’han programatalgunes activitats dirigides a famılies i tambe aprofessionals de l’educacio.

El passat dia 15 de novembre es va celebraruna jornada dedicada a la didactica de lesmatematiques a traves del joc. Al matı hi

va haver una serie de xerrades a carrec deMeque Edo, Maria Antonia Canals, HelenaCusı, Guido Ramellini i Quim Tarradas, sotael tıtol El Paper del Joc en les Matematiques.El Paper de les Matematiques en el Joc.

A la tarda hi va haver un taller a carrecde Quim Tarradas, del Museu de Matematiquesde Catalunya, entorn de les matematiques i lamagia. Tant al matı com a la tarda es va poderveure un auditori ple de cares entusiasmades.

Properament hi haura un taller de Modul-max i l’espectacle musical Els numeros canten,a carrec del doctor en Pedagogia i cantantprofessional Toni Gimenez.

23

Podeu trobar mes informacio al Facebookdel Museu del Joguet de Catalunya, info@mjc.cat, 972 504 585 i a http://crises-deim.

urv.cat/~mbras/matematiquesenjoc.Agraıments: Departament d’Enginyeria In-formatica i Matematiques de la Universitat Ro-vira i Virgili, Museu del Joguet de Catalunya,Museu de Matematiques de Catalunya, Josep

Maria Joan Rosa, Montse Colera Goset, LauraCiurana Geli, Josep Lluıs M. Picanyol, MariaAntonia Canals, Meque Edo Baste, HelenaCusı, Guido Ramellini, Quim Tarradas, ToniGimenez, Modulmax, Xavier Batiste, LluısSegarra, Cayro, Educa Borras, Editorial Bar-canova, La Galera editorial, ChrisB257, NickSayers.

Maria Bras-AmorosURV

Les universitats informen

Activitats de suport i divulgacio del Departament de Matematiques de la UAB del curs2014-2015

Tal com s’ha fet els darrers anys, el Departa-ment de Matematiques de la UAB organitzadurant el primer semestre del curs 2014-2015classes preparatories per a les proves Canguri per a l’Olimpıada Matematica. En el cas deles classes de la prova Cangur, l’objectiu deles sessions es, d’una banda, l’aprofundimenten alguns conceptes i tecniques matematics quepermetran als estudiants abordar les provesamb una major preparacio i solidesa i, d’altrabanda, motivar els estudiants per gaudir delrepte que suposa enfrontar-se a problemes ma-tematics nous. El contingut del programa de lesclasses posa emfasi especial en questions de di-visibilitat, combinatoria i geometria elemental.Les classes es fan cada dimecres de les 17 h a les19 h i cobreixen un perıode que va de l’octubreal marc. Enguany hi ha quaranta-cinc alumnesinscrits. Coordina l’activitat el professor JosepGascon i les classes son impartides pel professorRicard Riba.

Pel que fa a les classes preparatories del’Olimpıada Matematica, un any mes el Depar-tament de Matematiques de la UniversitatAutonoma de Barcelona, sota la coordinacio dela SCM, porta a terme les sessions de preparacioper resoldre problemes matematics. Original-ment aquestes sessions es van organitzar ambl’objectiu de preparar els estudiants de quartd’ESO i de batxillerat per participar en lesproves de les Olimpıades i la durada de les

classes anava de l’octubre fins al desembre.Gracies a l’experiencia adquirida, i tambe perpeticio explıcita dels alumnes, a partir del curs2010-2011 es va adoptar el nom actual i esva prolongar el curs fins a l’abril. A mes del’objectiu inicial especıfic de preparacio per ales Olimpıades, els alumnes tenen l’oportunitatd’adquirir coneixements matematics que elsseran utils en el seu futur universitari, inde-pendentment dels resultats que hagin aconse-guit en l’Olimpıada. A mes, aquest curs s’hadecidit oferir la possibilitat que el seguiment iavaluacio d’aquesta activitat siguin reconegutscom a estades a la Universitat Autonoma deBarcelona del programa Argo per un valor desetanta hores. Les sessions es fan cada dijous, deles 17.30 h a les 20.30 h, des del 25 de setembrefins el 23 d’abril. En aquest curs hi ha quaranta-quatre estudiants que hi participaran, amb unamitjana d’assistencia de trenta. Es faran vint-i-vuit sessions i un total de vuitanta-quatrehores de classe. El format de les sessions esvariable pero com a mınim es dedica un tempsa resoldre un problema nou proposat a l’aula,es resolen problemes diversos de les llistes pro-posades, s’explica temari nou i es resolen algunsexemples il·lustratius dels conceptes introduıts.En acabar la classe es controla l’assistencia ies reparteix una llista de problemes nous denivell variable amb l’objectiu que els alumnesels puguin pensar. Cada sessio se centra en untema, i sol ser independent de les altres. El pro-

24

grama inclou: polinomis i nombres complexos,aritmetica, desigualtats, geometria elemental,combinatoria i successions. El professor JoanJosep Carmona coordina l’activitat i imparteixles classes.

Una altra activitat que el Departament deMatematiques organitza regularment a la pri-mavera des del curs 2003-2004 son els Dissabtesde les Matematiques. Els Dissabtes consisteixenen un cicle de xerrades divulgatives i tallerspractics l’objectiu dels quals es acostar lesmatematiques al public general —i en par-ticular als joves estudiants de secundaria—,tot mostrant que les matematiques son unaeina indispensable per entendre molts fenomensdel mon natural, la tecnologia, l’economia i lesciencies socials. El cicle consisteix en cinc xer-rades divulgatives distribuıdes en cinc jornades

de dissabte matı. Les quatre darreres xerradesvan seguides d’un taller practic, mentre quela primera forma part d’una sessio conjuntacompartida amb els Dissabtes de la Fısica.L’eleccio dels conferenciants, els temes de lesxerrades i el format participatiu de l’activitatintenten complir amb l’objectiu principal delsDissabtes: veure en accio la presencia de les ma-tematiques en el mon que ens envolta. L’edicio2015 dels Dissabtes de les Matematiques tindralloc els dissabtes 7 i 14 de marc i 11, 18 i 25d’abril de 2015 i els conferenciants respectiusseran els professors Armengol Gasull, JaumeColl, Gregori Guasp, Rosa Camps i FernandoCorbalan.

Mitjancant el programa Argo de la Universi-tat Autonoma de Barcelona, participem tambeen l’assessorament per elaborar treballs derecerca i tambe en el programa Estades d’estiu,en el qual un grup seleccionat d’alumnes tenenl’oportunitat d’establir un contacte mes directei profund amb les matematiques.

El Departament de Matematiques edita, enformat electronic, la revista divulgativa Mat2,on tant professors com alumnes poden trobaruna visio propera de les matematiques.

Per a mes informacio sobre totes les activi-tats divulgatives es pot consultat la paginaweb http://www.uab.cat/matematiques/,apartat ≪Divulgacio≫.

Jose Gonzalez LlorenteCoordinador de Relacions amb Secundaria

Universitat Autonoma de Barcelona

Activitats de la Facultat de Matematiques de la UB del curs 2014-2015

El curs academic 2014-2015 ha arrencat a laFacultat de Matematiques de la Universitat deBarcelona amb el desig de, malgrat el contextde dificultats economiques croniques, mantenirl’impuls tant als ensenyaments que ofereix coma les multiples activitats destinades als futursestudiants.

Per comencar, just abans de l’inici del curses va portar a terme la Sessio Introductoriaals Graus, en que es van facilitar informa-cions sobre el funcionament de la Facultat, de larepresentativitat de l’alumnat, de dinamiquesd’estudi a la Universitat, del funcionament

de les aules d’informatica i els catalegs dela biblioteca, etc. Com a novetat, enguanys’ha introduıt un taller d’iniciacio a la pro-gramacio, dirigit als estudiants del grau d’In-formatica i de la doble titulacio Matematiques-Informatica, que te per objectiu facilitar-losl’adaptacio als continguts de programacio deprimer curs. Recordem que els graus que ofereixla nostra Facultat son els d’Informatica i deMatematiques, i les dobles titulacions Ma-tematiques-Informatica, Matematiques-Fısica iMatematiques-Administracio i Direccio d’Em-preses.

25

L’acte oficial d’obertura del curs 2014–2015va tenir lloc el dimecres 1 d’octubre ambla llico inaugural a carrec d’Elitza Maneva,del Departament de Matematica Aplicada iAnalisi, titulada ≪Les matematiques al darrerede les criptomonedes≫. En el mateix acte esva fer entrega del premi August Palanques alsestudiants Joan Gimeno Alquezar i EduardRoure Perdices.

Just despres de la inauguracio del curs,els dies 2 i 3 d’octubre, es va celebrar lacinquena edicio de l’Install Party. Uns trenta-cinc estudiants de primer curs van comptaramb l’assessorament d’una desena d’estudiantsdels darrers cursos (tercer i quart) per ins-tal·lar el sistema GNU/Linux als seus ordina-dors. Podeu trobar-ne mes detalls a http://

installpartyub.wordpress.com.

La Facultat fa un emfasi especial en les acti-vitats de divulgacio cientıfica i, en particular, enles activitats adrecades a alumnes i professorsde secundaria. Les activitats programades peral curs 2014–2015 son les que precisem acontinuacio.

• Xerrades-taller. Els dies 19 i 26 de novem-bre de 2014 es porta a terme la xerrada-taller titulada ≪Problemes de viatjants≫,impartida pel professor Carlos D’Andrea, delDepartament d’Algebra i Geometria. A laxerrada es mostraren exemples tıpics en quees planteja un simple enunciat la resolucio delqual sembla impossible d’aconseguir. Aixodona l’excusa perfecta per aprendre concep-tes molt importants i utils en matematica,com optimitzacio, grafs i algorismes. En eltaller posterior a la xerrada vam aplicaralgunes heurıstiques per intentar resoldreaquests problemes, i vam desafiar amb exem-ples senzills tota la capacitat informaticadisponible.

La segona xerrada-taller del curs present vatenir lloc els dies 14 i 21 de gener, i va anar acarrec de Simone Balocco, del Departamentde Matematica Aplicada i Analisi. Titulada≪Introduccio a la tecnologia web≫, mostracom aquesta tecnologia s’ha convertit en unaeina indispensable en les nostres vides quoti-dianes com a font d’informacio i de comuni-cacio, aixı com en una eina per a les nostresrelacions socials. L’us d’Internet, des d’unordinador, o un dispositiu mobil (telefons

intel·ligents, i tauletes) ha crescut de formaexponencial. En aquest taller es van apren-dre els primers conceptes de programacioInternet mitjancant la creacio d’una paginaweb senzilla. Addiccionalment es van explicaralgunes nocions del llenguatge HTML5, queconstitueix la base de les pagines d’Internetmodernes.

• Matefest-Infofest. Els detalls de la darreraedicio d’aquesta festa singular, organitzadapels estudiants de la Facultat i celebradael dia 26 de marc de 2014, els trobareu enun article a part en aquest mateix numero.La data escollida per a la Matefest-Infofestd’aquest curs es el dimecres 25 de marc. Comen la darrera edicio, aquesta mateixa datas’aprofitara per fer la trobada anual ambprofessors de secundaria.

• Suport a treballs de recerca en matematiquesi informatica. El programa de suport atreballs de recerca en matematiques es vainiciar ja fa onze anys, amb l’objectiu d’oferirsuport des de la Facultat tant al professorattutor interessat a dirigir els treballs com al’alumnat que els elabora. Per segon anyconsecutiu la informatica tambe forma partd’aquest programa de suport.

• Preparacio de l’Olimpıada Matematica. LaFacultat de Matematiques de la UB ofereix,des de l’inici del curs fins a final d’any,unes sessions de preparacio de resolucio deproblemes per a les proves de l’OlimpıadaMatematica. Aquestes sessions, que enguanyja es troben en la sisena edicio, estan co-ordinades pel professor Manuel Tort, i vanadrecades a tots els estudiants interessats aparticipar en la fase catalana.

• Tallers d’Intel·ligencia Artificial i Robotica.Van adrecats principalment a l’alumnat debatxillerat. Pretenen ensenyar als alumnes,de manera didactica i divertida, a disse-nyar i programar algorismes intel·ligents perals seus robots. Els centres interessats aparticipar-hi han de presentar un equip for-mat per dos o tres alumnes i un tutor.Com a objectiu final, durant el dia de laMatefest-Infofest se celebra una competicioeliminatoria entre tots els equips, en la

26

qual es tanquen dos robots de dos equipsparticipants en un laberint on un fa el roldel cacador i l’altre el de presa. El cacadorguanya si atrapa la presa en un tempsdeterminat, en cas contrari guanya la presa.A l’equip guanyador se li lliura un premii un diploma. Durant el temps que dural’activitat, des de febrer fins al dia de lacompeticio, s’ofereixen sis sessions de suporta tots els participants, en les quals es tractendiversos aspectes sobre el disseny i progra-macio de robots: instal·lacio del softwarenecessari, programacio en llenguatge C, reco-neixement del laberint on es desenvolupara lacompeticio, etc. Coordina aquesta activitatEloi Puertas.

• Acolliment de les proves Cangur. Com sem-pre, la Facultat te previst ser una deles seus de les proves Cangur organitza-des per la SCM el tercer dijous del mesde marc. La majoria de participants, unsdos-cents, tenen en aquesta ocasio el pri-

mer contacte amb l’edifici historic de laUniversitat.

La participacio de la Facultat en programesadrecats a professorat i alumnat de secundariaha anat aquest curs un pas mes enlla. D’unabanda hem iniciat la col·laboracio amb el Pro-grama de formacio cientıfica, tecnologica i ma-tematica (CTM), organitzat pel Departamentd’Ensenyament de la Generalitat (http://www.xtec.cat/web/formacio/actualitzacio_

cientifica_didactica/ctm/presentacio).Tambe participem al programa Escolab,organitzat per l’Ajuntament de Barcelona(http://escolab.bcn.cat/), i al programaBojos per les matematiques, creat per laFundacio Catalunya-La Pedrera i coordinatper la FEEMCAT i la SCM (http://feemcat.org/bojos/).

Trobareu informacio mes detallada d’a-questes i d’altres activitats a la pagina dela Facultat: http://www.mat.ub.edu/futurs_ub/activitats/

Antoni Benseny, Xavier MassanedaUniversitat de Barcelona

Activitats de la Facultat de Matematiques i Estadıstica de la UPC durant el curs2014-2015

La Facultat de Matematiques i Estadısticadedica cada any el curs academic a la figurad’un cientıfic de prestigi. Enguany el personatgeescollit ha estat el matematic alemany KarlWeierstrass (1815-1897), un dels fundadors del’analisi moderna. El 8 d’octubre va tenir llocla inauguracio del curs Weierstrass amb laconferencia ≪Series de potencies aleatories≫, acarrec del professor Joaquim Ortega, catedraticdel Departament de Matematica Aplicada iAnalisi de la Universitat de Barcelona. Enparaules del professor Ortega, la construcciode funcions amb propietats prefixades a partirde series de potencies es un tema venerableque te en Weierstrass un dels pioners. Enels darrers vint anys, pero, hem vist comvariants aleatories d’aquestes construccions hanesdevingut molt populars arran de les sevesaplicacions a la fısica i a la geometria.

Dins del mateix mes d’octubre RobertoEmparan, professor d’ICREA vinculat al De-partament de Fısica Fonamental de la Univer-sitat de Barcelona, va impartir la conferencia≪Agujeros negros: espacio-tiempo al lımite≫,com a cloenda del Seminari de Relativitat

27

General organitzat pel CFIS. Podeu trobarmes informacio a http://www-cfis.upc.edu/

catala/index.php.Al llarg del primer quadrimestre s’ha desen-

volupat a l’FME un cicle de tres conferenciescoordinades pel professor Tim Myers i vincu-lades a l’assignatura Models Matematics de laTecnologia, del grau en Matematiques. A cadasessio s’ha introduıt una tecnica matematicaconcreta, il·lustrada amb exemples practicsdel mon real. Aquestes conferencies han estatadrecades als estudiants de quart curs del grauen Matematiques, aixı com tambe a estudiantsde master. Les conferencies impartides hanestat: ≪An introduction to complex variabletechniques in applied mathematics≫, a carrecdel professor Jon Chapman, de la Universi-tat d’Oxford; ≪An introduction to stochasticmethods in mathematical biology≫, a carrecde Tomas Alarcon, del Centre de RecercaMatematica, i finalment ≪An introduction toperturbation methods in industrial mathema-tics≫, a carrec del professor Tim Myers, de laUniverstitat Politecnica de Catalunya-Centrede Recerca Matematica.

En un ordre de coses mes festiu, el dia21 de novembre va tenir lloc el lliurament dediplomes als titulats del grau en Matematiques idel grau en Estadıstica, del master in AdvancedMathematics and Mathematical Engineering(MAMME) i del master en Estadıstica i Inves-tigacio Operativa (interuniversitari UPC-UB),i dels doctors en els programes de MatematicaAplicada i d’Estadıstica i Investigacio Opera-tiva. En aquest mateix acte es van lliurar elspremis que Accenture Management Consultingatorga al millor expedient del MIEIO i, novetatd’aquest any, als millors expedients del grau enMatematiques i del grau en Estadıstica.

Com es tradicional, l’FME ofereix els seusespais per a la celebracio d’activitats dedicadesa estudiants i professors de secundaria. Eldia 11 d’octubre van comencar les classes delprojecte Estalmat-Catalunya. L’acte inauguralde la dotzena promocio d’aquest projecte, ini-cialment prevista a l’FME, es va traslladar permotius de capacitat a l’Auditori de la FundacioCatalunya-La Pedrera. En aquest acte el pro-fessor Josep Rey (Museu de Matematiques deCatalunya) va impartir la conferencia ≪Anemde cubs i donem voltes amb il·lusio≫.

El 8 de novembre va tenir lloc al’FME la XVII Jornada Didactica Matematicad’ABEAM, amb sessions paral·leles per a infan-til i primaria i per a secundaria. Les xerradesinaugurals van ser a carrec de Carme Burgues,de la Universitat de Barcelona, amb el tıtol≪Del concret a l’abstracte: paper essencial deles representacions 2D≫, i de Jordi Deulofeu,de la Universitat Autonoma de Barcelona, amb≪Recordant Martin Gardner: context ludic iensenyament de les matematiques≫.

Altres activitats dutes a terme per l’FMEper a estudiants de secundaria han estat diver-ses conferencies-taller per a grups d’estudiantsde batxillerat i ESO sobre temes d’historiade les matematiques, d’estadıstica i de ma-tematica aplicada i metodes numerics. Enguanyl’FME ofereix cinc conferencies-taller per agrups d’estudiants de secundaria, que es podentrobar anunciades al web de la facultat. L’FMEtambe participa aquest curs, junt amb altresuniversitats i centres de recerca, en el programaBojos per les matematiques de la FundacioCatalunya-La Pedrera.

S’ha convocat la 12a edicio del premi Poin-care per a treballs de recerca de batxillerat i benaviat es convocara el premi Planter de Sondeigs

28

i Experiments (aquest darrer conjuntamentamb altres universitats i institucions). Aquestsdos premis es resoldran a finals del segonquadrimestre.

UPC Alumni i l’FME han organitzat unasessio formativa ≪Esprem les possibilitats quet’ofereix LinkedIn≫, adrecada a estudiants dels

darrers cursos i titulats de l’FME, amb l’ob-jectiu de desenvolupar estrategies de cerca defeina en l’ambit d’Internet i de les xarxes pro-fessionals. Aquesta iniciativa s’emmarca dins elPrograma d’orientacio i millora de l’ocupabili-tat, impulsat des d’UPC Alumni.

L’equip de la Universitat Politecnica deCatalunya format pels estudiants de l’FME-CFIS Angel Garcıa i Ferrant Alet i per l’es-tudiant de la FIB Darıo Nieuwenhuis s’haproclamat guanyador del concurs de progra-macio Southwestern Europe Regional Contest(SWERC 2014), celebrat el 22 i 23 de novembrea Porto (Portugal). Aquest equip anira a lafinal mundial. Dos altres equips de la UPC hanaconseguit la cinquena (Gerard Orriols, EricMilesi, estudiants del CFIS, i Albert Martınez,estudiant de la FIB) i novena posicio (Darıode la Fuente, Rafael Lopez i Enrique Jimenez,estudiants del CFIS).

Jaume SolerVicedega de Promocio

Universitat Politecnica de Catalunya

Activitats

Barcelona Mathematical Days 2014

Quan es va reunir el Comite Cientıfic de laSCM el 25 de juny de 2013, a iniciativa delpresident, per estudiar la viabilitat d’organitzarun congres nou de la SCM la tardor de 2014,tothom va fer-hi costat amb entusiasme. L’es-tructura va quedar acordada de seguida: quatreconferencies plenaries i sis sessions tematiquesdurant dos dies (7 i 8 de novembre) a la seu del’Institut d’Estudis Catalans, amb un ComiteOrganitzador al qual estiguessin representadesles diferents universitats. Calia que fos uncongres obert a totes les arees de recerca, fetdes de Catalunya amb un nivell cientıfic moltalt i amb vocacio inequıvocament internacional.Els referents eren les trobades organitzadesper la SCM en anys anteriors amb altressocietats matematiques, sobretot la que es vafer conjuntament amb la Societat MatematicaEuropea el setembre de 2005.

Va ser aixı com va quedar dibuixat elCongres de la Societat Catalana de Ma-tematiques de l’any 2014; pero va quedarpendent trobar-li un nom en angles, i aquestproblema va acabar sent el mes difıcil detots. La proposta inicial ≪First SCM Mathe-matical Conference va acabar convertint-se enBarcelona Mathematical Days 2014≫ despresde cinc mesos de dubtes i discussions. Tot ique l’adjectiu ≪First≫ va caure del tıtol permodestia, la intencio es que aquest congres estorni a repetir, possiblement cada dos anys —acriteri de la nova Junta— i canviant de lloc sies considera oportu.

El Comite Organitzador va quedar for-mat per Joan Sola-Morales (president), CarlesCasacuberta (secretari), Lluıs Alseda i JordiGuardia, amb l’ajuda de la secretaria adminis-

29

trativa de la SCM, Nuria Fuster. Els temes i elsorganitzadors locals de les sessions tematiquesvan ser proposats pel Comite Cientıfic, ambl’encarrec que cadascun d’ells es poses d’acordamb un coorganitzador. Els tıtols de les sessionsi els llistats de ponents van quedar finalmentaixı:

• Across arithmetic, organitzada per VıctorRotger (UPC) i Alan Lauder (Oxford).Conferenciants: James Maynard (Mont-reali Oxford); Jennifer Balakrishnan (Oxford);Jurgen Kluners (Paderborn); Mladen Dimi-trov (Lille 1).

CONGRÉS DE LA SOCIETAT CATALANA DE MATEMÀTIQUES

BMD2014

Javier Fernández de Bobadilla (ICMAT, Madrid)

Stéphane Mallat (École Normale Supérieure, Paris)

Edriss S. Titi (Weizmann Institute of Science and The University of California, Irvine)

Günter M. Ziegler (Freie Universität Berlin)

Across Arithmetic

Organisers: Alan Lauder (University of Oxford) and Víctor Rotger (UPC)

Geometric Analysis and Related Topics

Organisers: Pekka Koskela (Jyväskylän Yliopisto) and Xavier Tolsa (UAB)

Geometric Structures in Interaction

Organisers: Luis Álvarez-Cónsul (ICMAT, Madrid) and Ignasi Mundet (UB)

Mathematics in Life Sciences

Organisers: Tomás Alarcón (CRM) and Juan Soler (Universidad de Granada)

New Directions in Nonsmooth Dynamics

Organisers: Amadeu Delshams (UPC) and Mike R. Jeffrey (University of Bristol)

Random Discrete Structures

Organisers: Michael Drmota (Technische Universität Wien) and Oriol Serra (UPC)

PLENARY SPEAKERS

THEMATIC SESSIONS

BARCELONA 7-8 NOVEMBER 2014

http://bmd2014.espais.iec.cat/

3A S

AB

ATE

R

Cartell anunciador del congres.

• Geometric analysis and related topics, or-ganitzada per Xavier Tolsa (UAB) i PekkaKoskela (Jyvaskylan Yliopisto). Conferenci-ants: Pekka Koskela (Jyvaskylan Yliopisto);Albert Clop (UAB); Carlos Perez Moreno(Ikerbasque); Joaquim Ortega-Cerda (UB);Luigi Ambrosio (Pisa).

• Geometric structures in interaction, orga-nitzada per Ignasi Mundet (UB) i LuisAlvarez-Consul (ICMAT). Conferenciants:Richard Wentworth (Maryland); Eva Mi-randa (UPC); Mario Garcıa Fernandez (IC-

MAT); Pavel Safronov (Oxford); Tony YueYu (Parıs 7); Ludmil Katzarkov (Viena).

• Mathematics in life sciences, organitzadaper Tomas Alarcon (CRM) i Juan Soler(Granada). Conferenciants: Esther Ibanez-Marcelo (CRM); Daniel Sanchez-Taltavull(CRM); Pau Formosa-Jordan (Cambridge);Oscar Sanchez (Granada); Ruben PerezCarrasco (Londres); Marta Ibanes (UB); Au-rora Hernandez-Machado (UB).

Sessio d’obertura.

• New directions in nonsmooth dynamics, or-ganitzada per Amadeu Delshams (UPC) iMike R. Jeffrey (Bristol). Conferenciants:Martin Homer (Bristol); Ernst Hairer (Gi-nebra); Tere M. Seara (UPC); Enric Fossas(UPC); Paul Glendinning (Manchester); Pi-otr Kowalczyk (Manchester); Enrique Ponce(Sevilla); Josep M. Olm (UPC).

Conferencia plenaria divendres al matı.

• Random discrete structures, organitzada perOriol Serra (UPC) i Michael Drmota (Viena).Conferenciants: Benjamin Sudakov (Zuric);

30

Juanjo Rue (Berlın); Colin McDiarmid (Ox-ford); Dieter Mitsche (Nica); Guillem Perar-nau (McGill); Ignasi Sau (CNRS, Montpe-ller); Lefteris Kirousis (Atenes).

Els conferenciants plenaris, proposatstambe pel Comite Cientıfic, van ser:

• Javier Fernandez de Bobadilla (ICMAT iInstitut d’Estudis Avancats), ≪Birational ge-ometry and arc spaces≫.

• Stephane Mallat (Escola Normal Superior,Parıs), ≪The mathematical curse of big da-ta≫.

• Edriss S. Titi (Institut Weizmann de Cienciesi Universitat de California), ≪The Navier–Stokes, Euler and other related equations≫.

• Gunter M. Ziegler (Universitat Lliure deBerlın), ≪The story of 3N points in a plane≫.

Gunter M. Ziegler.

Fernandez de Bobadilla va parlar del pro-grama de models minimals en geometria bira-cional i va exposar la seva demostracio de laconjectura de Nash per a superfıcies, obtingudaen col·laboracio amb Pereira el 2011, querelaciona l’estructura dels espais d’arcs amb lageometria biracional de les singularitats. Mallatva descriure la seva recerca en aprenentatgeautomatic en el context de grans volums dedades, basada en tecniques d’analisi d’ondetesi amb aplicacions al reconeixement d’imatges ide sons, a la classificacio de textures, a l’astro-nomia i a la quımica quantica. La conferenciade Titi va ser una llico sobre l’estudi de la regu-laritat global de solucions de les equacions deNavier–Stokes per a fluids incompressibles endimensio tres. Ziegler va explicar una historiaque havia comencat amb la demostracio de

Birch que amb qualsevol conjunt de 3n punts alpla es poden formar n triangles amb intersecciono buida, i que ha conduıt cap a problemes detopologia combinatoria als quals ell mateix hafet importants contribucions.

A la sessio d’obertura hi va haver ambparlaments de Joandomenec Ros, president del’IEC, Joan Sola-Morales, president de la SCM,i Claudi Alsina, secretari general del ConsellInteruniversitari de Catalunya. El congres es vadesenvolupar durant dos dies sencers sense capincident i en un ambient de molta cordialitat isatisfaccio. El sopar del divendres a peu dret ala llibreria restaurant Laie Pau Claris, al qualvan assistir mes d’un centenar de persones, hova reflectir de manera especialment distesa.

Javier Fernandez de Bobadilla.

Amadeu Delshams en una sessio tematica.

La xifra de participants inscrits al congresva arribar a cent seixanta-cinc (xifra que su-perava la capacitat de la Sala Prat de la Ribade l’IEC), dels quals cinquanta-quatre erenafiliats a institucions de fora de Catalunya.Aproximadament una tercera part dels inscritseren estudiants de grau o de postgrau, laqual cosa es valora com un exit en la tascacontinuada de la SCM per atreure investigadors

31

joves. La quota d’inscripcio era de cent vinteuros, amb una quota reduıda de vuitantaeuros per als socis de la SCM i d’altressocietats en reciprocitat, i gratuıta per alsestudiants.

Com en tantes altres empreses, el mesimportant ha estat l’arrencada. Confiem queels Barcelona Mathematical Days arrelaran iels tornarem a viure en properes ocasions, ambidees noves i amb vocacio de fer cada cop mesvisible l’empenta de la matematica catalana.

Agraıments: Al Comite Cientıfic de la SCM ials organitzadors de les sessions tematiquesper la seva feina fonamental de dissenyar i

bastir el congres. Per descomptat, a tots elsparticipants i als conferenciants, i tambe alsvoluntaris que van treballar-hi els dies previs iel divendres i el dissabte, particularment DavidRomero per la seva ajuda en la preparacio delllibre de resums. Moltes gracies a la Secciode Ciencies de l’IEC, al CRM, a l’IMUB ials grups de recerca dels organitzadors de lessessions per les seves aportacions economiques.Les fotografies que acompanyen aquestacronica van ser fetes i lliurades per SebastiaXambo.

Trobareu informacio mes completa i presen-tacions de moltes de les conferencies al webbmd2014.espais.iec.cat.

Carles Casacuberta i VergesEn nom del Comite Organitzador

Alumnes d’Estalmat Catalunya a una estada matematica internacional

a Andalusia

Durant les dues primeres setmanes del mes dejuliol de 2014, vuit alumnes del segon curs d’Es-talmat van assistir a Sevilla a una estada in-ternacional matematico-ludica organitzada perl’equip de professorat del projecte Estalmata Andalusia. Aquesta estada ja havia estatorganitzada anys anteriors i era compartidaamb alumnes de la comunitat d’Andalusia ialumnes d’una institucio educativa de la ciutatde Sant Petersburg: s’organitzava dos anys aAndalusia i un any a Sant Petersburg, graciesa un acord de cooperacio a que es va arribar fauns anys entre les dues institucions.

Al VII Seminari Estalmat-Espanya, que vatenir lloc a Barcelona durant el passat mesd’abril, el professorat d’Estalmat Andalusia vaproposar a la resta de participants la possibi-litat d’ampliar el marc de la seva comunitatautonoma i permetre que hi assistissin alumnesd’altres comunitats d’Espanya. Vam comunicaraquesta possibilitat als alumnes de 2n curs itambe als que havien acabat el curs anterior idespres de diverses reunions s’hi van inscriurevuit alumnes, quatre nois i quatre noies, elsquals complien la condicio de parlar i entendrel’angles, indispensable per poder seguir les

activitats que es farien al llarg dels quinze diesd’estada. Van estar acompanyats pel professord’Estalmat-Catalunya Albert Herrero, que ames de fer de monitor, va participar activamental Seminari amb un taller de construccio desuperfıcies reglades (hiperboloide i paraboloi-de hiperbolic) amb pals de barbacoa. Tambevan assistir-hi alumnes de Madrid, Cantabria,Galıcia i Castella i Lleo.

!

El programa de treball estava dividit endues franges horaries: matı, en que es desen-volupaven els tallers i les conferencies, i tarda,moment per a l’esplai i les sortides culturals.

32

Els tallers que es van proposar als partici-pants van ser:

• Mathematical Magic.

• Visual Programing with Scratch: a PracticalIntroduction.

• NetLogo: Learning by Examples.

• Physics of the Physic Law.

• Straightedge and Compass Constructions:Squaring a Circle and Other Solved Pro-blems.

• Mathematical Modeling in Population Dyna-mics.

• Parametric Curves, Vector Drawing, BezierCurves, Splines, B-Splines and Snoopy, withGeogebra.

• Playing with Knots.

!

• Perspective, Geometry and Cinderella.

• Some Applications of Graph Theory to Ga-mes.

• Logos with Geogebra.

• Ruled Surfaces Building Workshop.

I les conferencies van ser les seguents:

• ≪Multidimensional geometric issues≫.

• ≪Computing in a natural way≫.

• ≪How to be a good physicist?≫.

• ≪Cooking theorems≫.

• ≪Modelling for optimization in a nutshell≫.

• ≪Prime numbers everywhere≫.

• ≪The straight line is not the shortest way!≫.

• ≪Mathematical modelling: magic withouttricks≫.

!

Segons la valoracio que en va fer el profes-sorat participant un cop finalitzada l’estada, enconjunt tot va ser extremadament positiu, ambalgunes consideracions que podrıem resumir en:el programa cientıfic va ser massa formalista iva provocar que algunes vegades l’alumnat nopogues participar; es va notar gran diferenciaentre el professorat acostumat a treballar ambadolescents i el que no ho esta; es proposadisposar de mes temps dedicat a la resoluciode problemes i als tallers manipulatius; escreu convenient que les conferencies siguin mesadequades a l’edat de l’alumnat i deixin semprealgun problema plantejat perque el resolguin elsalumnes.

I pel que fa al futur d’aquesta activitat,l’any vinent s’ha de fer a Sant Petersburg,i es proposara a la reunio anual d’Estalmat-Espanya, que tindra lloc a Albacete durantel mes d’abril de 2015, la possibilitat quealumnes d’Estalmat de les diverses comunitatsautonomes que participen en el projecte puguinassistir-hi i tambe que l’organitzacio d’aquestesestades sigui competencia d’Estalmat-Espanyai no nomes d’Estalmat-Andalusia.

Esperem que s’arribi a un acord i que elsnostres nois i noies d’Estalmat puguin assistircada estiu a aquestes estades per poder gaudirtal com comenta la famılia d’un dels alumnesque hi van assistir:

33

Marta,

Volia agrair-te que m’ajudessis a convencerel meu fill d’anar a les colonies de Sevilla,perque va tornar molt, molt felic!

El que mes m’ha sobtat ha estat el que deiade les classes: que van ser molt interessants!Aixo dit per un adolescent que nomes teniaganes d’acabar el curs ja es molt!! La quemes li va agradar va ser la dels nusos(nosaltres pensavem que parlava de grafs. . .i realment eren literalment nusos!), per comva fer la classe el profe i tambe perque elva sorprendre el tema. El que mes fluix vatrobar van ser les conferencies.

Evidentment, de conviure amb jovent d’al-tres comunitats i amb els russos se n’haemportat una grandıssima experiencia imoltes coneixences. Tot aixo combinatamb l’esport, que li agrada tant, ja hotenia tot!

I per ultim suposo que ja has vist en elsmails que em va dir que et va enviar, lesganes que torna a tenir de continuar encontacte amb les activitats de mates quehavia aparcat quan va acabar Estalmat.

Moltıssimes gracies i que passis un bonestiu!

Marta Berini i Mireia LopezCoordinadora i sotscoordinadora del projecte Estalmat

Curs Aprenem Matematiques a traves dels Rellotges de Sol

Del 22 d’octubre al 5 de desembre de 2014 el De-partament de Matematica de la Universitat deLleida (UdL) http://www.matematica.udl.

cat ha organitzat una exposicio de rellotgesde sol, ubicada al primer pis de la Bibliotecadel Campus de Cappont (c. Jaume II 67, 25001Lleida).

Visita a l’exposicio.

L’exposicio mostra dotze maquetes de dife-rents tipus de rellotges de sol i alhora explicaque son i com funcionen, a partir dels textos delprofessor del Departament de Matematiquesde la Universitat Autonoma de Barcelona,Joan Girbau. Els rellotges de sol reuneixenconeixements tan diversos com astronomia, ma-tematiques i art. Estan constituıts basicament

per un estil anomenat gnomon, que es l’elementque produeix l’ombra, i pel quadrant on aquestaes projecta.

Les maquetes que s’exposen a la Bibliotecahan estat cedides per Francesc Clara, membrede la Societat Catalana de Gnomonica http://

www.gnomonica.cat/, de la seva col·leccio par-ticular. Totes elles estan construıdes en relacioa la disposicio geografica de la ciutat d’Olot, onresideix (42 graus, 10 minuts nord, i 2 graus, 28minuts est):

• Rellotge equatorial de disc: es el mes didactic.Les hores estan separades cada 15 graus. Elgnomon s’orienta cap a l’Estel Polar i el disces paral·lel al pla de l’equador.

• Rellotge doble equatorial-polar : es doble, comtots els equatorials, perque a l’estiu asse-nyalen l’hora a la cara superior del plai a l’hivern a la cara inferior, i es polarperque entre les dues cares planes hi ha unazona cilındrica, d’inclinacio polar, que indical’hora tot l’any. La maqueta que es mostra esla reproduccio d’un antic rellotge de sol delsmariners francesos.

• Rellotge solar de difraccio: col·locat al sol,l’hora es marcara sobre el disc pero sense capombra, nomes amb una lınia. Per llegir-la,

34

l’ull ha de quedar reflectit al mirall del centredel disc.

• Rellotge horizontal de gnomon foradat : uncop orientat correctament, de nord a sud,l’hora la marcara el raig de sol que passi pelforat del gnomon.

• Rellotge armil·lar de sol i de lluna: per talde calcular correctament l’hora s’ha de saberamb exactitud quants dies manquen perla lluna plena perque un dia d’equivocaciorepresenta 45 minuts de retard. L’ombra delsol a les 12 del migdia marca el signe delzodıac.

Visita de les maquetes.

• Rellotge de pastor : rellotge portatil. Perconeixer l’hora, s’ha d’anar rodant el gnomoni es marcara segons l’altura del sol.

• Rellotge helicoıdal cilındric: el gnomon diri-git al nord, cap a l’Estel Polar, marca l’horaamb l’ombra a l’interior del cilindre.

• Rellotge helicoıdal conic: es una variant del’helicoıdal cilındric. La diferencia esta enque en el cilındric les lınies horaries sonequidistants i paral·leles entre si, i en el conicles lınies horaries surten d’un rellotge de solhoritzontal i convergeixen al vertex del con.

• Rellotge multignomon: orientat al nord, cadagnomon fa la seva propia ombra, i la quemarca l’hora en cada moment es la que passaper la boleta negra que hi ha al centre de laplataforma.

• Rellotge poliedric de vint-i-cinc cares: es unrellotge de sol tradicional, el gnomon sempre

s’orienta cap a l’Estel Polar. En aquest cas,els vint-i-cinc gnomons son paral·lels entreells.

Francesc Clara descriu i explica les maquetes.

• Rellotge de diferencies horaries entre ciutats:maqueta que conte set rellotges de sol, segonsl’orientacio de les seguents ciutats: Londres,Moscou, Nova York, Olot, Toquio, BuenosAires i El Caire.

• Rellotge analematic-horitzontal amb doblehorari : a diferencia de la majoria dels rellot-ges de sol, que son de projeccio polar, aquestes un rellotge de projeccio zenital. Construıtal terra d’una placa publica o al pati d’unaescola, el gnomon que assenyala l’hora ambla seva ombra es la mateixa persona que elconsulta i que ha de situar-se dreta sobre elmes corresponent. Senyala l’hora oficial (nola solar) sobre dues escales, una de vermellaper a l’horari d’estiu i una altra de blava pera l’horari d’hivern.

Assistents als curs Aprenem Matematiques a

traves dels Rellotges de Sol.

35

Aquestes descripcions de les maquetes hanestat facilitades per Francesc Clara, visiteu elweb Rellotges de sol a la Garrotxa http://

www.avipipu.es/.

Aquesta exposicio va ser allotjada per la Bi-blioteca de Ciencia i Tecnologia de la UAB du-rant els mesos de maig a juliol de 2014 http://

pagines.uab.cat/rellotgesdesol/. Els tex-tos que descriuen les maquetes d’aquesta ex-posicio han estat en part manllevats d’aquestafont. L’exposicio tambe consta de diversosnumeros de la revista La Busca de Paper, edi-tada per la Societat Catalana de Gnomonica, idiversos llibres relacionats amb els rellotges desol cedits per aquesta societat.

El professor Joan Girbau durant el curs.

A la Universitat de Lleida, aquesta expo-sicio va ser inaugurada mitjancant un curs dequatre hores que va tenir lloc el dia 22 d’octubrede 2014 i que estava adrecat tant a professoratde secundaria com a professorat d’universitat,amb una trentena d’assistents.

El curs, titulat Aprenem Matematiques atraves dels Rellotges de Sol, va ser coordinatpel cap del Departament de Matematica de laUdL, el professor Jaume Gine, va ser ofertatper l’ICE-Centre de Formacio Contınua de laUniversitat de Lleida i el Departament d’En-senyament, i fou impartit pel professor JoanGirbau i Francesc Clara. L’objectiu del cursera explicar els fonaments basics de gnomonica

per tal que el professorat fos capac d’engrescarels seus alumnes a calcular i construir rellotgesde sol senzills. A la primera part, es vanrevisar els coneixements basics de gnomonica,i a la segona, es va veure com es concretenaquests fonaments teorics en els rellotges, apartir de les maquetes de rellotges de sol. Elcurs va abordar aspectes com ara el movimentaparent del sol a l’esfera celeste, el tempsque marquen els rellotges de sol, com esconstrueixen rellotges de sol sense cap calculmatematic i com es fan usant les matematiques.Podeu trobar molts dels continguts del curs al’article: J. Girbau, ≪Relojes de Sol≫, MaterialsMatematics, n. 14 (2006). http://mat.uab.

cat/matmat/PDFv2006/v2006n14.pdf. Relaci-onat amb el tema i de caire mes matematictambe es pot consultar: J. Girbau, ≪Lleis deKepler i mesura del temps≫, Materials Ma-tematics, n. 3 (2011). http://mat.uab.cat/

matmat/PDFv2006/v2006n14.pdf.

El professor Joan Girbau a la pissarra durant el

curs.

El curs va acabar amb una visita a l’expo-sicio amb les explicacions del seu constructor,Francesc Clara.

Aquest curs va ser enregistrat pel Serveide Reproduccio d’Imatge de la Universitatde Lleida i sera visible a traves del webdel Departament de Matematica http://www.

matematica.udl.cat.

Maite Grau i Josep CondeUniversitat de Lleida

36

11a Jornada d’Ensenyament de les Matematiques: 100 Anys de

Matematiques amb Tots els Sentits - Emma Castelnuovo,in Memoriam.

El passat dissabte 4 d’octubre tingue llocl’11a Jornada per a l’Ensenyament de lesMatematiques a la seu de l’Institut d’EstudisCatalans, organitzada per la Societat Catalanade Matematiques (SCM), la Federacio d’Enti-tats per a l’Ensenyament de les Matematiquesde Catalunya (FEEMCAT), la Societat d’Edu-cacio Matematica Al-Khwarizmi de la Comuni-tat Valenciana (SEMCV) i la Societat Balearde Matematiques (SBM-XEIX). La Jornada vaser seguida per videoconferencia des de l’edificiSa Riera de la Universitat de les Illes Balears.

Aquest any, tenint en compte que el dia 13d’abril de 2014 va morir a l’edat de cent unanys Emma Castelnuovo, el tıtol de la jornadaconjunta ha estat 100 Anys de Matematiquesamb Tots els Sentits - Emma Castelnuovo,in Memoriam, per retre-li un homenatge iparlar de materials manipulatius i activitats es-pecıfiques per ensenyar matematiques recollidesa l’obra dels didactes d’aquests darrers centanys (Puig Adam, Maria Montesori, EmmaCastelnuovo, Maria Antonia Canals...). Aixı,tots junts podrem descobrir, o redescobrir,els ≪classics≫ que han treballat per fer quel’ensenyament de les matematiques evolucionii avanci cap a un aprenentatge significatiu.

Despres que Joan Sola obrira i Victoria Oliupresentara l’11a Jornada, es va pronunciar unaconferencia a carrec de Nicoleta Lanciano, pro-fessora a la Universitat La Sapienza de Romai animadora de l’Escola-Laboratori de Cenci.La Nicoletta va comencar fent referencia a laseva estada a Barcelona, a l’escola de mestresde Sant Cugat, el 1981, acompanyant l’EmmaCastelnuovo. Precisament d’aquesta estada es

la fotografia que Josep Rey va fer servir peril·lustrar el programa de la Jornada. Va referir-se en tot moment a una educacio matematicadinamica, que fes servir el cos, la manipulacio,l’experiencia directa, el contacte amb l’entornnatural... i que tingues en compte la diversitatcultural i d’aprenentatge dels alumnes. A partirde l’exposicio de produccions dels alumnes, ensva mostrar materials que tambe feia l’Emma,i que serveixen per exemplificar conceptes degeometria, estadıstica i numeracio.

A la segona part de la conferencia vaacostar-nos al model de la Terra paral·lela, iva explicar-nos com fent servir esferes podıemmodelitzar i entendre conceptes importants degeografia i d’astronomia. Va acabar prenent uncilindre de cartro i ensenyant-nos a construirun tetraedre fent dos plecs ben senzills, peril·lustrar la potencia que tenen les petites bonesidees. Va ser una conferencia genial que ensva transmetre molt d’entusiasme per la feina,molta vitalitat i molt bones idees. En sortir vamportar al pati la maqueta de Terra paral·lelaque ens va cedir per a l’ocasio la mestraCarme Alemany, i aixı la Nicoletta va podermostrar als qui s’hi van acostar el funcionamentd’aquest model.

A continuacio, tots vam baixar al pati del’IEC, on es van presentar quinze experienciesamb material manipulatiu, en que mestres iprofessors de diferents centres educatius vancol·laborar de manera desinteressada amb acti-vitats de treball manipulatiu de les seves aules.Tambe vam tenir la sort de comptar amb lapresencia d’alguns alumnes, que van explicar elque havien apres amb els diferents materials.

37

Hi havia activitats de tot tipus: jocs comara el Tridio, Corralitos en 3D, un joc ma-nipulatiu amb regleta per calcular la suma,resta, producte, divisio i descomposicio depolinomis, jocs de tres en ratlla, un joc de cursesde probabilitat, un joc d’ampolles de colors,jocs de regletes i blocs logics, activitats degeometria amb geopla, famılia de quadrilatersa traves de les ombres, mesura d’angles, con-cavitat/convexitat de polıgons a traves delmoviment, classificacio de figures a traves delsgirs, entre d’altres. I tambe uns materials lligatsa les experiencies d’Emma Castelnuovo i dePuig Adam.

Al capdavall, tots els mestres, professorsi alumnes que hi vam participar vam gaudird’una gran quantitat de propostes de materialsque els participants a la Jornada han valoratmolt positivament.

Despres de prendre un cafe, assistırem auna interessant tertulia que va esdevenir mesque una taula rodona, com molt be va explicarel moderador, Antoni Vila i Corts (professorde l’IES Gabriel Ferrater de Reus), al voltantdels materials manipulatius a l’aula de ma-tematiques a partir d’unes preguntes sobre elsmaterials, que ell mateix va proposar: ≪Que esi que no es un material manipulatiu?≫ o ≪Quines el paper que haurien de jugar? I quin noes el paper que haurien de jugar?≫ o ≪En unambient de resolucio de problemes amb llapisi paper, que poden aportar els materials?≫ o≪Pel que fa als materials virtuals, es pot parlard’un pas mes enlla o estem parlant d’unaaltra cosa?≫ o ≪Quins consells podrıeu donara aquells que el proper dilluns han d’entrar aclasse i diuen que no hi ha condicions?≫.

• Maria Antonia Canals (Gabinet de Materialsi de Recerca per la Matematica a l’Escola,GAMAR) va comentar que s’ha de consci-enciar tots els ensenyants que cal utilitzar

materials manipulatius, que va classificaren: materials que engeguen les capacitatslogiques i milloren la capacitat per viure be,materials que generen algun concepte i ma-terials que consoliden conceptes ja coneguts.

• Guido Ramellini (MMACA, Museu de Ma-tematiques de Catalunya) tambe va explicarque els materials han de ser diferents si sonper a una exposicio, per a un taller, o per al’aula, pero va insistir que els materials en simateixos no son res i que si no se sap comutilitzar-los no porten enlloc.

• Carme Burgues (professora de didactica de lamatematica a la UB), va dir que per a ella unmaterial manipulatiu es tot aquell que tingamatematiques, que es puga manipular i quees puga transformar. Hi ha molts materials ino es necessari que estiguen fets per experts.I va afegir que els materials en lınia i lesminiaplicacions afegeixen coses diferents.

• David Barba (PuntMat: Espai Jordi Esteve)va dir que un bon material manipulatiu no esres si no va acompanyat de bones preguntes.

En acabar la tertulia cadascun dels assis-tents va construir un rectangle amb un cordellper retre un homenatge a l’Emma.

I com a cloenda del matı, es va fer el lliura-ment dels premis Maria Antonia Canals 2014.Dels setze treballs presentats, amb tematicadiversa, interessant i molt enriquidora, dosvan obtenir un premi, un d’educacio infantili un d’educacio secundaria, mes dos accessits.Van quedar deserts els premis per a educacioprimaria i universitaria. Es va manifestar laidea de donar continuıtat a aquests premis.

En aquesta ocasio a la tarda hi van haverdues sessions amb tallers:

38

• Jose Angel Murcia (Universitat Complutensede Madrid) va exposar que les regletes son unmaterial idoni per donar suport visualment imanipulativament a les operacions basiquesi les no tan basiques. Il·luminen i ajudena comprendre arrels quadrades, identitatsnotables, sumes de quadrats i cubs, nombrescombinatoris, estadıstica...

• Carme Alemany (escola El Roure Gros)exposa que l’experimentacio i la investigacioes la forma natural d’acostar-nos al coneixe-ment de l’entorn.

Despres:

• Laura Morera (Aula Escola Europea) iCecılia Calvo (Escola Sadako) van proposarals assistents analitzar algunes activitats as-sociades a l’us de materials manipulatius: elbloc de mesura (geopla), el bloc de numeracio(graelles numeriques) i el bloc d’espai i forma(Tridio), partint de l’oportunitat que ofereixun taller de portar a terme dites activitats.

• Guido Angelo Ramellini, Pura FornalsSanchez i Josep Rey Nadal, (MMACA, Mu-seu de Matematiques de Catalunya) vanpresentar alguns materials pensats per a lesexposicions o els tallers del MMACA: ideesper generar idees.

Deiem que aquesta Jornada ha anatconsolidant-se al llarg de les darreres jornadescelebrades i que any rere any ha tingut unagran participacio de mestres i professors de totsels nivells educatius, pero aquest any ha estatun veritable exit, amb l’assistencia de quasitres-cents mestres i professors, a mes dels centcompanys de les Illes que l’han poguda seguirper videoconferencia. La Jornada es converteixaixı en el principal punt de trobada matematicaentre la universitat, les escoles i els institutsd’arreu dels territoris de parla catalana.

Vicent Perales i MateuMembre de la Societat d’Educacio Matematica Al-Khwarizmi

Activitats amb ajut de la Societat

EACA 2014

Els dies 18, 19 i 20 de juny va tenir lloca la seu de l’Institut d’Estudis Catalans laXIV edicio del congres EACA (Encuentrosde Algebra Computacional y Aplicaciones).Aquest congres es una de les activitats prin-cipals que desenvolupa la xarxa EACA (RedTematica Espanola de Calculo Simbolico yAplicaciones) i en aquesta edicio va tenir mesde setanta inscrits.

La trobada es va inaugurar el dia 18 de junya la Sala Prat de la Riba, amb el parlamentde benvinguda a carrec del president de laSocietat Catalana de Matematiques, Joan Sola-Morales, el president de la xarxa EACA, Jose

Gomez-Torrecillas, i el president del comitelocal, Carlos D’Andrea.

39

Tot seguit, va tenir lloc en aquesta mateixasala la primera sessio plenaria, que va tenir coma ponent el professor Francisco Santos, de laUniversitat de Cantabria, i que portava per tıtol≪Triangulaciones unimodulares de politopos re-ticulares≫. Les altres conferencies plenaries quees van fer durant el congres van ser a carrec deDeepak Kapur, de la Universitat de Nou Mexic(Estats Units), ≪An algorithm for computing aminimal comprehensive Grobner basis of a pa-rametric polynomial system≫; Elisenda Feliu,de la Universitat de Copenhaguen (Dinamar-ca), ≪How can progress in algebra help systemsbiology?≫; Bernard Mourrain, del laboratoride recerca Inria Sophia Antipolis-Mediterranee(Franca), ≪Sparse modeling and applications≫,i finalment, a carrec de Manuel Ladra, de laUniversitat de Santiago de Compostel·la, la

conferencia ≪Grobner basis and non-associativealgebras: some applications≫, que va clausurarl’esdeveniment.

Entre les conferencies plenaries van te-nir lloc cinc torns de comunicacions en du-es sessions paral·leles a les sales Nicolaud’Olwer i Pi i Sunyer i es va poder abas-tar des de la vessant mes teorica fins a lames aplicada, en un total de trenta-tres comu-nicacions.

Des del Comite Organitzador de la trobada,volem mostrar el nostre agraıment envers l’Ins-titut d’Estudis Catalans per haver-nos ceditels seus espais per acollir aquest congres i ala Societat Catalana de Matematiques pel seusuport.Nota: la fotografia ha estat cedida pel professorAntonio Montes. Li estem molt agraıts.

Alberto Fernandez Boix i Marta Casanellas RiusMembres del Comite Organitzador d’EACA 2014

Ressenya de la 1a trobada conjunta ALAMA-GAMM/ANLA celebrada a Barcelona,14-16 juliol de 2014

La trobada es va celebrar a la Facultat deMatematiques i Estadıstica de la UniversitatPolitecnica de Catalunya. Per primer cop, elsmembres de la xarxa ALAMA (xarxa tematicaque reuneix investigadors de diferents universi-tats espanyoles que dediquen la seva recerca al’algebra lineal, l’analisi matricial i aplicacions)va celebrar una trobada conjunta amb els mem-bres del Grup d’Activitat GAMM/ANLA de laSocietat GAMM (Gesellschaft fur AngewandteMathematik und Mechanik), els membres delqual centren la seva activitat investigadora enl’algebra lineal aplicada i numerica. En aquestatrobada es va propiciar la col·laboracio entreinvestigadors d’ambdos grups i l’establiment denoves col·laboracions. La presencia dels mem-bres d’ambdos grups va permetre la creaciod’un ambient de treball estimulant.

Aquesta trobada es va poder celebrargracies a la col·laboracio de moltes personesi a l’ajut economic de la Societat Catalanade Matematiques, la Societat Internacionald’Algebra Lineal i el Laboratori Paul Painleve.

La trobada va retre un merescut homenat-ge al professor Juan Miguel Gracia, notablematematic de la Universitat del Paıs Basc,que ha fet contribucions substancials als campsde la teoria de matrius, l’analisi matriciali l’algebra lineal. El professor Juan MiguelGracia, del Departament de Matematica Apli-cada i Estadıstica, ha dedicat la seva activi-tat investigadora a la pertorbacio espectral,pseudoespectres, valors singulars, funcions dematrius, derivacio de valors propis i matriusproperes amb forma de Jordan menys generica,entre altres temes. Es un dels fundadors delGrup d’Analisi Matricial i Aplicacions de laUniversitat del Paıs Basc i va ser el primercoordinador de la xarxa ALAMA en el momentde la seva fundacio, el 27 de setembre de 2007,i tambe el primer president de la ComissioPermanent d’ALAMA, durant dos anys.

Els membres de la xarxa ALAMA celebrenreunions biennals, i la celebrada a Barcelonan’es la quarta edicio. Les edicions anteriorsvan ser celebrades a la Universitat Carlos III

40

a Leganes (Madrid), del 27 al 29 de juliol de2012; a la Universitat Politecnica de Valenciaa Valencia, del 2 al 4 de juny de 2010, i a laUniversitat del Paıs Basc a Vitoria, els dies 25i 26 de setembre de 2008.

El Grup d’Activitat GAMM celebra unworkshop anualment. Les darreres edicionsvan ser a Wuppertal (2013), Chateau Liblice(2012), Bremen (2011), Novi Sad (2010), Zuric(2009), Hamburg-Harburg (2008), Harrachov(2007), Dusseldorf (2006), Dresden (2005),Hagen (2003), Braunschweig (2003), Bielefeld(2002) i Berlın (2001).

Durant la trobada conjunta ALAMA-GAMM/ANLA celebrada a Barcelona, es vanreunir vuitanta-cinc participants de vuit paısos,especialment d’Espanya i Alemanya, tot i quetambe van acudir a la trobada, oberta a tot-hom, investigadors de Franca, Italia, Portugal,Anglaterra, Republica Txeca i Noruega. Pel quefa a la representacio d’universitats espanyoles,van acudir a la trobada membres de la Univer-sitat Politecnica de Catalunya, la UniversitatCarlos III de Madrid, la Universitat del PaısBasc, la Universitat Politecnica de Valencia,la Universitat Politecnica de Madrid, la Uni-versitat d’Alcala, la Universitat de Pamplona,la Universitat de Valladolid, la Universitat deLleo, la Universitat de Saragossa, la Universitatde Navarra, la Universitat Rovira i Virgili i laUNED.

Els membres del Comite Cientıfic van ser:Julio Moro (president), de la Universitat CarlosIII de Madrid; Bernhard Beckermann, de laUniversitat de Lille 1; Peter Benner, de l’Insti-tut Max Planck per a la Dinamica de Sistemes

Tecnics Complexos-Magdeburg, Ion Zaballa, dela Universitat del Paıs Basc i M. Dolors Magret,de la Universitat Politecnica de Catalunya. ElComite Organitzador el formaven els professorsde la Universitat Politecnica de Catalunya: M.Dolors Magret (president), Josep Clotet, AlbertCompta, Josep Ferrer, M. Eulalia Montoro,Marta Pena i Xavier Puerta.

Durant la trobada es van presentar cinc con-ferencies plenaries i cinquanta-nou ponenciesdistribuıdes en tres sessions paral·leles. Elstıtols de les conferencies plenaries van ser:≪Majorization and combinatorial matrix the-ory≫ (Geir Dahl, Universitat d’Oslo), ≪Com-puting defective eigenpairs in parameter-dependent eigenproblems≫ (Melina Freitag,Universitat de Bath), ≪From coding theoryto several different communication scenarios.Applied algebra over finite fields≫ (Maria Bras-Amoros, Universitat Rovira i Virgili), ≪Micamino a la perturbacion espectral de matri-ces≫ (Juan-Miguel Gracia, Universitat del PaısBasc), ≪Resolvent Krylov subspace approxima-tion to C0-semigroups and their discretisati-ons≫ (Volker Grimm, Institut de Tecnologia deKarlsruhe).

Dimecres dia 15 va tenir lloc l’assembleaALAMA, en la qual es van revisar i planificarels objectius de la xarxa i es va nomenarnou president, el professor Ion Zaballa de laUniversitat del Paıs Basc. Despres es va oferirals assistents i acompanyants que ho desitgessinun sopar, durant el qual es va fer un homenatgeal professor Juan Miguel Gracia.

M. Dolors Magret PlanasUniversitat Politecnica de Catalunya

41

New Perspectives in Discrete Dynamical Systems 2014

Del 2 al 4 d’octubre de 2014 es va celebrara Tossa de Mar el congres New Perspectivesin Discrete Dynamical Systems, en que elsassistents vam poder discutir sobre diversesquestions relacionades amb l’estudi dels sis-temes dinamics discrets definits en espais dedimensio baixa. En particular es van exposartreballs sobre dinamica topologica i combi-natoria, teoria ergodica, dinamica d’aplicacionsskew-product, atractors caotics i atractors no-caotics estranys, aixı com diversos aspectes deles metodologies computacionals i algebraiquesaplicades a l’estudi de la dinamica discreta.

Amb un total de seixanta-set participantsinscrits, provinents de dotze paısos diferents,al congres es van presentar deu conferenciesconvidades, quinze conferencies per inscripcioi set posters. Els conferenciants convidats vanser Jozef Bobok (Universitat Tecnica Txe-ca), Anna Cima (Universitat Autonoma deBarcelona), Angel Jorba (Universitat de Bar-celona), Sergiy Kolyada (Academia Nacionalde Ciencies d’Ucraına), Jaume Llibre (Uni-versitat Autonoma de Barcelona), Jerome Los(Universitat de Marsella), Micha l Misiurewicz(Universitat d’Indiana i Universitat Purdue),Jose Angel Rodrıguez (Universitat d’Ovie-do), Lubomir Snoha (Universitat Matej Bel)i Sebastian van Strien (Col·legi Imperial deLondres). Els organitzadors volem agrair alsconferenciants convidats i al Comite Cientıficla rapida i entusiasta resposta a la nostrainvitacio.

La realitzacio del congres ens va oferirl’oportunitat de celebrar el seixante aniver-sari del nostre company Lluıs Alseda, undels pilars de l’escola de sistemes dinamicsde Barcelona i en particular del Grup de

Sistemes Dinamics de la Universitat Autonomade Barcelona. En aquest sentit, el progra-ma cientıfic es va complementar amb unaxerrada impartida per David Juher, ambla col·laboracio de Francesc Manosas, enque es van repassar la trajectoria cientıficad’en Lluıs i els seus col·laboradors (trenta-quatre en total, entre ells els seus nou alumnesde tesi).

Aixı doncs, es van recordar els seus primersresultats, quan es va obtenir la caracterit-zacio de les orbites periodiques mınimes enl’interval i el cercle, o quan es va resoldreel problema d’obtenir cotes inferiors de l’en-tropia per a aplicacions de cercle de grau 1en termes del seu interval de rotacio en elcas que l’aplicacio tingui un punt fix. Es vafer un recorregut per alguna de les lınies detreball mes significatives de la seva carrera,com ara els seus treballs sobre la descripciodels models mınims per a les aplicacions delcercle de grau 1 (la generalitzacio de la teoriakneading de Milnor i Thurston) o l’extensio delsresultats i conceptes coneguts per a dinamicade l’interval i el cercle a altres espais dedimensio 1, com ara arbres simples. I aixı, finsa arribar als seus resultats mes recents, comel que permet calcular l’entropia volumetricaassociada a presentacions classiques de grups desuperfıcie en tots els rangs, un problema pura-ment algebraic resolt amb metodes de sistemesdinamics; els resultats sobre aplicacions transi-tives, o els seus treballs sobre atractors estranysno caotics.

Tal com va quedar pales a diverses con-ferencies, el congres va ser una oportunitat perreconeixer la tasca d’en Lluıs en la creacio,conjuntament amb Amadeu Delshams, de la

42

xarxa que integra la practica totalitat delsinvestigadors en sistemes dinamics de l’Estatespanyol, la DANCE-net (Dinamica, Atractoresy Nolinealidad. Caos y Estabilidad, http://

www.dance-net.org/), i es va recordar la jallegendaria crida a obrir-se a noves lınies derecerca i a treballar de forma coordinada:≪aprendre nous balls≫ i ≪no ballar sol≫.

Nosaltres volem tornar a felicitar en Lluısper la seva contribucio a la nostra disciplina ila seva entrega, pero principalment, per la sevamanera de ser i estar.

El congres ha tingut el suport economicde la Catedra Lluıs Santalo d’Aplicacions dela Matematica de la Universitat de Girona,el Grup de Sistemes Dinamics de la Univer-

sitat Autonoma de Barcelona, l’Institut deMatematica de la Universitat de Barcelona, laFacultat de Matematiques de la Universitat deBarcelona, el Ministeri de Ciencia i Innovacio,la Societat Catalana de Matematiques i el Cen-tre de Recerca Matematica. Agraım a aquestesinstitucions el seu suport.

Al lloc web del congres http://www.gsd.

uab.cat/npdds2014/ hi podreu trobar mesinformacio, aixı com els arxius de les presen-tacions de les diferents conferencies.

Es el moment de mostrar la nostra gratitudenvers tots els participants. Gracies a ells elcongres va ser una celebracio i una trobadaprofitosa.

Victor ManosaUniversitat Politecnica de Catalunya

El Comite Organitzador de l’NPDDS 2014

El programa Ciencia en Accion. Entrevista a Rosa M. Ros, directora del programa

Ciencia en Accion es un programa articulat alvoltant d’un concurs que promou la divulgaciode la ciencia a la societat. Aquesta tardor hacelebrat el seu quinze aniversari al Cosmocaixade Barcelona els dies 3, 4 i 5 d’octubre.

Rosa M. Ros en la sessio d’inauguracio de CeA

2014.

El concurs es dirigeix a estudiants i profes-sorat de tots els nivells educatius, investigadorsi divulgadors cientıfics, de la penınsula Ibericai paısos llatinoamericans, amb els principalsobjectius de: trobar idees innovadores per fer

mes atractiva la ciencia, motivar el professorati els investigadors a produir materials utilsper als diferents nivells educatius, facilitar elcontacte entre ells i la participacio en esdeveni-ments nacionals i internacionals, i en definitivaconscienciar de la importancia de la cienciaper al progres de la societat i el benestar delsciutadans.

Els protagonistes principals son personesmotivades i apassionades per la ciencia, que enla final del concurs presenten in situ projec-tes de divulgacio cientıfica amb demostracionspractiques.

El desenvolupament del programa Cienciaen Accion, que escriurem CeA, es possiblegracies al recolzament de diferents institucions,pero es indiscutible el paper de Rosa M.Ros com a directora del programa i lıder del’organitzacio al llarg d’aquests quinze anys. Enaquest article l’hem entrevistada per coneixerde mes a prop l’evolucio de CeA.

Rosa M. Ros es professora titular d’univer-sitat del Departament de Matematica AplicadaIV de la Universitat Politecnica de Catalunya.Es llicenciada en Matematiques i doctora enFısica per la Universitat de Barcelona. La seva

43

activitat esta fortament vinculada a associaci-ons com l’associacio Europea per a l’EducacioAstronomica (EAAE), la Unio AstronomicaInternacional (IAU), i l’Observatori Europeudel Sud (ESO), on ha ocupat carrecs de res-ponsabilitat, com la presidencia del ConsellExecutiu de l’EAAE i la direccio de les escolesd’estiu de l’EAAE, la presidencia de la Comis-sio d’Educacio Astronomica i Desenvolupamentde la IAU, etc. Es tambe responsable delpanel d’Educacio d’Astronet i actualment es lapresidenta de NASE, grup de treball de la IAU.

L’origen i l’evolucio de CeA

P. Rosa M., recordes com va comencar, quin vaser l’origen de CeA?

R. L’any 2000 el CERN (Laboratori Europeude Fısica de Partıcules), l’ESA (Agencia Espa-cial Europea) i l’ESO (Observatori Europeu delSud) van proposar una trobada de professoratde fısica de secundaria al CERN, que vanbatejar amb el nom de Physics on Stage.L’objectiu era promoure la fısica i les cienciesrelacionades a secundaria, ja que van calcularque per als projectes espacials previstos per a2020 farien falta molts cientıfics. A Espanya,van contactar amb la Reial Societat Espanyolade Fısica i amb mi per buscar professoratinteressat, i vam fer una crida al professoratperque presentessin projectes, com un concurs,per poder triar els vint representants espanyols.El concurs el vam batejar amb el nom de Fısicaen Accion i es va dur a terme al Museo MiramonKutxaEspacio de la Ciencia de Sant Sebas-tia. Els treballs seleccionats van participar aPhysics on Stage amb molt bons resultats. Vala dir que vam ser l’unica delegacio que haviaseleccionat els participants amb un concursprevi, i l’organitzacio internacional va aplaudirla idea. El professorat que havia participat aFısica en Accion ho va trobar tan interessantque, encara que no es preveia una altra edicioa Europa, van demanar que se seguıs fent aEspanya. Es van buscar institucions i empresespatrocinadores per poder fer la segona edicio.Des d’aleshores s’han fet edicions successivesanuals, la de 2014 ha estat la quinzena i acabade sortir la convocatoria de Ciencia en AccionXVI.

P. I a Europa, tambe se n’han fet variesedicions, oi?

R. Sı. Faltava poc per celebrar Fısica en AccionII a la Ciutat de les Arts i les Ciencies deValencia, l’octubre de 2001, quan ens va arribarla proposta europea de fer a escala internacio-nal una segona edicio el 2002. Vam convidarels organitzadors internacionals al concurs aValencia, i van quedar impressionats. A Europaen total se n’han celebrat vuit edicions. Lapropera sera el festival Science on Stage 2015a la Universitat Queen Mary de Londres.

P. Que es el que ha propiciat l’evolucio i laprogressio de CeA?

R. D’una banda es important l’evolucio delcontingut, que va portar de Fısica en Accion aCiencia en Accion. En aquest sentit voldria des-tacar l’entrada de les matematiques a l’ediciode 2003 al Museu de la Ciencia i la Tecnica deTerrassa, amb el tıtol Fısica + Matematicas enAccion 4. Obrir el concurs a les matematiques,en lloc de restringir-se nomes a la fısica, va serimportant, perque va ser el primer pas cap alventall de les ciencies en general, que es vamaterialitzar amb el tıtol Ciencia en Accion6, duta a terme el setembre de 2005 a LaLaguna. Es pot dir que tambe ens vam avancara l’evolucio del concurs europeu, que es va obrira les ciencies en l’edicio de novembre de 2005.

D’altra banda, en l’evolucio del concurs esevident que hi han jugat un paper importantles institucions, que li han donat empenta isuport, no nomes economic. Si be va neixera l’empara de la Reial Societat Espanyola deFısica (RSEF), hi han participat despres altressocietats, com la Reial Societat MatematicaEspanyola (RSME), la Fundacio Espanyola pera la Ciencia i la Tecnologia (FECYT) i EIRO-forum. En particular, l’entrada del CSIC l’any2007 a l’edicio a Saragossa va ser important.Li va donar mes prestigi i va possibilitar elcontacte amb molts mes cientıfics, amb la qualcosa es va poder trobar un jurat professionalmes especialitzat i es va animar mes gent a par-ticipar. De fet, es pot consultar tot l’historial icontactar amb CeA a traves del web: http://www.cienciaenaccion.org/.

P. Repassant les diferents edicions queda clarque el concurs CeA ha passejat per moltesciutats...

R. Des de l’inici vam voler que fos un esde-veniment obert i que dones cabuda a totes lespersones interessades, sense una visio centra-

44

litzadora. Una de les primeres coses que esva aconseguir fou que fos possible presentarels projectes en qualsevol llengua de l’Estatespanyol, i aviat es va ampliar al portuguesper la seva proximitat. La primera edicio esva fer al Paıs Basc i la segona a Valencia.En plantejar la continuıtat, vam voler queCeA anes recorrent diferents ciutats. Aixı,ha estat a la Corunya, Terrassa, Granada,La Laguna, Madrid, Saragossa, Valladolid,Santiago de Compostel·la, Lleida, Bilbao iBarcelona.

Els participants a CeA

P. Entre els participants al llarg dels anyss’observa un public fidel. Que es el que l’hafidelitzat?R. Alguns participants m’han confessat queCeA els crea una mena d’addiccio. Aixo s’aplicatant a membres del jurat com a participants quepresenten treballs i projectes. Els que fan dejurat gaudeixen de veure treballs explicats ambemocio, de temes diversos, amb idees originals,materials sovint ben senzills... El professoratparticipant te oportunitat d’explicar les sevesidees, i els seus experiments son valorats ireconeguts, la qual cosa recompensa la sevadedicacio, fet que potser no es frequent enel seu entorn habitual. A la vegada, es tro-ba altres persones amb la mateixa motivacioper compartir els seus descobriments. A mes,hi porten els seus alumnes, perque per ex-periencia saben que despres de participar-hiaquests alumnes canvien, estan mes motivatsi tenen mes ganes d’aprendre, com reflecteixel que van escriure uns alumnes al final d’untreball: ≪hem descobert que ens agrada des-cobrir≫. I si els participants estan contents,ho expliquen a la gent del seu voltant, iamb el boca-orella ha anat arribant a moltagent.P. Alguna anecdota en particular, com a exem-ple?R. Justament voldria posar com a exemple lareaccio de l’astronoma Jocelyn Bell, descobri-dora del primer radiosenyal d’un pulsar juntamb el seu director de tesi, Antony Hewish, aqui van donar el Premi Nobel de Fısica. Vafer la conferencia de clausura de l’edicio del’any passat a Biscaia. La vam triar perque vampensar que era motivador que els participantspoguessin sentir en directe la seva experiencia

com a descobridora, i de fet aixı va ser. Lasorpresa, pero, ens la va donar ella. Es vaimpressionar tant sentint les explicacions delsnens i nenes, que ens va confessar que haviacanviat el que tenia previst per a la clausura,per explicar i compartir la seva experiencia ambel mateix apassionament que ells.

Participants a CeA 2014.

P. Pero CeA dura nomes tres dies a l’any...

R. Es cert que la final del concurs dura uns tresdies, perque el professorat no pot ser fora delcentre mes dies. Pero en realitat dura molt mes.D’una banda, hi ha professorat que despres departicipar en una final ja es posa a treballaren el projecte per a l’any seguent. De l’altra,abans de cada edicio de CeA es promouenactivitats diverses, sobretot a l’entorn del llocon es fara la propera final. Per exemple, a partde participar en fires arreu, aquesta primavera2014 es va fer un curs a Barcelona, i tallersde Ciencia en Accion a Girona, Lleida i Reus,per presentar idees i recursos d’activitats deciencia a l’aula, per engrescar i fomentar lesvocacions cientıfiques. I durant l’any tambe esfan sortides internacionals, per participar perexemple a Science on Stage. A mes, els recursosdidactics elaborats estan disponibles tot l’any atraves del web.

P. Sabeu si els participants contacten entre ellsdurant l’any?

R. Sı, es clar. A l’inici algu contactava ambnosaltres per demanar l’adreca d’altres par-ticipants, per comentar experiments, i tambeens demanaven les dades per organitzar altresactivitats cientıfiques de divulgacio i fer-nedifusio. Pero amb el temps ara es molt mesque aixo. CeA ha anat potenciant una xarxade divulgadors de ciencia per participar enfires i activitats cientıfiques, que anomenem Red

45

de Feriantes (vegeu el web). Aixı es facilitaque aquests puguin ser contactats pels orga-nitzadors d’activitats cientıfiques, a la vegadaque CeA dona referencies de la seva expertesa,habilitats comunicatives i distanciament de lapseudociencia.

CeA a Catalunya

P. S’han realitzat tres edicions a Catalunya.Quina valoracio en fas?R. A Catalunya es va fer l’edicio de 2003 alMuseu de la Ciencia i la Tecnica de Terras-sa, la de 2011 al Parc Cientıfic i TecnologicAgroalimentari de Lleida i la mes recent, aquestoctubre de 2014 al CosmoCaixa, que celebravael vinte aniversari de la seva remodelacio.Totes tres han funcionat molt be, amb moltbona resposta del public que visitava la firad’experiments. Tant a Terrassa com a Lleidahi van haver connexions amb TV3 en directe.La recent edicio al CosmoCaixa va aconseguirtambe molt de public, es van repartir un grannombre d’invitacions entre la gent directamentinteressada en la final del concurs, i se’n va fermolt de resso. Per exemple, li van dedicar bonapart d’una edicio del programa Espai Terra.

Mostra d’alumnes de primaria a CeA 2014: Els

nostres cossos! Genuına matematica!

P. I la participacio catalana?R. El professorat de Catalunya sempre ha estatmolt motivat i participatiu, i de fet aixo s’hareflectit en la consecucio d’un bon nombre depremis. No hem fet recompte de participantscatalans, pero sempre ha estat un nombreforca alt. Hi ha moltes escoles i instituts queparticipen gairebe de manera habitual. Perexemple, l’escola de primaria El Roure Grosde Santa Eulalia de Riuprimer, el Col·legi Corde Maria de Valls i l’Escola Pia de Sitges,

o instituts de Lleida i d’Argentona, que hanaconseguit mes d’un premi. Pero sempre esperillos aixo de dir noms, perque segur quem’oblido de gent important. Es nomes perposar exemples d’arreu de Catalunya. I voldriaafegir que hi participan tambe gent d’Andorra.

A mes, en l’organitzacio sempre he tingutmolt de suport de la gent del meu voltant. Enl’equip huma i com a membres del jurat, semprehe comptat amb professorat de les universitatscatalanes i experts d’empreses patrocinadorescatalanes. Tambe voldria destacar el suport quehe rebut sempre de la meva universitat, la UPC,i del professorat dels seus departaments dematematiques. En aquesta edicio a Barcelonala UPC s’hi va implicar moltıssim, aportantenginys tecnologics com robots antropomorfsque interactuaven amb la gent, mascotes artifi-cials, un simulador d’un monoplaca de carreresdissenyat per estudiants d’Enginyeria i velersde radiocontrol que participen en competicionsinternacionals. La Societat Catalana de Ma-tematiques tambe ha donat suport explıcit enles edicions a Catalunya, patrocinant un delspremis i aportant membres del jurat.

Les matematiques en accio

P. Pel que fa a les matematiques, com va serl’inici del laboratori de matematiques?

R. El primer any que el programa CeA esva obrir a les matematiques va ser justamentel 2003, que es feia a Terrassa. Hi va haverprojectes molt bons. Un dels millors va ser eld’Antoni Aubanell, que va guanyar un premia l’edicio europea. Al llarg dels anys s’ha anatconsolidant, tot i que el nombre de projectesque arriben a la final varia segons els anys.

P. El laboratori de matematiques es moltdiferent dels altres laboratoris?

R. Una primera diferencia es que s’acostumen apresentar projectes de grup, mes que iniciativeso experiments individuals. Potser aixo tambefa que variın mes d’un any al seguent. D’altrabanda, es evident que el material que utilitzenes ben diferent. L’objectiu dels experimentsde matematiques no es veure l’efecte d’unareaccio quımica, o observar el moviment d’unobjecte. L’objectiu sol ser una propietat abs-tracta i el material utilitzat es nomes l’eina perexplicar-la.

46

P. Aixo els fa menys propers?R. Sı, en certa manera sembla que posinuna distancia. No son tan espectaculars per atothom. Potser massa sovint la tendencia esproposar un repte, un desafiament. Aleshoresel public es pot sentir posat a prova, se sentinsegur... Pensa que ha de trobar una solucioque l’altra persona ja sap, i aixo no sempre esprou atractiu.

P. Com animaries la comunitat matematicaa participar? Que es el que pot aportar lacomunitat matematica a CeA?R. Podem presentar unes matematiques mesludiques, que emocionin la gent. Fins i tot siaconseguim que amb un experiment entenguinquelcom que sempre havien pensat que eradifıcil, es quedaran amb una sensacio positiva ialeshores repetiran, tornaran a acostar-se a lesmatematiques.

A mes, l’important es que esta dirigit a pro-fessorat i estudiants de totes les edats, per tantpot interessar tota la comunitat matematica.Es molt interessant aprendre coses de grupsuniversitaris, pero tambe es molt divertit veurecom els nens i nenes de primaria expliquen

coses de matematiques emocionats. Aquest anyper exemple, el premi del laboratori de ma-tematiques el va guanyar un grup de cicle mitjade primaria, de l’escola El Roure Gros de SantaEulalia de Riuprimer, ex aequo amb un grup dela Universitat d’Almeria. I la mencio d’honor vaser per un grup de l’IES Thader d’Alacant. Unamostra de tots els nivells d’ensenyament!

P. Finalment, a partir de la teva experienciapersonal durant aquests quinze anys, que vol-dries destacar, que es el millor?

R. Es evident que es un projecte que porta mol-ta feina, pero sempre he pensat que val la pena.Quan veus la cara de la gent que hi participa,amb els ulls brillants, l’ambient que es crea enel moment de la inauguracio, de la final delconcurs i l’entrega de premis... es una emocioque ens arriba a totes les persones. Penso queaquests quinze anys de CeA han animat elprofessorat a gaudir la ciencia i transmetre-la,a organitzar tallers, seminaris, fires de ciencia...i aixo decididament es quelcom que cal valorari ha de continuar. Cal promoure la ciencia i,pel que fa al nostre entorn en especial, lesmatematiques.

Montserrat AlsinaUniversitat Politecnica de Catalunya

5a edicio del concurs Planter de Sondeigs i Experiments 2014

El 6 de juny es van lliurar els premis dela 5a edicio del Planter de Sondeigs i Expe-riments, concurs parcialment financat per laSCM que convoquen anualment les tres facul-tats responsables dels dos graus en Estadısticaque s’imparteixen a Catalunya (la Facultatde Matematiques i Estadıstica de la UPC, laFacultat d’Economia i Empresa de la UB i laFacultat de Ciencies de la UAB). El concursesta adrecat a estudiants d’ESO, batxillerat icicles formatius, i te com a objectiu principaldespertar en els estudiants la curiositat per l’es-tadıstica com a eina fonamental en la recerca,tant en ciencies experimentals com en cienciessocials. Els equips participants (de fins acinc alumnes) elaboren un treball d’estadıstica,en el qual donen resposta a una pregunta

rellevant utilitzant tecniques estadıstiques, ipresenten els seus resultats en un informeescrit.

L’edicio 2014 del concurs ha continuatmantenint l’exit d’altres anys: es van lliurar140 treballs amb 499 alumnes participants,que van estar dirigits per 45 professors de36 centres d’ensenyament secundari d’arreude Catalunya.

Com en edicions anteriors, les tematiquesmes frequents en aquests 140 treballs van serles seguents:

• Comprovacio empırica de lleis de la fısica od’altres disciplines cientıfiques (caiguda lliuredels cossos, temps de fusio de diferents lıquidscongelats, llei de Benford o del primer dıgit).

47

• Comparacio i reconeixement de productes dediferents marques (triem els refrescos de colapel sabor o ens deixem influir per la marca?les begudes energetiques, son mite o realitat?el paper higienic de marca blanca es el mesblanc de tots?).

• Consum de telefonia mobil i xarxes socialsper part dels adolescents (escola i videojocsson compatibles? es diferent l’us de mobilsi d’aplicacions que fan les diferents genera-cions? hi ha realment addiccio a les novestecnologies? quina es la realitat de Facebooka la meva escola? com afecta el WhatsApp lanostra vida?).

• Els efectes de la crisi (com afecta la crisiels adolescents? com son les compres de lesfamılies amb fills?).

• Rendiment academic i factors que hi influei-xen (influeix l’alimentacio en l’estat anımic iel rendiment escolar?).

• Relacio Catalunya-Espanya (hi ha relacioentre l’idioma parlat a casa i la posturaenvers la independencia? opinen els joves elmateix que els adults sobre la consulta del 9de novembre?).

Hi va haver, pero, una gran varietat d’altrestemes que enguany per primera vegada van serobjecte d’estudi:

• Que es la felicitat? Que ens fa felicos?

• La frequencia d’us de les diferents lletrescanvia d’un idioma a un altre?

• Quina proporcio de crispetes acaben per nopetar?

• Les llenties cuites, encara poden germinar?

• Les cancons cada vegada son mes llargues?

La inquietud cientıfica dels joves partici-pants al concurs els va portar a fer experiments,enquestes i estudis observacionals, que els vanpermetre respondre a moltes de les pregun-tes que s’havien plantejat al comencament.Aquests son alguns exemples del que vanaprendre:

– El que mes felic fa als nois i noies de 1r d’ESOes quedar amb els amics.

– La lletra mes frequent en molts idiomes(almenys en els set idiomes analitzats pertres noies de 4t d’ESO) es la e, pero lesfrequencies d’altres lletres varia molt d’unidioma a un altre.

– Dels paquets de crispetes per fer amb microo-nes, t’acabes menjant un 85 % de les crispetes(les altres o es cremen o no peten).

– La germinacio de les llenties es veu afavoridaper un quart d’hora de coccio, pero si enspassem de la mitja hora no tindrem collita.

– Pel que fa a la durada de les cancons, lescompostes abans de 1970 tendeixen a ser mescurtes que les posteriors.

Els organitzadors del Planter de Sondeigsi Experiments, despres d’examinar els 140treballs presentats, vam poder constatar quetots els estudiants participants havien apresmolt (i nosaltres tambe) i que, a mes a mes,s’ho havien passat molt be.

Els treballs guanyadors en cadascuna deles quatre categories del consurs van ser elsseguents:

• 1r i 2n d’ESO: ≪Llei de Benford≫, de MarcArroyo, Fernando Gaston, Angel Gil, SergiMartınez i Laura Navero (2n d’ESO, Col·legiBon Salvador de Sant Feliu de Llobregat),dirigits per Josep Maria Lopez.

• 3r i 4t d’ESO: ≪La duracio de les canconsal llarg del temps≫, de Joan Manel Garcıa-Reyero (4t d’ESO, Thau Sant Cugat delValles), dirigit per Bernat Gascon.

• Batxillerat i cicles formatius: ≪Posem a provaMonty Hall≫, de David Berlanga, NataliaCastro, Carlota del Puero, Alberto Garcia,

48

Aaron Romero (1r de batxillerat, Col·legiBon Salvador de Sant Feliu de Llobregat),dirigits per Lidia Aso.

• Premi Planter-Idescat: ≪Mussols al volant≫,de Marta Guillamon, Joana Mir, Anna Ro-vira (4t d’ESO, IES Sant Quirze del Valles),dirigides per Lucıa Bayo.

Dos dels treballs guanyadors (≪La duraciode les cancons al llarg del temps≫ i ≪Po-

sem a prova Monty Hall≫) van representarCatalunya en la fase nacional de concursossimilars al Planter de Sondeigs i Experiments(a tot l’Estat es convoquen vuit fases localsd’aquests concursos, anomenats genericamentIncubadoras de Sondeos y Experimentos), quees va celebrar a Granada, a principis de juliol.El representant catala de la categoria d’ESO,Joan Manel Garcıa-Reyero, va aconseguir elprimer premi ex-aequo d’aquesta categoria.

Pedro DelicadoCoordinador del concurs i secretari del Jurat

Contribucions

Formules i filatelia2

El col·leccionisme es un entreteniment que notothom comparteix. Es deu portar als gens.De fet, jo encara recordo quan amb uns deuo dotze anys convencia el meu pare perqueens portes al meu germa i a mi a passejar elsdiumenges al matı per la Placa Reial per veureles paradetes de segells. Aquest entretenimentes va anar apagant amb l’adolescencia fins quel’any 2000, amb l’ocasio de l’Any Mundial deles Matematiques, van comencar a apareixersegells dedicats al tema en questio, vegeu-neuns quants a la figura 1.

A l’entorn d’aquest perıode tambe va sortirpublicat el llibre de R. J. Wilson Stampingthrough Mathematics, dedicat a la filatelia ma-tematica, amb una seleccio preciosa de segellsamb aquesta tematica, vegeu [3]. Llegint-ne elproleg em vaig assabentar que aquest llibre esun recull dels articles forca entretinguts delmateix autor que apareixen regularment, i desde 1984, a la seccio ≪Stamp corner≫ de la cone-guda revista The Mathematical Intelligencer.Un llibre anterior sobre el tema, publicat encastella i angles, es Las Matematicas en lossellos de correos, editat amb ocasio del VIIICongres Internacional d’Educacio Matematica,[2]. Tambe es interessant consultar la publi-cacio molt posterior [1], editada per l’Institut

Nacional d’Estadıstica, que conte imatges dediversos segells sobre temes relacionats ambl’estadıstica.

Figura 1: Sis segells commemorant l’Any Mundialde les Matematiques.

Potser va ser per tornar-me a sentir comquan era un nen, pero en veure els segells dedi-cats a l’Any Mundial i algun dels llibres esmen-tats em vaig animar de nou a ser col·leccionista.

2Algunes de les discusions de l’article que fan referencia a les figures que hi apareixen requereixen de forca qualitat

de les mateixes. Pot passar que la versio en paper no permeti visualitzar-les adequadament. Per mes resolucio podeu

anar a la versio pdf de la SCM/Notıcies a la plana web de la SCM: http://blogs.iec.cat/scm/publicacions/scm-

noticies.

49

Em vaig decidir per col·leccionar segells,monedes i bitllets amb tematica cientıfica,fent especial emfasi en les matematiques ila fısica.

En Xavier, l’editor actual de laSCM/Notıcies, coneixent la meva aficio, m’haconvidat a preparar un petit escrit il·lustratsobre el tema, encarrec que he acceptat sensedubtar. El que mes m’ha costat es decidir capa on enfocar-lo. Rapidament, diverses opcionsm’han vingut al cap: fer una seleccio de segellsdedicats als matematics mes famosos i influents;fer una seleccio a la qual surtin imatges ifigures relacionades amb matematiques; buscarsegells que incloguin formules matematiques, opotser una seleccio mixta, en que aparegui unamica de cada cosa. Finalment, tal com el tıtold’aquest escrit mostra, m’he decidit per unaseleccio de segells amb formules o expressionsmatematiques. La rao es molt senzilla: son elsque mes m’agraden.

Figura 2: Formules senzilles.

Comencarem amb quatre segells que conte-nen formules ≪elementals≫, vegeu la figura 2.Hi podem veure productes, l’area i el perımetred’un quadrat, el teorema de Pitagores o ladefinicio de la tangent d’un angle.

Figura 3: El quadrat d’una suma.

Tambe tenim un segell, be de fet dos, ambuna de les formules mes omnipresents, (a+b)2 =a2 + 2ab + b2.

Complicant una miqueta mes la cosa, peroencara dins del batxillerat, almenys en el meutemps, ens apareix el binomi de Newton o eltriangle de Pascal, que per cert, sembla que jaera conegut de ben abans del temps de Pascal ala Xina (des de 1303). De fet, en el triangle elsnombres estan escrits en xines, vegeu la figura 4.

Seguint en el batxillerat, exposem a la figura5 un segell sobre la funcio exponencial i ellogaritme (dins de la bonica serie ≪Las diezformulas matematicas que cambiaron la fazde la Tierra≫), i un altre on es mostra ungravat d’Euler, un polıedre i la formula dela caracterıstica d’Euler d’un polıedre senseforats: e − k + f = 2. En aquesta formula e, ki f denoten el seu nombre de vertexs, arestesi cares, respectivament. Aixı pel polıedre de lafigura, e = 12, k = 30 i f = 20, i per tant12 − 30 + 20 = 2.

Figura 4: Binomi de Newton i triangle de Pascal.

Per si us ha entrat la curiositat, les deuformules triades a la serie de segells nica-raguencs son: 1+1 = 2, el teorema de Pitagores,la llei de la palanca d’Arquimedes, la definiciod’exponencial i logaritme de la figura anterior,la llei de la gravitacio de Newton, la llei deMaxwell de l’electromagnetisme, la famosıssimaformula d’Einstein E = mc2, la llei d’onesde materia de Broglie, la llei de l’entropiade Boltzmann i la llei de Tsiolkovskii sobreel moviment dels coets. Qualsevol d’aquestssegells seria tambe adequat per ser inclos enaquesta seleccio.

Figura 5: Exponencial i logaritme, i caracterısticad’Euler.

Tambe son interessants els segells de lafigura 6, dedicats als nombres complexos. Per

50

exemple, al primer hi apareix la formula eiϕ =cosϕ + i sinϕ.

Figura 6: Exponencial complexa i representacio denombres complexos.

En aquest punt, voldrıem destacar unsquants segells dedicats a certs nombres con-crets. Aixı, per exemple, a la figura 7 mostremels dedicats al nombre d’or (o rao auria) Φ =(1 +

√5)/2 i al nombre primer 213 466 917 − 1.

Recordeu que els nombres primers de la forma2n − 1 es coneixen com a primers de Mersenne.

Figura 7: Nombre d’or i el 39e primer de Mersenne.

La tipografia d’aquest segell de Liechtens-tein no es prou cuidada, ja que

(1 +√

5)/2 = 1.6180339887498948482045

86834365638117720309179

80576 . . .

Per tant a l’ultima fila del segell hi ha doserrors: en particular, falta un 6 despres de lasequencia 365 i l’ultim 1 ha de ser un 7.

Pel que l’autor sap, en el moment de feraquest escrit es coneixen 48 nombres primersde Mersenne, sent el mes gran 257 885 161 − 1. Elque apareix al segell de la dreta de la figura esel que fa 39 de la llista, va ser trobat l’any 2001i te 4.053.946 dıgits.

Figura 8: Alguns decimals de π.

En aquest recull no pot faltar el nombreπ. El segell de l’esquerra de la figura 8 tecom a fons alguns dels dıgits d’aquest nombre.Com a curiositat direm per exemple que elsnombres que apareixen a la primera fila delsegell corresponen als que hi ha a la tercera iquarta fila de l’expressio decimal:

π = 3,141592653589793238462643383

2795028841971693993751058209

7494459230781640628620899862

8034825342117067982 . . .

Al segon segell de la figura 8 apareixen coma fons diverses vegades el primers decimals deπ, aquest cop comencant amb 3, 14 . . . Tambees interessant comentar que el rectangle de lafigura representa la particio del rectangle ambbase 177 i alcada 176 en quadrats de costatsenters. Els dos que toquen al costat superiorde costats 99 i 78. Els quatre que toquen a labase amb costats 77, 34, 25 i 41. El que toquenal costat dret amb mides 78, 57 i 41 i els tresinteriors de mes a l’esquerra (de dalt a baix)amb costats 21, 43, 9. El quadrat interior quequeda amb costat 16.

Dels dos segells de la figura 9, el primerens dona una aproximacio forca bona de π.De fet, al segle v, el matematic xines TsuCh’ung-Chih va provar que 3, 1415926 < π <3, 1415927. Al segell hi apareix un gravat seu il’aproximacio donada per la mitjana d’aquestsvalors, 3, 14159265. Ell tambe va demostrarque la fraccio 355/133 (molt facil de recordar(113/355)−1) aproxima π amb error menorque una milionesima. Aquesta aproximacio vatrobar-se molt mes tard a occident. En elsegon apareix la grafica del logaritme neperia,el nombre e i una aproximacio de ln 2 =0, 69314718 . . .

Figura 9: Aproximacions de π i ln 2.

51

Entrem a continuacio en una matematicames avancada amb segells dedicats a resultatsfonamentals d’aquesta ciencia, i comencem ambun parell de segells en que trobem notacionsmatematiques: un sumatori, una unio i unaintegral de lınia, vegeu la figura 10.

Als resultats de la figura 11 tenim ≪enun-ciades≫ la llei dels grans nombres (J. Bernoulli)i la formula integral de Cauchy.

Figura 10: Sumatori, unio i integral de lınia.

Figura 11: Llei dels grans nombres i formula deCauchy.

De manera similar, a la figura 12 tenimun altre segell emes amb motiu de l’Anyde les Matematiques, a on veiem el nombreπ, la funcio zeta de Riemann, el teoremade Stokes i l’equacio diofantica associada alteorema de Fermat. Al segell del costat veiemles propietats que ens defineixen el quaternionsde Hamilton.

Figura 12: Formules diverses i propietats delsquaternions.

Figura 13: Un problema variacional.

En el seguent segell doble de la figura 13,dedicat als matematics grecs Caratheodory i

Tales, ens apareix per exemple un problemavariacional.

Els seguents dos segells de la figura 14mostren Ljapunov amb una integral primera,presumiblement per ser usada com a funcio deLjapunov, i la factoritzacio unica d’un idealcom a producte de potencies d’ideals primers,juntament amb la imatge de Dedekind.

Figura 14: Integral primera i factoritzacio d’ideals.

Podem veure en la figura 15 la famosa lleide Newton

Forca = massa × acceleracio,

escrita com ∆(mv) = F∆t, aixı com un segelldedicat a Ramanujan on apareix un trossetd’una de les moltes increıbles igualtats que vademostrar.

Figura 15: Llei de Newton i un tros de formula deRamanujan.

Tambe dedicat a Newton, tenim a la figura16 un segell triangular on apareix la llei de lagravitacio universal,

G = FM1M2

R2.

Com no podia ser d’altra manera, hi ha gentinteressada a col·leccionar segells amb formesvariades. Per exemple, tambe hi ha segells (nodedicats a les matematiques) circulars, hexago-nals, pentagonals, trapezoıdals, romboıdals. . .

Figura 16: Llei de la gravitacio universal.

52

A les imatges de la figura 17 hi apareix al’esquerra Helmholtz, famos entre altres cosesper l’estudi de certes equacions integrals, i a lapissarra de darrere seu unes derivades parcials;a l’altre segell hi trobem una equacio diferen-cial de tercer ordre associada a un problemamecanic.

Figura 17: Derivades parcials i equacio diferencial.

Pel que fa als dos segells russos dedicats acientıfics del segle xx de la figura 18, al primerd’ells hi podem veure l’operador

fh(x) =1

h

∫ h

2

−h

2

f(x + t) dt,

i al segon una serie convergent.

Figura 18: Operador i serie convergent.

En el segell txecoslovac de la figura 19apareixen tres matematics i fısics del paıs i defons unes desigualtats, que semblen ser partd’un resultat de teoria de nombres.

Figura 19: Desigualtats.

Acabem aquesta seleccio d’imatges amb dossegells xinesos on es mostren els exits recentsdels seus investigadors, vegeu la figura 20. En elsegell de l’esquerra es presenta un dels resultatsrecents mes potents sobre la conjectura deGoldbach. Recordem que va ser presentada perGoldbach a Euler al peu de pagina d’una carta,

l’any 1742, i assegura que tot nombre parell(mes gran que dos) es pot escriure com la sumade dos nombres primers. La conjectura no estaencara resolta, pero un resultat de Chen Jing-Run de 1966 implica que tot nombre parellsuficientment gran es pot escriure com la sumad’un nombre primer i un altre nombre que esproducte de com a molt dos primers. De fet lanotacio (1, 2) que apareix al segell fa referenciaa la descomposicio ≪un primer mes un productede com a molt dos primers≫. Al segell de ladreta, dedicat a Xiong Qinglai, especialista enfuncions enteres i meromorfes, apareix escrit:≪Etant donee une fonction meromorphe, ilexiste au moins une direction D. . . convergepour tous les α . . . diverge sauf pour. . . ≫.Potser es el segell mes proper a incloure unenunciat matematic complet.

Figura 20: Conjectura de Goldbach i teoria defuncions meromorfes.

A part dels segells, tambe hi ha altresobjectes filatelics que es poden col·leccionar ique son forca interessants. Tenim per exempleles fulles i els sobres de primer dia. Com aexemple del primer cas, veiem a la figura 21un full on hi ha arguments matematics. Enparticular, el del mig es una ≪demostracio≫:

(x1 = m

√a, xn+1 = m

√a + xn, x = lim

n→∞xn

)

⇒(xm = a + x

)

De fet, essencialment l’unic que falta argu-mentar al full filatelic es l’existencia del lımit.

Figura 21: Algunes demostracions.

53

En els sobres de primer dia (sobres emesosi timbrats el dia en que surt a circulacio elsegell), a part del segell hi ha mes informaciorelacionada amb ell. El mata-segells tambe potser especialment interessant, com en el cas de lafigura 22, on tenim un segell dedicat a Gauss, ion podem veure l’area

2√π

∫ x

0e−t2 dt,

corresponent a una densitat de tipus gaussia.

Figura 22: Sobre de primer dia amb mata-segellsmatematic.

Encara que m’alegra poder dir que tincla major part dels segells que apareixen enaquest escrit i els podria haver escanejat peril·lustrar-lo, les imatges han estat obtingudesde la meravellosa plana web de Jeff Miller(http://jeff560.tripod.com/stamps.html),on regularment es pengen aquestes imatgesamb molt bona qualitat. La informacio d’algundels segells ha estat obtinguda dels articlescorresponents del ≪Stamp corner≫ de TheMathematical Intelligencer. A la plana web deHung Manh Bui, http://www.maths.bris.

ac.uk/~hb0262/miscellany.htm hi ha unagran seleccio de segells i sobres matematicsde primer dia escanejats.

Tambe m’agradaria comentar que fins itot hi ha una revista de filatelia matematica,Philamath, que es pot obtenir per subscripcio

i de la qual es pot veure el volum xxxiii, n. 2,d’octubre de 2011, a http://mathstamps.org/

October%202011.pdf.

Voldria acabar reflexionant sobre algunsdels avantatges que penso que m’ha aportataquesta aficio. En primer lloc, crec que m’haajudat a coneixer una mica mes la historia icronologia de les matematiques. Tambe m’hafet pensar en la importancia que han donatdiferents paısos a la ciencia. No es descabellatconsiderar que hi ha una certa correlacio en-tre ciencia de qualitat i quantitat de filateliacientıfica. Aixı, en ambdues llistes apareixenen els primers llocs Alemanya, EUA, Franca,Polonia, Russia, UK. . .

En un pla mes personal, m’ha fet gau-dir d’un turisme una mica diferent. Recor-do, per exemple, passejar pels carrerons dePraga buscant aquella petita filatelia que totcol·leccionista desitja trobar. I, un cop trobada,la cerca de segells especials, xerrant sense pressaamb el dependent, comencant a parlar de segellsi acabant amb qualsevol altre tema. . . vaja,fruint de la vida. Finalment, i molt important,l’alegria que m’han proporcionat molts amics,que durant els seus viatges arreu i coneixent lameva ≪petita mania≫, s’han recordat de mi i,somrient, m’han portat un petit tresor.

L’autor esta recolzat pels projectes MINE-CO MTM2013-40998-P i per la Generalitat deCatalunya, projecte 2014SGR568.

Referencies

[1] La Estadıstica en la filatelia mundial delsiglo xx. Institut Nacional d’Estadıstica,Madrid 2009.

[2] S. Gutierrez, i M. Tarancon, Las ma-tematicas en los sellos de correos. SMPMEmma Castelnuovo, 1996.

[3] R. J. Wilson Stamping through mathema-tics. Springer-Verlag, Nova York, 2001.

Armengol GasullUniversitat Autonoma de Barcelona

54

Premis

Premi Abel 2014: Yakov G. Sinai (1935–)

L’Academia Noruega de Ciencies i Lletres ha resolt concedir el premi Abel 2014 a Yakov Sinai ≪perles seves contribucions fonamentals als sistemes dinamics, la teoria ergodica i la fısica matematica≫.El premi inclou sis milions de corones noruegues (aproximadament 709.000 euros). En aquesttext discutire alguns dels grans assoliments de Sinai en matematiques. En comptes d’intentar serexhaustiu, em limitare a un enfocament mes modest, potser en alguns llocs esbiaixat cap als meuspropis interessos, pero tot i aixı informatiu i assequible per matematics que no treballen en l’areadels sistemes dinamics. Despres d’una breu ressenya biografica, descriure primer alguns aspectesimportants de les principals arees de la teoria dels sistemes dinamics que estan mes a prop deltreball de Sinai.

Una breu ressenya biografica

Sinai va neixer a Moscou el 1935. Els seuspares eren tots dos microbiolegs i el seu avi(Benjamin Kagan, pare de la seva mare) va sermatematic a la Universitat Estatal de Moscou.Sinai va entrar a la Facultat de Mecanica iMatematiques d’aquesta mateixa universitat el1952, l’any en que el seu avi es va jubilar.Mentre encara era estudiant, i sota la direcciode Dynkin, el 1957 Sinai va publicar el seuprimer article, sobre el comportament d’unasuma de variables aleatories independents.

El premi Abel 2014, Yakov G. Sinai, en una

fotografia recent.

Tambe el 1957, Sinai es va llicenciar i vacomencar a treballar en la seva tesi doctoralsota la direccio de Kolmogorov, un dels mesgrans matematics del segle xx. El treball

de Kolmogorov va tenir un gran impacte enmoltes branques de la matematica moderna,incloent l’analisi harmonica, la teoria de laprobabilitat, els processos estocastics, la teoriade conjunts, la teoria de la informacio i elssistemes dinamics. Sinai va obtenir el tıtol dedoctor el 1960 i es va convertir en investigadoral Laboratori de Metodes Probabilıstics i Es-tadıstics de la Universitat Estatal de Moscou,fins el 1971.

El treball que va produir durant el perıode1957–1960, com molts altres treballs posteriors,va tenir un impacte profund en diverses bran-ques de les matematiques, amb especial emfasien els sistemes dinamics, la teoria ergodicai la fısica estadıstica. Durant aquest perıodeinicial va publicar en particular treballs sobreel concepte d’entropia d’un sistema dinamic (unconcepte fonamental per a la teoria ergodica),els fluxos amb entropia finita, el teorema centraldel lımit per a fluxos geodesics en varietats decurvatura negativa i els processos de Markovestacionaris.

El 1971, Sinai va acceptar el carrec d’inves-tigador principal a l’Institut Landau de FısicaTeorica de l’Academia de les Ciencies de laURSS. Tambe ensenyava a la Universitat Esta-tal de Moscou, pero no es va convertir en profes-sor fins l’any 1981, per raons polıtiques relacio-nades amb la signatura el 1968 d’una carta endefensa d’Esenin-Volpin, un matematic i poetaque liderava un moviment pels drets humansa l’antiga Unio Sovietica. El 1993 esdevingueprofessor al Departament de Matematiques dela Universitat de Princeton. Va romandre com

55

a investigador a l’Institut Landau, pero varenunciar al seu carrec a la Universitat Estatalde Moscou. Avui dia segueix mantenint lesseves catedres a la Universitat de Princeton ia l’Institut Landau.

Sinai ha estat ampliament reconegut ambnombrosos premis. Ja el 1962 va ser convidat alCongres Internacional de Matematics a Esto-colm, en un moment d’agitacio a l’antiga UnioSovietica. En particular, va rebre la MedallaBoltzmann de la Comissio de Fısica Estadısticade la Unio Internacional de Fısica Pura iAplicada (1986), el premi Heineman de fısicamatematica de la Societat Americana de Fısica(1990), el premi Markov de l’Academia deCiencies de la URSS (1990), la Medalla Diracdel Centre Internacional de Fısica Teorica deTrieste (1992), el premi Wolf en matematiquesde la Fundacio Wolf d’Israel (1997), el pre-mi Moser del SIAM (2001), el premi Nem-mers en matematiques de la Universitat Nord-occidental (Illinois) (2002), la Medalla Kolmo-gorov de la Universitat de Londres (2007), elpremi Lagrange de l’Institut d’Intercanvi deCiencia de Torı (2008), el premi Poincare del’Associacio Internacional de Fısica Matematica(2009), el premi Dobrushin de l’Institut deTransmissio de la Informacio de l’Academia deCiencies de la URSS (2009) i el premi Steele dela Societat Americana de Matematiques (2013).Es membre de l’Academia Nacional de Cienciesdels Estats Units, de l’Academia Russa deCiencies i de l’Academia de Ciencies d’Hongria.

Finalment, es important assenyalar queSinai ha influenciat diverses generacions de ma-tematics excepcionals. Entre els seus estudiantses troben, per exemple: Blank, Bleher, Bunimo-vich, Chernov, Dolgopyat, Gurevich, Jacobson,Jitomirskaya, Katok, Khanin, Kifer, Kramli,Margulis, Oseledets, Ratner, Soshnikov, Stepini Suhov.

Sistemes dinamics i teoria ergodica

La teoria dels sistemes dinamics (tant pertemps discret com continu, o fins i tot pertemps ≪de dimensio superior≫ donat per unaaccio d’un grup) es molt amplia i molt activaen termes de recerca. Tambe depen substan-cialment de la majoria de les principals areesde les matematiques. Aquı em concentrareen la discussio de temes relacionats amb la

inestabilitat i el comportament estocastic d’unadinamica. Aquests son alguns dels temes prin-cipals en l’obra de Sinai. En termes generals,l’objectiu es cercar les relacions entre l’ordre iel caos, que avui se sap que estan ıntimamentrelacionats.

En particular, molts sistemes deterministesexhibeixen comportament caotic i moltes ve-gades les propietats estocastiques d’un sistemacaotic poden proporcionar prediccions rigoro-ses.

Sovint hi ha una interaccio entre diversescaracterıstiques que fan possible l’existencia decomportament caotic. En particular, un delsparadigmes de la teoria es que la inestabilitatlocal de les trajectories influeix el comporta-ment global del sistema permetent l’existenciade comportament caotic. Matematicament, lainestabilitat de les trajectories sovint correspona certa hiperbolicitat, com l’observada perexemple en conjunts hiperbolics. Un conjunthiperbolic per a un difeomorfisme es un conjuntinvariant compacte tal que la derivada del’aplicacio contrau i expandeix, respectivament,al llarg de direccions complementaries en cadapunt. En el cas dels fluxos geodesics, els exem-ples inclouen el fibrat tangent unitari de qual-sevol quocient compacte del semipla superior.D’altra banda, l’existencia d’alguna hiperbolici-tat condueix a l’existencia de varietats establesi inestables, es a dir, de varietats invariants alllarg de les quals la dinamica, respectivament,contrau i expandeix. Aixo dona lloc a una es-tructura rica en el conjunt hiperbolic, que donalloc a una ≪estructura producte local≫, en queles varietats estables i inestables s’intersequentransversalment quan estan prou a prop.

Una altra branca principal de la teoria delssistemes dinamics es la teoria ergodica, que espot descriure com l’estudi de les aplicacions idels fluxos mesurables, i mes en general de lesaccions d’un grup, que conserven una mesura.En particular, la teoria estudia les propietatsestocastiques de la dinamica, com l’ergodicitat,que indiquen un comportament proxim al quees podria descriure com aleatori. Els orıgens dela teoria ergodica es remunten a la mecanicaestadıstica com un intent d’aplicar la teoria deprobabilitat als sistemes mecanics conservatiusamb molts graus de llibertat. Per exemple, pera un sistema definit per un Hamiltonia, esdedueix del teorema de Liouville que el volum

56

en l’espai de fase es invariant sota la dinamica.A causa de la ubiquitat de les equacions deHamilton en la mecanica, aixo produeix unagran classe d’exemples ≪naturals≫ de fluxosque preserven mesura i de fet tambe d’aplica-cions que preserven mesura, simplement pre-nent qualsevol temps fix del flux.

De fet, la teoria ergodica es un altre punt departida fonamental per a l’estudi del compor-tament estocastic. Per tal d’explicar en termessimples perque es aixı, primer descriure un delsresultats basics i alhora fonamentals de la teoriaergodica: el teorema de recurrencia de Poincare(que va apareixer en el treball fonamental dePoincare sobre el problema dels tres cossos, jaen la versio que conte l’error que va ser taninfluent en la teoria dels sistemes dinamics,pero aixo seria una altra historia). El teoremaestableix que qualsevol dinamica que preserviuna mesura finita exhibeix una recurrencia enqualsevol conjunt de mesura positiva, en elsentit que l’orbita de gairebe tots els punts enel conjunt retorna infinitament sovint a aquestconjunt. Aixo es descriu generalment com arecurrencia no trivial. Per exemple, per a larotacio d’un disc amb angle fix, que conservaarea, si comencem amb una llesca angular deldisc i mantenim girant-la, en algun momentintersecara algunes de les antigues llesquesen un conjunt d’area positiva (el teorema derecurrencia de Poincare ens diu mes perquegaranteix que gairebe tots els punts de lallesca tornaran infinitament sovint a la mateixallesca). Aixo es simplement una consequenciadel fet que si totes les llesques fossin disjunteso s’intersequessin com a molt al llarg de lesseves fronteres, com que n’hi hauria un nombreinfinit, l’area del disc seria infinita.

La interaccio entre la hiperbolicitat i larecurrencia no trivial te una consequencia pro-funda que origina una estructura orbital moltrica. En termes senzills, la recurrencia propor-cionada per una mesura invariant finita implicaque hi ha orbites que tornen arbitrariament aprop del punt des del qual van partir. D’al-tra banda, l’existencia d’alguna hiperbolicitatcondueix a l’existencia de varietats estables iinestables transversals, que per tant original’existencia de punts homoclınics transversals.Com ja va ser observat per Poincare, aquestspunts condueixen a una tremenda complexitatde la dinamica (incloent l’aparicio de ferradures

de Smale). Aixo il·lustra que la teoria ergodicade dinamica hiperbolica es un context naturalper a l’estudi del comportament estocastic.

No obstant aixo, la teoria general es sovintmolt mes complicada. Per exemple, consideremuna dinamica amb almenys un exponent deLjapunov diferent de zero. Aquests son nombresque mesuren la taxa de creixement exponencialquan el temps tendeix a infinit, i per tant siun exponent de Ljapunov es positiu o negatiu,llavors la dinamica corresponent, respectiva-ment, expandeix o contrau. Resulta de la teoriaque si la dinamica, per exemple, conserva lamesura de Lebesgue, aleshores l’existencia d’unexponent de Ljapunov diferent de zero implicaque l’entropia es positiva, fet que s’interpretacom una indicacio de l’existencia de comporta-ment caotic. Pero el panorama en termes de lesvarietats invariants estables i inestables es moltmes complicat: les seves mides poden variar(mesurablement) de punt a punt i de fet podendisminuir de manera exponencial al llarg d’unaorbita. Aixo provoca greus dificultats quanintentem obtenir interseccions transversals, jaque una orbita de fet pot estar cada vegada mesa prop del seu punt de partida, a causa de larecurrencia, pero al mateix temps les mides deles varietats invariants poden estar disminuintcap a zero.

Discussio d’alguns treballs de Sinai

Sinai ha contribuıt de forma fonamental ales arees dels sistemes dinamics, la teoriaergodica i la fısica estadıstica, desentranyantconnexions profundes entre elles. Aixo inclouel desenvolupament de metodes de teoria dela mesura per a l’estudi dels sistemes dinamicsdiferenciables.

Els treballs de Sinai inclouen la intro-duccio del que avui s’anomena entropia deKolmogorov–Sinai, la construccio de particionsde Markov per a sistemes uniformement hi-perbolics (que condueix a una codificaciosimbolica del sistema i, consequentment, ala simplificacio de molts arguments), l’estudid’una classe de billars amb una demostraciod’algunes propietats ergodiques (com per a lesmolecules en un gas), la introduccio de mesuresde Gibbs en la teoria ergodica (avui dia sovintanomenades mesures de Sinai–Ruelle–Bowen,que permeten estendre un argument de Hopf

57

per establir l’ergodicitat a situacions en lesquals el teorema de Fubini no es pot aplicar),la descripcio de l’espectre de l’operador quasi-periodic de Schrodinger (demostrant la localit-zacio de les funcions propies), la construccioamb Bunimovich i Chernov de particions deMarkov per billars i per l’aplicacio de Lorenz, eldesenvolupament amb Bunimovich i amb Pesinde la teoria matematica del caos en l’espai-temps, i amb Khanin, Mattingly i Li l’estudi dela hidrodinamica i de les equacions de Navier–Stokes. Faig emfasi en el fet que aquesta llistaesta lluny de ser exhaustiva.

A continuacio vaig a discutir, en la mesuraque sigui possible, tres impressionants assoli-ments de Sinai.

El primer assoliment es refereix a l’entropia,una quantitat que essencialment mesura lacomplexitat d’una dinamica (des del punt devista d’una mesura invariant). La nocio d’entro-pia va ser introduıda a la teoria dels sistemesdinamics per Kolmogorov, en un moment enque havia acabat de publicar les bases per lateoria KAM i estava interessat en la teoria de lainformacio. La creenca inicial era que l’entropiapermetria distingir els sistemes dinamics ≪de-terministes≫ del sistemes dinamics ≪aleatoris≫.Noto que Kolmogorov nomes va introduir lanocio d’entropia per a la classe dels sistemesquasi-regulars, avui dia anomenats sistemes K.Sinai, que en aquest moment era estudiant deKolmogorov, va ser capac d’ampliar la definiciode l’entropia a tots els sistemes dinamics. Se-gons descrit pel mateix Sinai, primer va inten-tar demostrar que l’entropia d’un automorfismedel tor dos dimensional es zero, ja que es unsistema dinamic ≪determinista≫. Sense exit,va ensenyar els seus resultats a Kolmogorov,qui va observar que l’entropia devia de serpositiva. Poc despres Sinai va ser de fet capacde demostrar-ho, donant aixı el primer exempled’un sistema dinamic ≪determinista≫ (l’acciod’una matriu constant el en tor dos dimensio-nal) amb una entropia positiva, fet que indicala presencia simultania tant de comportament≪determinista≫ com de comportament ≪aleato-ri≫. Avui dia, l’entropia de Kolmogorov–Sinais’ha convertit en una de les nocions centrals enl’estudi de la complexitat.

El segon assoliment es refereix a les parti-cions de Markov per a sistemes uniformementhiperbolics. La nocio de particio de Markov

va ser introduıda per primera vegada perSinai, que tambe va demostrar que l’espaide fases de qualsevol difeomorfisme d’Anosov(un difeomorfisme en una varietat compactaque es ella mateixa un conjunt hiperbolic) teassociades particions de Markov. En termessenzills, la idea es dividir l’espai de fases d’unadinamica de tal manera que la codificaciocorresponent obtinguda d’anar al llarg d’unaorbita es ≪quasi≫ una bijeccio entre la dinamicaoriginal i la dinamica simbolica obtinguda apartir d’aquesta codificacio. La propietat deMarkov per a una particio implica que totes lessequencies possibles al llarg dels elements de laparticio son efectivament assolides per algunaorbita. Una altra consequencia es que qualsevolmesura invariant condueix naturalment a unamesura de Markov en la dinamica simbolica,il·lustrant aixı, una vegada mes, com un sistemadeterminista pot presentar fortes propietatsestocastiques. D’altra banda, les particions deMarkov tenen un paper important en l’estudide la interaccio entre la teoria dels sistemesdinamics hiperbolics i la mecanica estadısticad’equilibri.

Finalment, el tercer assoliment es refereixa la teoria dels billars. Sinai va establir lesbases d’aquesta teoria amb l’objectiu principald’investigar les propietats estocastiques delssistemes dinamics conservatius. Un exemplesimple es un quadrat amb un obstacle circularen el seu centre tal que en el seu interiorviatja una partıcula que rebota elasticamentquan colpeja qualsevol de les fronteres delquadrat o de l’obstacle circular. En particular,Sinai va establir les propietats estocastiquesper la classe dels billars tals que les sevesfronteres tenen curvatura positiva a tot arreu.Per tal de descriure el que esta pel darrered’aquest estudi, considerare nomes el cas messimple dels sistemes uniformement hiperbolicssense singularitats, com els sistemes Anosov(tambe podrıem considerar per exemple fluxosgeodesics en superfıcies compactes de curvaturanegativa). Anosov va estudiar els sistemes queara porten el seu nom i va establir, en particu-lar, l’existencia de famılies de varietats establesi inestables. Sinai va utilitzar aquestes famıliesper demostrar que es pot aplicar un argumentde tipus Fubini i despres usar l’argument deHopf per establir l’ergodicitat del sistema. Elproblema principal es que al contrari del que

58

succeeix en el teorema de Fubini, no se sapa priori si un conjunt de mesura zero en unavarietat estable es pot transportar al llarg de lesvarietats inestables cap a un conjunt de mesurapositiva en una altra varietat estable. Aixo re-quereix l’establiment d’una propietat fonamen-

tal: la continuıtat absoluta de les famılies de lesvarietats estables i inestables, que consisteix amostrar que el conjunt de mesura zero abansesmentat es pot de fet transportar cap a unconjunt de mesura zero en la segona varietatestable.

Luis BarreiraUniversitat de Lisboa

Parlem de llibres

Jaume Vallcorba i Plana, in memoriam

Bruno Snell. Die Entdeckung des Geis-tes. Studien zur Entstehung des europaischenDenkens bei den Griechen. Editorial, Hubert &Co. Gottingen, 1946. ISBN Print. 978-3-25779-9. ISBN llibre electronic:. 978-3-647-25731-0.Traduccio anglesa de T. G. Rosenmeyer, TheDiscovery of the Mind. The Greek Origins ofEuropean Thought. Oxford: Basil Blackwell,1953. Vegeu https://archive.org/details/

discoveryofmindg00sneluoft. Traduccio cas-tellana de J. Fontcuberta, El descubrimiento delespıritu. Estudios sobre la genesis del pensami-ento europeo en los griegos. Barcelona: Acanti-lado, 2000. ISBN. 978-84-96834-22-4.

Nuccio Ordine. L’utilita dell’inuti-le: Manifesto. Editorial, rcs Libri SpA, Bom-piani: Mila, 2013. ISBN: 978-2251444888. Tra-duccio catalana de Jordi Bayod, La utilitatde l’inutil, amb un assaig d’Abraham Flexner.Quaderns Crema, SA: Barcelona, 2013.ISBN: 978-84-7727-553-4.

Finia ja el mes d’agost, el mes en quemolts —gairebe tots— estavem de vacances,alguns a la vora de casa, d’altres en indretsde la Mediterrania, tot recordant d’on venim, iencara uns altres a terres mes llunyanes. I arribala notıcia de la mort d’en Jaume, filoleg i editorindependent, puntal de l’edicio independent ca-talana. Un tumor cerebral ens l’havia pres. Te-nia nomes seixanta-cinc anys, pero l’herenciaque deixa darrere seu es enorme. Per aixo, enl’acte public del 2 de juny, en reconeixement dela bona feina feta, la Generalitat de Catalunya

li lliurava el Premi Nacional de Cultura a laprojeccio social de la llengua catalana.

Parlo d’ell perque l’any 1979 fundava, ambseu a Barcelona, l’editorial Quaderns Cremaamb l’objectiu clar de combinar prosa i poesia—d’autors catalans i estrangers— amb unaespecial voluntat d’incorporar a la literaturacatalana traduccions acurades de classics. I vintanys mes tard, el 1999, funda Acantilado, dellibres en castella, entre els quals trobem llibresd’alta divulgacio —d’un gran bagatge cultural.

Qui no recorda —espigolant en lamemoria— haver-hi llegit la poeticologicaAlıcia a traves de l’espill de Lewis Carroll,l’obra sinistra d’Edgar Allan Poe, la serenareflexio d’Oscar Wilde, De Profundis, lavisionaria i al.legorica Vita nova de Dante Alig-hieri, o el dietari exotic de Paul Gauguin NoaNoa. Estada a Tahitı, i, al costat d’aquestesi moltıssimes altres, l’obra poetica de JosepVicenc Foix, les reflexions sobre el llenguatge deGabriel Ferrate o Exercicis d’estil de RaymondQueneau, i moltes de les obres de Quim Monzo?

Recordo com si fos ara quan vaig descobrirel vessant historic i polıtic de Stefan Zweig. Eratambe un mes d’agost —ja han passat unsanys— i ens trobavem a Llers, a la casad’estiueig de la Neus i en Miquel, germa dela Margarida, la Margarida i jo —la mateixacaseta on Cesc Gai havia rodat Ficcio—,contemplant, just davant nostre, imponent, elmassıs del Cadı. Un dels llibres que hi haviadamunt la tauleta de davant la llar de foc, apa-gada —feia calor—, era Moments estel.lars de

59

la humanitat. Recordava haver llegit —despresde veure la petita joia cinematografica de MaxOphuls, Carta d’una desconeguda, amb unainterpretacio memorable de Joan Fontaine— elrelat breu, del mateix tıtol, en que es basaval’obra i encara Vint-i-quatre hores en la vidad’una dona, i res mes. Els Moments estel.larsem van descobrir una faceta que m’interessavamoltıssim, el bagatge cultural d’Occident, quevaig completar amb la lectura, molt rica iinteressant, d’El mon d’ahir. Tota una revelacioque haig de completar amb la recent El monde 1914, Edicions de la Ela Geminada, queencara no he llegit i en el qual, pel quesembla, contradiu —o matisa— les opinions queexposava en El mon d’ahir.

Pero, com sempre, m’he deixat endur ime n’he anat del que volia parlar. De fet,volia parlar-vos de dos llibres, molt diferentsi alhora amb certs paral.lelismes; son els queencapcalen aquestes columnes. Un, el primer,editat per Acantilado; l’altre, el segon, perQuaderns Crema.

El primer —em fou recomanat pel professorJosep Monserrat, actual dega de la Facultatde Filosofia— es una lectura del pensamentde la Grecia classica que preten —i jo diriaque d’alguna manera ho aconsegueix— fer-nosadonar de fins a quin punt la civilitzacio mo-derna es deutora de ≪l’originaria formulacio delconcepte d’humanisme i la creacio del paisatgeespiritual que anomenem Arcadia≫. Es unaobra madura, en la qual juguen un paper ex-traordinari la memoria i la capacitat d’establirinterrelacions que te Bruno Snell —un dels hel-lenistes mes notables del segle xx. No voldriarevelar gaire el contingut de l’obra (un recullde conferencies molt ben articulat) —es uncamı de pensament racional, un proces erudit,una analisi profunda, una reflexio serena. Caldeixar-se portar, acompanyar i no defallir. Hiha capıtols que els considero extraordinaris. Elcapıtol i, ≪El concepte de l’home en Homer≫,d’entrada, espanta una mica perque apareix ellexic i aixo fa que sigui una mica tecnic, perocal fer aquest petit esforc: despres la resta delllibre es forca mes entenedora. Al capıtol iv,≪El despertar de la personalitat en la lıricagrega arcaica≫, Snell llegeix els poetes grecsde l’epoca arcaica —i quina lectura!— alhoraque reflexiona sobre els continguts: ≪els poetesdonen el seu nom≫ i es amb el seu nom que

≪expressen el que es novell amb la paraula i, atraves de la paraula, es revela de forma explıcitael mon de l’esperit≫. En el capıtol vi, ≪Mitei realitat en la tragedia grega≫, d’una riquesade matisos extraodinaria, fa que t’agafin ganesde rellegir —o de llegir per primera vegada—Esquil, Sofocles i Eurıpides. Com n’es d’inte-ressant l’evolucio conceptual i la riquesa deldarrer pel que fa a la humanitzacio dels perso-natges. Com apareix el ≪conflicte personal≫ ila necessitat de prendre decisions. Com lligaamb el capıtol xiii, ≪El sımbol del camı≫, enel qual Snell reflexiona sobre de quina manerael camı del capıtol anterior —≪la formacio delsconceptes cientıfics≫— es transforma i esdevemes ric amb la lectura atenta de Parmenides,magnıfica, i l’evolucio natural que comportacap a ≪el problema que esborra el somriurearcaic dels grecs≫. Per arribar a aquesta crisicalia haver descobert la virtut —i el Be—com a valor i com a fi. Aquesta descobertala fem al capıtol x, ≪Exhortacio a la virtut.Un capıtol breu de l’etica grega≫. Mentre elllegia em retornava a la memoria el llibret debutxaca Socrates, de Jean Brun (Edicions de1984, Barcelona, 2005). En definitiva, ras i curt,Snell ens porta de la ma, amb ma mestra,per l’evolucio conceptual —solida i aguda—del pensament grec arcaic. Es una pena nodisposar d’una traduccio catalana d’aquest rictext d’alta divulgacio!

L’altre llibre me’l va regalar la meva amigai companya Margarida en ocasio del meuaniversari. I el vaig llegir amb voracitat. S’adiu—de fet, esta pensat amb aquesta finalitat—tan i tan be amb aquesta epoca de crisi,alguns creiem que imposada, i de retalladessocials i de laminacio del que hem anomenat lasocietat del benestar i de l’apogeu de la classemitjana. Tambe es un text de maduresa, escritper un professor de literatura de la Universitatde Calabria. L’objectiu de l’obra el descriumolt be l’autor a la introduccio, quan diu: ≪Laparadoxal utilitat a que em refereixo no es lamateixa en nom de la qual es consideren inutilsels sabers humanıstics i, mes en general, totsels sabers que no produeixen beneficis. En unaaccepcio molt diferent i molt mes amplia, hevolgut posar al centre de les meves reflexionsla idea d’utilitat d’aquells sabers que tenen unvalor essencial del tot alie a qualsevol finalitatutilitarista. Existeixen sabers que son fins per

60

si mateixos i que —precisament per la sevanaturalesa gratuıta i desinteressada, allunyadade tot vincle practic i comercial— poden exercirun paper fonamental en el conreu de l’esperiti en el desenvolupament civil i cultural de lahumanitat [l’emfasi es meu]. En aquest contextconsideto util tot allo que ens ajuda a fer-nosmillors≫. L’argumentacio ulterior —basada,tambe ara, en la lectura dels autors mes pree-minents de totes les epoques, que ell coneixper la seva activitat universitaria— l’exposaen tres parts: ≪L’util inutilitat de la literatu-ra≫ —probablement la mes rica i interessantde les tres—; ≪La Universitat-empresa i elsestudiants-clients≫ —molt rellevant en el sentitabans indicat i amb un cert interes pel fetque palesa la ≪globalitzacio≫ del problema ques’hi tracta i una mica entristidor, i ≪Posseirmata: Dignitas hominis, amor veritat≫. Enl’activitat humana, la possessio va en contra delque la propia activitat preten: l’amor. Tambevoler posseir la veritat, la mata: pensem en elsfonamentalismes, els dogmatismes, els fanatis-mes, les ideologies en el sentit que s’acunyaper descriure les que van neixer a finals delsegle xix. Lliga, si be de lluny, amb el llibreanterior. En el capıtol segon, Ordine fa una

reflexio sobre la ≪inutilitat≫ —en el sentit queell dona a aquest terme i que queda ben clar desdel comencament— de la matematica (seccions14, 15 i 16, Arquimedes i Poincare) que, si be noes una de les pagines mes reeixides, cal agrair-laatesos els coneixements que l’autor te i en elsquals basa el Manifest que son, ho repeteixo, lalectura d’autors del passat i actuals. I, moltsorprenent, algunes opinions expressades en elpassat es poden trasplantar al present i, si noens diguessin que son de ja fa uns quants segles,ni ens n’adonarıem.

Per acabar, vull indicar que tinc en lacarpeta d’allo que em cal llegir alguns lli-bres d’Acantilado —algun dels llibres de LisaRandall, Universos ocultos, Llamando a laspuertas del cielo, potser aquest mes de caireepistemologic, i El descubrimiento del Higgs—,de divulgacio de la fısica moderna, que vaigconeixer en una conferencia sobre simetria de lacol.lega i amiga Pilar Bayer; la biografia, moltdocumentada, d’Alexandre el Gran de RobinLane Fox, que m’ha recomanat el poeta EnriqueBadosa, un amic l’amistat del qual formapart de l’herencia dels pares, i encara CuandoEuropa hablaba frances de Marc Fumaroli —unautor que desconec—, perque el tıtol m’atrau.

Josep Pla i CarreraProfessor emerit de la Universitat de Barcelona

Raco biografic

George Boole. 200 aniversari

Biografia de Boole. Primera part

George Boole va neixer fa dos-cents anysa Lincoln, una ciutat de l’est d’Anglaterraque pertany al comtat de Lincolnshire, indretoriginari de la famılia del seu pare, de nomJohn. De jove, John Boole ana a Londres atreballar en un taller de confeccio de sabatesi en aquesta ciutat conegue Mary Ann Joyce,una noia del comtat de Berkshire (proper aLondres) assistent de la dona d’un clergue dela catedral de St. Pau. Al cap d’un temps Johni Mary es van casar i van fixar la residencia

a Lincoln, on van obrir una botiga de sabates.El primer fill, George, va arribar al cap de deuanys, el 2 de novembre de 1815 i despres envingueren tres mes.

John Boole, home religios i amant del saberque s’interessava per la ciencia aplicada i laconstruccio d’aparells cientıfics, va construir untelescopi que exhibia a l’aparador de la botigai mostrava el seu funcionament a tothom quevolgues admirar l’obra de Deu.

John transmete al seu fill George l’aficioal saber i li ensenyava tot allo que ell sabia

61

sobre la ciencia, les matematiques, les llenguesi la cultura en general, i George demostra-va tenir una gran capacitat d’assimilacio. Esva decantar cap al mon de les lletres i esva interessar especialment per l’estudi de lesllengues. Va demanar aprendre llatı i el seupare el va portar a casa de l’amic W. Brooke,un llibreter impressor que a mes d’ensenyar-li llatı el va iniciar al mon dels classics. Mestard George va demanar aprendre grec, peroaquesta llengua no la sabia Brooke, i G. Booledecidı aprendre-la pel seu compte. Aquest fouel principi d’un autoaprenentatge que seria unaconstant en la vida de George Boole, en aixoretirava al seu pare. George tenia a mes unagran capacitat intel·lectual creativa, i ja ho vademostrar quan als catorze anys va fer unatraduccio lliure a l’angles del poema grec ≪Odaa la primavera≫ del poeta Meleager. El seu pareva quedar tan meravellat que va decidir fer-lapublica a traves d’un dels diaris de Lincoln.La publicacio d’aquella notable traduccio delgrec classic feta per un noi de catorze anys vaaixecar sospites i va encetar un fort debat en elscercles literaris de Lincoln sobre l’autenticitatdel traductor. El debat va durar forca tempsi fins i tot hi van intervenir lletrats del monuniversitari, pero G. Boole va demostrar-nel’autenticitat fent altres traduccions i d’aquestamanera va assolir gran fama local com a joveintel·lectualment avantatjat.

Quan George va complir tretze anys i vaacabar la formacio basica, el seu pare, l’induc-tor de les seves aspiracions intel·lectuals, nomestenia diners per pagar-li una ampliacio delsestudis basics en una escola de comerc. JohnBoole, ocupat en multiples activitats menys lade vendre sabates, havia descuidat el negocique sostenia la famılia i encara que a casadels Boole no hi faltava el menjar nomes escobrien les necessitats basiques per anar vivint.El pitjor vindria tres anys despres, el 1831, quanel negoci del pare va fer fallida i G. Boole vahaver de posar-se a donar classes per contribuiral sosteniment de la famılia. G. Boole mai vapoder fer uns estudis universitaris reglats nimai va tenir cap titulacio academica superior, laseva formacio matematica i el seu coneixementde les llengues classiques i modernes van ser elresultat d’una formacio completament autodi-dacta. Als setze anys iniciava com a mestre unrecorregut per diferents escoles que es trobaven

mes o menys properes a Lincoln. Primeramentva aconseguir un lloc a una escola de Doncaster,ciutat que es troba a uns seixanta quilometresal nord-oest de Lincoln. Aquesta ocupacio, acausa d’un problema relacionat amb la religio,nomes li va durar dos anys. George Boole haviacrescut en el si d’una famılia que pertanyia al’esglesia d’Anglaterra i ell s’havia interessatpel tema de la religio, fins i tot havia pensaten el sacerdoci, pero despres de llegir certsllibres de teologia se li va despertar un esperitcrıtic vers alguns aspectes fonamentals de laseva esglesia: Boole no podia creure en un Deutrinitari sino que es decantava cap a una visiounitaria de Deu, la mateixa posicio que anysabans havia adoptat Newton. La comunitat del’escola on Boole treballava eren metodistes ino podien acceptar un heretge entre els seusmembres.

Despres de Doncaster, Boole va anar a parara una escola de Liverpool on nomes hi vaestar sis mesos perque estava en desacord ambel taranna personal de qui regentava l’escola.A continuacio s’acosta de nou a Lincoln, siskilometres al sud hi havia l’escola rural deWaddington i aquı s’hi va trobar be, encara queel sou era escas per cobrir les propies necessitatsi les de la seva famılia. Llavors, el 1834 (dinouanys) decidı muntar la seva propia escola aLincoln, pero quatre anys despres (1838, vint-i-tres anys) retorna a Waddington perque li vanoferir la direccio de l’escola on ja havia estat

62

uns anys abans, pero ara amb un millor salari.Finalment, el 1840 (vint-i-cinc anys) va tornara Lincoln i va tornar a obrir una escola propia,la qual regentaria fins el 1849, any en queaconseguiria una catedra de matematiques alrecentment inaugurat Queen’s College de Cork(sud d’Irlanda), fet aquest forca insolit ja queBoole no tenia cap tıtol academic.

Com a docent tenia idees diferents de lesdels seus col·legues, ell defugia l’ensenyamentclassic teoric sense practiques. Per Boole, l’en-senyament havia d’anar dels casos particularsa les formulacions generals, en el cas d’unallengua. Per exemple, la gramatica s’haviade presentar despres d’haver adquirit un certdomini de la parla i la lectura, i pel quefa a les matematiques, abans d’enlairar-se enl’abstraccio, s’havien d’haver resolt molts pro-blemes concrets. Tambe insistia que els alumnesde ciencies havien de tenir una bona basehumanıstica i havien de rebre una formaciomoral.

No se sap be perque Boole decidı finalmentdedicar-se a les matematiques, pero en algunlloc esta escrit que ell havia ironitzat sobreaquest tema dient que la lectura d’un llibrede matematiques era mes rendible que la dequalsevol altre, ja que pel mateix preu duravamolt mes. El cert es que a Doncaster jadedicava les seves estones lliures a l’estudi delDifferential and integral calculus de Lacroix i ala Mecanique analytique de Lagrange.

A Lincoln era molt ben considerat i elMechanic’s Institute li va encarregar una con-ferencia sobre Newton quan tenia dinou anys.En aquesta conferencia Boole va demostrartenir idees molt clares sobre l’obra cientıficadel gran Newton. Entre les coses que va dir vavalorar molt especialment el fet que Newton seservıs de les matematiques per descriure les lleismecaniques de l’Univers, pero va matisar quela presentacio geometrica de Newton quedavamassa tancada en ella mateixa, considerava queli mancava una bona notacio, que li haguespermes establir metodes de procedir mes ge-nerals. Boole posa l’exemple de la notacio i lamanera de procedir de Lagrange a la Mecaniqueanalytique. Aquesta matisacio de Boole a lesnotacions i estil geometric de Newton ja predeiaallo que seria un leitmotiv de l’obra de Boole,la preocupacio per trobar notacions adequadesi generals.

Despres de la gran obra newtoniana, lamatematica anglesa de la segona meitat delsegle xviii va experimentar un fort alentiment,el calcul seguia el metode de fluxions de Newtoni ignorava els metodes de Leibniz. Per contra,al llarg del segle xviii, l’Europa continentalanava desenvolupant i perfeccionant el calculdiferencial de Leibniz amb l’obra de matematicscom Euler, Bernouilli, D’Alembert, Lagrangre imolts altres.

A comencaments del segle xix, un ma-tematic de Cambridge, R. Woodhouse, publicael llibre Principles of analytical calculation(1803), en el qual explicava als matematicsanglesos el calcul diferencial de Leibniz. Aques-ta obra va despertar interes entre els jovesestudiants de Cambridge i tres alumnes deWoodhouse, G. Peacock, C. Babbage i J. Hersc-hel, van decidir fundar el 1812 l’AnalyticalSociety, amb l’objectiu d’estendre la notaciodiferencial i els metodes analıtics a tot l’en-senyament, i amb aquesta finalitat van editarllibres de text i van traduir a l’angles elsprincipals llibres dels matematics continentals.D’aquesta manera s’iniciava un important girde la matematica britanica cap als metodesanalıtics amb l’abandonament progressiu delsmetodes geometrics, i amb aquest canvi derumb la matematica anglesa recupera elnivell perdut.

Els matematics anglesos foren especialmentinnovadors en algebra. Peacock (1791-1858) iMorgan (1806-1871) van comencar a analitzarles propietats de les operacions aritmetiques.Peacock va voler estendre el seu camp devalidesa a altres camps mitjancant un principiformal que no va resultar prou encertat, iMorgan va fer un pas mes agosarat con-siderant operacions arbitraries entre sımbolssense significacio concreta. A partir de llavors,diversos matematics britanics van comencar aexperimentar en el terreny del simbolisme iaixı s’arribaren a crear sistemes algebraics amboperacions i propietats ben diferents de les del’aritmetica tradicional. Pensem, per exemple,en el producte no commutatiu de matrius deCayley (1821-1895) i Sylvester (1814-1897), obe els vectors de Heaviside (1850-1925) ambels productes escalar i vectorial, les algebresde Clifford (1845-1879) i com no podia serd’una altra manera, l’algebra de classes deBoole. A Irlanda, encara dependent d’Angla-

63

terra, Hamilton (1805-1865) havia donat unadefinicio aritmetica dels nombres complexos ila seva original extensio als quaternions ambel producte quaternionic que va resultar ser nocommutatiu.

En aquest context de la matematica an-glesa, el 1831 Boole, amb setze anys i mes-tre d’escola, comenca a interessar-se per lamatematica superior. Des de petit ja haviarebut llicons de matematiques del seu parequi, atesa la seva aficio a la practica cientıfica,s’inclinava cap a la matematica d’aplicacio, iaquesta matematica d’aplicacio a la fısica es laque Boole fill comenca a estudiar a Doncasterllegint, en frances, la Mecanique analytique deLagrange i la Mecanique celeste de Laplace.Pocs anys despres Boole va establir amistatamb E. Bromhead, un matematic de Cambridgemembre fundador de l’Analytical Society, elqual s’havia retirat a viure a un poblet propera Lincoln. Bromhead va mantenir llarguesconverses amb Boole, el va posar al correntdels nous metodes analıtics i li va deixar llibresde la seva biblioteca. D’aquesta manera Booleva poder accedir als llibres de Monge, Fourier,Poisson i Jacobi entre molts altres. Bromheadva assessorar Boole en els seus dos primerstreballs d’investigacio en que, a partir de laMecanique analytique de Lagrange, feia novesaportacions al calcul de variacions i estudiava elcomportament de les funcions homogenies persubstitucions lineals.

El 1839 Boole va visitar Duncan Gregory(1813-1844), un jove matematic de Cambridgeprimer editor de la revista Cambridge Mathe-matical Journal, fundada el 1837 amb l’objec-tiu de recollir els treballs d’investigacio ques’estaven duent a terme a Anglaterra des dela renovacio. Duncan Gregory era descendentdel gran matematic angles del segle xvii JamesGregory. D. Gregory va valorar molt positiva-ment el contingut del treball de Boole pero liva dir que n’havia de millorar la presentacioperque algunes coses no quedaven prou clares i,a mes, li mancaven certs formalismes propis delstreballs academics. Gregory va orientar Boolesobre com havia de presentar els articles i apartir de llavors Gregory i Boole iniciaren unaferma amistat que va ser interrompuda per laprematura mort de Gregory l’any 1844.

L’any 1841, Boole tenia vint-i-sis anys, i elCambridge Mathematical Journal li va publicar

els seguents quatre articles: ≪Researches onthe theory of analytical transformations, witha special application to the reduction of thegeneral equation of the second order≫, ≪Oncertain theorems in the calculus of variations≫,≪On the integration of linear differential equa-tions with constant coefficients≫ i ≪Analyticalgeometry≫.

En total Boole va publicar dotze articles alCambridge Mathematical Journal i dotze mes alCambridge and Dublin Mathematical Journal,una revista continuacio de la primera.

En el seu primer article publicat, Boole in-troduıa la teoria d’invariants algebraics. Cayley,en el seu article fundacional sobre invariantsde 1845 ≪On the theory of linear transformati-ons≫ reconeixia explıcitament haver-se inspiraten l’article de Boole. A partir d’aquest l’article,Cayley va iniciar una llarga i solida amistatamb Boole, a qui visitava amb frequencia aLincoln i animava que treballes amb el temadels invariants. Boole va escriure quelcom messobre el tema pero no el va seguir gaire jaque els seus interessos s’estaven orientant capa les equacions diferencials i el tractamentmatematic de la logica.

A partir de 1842 Boole va iniciar contactesamb Morgan a partir de la publicacio del llibred’aquest ultim Differential and integral calcu-lus. Amb el temps Morgan i Boole arribarien aser grans amics. Boole va demanar a Morgansi li podia revisar un article sobre equacionsdiferencials lineals amb coeficients constants enel qual exposava un nou metode de resolucio,basat en l’us d’operadors diferencials simbolics.Aquesta tecnica dels operadors era molt in-novadora en aquells moments i ja havia estatconsiderada per Cauchy i alguns altres, el ma-teix Duncan Gregory hi havia estat treballanti Boole digue explıcitament que s’havia basaten els seus treballs. Boole tambe cita Servois,Morgan i el poc conegut Robert Murphy. Laidea fonamental provenia de la propia notaciodiferencial Leibziana dy

dx per la derivada enun punt, llavors es va passar al concepte defuncio derivada, i el pas innovador va ser elde separar el d

dx de la y, entenent que allo que

s’havia de fer amb l’expressio ddxy era calcular

la funcio derivada de la funcio y(x). Boole vatractar d

dx com un sımbol abstracte D i escriviaDmf(x) per indicar la derivada m-essima d’unafuncio, aixı resultava que D(m+n) = DmDn.

64

D’aquesta manera una equacio diferencial linealamb coeficients constants podia ser escritacom un polinomi en D i llavors factoritzantaquest polinomi la resolucio quedava reduıdaa la resolucio de senzilles equacions diferencialslineals.

L’article de Boole que presentava aquestaoperatoria simbolica es publica l’any 1844 alvolum 134 del Philosophical Transactions ofthe Royal Society sota el tıtol ≪On a gene-ral method in analysis≫. Hi hague una certacontroversia entre els membres de la RoyalSociety a l’hora d’admetre l’article d’un estranyal mon academic en una revista de tan altprestigi, pero finalment l’article no tan solsva ser acceptat sino que va guanyar el maximpremi que atorgava la Royal Society, la medallad’or. A partir de llavors Boole seria conegut enels ambits matematics academics de la GranBretanya.

Boole va continuar treballant en aquestaconcepcio dels operadors entesos com enti-tats abstractes que actuaven sobre elementsdeterminats i en aquest context es com vaconcebre la idea de construir un calcul simbolicque possibilites l’expressio matematica delsraonaments logics. Boole ja tenia al cap desdels anys de Doncaster la idea d’organitzarmatematicament el discurs racional dels hu-mans, ell comentava que passejant pels caminsde Doncaster li havia vingut de sobte aquestagran idea com una il·luminacio. El 1847 sortiaa la llum el llibre The mathematical analysisof logic, being an essay towards a calculusof deductive reasoning, on Boole exposava laconstruccio d’un llenguatge simbolic per tractarels assumptes de la logica des d’una perspectivamatematica. Set anys mes tard, el 1854, vapublicar An investigation of the laws of thoughton which are founded the mathematical theoriesof logic and probabilities, un segon llibre enel qual presentava la teoria del primer d’unamanera mes sistematitzada i completa. Era unllibre mes enfocat cap a l’analisi matematicadel llenguatge comu i amb reflexions sobre lespossibles relacions entre llenguatge i logica,i a mes hi havia un nou tractament de laprobabilitat.

Una petita incursio als inicis de l’algebra de Boole

A continuacio, interrompent el relat biografici nomes com a tast, descriure els inicis del

primer llibre de Boole, en que es construeixel llenguatge algebraic que permet una analisimatematica del pensament logic. Boole co-menca parlant de l’acte mental que consisteixa elegir entre els elements d’un cert dominiD aquells que tenen una certa propietat p,creant aixı per abstraccio (separacio mental)la classe P dels elements de D que tenen lapropietat p. Llavors, amb la finalitat de crearun sistema de calcul, Boole, inspirat amb elseu metode d’operadors simbolics, introdueixallo que anomena sımbols electius. Ho explicareutilitzant el mateix exemple que Boole utilitza.Suposem que D representi el domini de totsels animals terrestres, llavors amb la lletra xse simbolitza un operador que actua sobre eldomini D escollint d’entre tots els animals de Daquells que son ovelles. Es genera aixı la classeX de les ovelles. Aquı haig de fer dues obser-vacions importants, la primera es que aquestssımbols electius tant operen sobre el dominiD com sobre les classes generades en aquestdomini; la segona observacio es que aquestasubtil distincio que Boole fa entre sımbolelectiu x (accio mental d’eleccio) i la classeX (la nova entitat formada pels elements queresulten d’aplicar el sımbol x) nomes es donaen el primer llibre, en el segon llibre aquestadistincio desapareix i nomes parla de classes. Enl’explicacio que segueix he optat per utilitzar laparaula sımbol i la lletra que el representa tantper referir-me al sımbol electiu com a la classeper ell generada.

Sigui ara y un sımbol que actua sobre eldomini D escollint de entre tots els animalsnomes aquells que tenen banyes, creant aixıla classe dels animals amb banyes. Llavorses poden combinar aquest dos sımbols x i yfent-los actuar successivament, aquestes duesaccions successives es denoten escrivint la jux-taposicio yx (s’ha d’entendre que primer actuax i despres y). Aquesta juxtaposicio tambes’interpreta com un producte de sımbols (siinterpretem els sımbols com classes aquestaoperacio es l’antecedent de la interseccio deconjunts). Fent actuar el sımbol x sobre Dobtenim la classe dels animals que son ovelles iaplicant a continuacio el sımbol y sobre aquestaclasse de les ovelles s’obte la classe formada pelsanimals que son ovelles i tenen banyes. De lamateixa manera Boole escriu xyz per indicar elproducte successiu de tres sımbols i aixı mateix

65

tants sımbols com convingui. Boole no diu encap moment si en aquestes combinacions desımbols es valida l’associativitat pero ell la faservir.

Boole utilitza l’1 com un nou sımbol,1, per referir-se al domini de referencia alqual anomena Univers. A l’anterior exemple1 representa el domini de tots els animalsterrestres.

Aixı mateix, utilitza el 0 com un nou sımbol,0, l’accio del qual sobre qualsevol classe es la decrear una classe en que no hi ha res (Nothing,diu ell) (l’antecedent del conjunt buit).

Introdueix tambe el nou sımbol 1 − x,l’accio del qual consisteix a generar la classedels elements de l’Univers que no son de laclasse generada per x (l’antecedent del conjuntcomplementari). Cal fer l’observacio que Booletambe utilitza el sımbol operatori − en el casque el paper de 1 el fa una classe y que contela classe x , escrivint llavors l’expressio y − x.Boole observa que per qualsevol sımbol x sonvalides les igualtats 1x = x i 0x = 0.

Que dues classes x, y no tenen cap elementen comu ho expressa aixı xy = 0 i que totsels elements d’una classe y son elements d’unaclasse x ho expressa aixı y(1 − x) = 0.

A continuacio Boole estableix el que ellconsidera que son les tres lleis fonamentals queregeixen l’actuacio d’aquests sımbols.

La primera llei es que el resultat d’unacte d’eleccio no depen de les possiblesclassificacions d’un cert domini. (Aixı escom ho diu Boole.)

Imaginem dues classes disjuntes u i v d’uncert univers 1 i indiquem amb la notacio u + vuna nova classe formada agrupant els elementsde la classe u amb els elements de la classe v.Llavors la primera llei queda simbolitzada perla igualtat x(u + v) = xu + xv.

Aquesta llei l’expressa la propietat distribu-tiva del producte respecte de la suma.

Cal pero fixar-se be que Boole fa servirel sımbol operatori + per agrupar classes queno tenen cap element en comu. Dit en elnostre llenguatge, Boole considera la unio deconjunts disjunts, i cal tenir-ho en compteperque amb aquesta suma de classes deixade ser valida la distributivitat de la sumarespecte del producte en alguns casos, a di-ferencia de la unio de conjunts tal com avuil’entenem.

La segona llei diu que es indiferent l’ordreen que s’executen dos actes d’eleccio.

Aquesta llei expressa la commutativitat delproducte d’una sequencia de dos actes d’eleccioseguits, es a dir xy = yx.

La tercera llei diu que el resultat d’unacte d’eleccio repetit dues vegades generala mateixa classe que s’obte aplicant-louna sola vegada.

Es a dir que si del conjunt dels animalselegim mitjancant el sımbol x aquells que sonovelles obtindrem la classe de les ovelles i sia continuacio apliquem x a la classe resultantobtindrem de nou la classe de les ovelles.

Aquest fet queda expressat per la igualtatxx = x, que l’escriu com una potencia x2 = x.

Repetint aquest proces n vegades tindrıemaixı mateix que xn = x.

Aquesta tercera llei es anomenada per Bo-ole llei de l’ındex, (avui l’anomenem idem-potencia). Cal observar que mentre en aquestaoperatoria de Boole te sentit el producte persi mateix d’un sımbol electiu x, no es en canvipossible la suma x + x, ja que la suma nomesesta contemplada per a classes que no tenen capelement en comu.

Per Boole aquesta propietat de l’ındex delproducte es la mes singular de totes i mostra laseguent interessant relacio.

La igualtat x2 = x equival a la igualtatx2 − x = 0 i aquesta equival a la igualtatx(1−x) = 0. La llei de l’ındex equival al principide no contradiccio.

Una vegada Boole ha establert la sevaoperativa l’aplica a la logica tradicional perveure com es pot descriure matematicament.

Primer de tot escriu en llenguatge simbolicles quatre proposicions categoriques classiques:

• La universal afirmativa. Tots els X son Y ,que escriu xy = x i tambe x(1 − y) = 0.

• La particular afirmativa. Alguns X son Y ,que escriu v = xy, on v representa la classedels elements comuns a les classes x, y.

• La universal negativa. Cap X es Y , queescriu xy = 0.

• La particular negativa. Alguns X no son Y ,que escriu v = x(1 − y), on v es la classeformada pels elements de X que no son deY .

66

Considerem ara un sil·logisme les duespremisses del qual son:

1) Tots els Y son X.

2) Tots els Z son Y . I la conclusio es:

3) Tots els Z son X.

A la logica tradicional el predicat X de laconclusio s’anomena el terme major, el subjecteZ de la conclusio s’anomena el terme menor ila Y de les dues premisses s’anomena el termemitja. Llavors, en la conclusio nomes han defigurar els termes major i menor. El terme mitjaha desaparegut.

Vegem ara com Boole treballa el sil·logismeen el llenguatge de l’algebra.

Tots els Y son X ho escriu Y (1−X) = 0, itots els Z son Y ho escriu Z(1 − Y ) = 0.

Al comencament del llibre Boole ha ano-menat funcions electives a les expressionsque contenen sımbols electius; per exemple,Y (1−X) es una funcio electiva, i ha anomenatequacio electiva a una igualtat entre funcionselectives; per exemple Y (1 − X) = 0 es unaequacio electiva. Llavors Boole interpreta unsil·logisme com un sistema de dues equacionsamb les tres incognites X,Y,Z i per treure laconclusio elimina la Y per tal que quedi unaequacio nomes amb les incognites X i Z.

En el nostre exemple, cal eliminar la Yutilitzant les equacions Y (1−X) = 0 i Z(1−Y )= 0, i el resultat de l’eliminacio es l’equacio(1 − X)Z = 0, que llegida en el llenguatgeordinari ens diu que tots els Z son X tal comresulta a la logica classica.

De manera semblant, Boole va obtenint vial’algebra tots els resultats de la logica classica,i n’obte molts altres de nous que resultend’aplicar la seva algebra de sımbols.

Biografia de Boole. Segona part

Gracies als seus progressos amb les publicacionsmatematiques i sobretot gracies a la maximadistincio que va rebre l’any 1844 per part dela Royal Society, que li va atorgar la medallad’or pel seu treball sobre els operadors diferen-cials simbolics, Boole va animar-se a assistira la trobada anual que convocava la BritishAssociation for the Advancement of Science.El 1845 la trobada va tenir lloc a Cambridgei Boole hi va presentar la comunicacio ≪On

the equation of Laplace’s functions≫. Booleva fer be d’anar a Cambridge, ja que alla vainiciar una solida amistat amb un jove WilliamThomson (futur Lord Kelvin). Thomson eral’editor d’una nova revista de matematiquesThe Mathematical Journal, i li va proposara Boole que hi publiques la comunicacio quehavia presentat. Tambe va assistir a aquestareunio el llavors ja famos W. Hamilton i CharlesGraves, un professor de matematiques al Tri-nity College de Dublin, l’hi va voler presentarpero Boole va refusar l’oferiment. Boole eramolt conscient de la classe social de la qualprovenia i del fet que no tenia ni formacioni titulacio universitaria, i aixo feia que sesentıs inferior davant d’aquells que sı que tenienallo que ell sempre havia anhelat, i per tantintentava evitar-los. Boole i Hamilton mai vanarribar a establir una relacio d’amistat tot iviure tots dos a Irlanda i tenir uns mateixosinteressos en questions de llenguatge i novesalgebres.

El 1846, Boole, aconsellat i animat perCayley, Morgan, Thomson i molts altres, vasol·licitar una placa de professor per a algundels tres Queen’s Colleges que s’estaven creanta Irlanda. Com que passava el temps i no rebiacontestacio, inquiet, va enviar noves sol·licitudsi tota una gran quantitat de personatges vantestimoniar al seu favor, entre ells W. Thomson,Morgan, A. Cayley, Ch. Grave, Ph. Kelland,i fins i tot l’alcalde de Lincoln i altres altscarrecs de la ciutat. En aquest estat d’esperaBoole continuava treballant en matematiquesi de mestre a la seva escola de Lincoln. El1847 es va publicar el seu primer llibre sobrel’algebritzacio de la logica. El 1848 va morirel seu pare. Finalment, l’agost de 1849 li vannotificar que li havia estat concedida una placacom a primer professor de matematiques alQueen’s College de Cork (sud d’Irlanda) el qualestava previst inaugurar el novembre d’aquellmateix any. Boole va entendre que havia arribatl’hora de deixar el seu estimat Lincoln, laseva escola i les seves amistats per anar aviure tot sol en aquell lloc allunyat i de climaextremadament humit. La popularitat de Booleentre els habitants de Lincoln era tal que li vanorganitzar un gran sopar public de comiat.

La vida de Boole a Cork no li va ser deltot gratificant. Ben aviat comenca a enyorarLincoln, en part perque no va trobar un

67

ambient academic prou adient al seu taranna.Amb tot, s’incorpora amb entusiasme a lestasques academiques i cobrava un salari que lipermetia viure comodament al mateix tempsque podia ajudar al sosteniment economic dela seva mare, que s’havia quedat a Lincolnper la seva avancada edat. El maig de 1851li va tocar per torn ser dega de la Divisiode Ciencies de la Facultat d’Arts. En aquellperıode estava escrivint el segon llibre sobrel’algebritzacio de la logica, que es publicariael 1854.

L’any seguent al de l’arribada de Boole aCork, Mary Everest, de divuit anys, va viatjara Cork per visitar el seu oncle John Ryall,vicepresident del Queen’s College, professor degrec i gran amic de Boole. Mary Everest estroba per primera vegada amb George Boole,que llavors tenia trenta-cinc anys. Entre ells vaneixer una peculiar relacio d’amistat que al capde cinc anys va acabar en matrimoni.

El pare de Mary Everest era germa deSir George Everest, militar topograf resident al’India que va ser el primer a pujar al cim de lamuntanya que despres rebria el seu nom. MaryEverest era una noia singular. El seu pare era elrector de la parroquia de Wickwar, un poble aprop de Bristol (sud d’Anglaterra). Quan Marytenia cinc anys el pare es va contagiar d’unagrip molt forta i va decidir anar a viure ambtota la seva famılia a prop de Parıs perqueel visites Samuel Hahnemann, el fundador dela homeopatia. El pare de Mary va esdevenirun entusiasta dels metodes de curacio de Hah-nemann, com ara banys freds en ple hiverni llargues passejades abans d’esmorzar, entred’altres rareses, i anys mes tard Mary Everesttransportaria aquests metodes de curacio a laseva vida familiar amb Boole. El pare de Mary,que era aficionat a les matematiques, va iniciarla seva filla en l’estudi d’aquestes i ella donavaproves d’entendre-les molt be. El 1843, quanMary tenia onze anys, tota la famılia va tornara Wickwar. En els anys que van transcorrerentre la tornada i la primera visita a Cork,Mary Everest ocupava el temps en la sevaformacio, cultivava l’estudi de les matematiquesi ajudava el seu pare en les tasques dela parroquia.

Despres de la visita a Cork, Mary Everest vamantenir correspondencia amb Boole. Podrıemdir que Mary havia iniciat una relacio d’amistat

i admiracio cap un adult i distingit professor.Llavors, el juliol de 1852, Boole va viatjar aWickwar per passar uns dies amb la famıliaEverest i va aprofitar l’estada per explicarcalcul diferencial a Mary, la qual estava llegintun llibre de calcul que seguia el metode defluxions. Durant els dos anys seguents Maryva continuar a Wickwar i Boole va acabard’escriure The laws of thought, llibre que vadedicar a John Ryall, l’oncle que Mary haviaanat a visitar a Cork. L’agost de 1854 moriala mare de Boole. L’any seguent, el 1855, morıel pare de Mary Everest i ella, amb una fragilsalut, es queda sola i amb pocs recursos. Foullavors quan Boole proposa a Mary que anesa viure amb ell a Cork, Mary accepta i elsetembre del 1855 es casaven a la parroquia deWickwar.

Despres de casat, a Boole tot li semblavamillor, inclus Cork, encara que el trobava massaplujos.

La famılia de George Boole es va completaramb cinc filles, que van anar naixent unadarrere l’altra amb intervals de dos anys. Booleen aquesta etapa repartia el temps entre ladocencia, les tasques academiques, les publica-cions i la famılia.

El 1857 la Royal Society of Edinburgh el vaguardonar amb el Keith Prize, el mes alt honorconcedit per aquesta societat, per l’article ≪Onthe application of the theory of probabilities tothe question of the combination of testimoniesor judgements≫, que es publica al vol. 21 delTransactions.

El 1858 el van fer membre honoraride la Cambridge Philosophical Society i el1859 doctor honoris causa per la Universitatd’Oxford.

El 1859 publica el llibre A treatise ondifferential equations. Aquest llibre va tenirun gran exit. En ell exposava el metode delsoperadors i va ser llibre de text a Cambridgefins ben entrat el segle xx. En una segonaedicio feta postumament el 1865 per IsaacTodhunter, s’hi va afegir un suplement sobresolucions singulars d’equacions diferencials queBoole ja tenia preparat per a una segona ediciodel llibre.

Boole havia tornat a l’estudi de les equa-cions diferencials, i havia deixat la investigacioen logica. En una carta a Morgan de 1862 li diuque es poc gratificant continuar amb la logica

68

en un lloc (Cork) on ningu hi esta interessat,i afegeix que nomes en pot parlar amb la sevadona.

El 1860 va publicar el llibre A treatise on thecalculus of finite differences on tambe utilitzaoperadors simbolics.

A partir de 1855 Boole va publicar sobretemes diversos: equacions diferencials, calcul in-tegral, astronomia, algebra i probabilitat, i totaixo a part d’altres publicacions relacionadesamb tematiques socials. Tambe escrivı poesiai sobre questions de religio i filosofia. Booleestava vivint un perıode de molta activitat, i esjust llavors quan un dia de pluja torrencial, el 24de novembre de 1864, emprengue a peu el camıcap a la Universitat, que distava tres milles decasa seva, impartı ben xop la classe i torna acasa amb febre alta i els pulmons afectats. Noho supera i el 8 de desembre d’aquell any, al’edat de quaranta-nou anys, Boole morı.

Des de la perspectiva del segle xxi, GeorgeBoole es principalment celebrat com el pare de

l’algebra del disseny de circuits digitals, peroal segle xix allo que veritablement dona famaa Boole foren els treballs on aplicava opera-dors simbolics per a la resolucio d’equacionsdiferencials i diferencies finites. A l’epoca deBoole foren ben pocs els que apreciaren elsseus treballs de construccio d’una algebra per al’analisi matematica de la logica del pensamentracional.

Llibres utilitzats en aquest raco biografic

Per coneixer amb detall la vida de Boole calllegir el llibre George Boole. His life and work,de Desmond MacHale, que es professor dematematiques a la mateixa universitat on vatreballar Boole a Cork. Crec que es un llibreimprescindible. Jo m’he basat en aquest llibreper escriure la part biografica. Per escriurela part matematica he acudit al primer llibrede Boole The mathematical analysis of logic,being an essay towards a calculus of deductivereasoning.

Eduard Recasens GallartHistoriador de la ciencia

Problemes

El numero 36 de la nostra SCM/Notıcies va sortir sense l’acostumada seccio de problemes i, toti ser ben conscient que gairebe mai es adequat parlar d’un mateix, penso que es oportu donaralguna mena d’explicacions als seus fidelıssims lectors i col·laboradors. En efecte, quan estava apunt d’acabar-ne la redaccio i trametre-la a l’editor de la SCM/Notıcies, un desgraciat accident dequirofan em va foragitar del mon extrahospitalari per mes de quatre mesos. Ara, ja forca recuperatde la destrossa, torno a estar en actiu, i aquı hi ha, altra vegada, la seccio de problemes de laSCM/Notıcies.

Comencem amb l’agraıment, meu i de tots, per a Xavier Ros Oton, (UPC, Barcelona), Joan JosepCarmona (UAB, Bellaterra), Jose Luis Dıaz-Barrero (Barcelona-Tech), i Miquel Amengual Covas(Cala Figuera, Mallorca), pels enunciats respectius dels problemes A125, A126, A127 i A128.

Dels quatre problemes proposats en el numero 35, n’hem rebut solucions per a tres. JoaquimNadal i Vidal, professor jubilat de Llagostera, Girona, ens tramete la corresponent a l’A121, quepubliquem. Fem constar, a mes, haver rebut la de Roberto de la Cruz Moreno, del Centre de RecercaMatematica a Bellaterra, de qui tambe es la solucio del problema A122. Pel que fa al problemaA123, publiquem la solucio de Miquel Amengual Covas, havent-ne rebut una altra d’erronia. A totsells: moltıssimes gracies pel seu treball i interes! Queda obert, sense resposta, el problema A124.

Abans d’anar pel tall: si em trameteu les col·laboracions en els formats TEX o LaTEX, em fareu lafeina molt mes senzilla i, si ho teniu per be, feu-me arribar els fitxers font *.tex. Com es obvi, pero,totes les aportacions en qualsevol altre format, manuscrits inclosos, son benvingudes. L’adreca decorreu es la de sempre: carles.romero.c@gmail.com. Fins aviat!

69

Problemes proposats

A125. (Proposat per Xavier Ros Oton, UPC,Barcelona.)Sigui {an}n≥1 una successio de nombres realspositius. Demostreu que, si la serie

∑an con-

vergeix, aleshores

∑

n≥1

n√a1 · · · an <

e2

2

∑

n≥1

an.

A126. (Proposat per Joan Josep Carmona,UAB, Bellaterra.)Trobeu el mınim nombre natural m ≥ 2014 quefa que el nombre combinatori

(m

1714

)

sigui multiple de 300.

A127. (Proposat per Jose Luis Dıaz-Barrero,Barcelona-Tech, Barcelona.)

Siguin x, y i z tres nombres reals. Demostreuque

∑

cicle

((x + 1)2 + 2

y2 + z2 + 2(y + z + 3)

)1/2

> 2.

A128. (Proposat per Miquel Amengual Covas,Cala Figuera, Mallorca.)

Sigui M el punt mitja del costat BC d’unquadrat ABCD, i sigui E un punt del costatAD de manera que AE > ED. Sigui H elpunt del costat CD que fa que BE i MHsiguin paral·lels. Provau que EH es tangent ala circumferencia inscrita al quadrat ABCD.

Solucions

A121. (Proposat per Miquel Amengual Covas,Cala Figuera, Mallorca.)Sigui △ABC un triangle amb C = 2B, siguiM el punt mitja del costat BC, i sigui D elpeu de la perpendicular des de C al costat AB.Suposem que AM = CD. Quant fa l’angle B ?

Solucio: (Solucio de Joaquim Nadal i Vidal,professor jubilat, Llagostera, Girona.)Tenim:

A = 180◦ −(B + C

)= 180◦ − 3B

i, aleshores,

sin A = sin 3B = sin 2B cos B + cos 2B sin B

= 2 sin B cos2 B + cos2 B sin B − sin3 B

= sin B(

3 cos2 B − sin2 B)

= sin B(

4 cos2 B − 1)

i

cos C = cos 2B = cos2 B − sin2 B

= 2 cos2 B − 1.

Pel teorema dels sinus,

a =b sin A

sin B=

b sin B(

4 cos2 B − 1)

sin B

= b(

4 cos2 B − 1),

CD = a sin B = b(

4 cos2 B − 1)

sin B

= b(

4 cos2 B − 1)√

1 − cos2 B

i

CD2

= b2(

4 cos2 B − 1)2 (

1 − cos2 B).

D’altra banda, pel teorema dels cosinus aplicatal triangle △MCA,

AM2

= b2 +(a

2

)2− 2

ab

2cos C =

= b2 +

b(

4 cos2 B − 1)

2

2

− b(

4 cos2 B − 1)b(

2 cos2 B − 1)

= b2 +

b(

4 cos2 B − 1)

2

2

− b2(

4 cos2 B − 1)(

2 cos2 B − 1).

Ara podem fer AM2

= CD2, com diu l’enun-

ciat, i despres d’eliminar b2 obtenim l’equaciotrigonometrica

1 +

(4 cos2 B − 1

)2

4

−(

4 cos2 B − 1)(

2 cos2 B − 1)

70

=(

4 cos2 B − 1)2 (

1 − cos2 B)

que, convenientment transformada, es

64 cos6 B − 112 cos4 B + 52 cos2 B − 3 = 0,

que factoritza com

(3 − 4 cos2 B

)(−16 cos4 +16 cos2 B − 1

)= 0

i hi ha dues possibilitats:

3 − 4 cos2 B = 0

o be

−16 cos4 +16 cos2 B − 1 = 0.

La primera possibilitat fa cos B = ±√

3

2, pero,

com que l’angle B es agut, ha de ser cos B =√3

2i, per tant, B = 30◦.

La segona possibilitat es una equacio biqua-

drada amb solucions cos2 B =2 ±

√3

4. Ales-

hores, com que l’angle B es agut, a cos B =

±√

2 +√

3

4hem d’agafar la solucio positiva,

que correspon a B = 15◦. En canvi, a cos B =√2 −

√3

4li correspon B = 75◦, que no es

acceptable perque faria C = 150◦.

Amb aixo acabem: les solucions son, doncs,

B = 30◦ i B = 15◦.

A122. (Proposat per la redaccio.)

El nombre 1210 te la propietat que les sevesxifres es corresponen amb el nombre de zeros(1), d’uns (2), de dosos (1) i de tresos (0) en elmateix nombre. Trobeu sis nombres mes ambla mateixa propietat.

Solucio: (Solucio de Roberto de la Cruz More-no, Centre de Recerca Matematica, Bellaterra.)

Sigui n el nombre de xifres; es evident quen ≤ 10. Denotem, d’esquerra a dreta, perx1, x2, ..., xn les xifres. Es obvi que

x1 + x2 + · · · + xn = n (∗)

i, a mes, x1 > 0.

Lema 1: n ≥ 3.

Demostracio: Es immediat que n no pot ser ni1 ni 2, ja que a partir de (∗) les uniques opcionsson 1, 20 i 11, que no compleixen la propietat.

Lema 2: Si es compleix la propietat de l’enun-ciat, aleshores xn = 0.

Demostracio: Suposem que xn ≥ 1. Aleshoresexisteix i ∈ {1, 2, . . . , n} tal que xi = n − 1. Sii 6= 1 i i 6= n tindrıem:

x1 + x2 + · · · + xn ≥ x1 + xi + xn

≥ 1 + n− 1 + 1 = n + 1.

Per tant, i = 1 o i = n. Pero si x1 = n − 1, laresta de les xifres serien 0, i no es compliria (∗)i, si xn = n− 1, tindrıem n− 1 xifres amb valorn − 1, la suma de les quals seria (n − 1)2, quees mes gran que n, per a n ≥ 3.

Distingim casos segons el valor de xn−1 per tald’obtenir tots els nombres que compleixen lapropietat de l’enunciat:

i) Si xn−1 ≥ 3 tindrıem almenys tres xifres ambvalor n−2, la suma de les quals val 3n−6 i, enimposar que aquesta suma no pot ser mes granque n queda que n ≤ 3. Pero n no pot ser tres,ja que aleshores x2 = 3 i la suma de les xifresseria major que 3, ja que x1 > 0).

ii) Si xn−1 = 2, hi ha dues xifres amb valorn − 2, la suma de les quals es 2n − 4 i, perqueaquesta suma sigui menor que n s’ha de complirque n ≤ 4. Per tant busquem nombres de 3 o4 xifres que acabin en 20. De 3 xifres no n’hiha, ja que no hi ha lloc per col·locar els dos 1que necessitem; i de quatre n’hi ha nomes unapossibilitat, el 2020.

iii) Si xn−1 = 1, tenim que una xifra es n − 2.Sigui j tal que xj =n− 2. Tres possibilitats pera j:

iii.1) Si j = n−1, aleshores n−2 = 1 i, despres,n = 3. Pero es obvi que no es possible que elnombre tingui 3 xifres i acabi en 10.

iii.2) Que 1 < j < (n − 1). En aquest casx1 + xj + xn−1 ≥ 1 + n − 2 + 1 = n i, pertant, x1 = 1. L’unica possibilitat es 1210.

iii.3) Que j = 1 implica que ha d’haver-hin−2 xifres igual a zero, pero, aleshores, x1 +x2+ · · ·+xn = n− 2 + 1 = n− 1, i no es compleix(∗).

71

iv) Que xn−1 = 0. Aleshores s’ha de complirque x1 ≥ 2:

iv.1) Si x1 = 2, com que xn = xn−1 = 0,aleshores xi > 0,∀i < n − 1. Per tant, x1 + x2+ · · · + xn−2 ≥ 1 + 1 + 2 + 3 + · · · + (n − 3) =(n−2)(n−3)/2+1, que es mes gran que n per an > 5. Pero, com que x1 = 2, tenim que x3 > 0i, per tant, n ≥ 5. Despres, n = 5, x1 = 2 ixn = xn−1 = 0, obtenint el nombre 21200.

iv.2) Si x1 = 3, com que xn = xn−1 = 0 ix4 > 0, aleshores, n ≥ 6. A mes, x1 + x2+ · · · + xn ≥ 1 + 1 + 2 + 3 + · · · + (n − 4) =(n − 3)(n − 4)/2 + 1, que, per n > 7, es mesgran que n. Per tant n = 6 o n = 7. Enconsequencia, x4 = 1 (si x4 > 1 hi hauria com amınim dues xifres 3 que sumades a x4 farien mesque n). Amb tot aixo, es immediat comprovarque l’unic nombre que compleix la propietat es3211000.

iv.3) Si x1 = 4, amb un raonament analeg al’anterior tenim que n = 7 o n = 8, x5 =1, xn = xn−1 = 0, i s’obte, com a unicapossibilitat valida, 42101000.

iv.4) Si x1 = 5, un raonament analeg als casosanteriors dona el nombre 521001000.

iv.5) Si x1 = 6, de la mateixa manera, ens quedael 6210001000.

iv.6) Per a x1 > 7 no s’obtenen solucionsvalides.Resumint, tots els nombres que compleixen lapropietat son:

1210 , 2020 , 21200 , 3211000 , 42101000 ,

521001000 i 6210001000.

A123. (Proposat per Jose Luis Dıaz-Barrero,UPC, Barcelona.)Trobeu totes les solucions reals de l’equacio

(5√x2 + 3x + 2 − 5

√2x2 + 5x + 7

+5√

4x2 + x + 6)5

= 3x2 − x + 1.

Solucio: (Solucio de Miquel Amengual Covas,Cala Figuera, Mallorca.)Posem

u =5√

x2 + 3x + 2

u =5√

−2x2 − 5x− 7

u =5√

4x2 + x + 6

i, en aquestes variables, l’equacio donada es

(u + v + w)5 = u5 + v5 + w5.

En substituir aixo a la identitat (1)

(u + v + w)5 − u5 − v5 − w5

= 5(u + v)(v + w)(w + u)(u2 + v2 + w2 + uv + vw + wu

)

obtenim aquesta equacio, equivalent i messenzilla:

(u + v)(v + w)(w + u)(u2 + v2 + w2 + uv + vw + wu

)= 0,

que es resol d’una manera immediata, ja quel’expressio s’anul·la si, i nomes si, un delsfactors es zero.Aixı doncs, si u + v = 0 tindrem u = −v i

u5 = −v5.

En substituir aquı u i v per les seves expressi-ons, s’obte l’equacio

x2 + 2x + 5 = 0,

que no te solucions reals.De la mateixa manera, l’equacio v + w = 0esdeve

2x2 − 4x− 1 = 0,

que te les solucions2 +

√6

2i

2 −√

6

2.

De l’equacio w + u = 0 obtenim

5x2 + 4x + 8 = 0,

que no te solucions reals.Finalment, com que l’equacio u2+v2+w2+uv+vw+wu = 0 s’escriu, d’una manera equivalent,

(u + v)2 + (v + w)2 + (w + u)2 = 0 (∗)

les solucions reals de (∗) son les del sistema

u + v = 0

v + w = 0

w + u = 0,

que, pel que ja hem vist, es incompatible a R.

72

Aixı, doncs, les solucions reals de l’equaciodonada son

2 +√

6

2,

2 −√

6

2.

Nota: Com que l’expressio E = (u+ v +w)5 −u5 − v5 − w5 s’anul·la per a u = −v, conte elfactor u + v. De la mateixa manera, v + w iw+u en son factors. Per tant, E conte el factor

(u+ v)(v +w)(w +u). Ates que E es de cinquegrau, el factor restant es de segon grau i, atesque E es simetrica en u, v i w, aquest factor serade la forma A

(u2 + v2 + w2

)+B(uv+vw+wu).

El metode dels coeficients indeterminats donaimmediatament A = B = 5. Aixı, doncs,

E = 5(u + v)(v + w)(w + u)(u2 + v2 + w2 + uv + vw + wu

).

Carles RomeroIES Manuel Blancafort, la Garriga

Matemots

Recordeu que es tracta d’un joc de llengua(vegeu l’article introductori al num. 33 dela SCM/Notıcies). Cal resoldre els enigmeslinguıstics seguents, a partir de la definiciodonada i les pistes incloses.Exemple: ≪Exclous l’us de coordenades alpla≫ (9 lletres). La resposta es ≪descartes≫,ja que descartar es una forma d’excloure, iRene Descartes fou un dels matematics que vaintroduir l’us de coordenades al pla o a l’espai.En cas de dubte podeu trobar-ne les respostesal peu de pagina.3

1. Pot ser afı, projectiva o euclidiana, i diuenque requisit per entrar a l’Aκαδηµια (9lletres).

2. Derivada que no s’enten prou a l’examen demig curs (7 lletres).

3. Diferencia entre Cauchy i Schwarz al voltantdel producte escalar (11 lletres).

4. Varietat de maneres de representar el facto-rial (5 lletres).

5. Incitacio a provar P (n) per a tota n (8lletres).

6. Ho poden ser les algebres, i tambe les ulleres(9 lletres).

7. Entoni correctament mentre parla de la clas-sificacio de les corbes algebraiques (6 lletres).

8. Functor que mesura la resistencia dels es-tudiants a entendre l’algebra homologica (3lletres).

Xavier GraciaUniversitat Politecnica de Catalunya

3 Respostesalsmatemots:7.moduli4.gamma1.geometria3.desigualtat8.Hom5.induccio6.graduades2.

parcial.

73

Tesis i treballs de fi de master

Tesis

• Romero Barbieri Solha va llegir la seva tesi, dirigida per Eva MirandaGalceran, titulada On geometric quantisation of integrable systems withsingularities, el dia 21 d’octubre de 2013. La tesi correspon al Departamentde Matematica Aplicada I de la Universitat Politecnica de Catalunya

En aquesta tesi es presenta un nou enfocamentsobre l’estudi de la quantitzacio geometrica desistemes integrables. En aquesta tesi s’estenenuns resultats de Guillemin, Kostant, Rawnsley,Sniatycki i Sternberg sobre quantitzaciogeometrica, considerant les fibracions regularscom polaritzacions reals, pel cas singular. Lespolaritzacions reals estudiades en aquesta tesivenen donades per sistemes integrables ambsingularitats no degenerades i la definiciode quantitzacio geometrica utilitzada es ladonada per Kostant (via grups de cohomologiasuperiors). Tambe es presenten proves ambun punt de vista unificador de resultats dequantitzacio geometrica amb orbites pe-riodiques utilitzant l’existencia d’accionssimplectiques per cercles: les tecniques utilit-zades en aquesta tesi subratllen i desembrollenel rol de les accions per cercles en resultatsconeguts en quantitzacio geometrica.

Aquesta tesi es original en els seguents aspectes.Primer, s’utilitzen les accions de cercles perobtenir resultats en quantizacio geometrica itambe s’estudien les obstruccions a l’existenciade lemes de Poincare per cohomologia foliadaquan la foliacio te singularitats.

Els resultats anteriors obtinguts per Rawnsleysobre accions de cercles no s’han pogututilizar en el cas en que l’accio no siguilliure, i no es trivial adaptar-los per teniren compte els punts fixos. Un cop desen-volupades aquestes tecniques, es calcula laquantitzacio geometrica en una serie desituacions que inclouen el fibrat cotangentd’un cercle i productes d’aquest amb qualsevolvarietat simplectica exacta quantitzada ientorns de singularitats no degenerades d’unsistema integrable (les singularitats hi-perboliques requereixen un estudi diferent

perque no tenen associada cap accio natural percercles).Aquests calculs proven que el complex deKostant dona una resolucio fina del feix deseccions planes al llarg de la polaritzacioquan la polaritzacio ve donada per un sistemaintegrable amb singularitats no degenerades.Es important destacar que les demostracionsson originals, ja que contrariament al que unpodria esperar, no hi ha lema de Poincareper la cohomologia foliada quan la polaritzacioconsiderada te singularitats. Aquest resultat notrivial es interessant per se pero en aquestatesi, nomes s’inclouen els resultats relacionatsamb quantitzacio geometrica. Per exemple, lanecessitat de fer una nova demostracio perdemostrar que el complex de Kostant dona unaresolucio fina del feix de seccions planes al llargde la polaritzacio.

Aquesta tesi tambe conte una nova demostraciod’un resultat que primer va ser demostratper Guillemin i Sternberg sobre el caracterdiscret de les orbites de Bohr-Somerfeld. Enaquesta demostracio no nomes es destaca elrol jugat per les accions per cercles sino quetambe se suprimeix una condicio de compa-citat de l’enunciat del teorema. L’explotaciode l’existencia d’accions per cercles culminaamb una demostracio alternativa dels teoremesde Sniatycki i Hamilton. Es una demostraciooriginal i que preten unificar les anteriors: l’ar-gument funciona en les dues situacions: fibratsLagrangians i varietats localment toriques.

A mes a mes, aquest punt de vista aportallum a una conjectura sobre les contribucionsde les singularitats de tipus focus-focus. Defet es demostra que, en grau zero, no hi hacap contribucio a la quantitzacio geometricaprovinent de les fibres focus-focus per varietatssemitoriques en dimensio 4.

74

• Elena Tamayo-Mas va llegir la seva tesi, dirigida per Antonio Rodrıguez-Ferran, titulada Continuous-discontinuous modeling for quasi-brittle failure:propagating cracks in a regularized bulk, el dia 5 de desembre de 2013. Latesi correspon al Departament de Matematica Aplicada III de la UniversitatPolitecnica de Catalunya.

En aquesta tesi presentem una nova estrategiaper tal de descriure el proces de fallida dematerials quasi-fragils, com ara el formigo.Tıpicament la simulacio numerica d’aquestproces s’ha dut a terme mitjancant modelsde dany o models de fractura. Els primers—models continus— descriuen la fractura comun proces de localitzacio de deformacions enque el dany creix i es propaga. Els modelsde fractura, en canvi, son models discontinusque introdueixen de manera explıcita disconti-nuıtats en el camp de desplacaments. Recent-ment s’han proposat estrategies que combinenaquestes dues teories classiques. Tot i queaquestes formulacions alternatives permeten si-mular millor el proces de fallida, encara quedenalguns aspectes per aclarir, especialment pelque fa al canvi de models —de l’estrategiacontınua a la discontınua.En aquesta tesi es presenta una nova es-trategia contınua-discontınua. El nostre prin-cipal objectiu es proposar nous metodes deresoldre tres de les dificultats que presentenaquests models combinats: (1) solucionar ladependencia patologica de la malla d’elementsfinits que presenten els models locals ambreblaniment; (2) determinar la trajectoria de lafissura i (3) assegurar-se que el canvi de models—del continu al discontinu— es fa de maneraque les dues estrategies siguin energeticamentequivalents.En primer lloc, ampliem l’us —per tal de podersimular problemes dos i tres dimensionals—d’una estrategia alternativa que regularitza elreblaniment de les lleis de tensio-deformacio.Aquı la no-localitat s’introdueix a nivell delcamp de desplacaments i no a traves d’una va-

riable interna com succeeix en les formulacionsestandards. Per aquest motiu, proposem novescondicions de contorn combinades per l’equaciode regularitzacio (pel camp de desplacamentssuavitzat). Tal com s’observa en diferents exem-ples dos i tres dimensionals, aquestes condicionspermeten simular de manera fısicament realistales primeres etapes del proces de fallida.En segon lloc, presentem una nova formulaciocombinada on les fissures es propaguen a travesdel medi regularitzat. Per tal de definir la tra-jectoria d’aquestes fissures, utilitzem un criterigeometric, a diferencia dels criteris mecanicsclassics. En particular, sigui D (xxx) un campregularitzat de dany, les discontinuıtats espropaguen seguint la direccio marcada per l’eixmitja de la isolınia (o isosuperfıcie mitjanaen 3D) D (xxx) = D∗. Es a dir, utilitzemaquı aquesta eina geometrica —molt empradaen altres aplicacions com ara l’analisi d’i-matges, la visio artificial o la generacio demalles— per tal de propagar les fissures. Enaquest cas, donem tambe exemples dos i tresdimensionals.Finalment, proposem un nou criteri per esti-mar l’energia que l’estructura encara no hadissipat en el moment que canviem de model,per tal que pugui ser transferida a la fissuracohesiva. D’aquesta manera, s’assegura quel’estrategia contınua i la contınua-discontınuasiguin energeticament equivalents. En compara-cio amb altres tecniques, aquesta estrategia teen compte les diferents branques de descarregadels models de dany i permet estimar de manerames precisa l’energia que cal transmetre. Permostrar aquest balanc energetic es duen a ter-me diferents exemples en una i dues dimensions.

75

• Johanna Denise Garcıa Saldana va llegir la seva tesi, dirigida perArmengol Gasull, titulada A qualitative and quantitative study of someplanar differential equations, el dia 25 d’abril de 2014. La tesi correspon alDepartament de Matematiques de la Universitat Autonoma de Barcelona

La tesi presentada consta de cinc capıtols divi-dits en dues parts ben diferenciades. La primeraesta dedicada tant a l’us de l’anomenat metodedel balanc harmonic (MBH) com a la seva fona-mentacio teorica. Recordem que aquest metodees usat sovint per enginyers i fısics i proporcionauna manera senzilla d’obtenir aproximacions deles solucions periodiques d’equacions diferenci-als, aixı com el seu perıode. La segona s’ocupade l’estudi quantitatiu i qualitatiu de duesfamılies d’equacions diferencials polinomials alpla.Entrant amb mes detall al seu contingut,direm que als capıtols 1 i 2 s’usa l’MBH pertrobar aproximacions de l’anomenada funcio deperıode de certes famılies d’equacions diferenci-als al pla. Aquesta funcio es util ja que apareixa l’estudi de certs models de fısica i ecologia,aixı com en l’estudi teoric de certes bifurcacionso en problemes de valor a la frontera. Laprincipal contribucio de la tesi en aquest temaha estat l’estudi analıtic paral·lel de la funcio deperıode i la constatacio que les aproximacionsobtingudes via l’MBH recullen moltes de lespropietats, tant locals com globals, d’aquestafuncio.Precisament la falta de justificacio teorica delsfets explicats en l’anterior paragraf ens va ferdesenvolupar el capıtol 3. En aquest, es demos-tra que prop de certes aproximacions obtingu-des usant l’MBH hi ha solucions periodiquesreals de l’equacio diferencial estudiada. Perobtenir els nostres resultats ens vam basaren resultats classics d’Urabe (1965) i Stokes(1972).A la segona part del treball s’aborden proble-mes quantitatius, dins de l’anomenada teoriaqualitativa de les equacions diferencials. Mesconcretament, en ambdos capıtols es deter-minen analıticament fites inferiors i superiors

dels valors de bifurcacio de dues famılies 1-parametriques d’equacions diferencials polino-mials. La diferencia principal entre el capıtol4 i el capıtol 5 es que en el primer la famıliaes el que s’anomena una famılia rotatoria, cosaque comporta que les bifurcacions estiguin mescontrolades. La segona no ho es i aleshores elproblema esdeve mes complicat.Per tal de trobar les fites comentades en elparagraf anterior s’introdueix un metode pera la construccio efectiva de corbes algebraiquessense contacte pel flux de l’equacio diferencial.Aquestes corbes son bones aproximacions deles separatrius, tant dels punts crıtics finitscom dels infinits. La comprovacio que aquestescorbes son sense contacte passa pel control delsigne de famılies 1-parametriques de polinomis.Per resoldre aquesta questio s’introdueix en latesi el concepte de doble discriminant. Aquestobjecte sera util en l’estudi de molts altresproblemes. A mes, el control del nombre decicles lımit de les equacions diferencials esfa al treball usant el criteri generalitzat deBendixson-Dulac. El pas final per veure queaquest criteri es pot aplicar passa tambe pelcontrol del signe d’un determinat polinomi i denou el doble discriminant te un paper rellevant.Els metodes desenvolupats en aquests doscapıtols permeten calcular aproximacions alge-braiques de les separatrius dels punts crıticsd’equacions diferencials al pla, aixı com de-terminar fites dels valors dels parametres quehi ha a les famılies d’equacions diferenci-als perque aquestes tinguin connexions ho-moclıniques o heteroclıniques. Idees similarsja s’han aplicat per exemple per determinarl’existencia o forma d’ones viatgeres per certesequacions en derivades parcials tipus Fisher-Kolmogorov i poden ser utilitzades en moltsaltres camps.

76

• Marta Canadell Cano va llegir la seva tesi, dirigida per Alex Haro,titulada Computation of normally hyperbolic invariant manifolds, el dia 4 dejuliol de 2014. La tesi correspon al Departament de Matematica Aplicada iAnalisi de la Universitat de Barcelona

Els sistemes dinamics estudien l’evolucio delssistemes respecte del temps. Els objectes inva-riants organitzen el comportament global d’unsistema dinamic, els mes simples dels qualsson els punts fixos i les orbites periodiques(aixı com les seves corresponents varietats in-variants). Les varietats invariants normalmenthiperboliques (NHIM forma abreviada provi-nent de l’angles) son alguns d’aquests objectesinvariants. L’objectiu principal d’aquesta tesies desenvolupar algoritmes eficients pel calculd’NHIM, donar-ne resultats teorics rigorososi implementar-los per explorar nous fenomensmatematics.Considerem difeomorfismes donats perF : R

m → Rm i un d-tor F -invariant

parametritzat per K : Td → Rm. Es a dir,

existeix un difeomorfisme f : Td → T

d (ladinamica interna) tal que satisfa l’equacio

F ◦K = K ◦ f, (1)

anomenada equacio d’invariancia.La nostra finalitat es solucionar aquesta equaciod’invariancia considerant dos possibles esce-naris: un en el qual no coneixem quina esla dinamica interna del tor (on K i f sonles nostres incognites), i un altre en el qualimposem que la dinamica interna sigui unarotacio rıgida amb frequencia quasi-periodica(on K es una incognita i f es la rotacio rıgida),pel qual necessitarem, a mes a mes, afegir unparametre ajustador a l’equacio (1). En ambdoscasos tambe estarem interessats en el calcul delsfibrats invariants estables i inestables.Els algoritmes que hem dissenyat per calcularNHIM estan inspirats en l’anomenat metode dela parametritzacio, que consisteix a resoldre l’e-quacio d’invariancia (1) usant un metode quasi-Newton aprofitant propietats de reductibilitat.Aixı, les equacions linealitzades que s’han deresoldre a cada pas del metode iteratiu es podenreduir a una forma mes senzilla (diagonal perblocs), gracies a la caracteritzacio de les NHIM.D’aquesta manera obtenim algoritmes molt efi-

cients (en velocitat d’execucio i requeriments dememoria), ja que les incognites son funcions detantes variables com les dimensions de l’objecteinvariant (no les dimensions totals de l’espaide fase), i les equacions linealitzades es podenresoldre facilment.

Pel cas particular de tors amb dinamica quasi-periodica, el metode implica tant tecniquesKAM com tecniques NHIM. En aquest cas,treballem amb famılies d-parametriques de di-feomorfismes analıtics. El metode esta basat enun esquema KAM en un format a-posterioriper calcular la parametritzacio del tor ambfrequencia fixada (una frequencia diofantica),on hem d’ajustar parametres del model permantenir fixada la frequencia. Aquest es unmetode constructiu que ens permet elaborarun teorema de validacio. Hem desenvolupat unteorema KAM en un format a-posteriori perprovar la convergencia de l’esquema iteratiui, llavors, provar l’existencia d’aquests torsquasi-periodics normalment hiperbolics. Aixıdoncs, si tenim una bona aproximacio iniciald’un tor quasi-periodic amb una frequenciadiofantica fixada, aleshores, sota certes con-dicions d’hiperbolicitat, no-degeneracio i no-ressonancia, existeix un tor invariant vertaderproper a l’inicial per a un cert valor delparametre. Emfatitzem que els tors quasi-periodics obtinguts pel nostre teorema sonanalıtics, en contrast amb els que s’obtenenamb la teoria general de varietats normal-ment hiperboliques, que son de diferenciabilitatfinita.

Els metodes d’aquesta tesi son de gran utilitatper a l’estudi de propietats dinamiques delssistemes dinamics, i atesa la precisio numericadels algoritmes, s’han pogut implementar endiferents exemples millorant resultats trobats ala literatura de les varietats invariants. S’hanimplementat ambdos algoritmes per tors dedimensio 1 (es a dir, cercles invariants) ensistemes dinamics discrets de dimensio 2 i 3,i en el cas de l’algoritme general, elaborat

77

per a tors amb dinamica desconeguda, tambepel calcul d’un cilindre normalment invarianten un sistema dinamic discret de dimensio 4.Tots aquests algoritmes han estat implementatsper a la continuacio respecte de parametres detors (i cilindres) invariants. En el cas de lacontinuacio de tors quasi-periodics, s’ha fet perun tor amb frequencia fixada, mentre que enel cas general s’ha realitzat independentment

de la dinamica interna del tor, permetent-nos aixı creuar ressonancies. Ates que un tornormalment hiperbolic es robust sota petitespertorbacions, un dels nostres interessos en lesimplementacions ha estat estudiar-ne la sevapersistencia sota pertorbacions i investigar-neels diferents tipus de trencaments, es a dir,investigar com es perd la hiperbolicitat normalde l’objecte.

• Meritxell Saez Cornellana va llegir la seva tesi, dirigida per JoanCarles Naranjo i Miguel Angel Barja, titulada On low degree curves in C(2),el dia 16 de juliol de 2014. La tesi correspon al Departament d’Algebra iGeometria de la Universitat de Barcelona

L’n-essim producte simetric d’una corbaalgebraica llisa es una varietat algebraica llisade dimensio n. Aquesta varietat ha estatampliament estudiada en ser, juntament ambel producte de corbes, la varietat irregularmes simple. El 2011 Mendes-Lopes, Pardinii Pirola publiquen una caracteritzacio sorpre-nentment simple d’aquestes varietats en di-mensio 2 a partir de l’existencia d’un divisoramb certes propietats numeriques. En la mevatesi he demostrat una generalitzacio del seuresultat en dimensio arbitraria. A partir del’existencia d’una cadena de subvarietats ambcertes propietats, el teorema diu que la varietatambient es isomorfa al producte simetric d’unacorba (de la dimensio corresponent).

D’altra banda, en l’ambit de la teoria de su-perfıcies irregulars no es conegut quins generespoden tenir les corbes immerses en superfıciesd’una certa irregularitat ni tampoc la sevageometria. En la part principal de la tesi heestudiat les corbes que viuen en el productesimetric d’una corba. He demostrat que existeix

un morfisme d’inclusio B1:1−→ C(2) amb imatge

(possiblement singular) de grau d si i nomes siexisteix un diagrama

D

(d:1)��

(2:1)// B

C

amb determinades propietats. A mes, dono unmetode per construir diagrames d’aquest tipusutilitzant l’accio d’un grup finit en una corba(que fara el paper de D en el diagrama). Pertant, no nomes queden caracteritzades sino quetenim un metode per construir-les. Utilitzantaquest resultat en la tesi s’estudien el tipus desingularitats que poden tenir aquestes corbesper graus baixos a mes de donar una formulaper l’autointerseccio de B dins de C(2) a partirde les dades del diagrama. En el cas de grau dos,una classificacio completa de totes les corbesamb autointerseccio positiva es detalla en elcos de la tesi. Es interessant remarcar quel’existencia d’aquestes corbes implica que lacorba C es biel·lıptica o hiperel·lıptica. Val lapena destacar que per a la realitzacio d’aquestaclassificacio, un ingredient fonamental ha estatl’accio de grups finits en una corba, ja queper al cas de grau dos, tots els diagrames coml’anterior que apareixen son, de manera natural,fruit de l’accio d’un grup generat per duesinvolucions en la corba D.

Una pregunta oberta i que ha estat inspira-dora per a la realitzacio d’aquesta tesi es lad’estudiar corbes de genere geometric entre lairregularitat i dos cops la irregularitat menys 1en una superfıcie irregular. Com a consequenciade la classificacio anterior queda demostrat queen el producte simetric d’una corba no hi hacorbes de grau dos amb genere geometric enaquest rang.

78

• Francesc Font Martinez va llegir la seva tesi, dirigida per TimothyMyers, titulada Beyond the classical Stefan problem, el dia 18 de juliol de2014. La tesi correspon al Departament de Matematica Aplicada I de laUniversitat Politecnica de Catalunya.

L’objectiu principal d’aquesta tesi ha estatestendre la formulacio classica del problema deStefan per permetre la modelitzacio de nousfenomens fısics en el camp de les transicionsde fase. En particular, l’estudi dut a termeaporta nous aspectes sobre la transicio solid-lıquid en nanopartıcules i en la solidificacio delıquids sotarefredats. La recerca en la nano-escala ha resultat particularment innovadora,i ha permes donar explicacio al comporta-ment de sistemes fısics al lımit de la teoriadel continu. La introduccio d’una temperaturavariable de canvi de fase ha estat una carac-terıstica comuna dels models desenvolupats enaquesta tesi, fet que ha portat a la revisiode la formulacio estandard del problema deStefan d’una fase per garantir la conservacio del’energia.En els capıtols 2 i 3 s’estudia la transicio solid-lıquid d’una nanopartıcula, acoblant la relaciode Gibbs-Thomson, que descriu la depressiode la temperatura de fusio en una superfıciecorba, amb l’equacio de la calor per la fasesolida i lıquida, i la condicio de Stefan. Elsresultats obtinguts mitjancant aquest modelhan permes confirmar la transicio ultrarapidade solid a lıquid observada en els experimentsamb nanopartıcules [1, 2].En el capıtol 4 es proposa i s’analitza un modelmatematic que descriu la solidificacio de lıquidssotarefredats, mitjancant la incorporacio d’unarelacio no lineal entre la temperatura de transi-cio i la velocitat del front de solidificacio. Entred’altres, els resultats mostren com la solucioclassica de Neumann es totalment inadecuadaper descriure aquest tipus de proces, ja quesobreestima de manera significativa la velocitatdel front de solidificacio [3].En els casos en que la temperatura de tran-sicio de fase es variable s’ha constatat que

la simplificacio d’una fase del problema deStefan no conserva l’energia. En els capıtols 5i 6, s’examinen les diferents reduccions d’unafase del problema de Stefan en el cas en quela temperatura de transicio depen del temps.A mes, es deriva un model d’una fase ambtemperatura de canvi de fase variable, valid pera geometries esferiques, cilındriques i planes,que resulta satisfactori en comparar-lo amb lasolucio del problema de Stefan de dues fases[4, 5].

Referencies

[1] F. Font, T. G. Myers, S. L. Mitchell,≪A mathematical model for nanoparticlemelting with density change≫. Microfluidicsand Nanofluidics, DOI: 10.1007/s10404-014-1423-x (2014).

[2] F. Font, T. G. Myers, ≪Spherically sym-metric nanoparticle melting with a variablephase change temperature≫. Journal of Na-noparticle Research, 15 (2013), 2086.

[3] F. Font, S. L. Mitchell, T. G. Myers, ≪One-dimensional solidification of supercooledmelts≫. International Journal of Heat andMass Transfer, 62 (2013), 411–421.

[4] T. G. Myers, F. Font, ≪On the one-phasereduction of the Stefan problem with avariable phase change temperature≫. In-ternational Communications on Heat andMass Transfer. (Acceptat, Oct. 2014).

[5] T. G. Myers, S. L. Mitchell, F. Font,≪Energy conservation in the one-phase su-percooled Stefan problem≫. InternationalCommunications on Heat and Mass Trans-fer, 39 (2012), 1522–1225.

79

• Abel Gargallo-Peiro va llegir la seva tesi, dirigida per Xevi Roca i JosepSarrate, titulada Validation and generation of curved meshes for high-orderunstructured methods, el dia 25 de juliol de 2014. La tesi correspon alDepartament de Matematica Aplicada III de la Universitat Politecnica deCatalunya.

En aquesta tesi es presenta un nou marc pervalidar i generar malles corbes d’alt ordre per amodels geometrics complexos. L’aplicacio prin-cipal dels metodes proposats es la generacio demalles aptes per realitzar analisis amb elementsfinits mitjancant metodes d’alt ordre no estruc-turats. Es important recalcar que la manca d’unmallador robust i automatic per a malles corbeses un dels problemes principals que ha obstacu-litzat la introduccio dels metodes d’alt ordre ala industria. Concretament, sense malles corbesd’alt ordre compostes per elements valids i talsque encaixin amb el contorn del domini, lestaxes de convergencia dels metodes d’alt ordreno es poden assolir. La motivacio principald’aquest treball es, per tant, proporcionar unnou marc que corregeixi aquestes mancances.En primer lloc, proposem una nova mesurade distorsio (qualitat) per a malles corbes dequalsevol grau polinomic. Les mesures presen-tades permeten validar si una malla d’alt ordrees apta per a l’analisi d’elements finits ambmetodes d’alt ordre no estructurats. En parti-cular, donat un element d’alt ordre, la mesurade qualitat assigna valor zero si l’element esinvalid, i valor u si l’element es correspon ambla configuracio ideal triada (mida i distribucionodal desitjades). A mes a mes, demostremque si la qualitat d’un element es major quezero, la regio en la qual el determinant de lajacobiana de l’element es no positiva te mesurazero. Presentem diversos exemples per il·lustrarque les mesures proposades poden ser usadesper validar malles d’alt ordre isotropiques i decapa lımit.

En segon lloc, desenvolupem un metode persuavitzar i desenredar malles d’alt ordre. Es-pecıficament, proposem una minimitzacio nolineal global de la mesura de distorsio. Ladistorsio es regularitzada per permetre desen-redar malles que continguin elements invalids.D’altra banda, el proces d’optimitzacio preser-

va, quan es possible, diverses caracterıstiquesgeometriques de la malla lineal (forma delselements, costats rectes, i mida). Per mitjade diversos exemples mostrem que la imple-mentacio del proces d’optimitzacio es robustai capac de lidiar amb configuracions en lesquals la malla inicial conte un gran nombred’elements invalids. Considerem casos ambmalles de fins a grau polinomic deu, gransdeformacions dels contorns corbs, contornsconcaus, i malles de capa lımit amb unes granscompressions.

En tercer lloc, estenem la definicio de mesura dedistorsio i qualitat a malles corbes d’alt ordreamb els nodes en superfıcies parametritzades.Usant aquesta definicio, proposem tambe unprocediment de suavitat i desenredat per amalles en superfıcies CAD. Aquest procedimentesta expressat en termes de les coordenadesparametriques dels nodes de la malla perimposar que els nodes estiguin sempre sobre lageometria CAD. A la vegada, demostrem que elprocediment es independent de la parametrit-zacio de la superfıcie. Per tant, el metode potoptimitzar malles a superfıcies CAD que esti-guin definides per parametritzacions de baixaqualitat.

Finalment, proposem un nou metode per ge-nerar malles corbes d’alt ordre, mitjancant unprocediment a posteriori. El procediment con-sisteix a modificar una malla linear introduintprimer nodes d’alt ordre. En segon lloc, esdesplacen els nodes de contorn per assegurarque estan exactament sobre la superfıcie CAD.I en tercer lloc, se suavitza i desenreda la mallaper obtenir una malla final d’alt ordre corbaque sigui valida. Finalment, incloem diversosexemples amb que mostrem que les malles ge-nerades son aptes per fer analisis amb elementsfinits mitjancant metodes no estructurats d’altordre.

80

• Andre Suess va llegir la seva tesi, dirigida per Marta Sanz i Sole, tituladaContributions to stochastic integration and stochastic partial differentialequations, el dia 5 de setembre de 2014. La tesi correspon al Departamentde Probabilitat, Logica i Estadıstica de la Universitat de Barcelona

L’objecte principal d’estudi d’aquesta tesison les equacions en derivades parcials es-tocastiques (EDPE). Aquestes venen donadesper la relacio

Lu(t, x) = b(t, x, u(t, x))+σ(t, x, u(t, x))F (t, x),(1)

on L es un operador diferencial parcial (linealo no lineal), b i σ son funcions reals, i Fes un soroll aleatori, que es pot entendrecom la derivada (distribucional) d’un campaleatori F = (F (t, x); (t, x) ∈ [0, T ] × R

d)en temps i espai amb T > 0. Aquest campaleatori pot tenir correlacio en l’espai. En el casque no tinguem l’argument espacial, l’EDPE(1) es redueix al cas d’equacions diferencialsordinaries estocastiques. Encara que no estiguiescrit explıcitament, el soroll F depen de l’ar-gument aleatori ω, i conseguentment u tambe.Com que les trajectories del camp aleatoriF habitualment son irregulars, les trajectoriesd’u no pertanyen al domini de l’operador L il’equacio (1) no te sentit. Aquest problema espot resoldre reformulant (1) com una equaciointegral, fent servir integrals estocastiques.Hi ha diversos metodes, pero el metode mes uti-litzat aquı es l’anomenat metode de solucionsde tipus camp aleatori. La idea principal es lautilitzacio de la solucio fonamental de l’EDPassociada a (1), donada per Lu(t, x) = 0. Uncop obtinguda, es pot calcular, seguint la teoriaclassica d’EDP, la solucio d’una EDP no ho-mogenia utilitzant la convolucio del costat dretamb la solucio fonamental. En el cas estocastic,tambe s’usa aquesta idea i la convolucio dela solucio fonamental amb el soroll aleatorial costat dret en (1) s’interpreta com unaconvolucio estocastica, en que l’integrador potser una mesura aleatoria o un proces estocastic.Mes especıficament, utilitzant aquesta idea,l’equacio (1) es pot reescriure com l’equaciointegral

u(t, x) =

I0(t, x) +

∫ t

0

∫

Rd

Λ(t, s, x, y)b(s, y, u(s, y))dyds

+

∫ t

0

∫

Rd

Λ(t, s, x, y)σ(s, y, u(s, y))M(ds, dy),

(2)

on Λ es la solucio fonamental de l’EDP asso-ciada Lu = 0 i M es la mesura martingalaassociada a F . La forma concreta de la soluciofonamental determina de forma crucial comes pot analitzar l’equacio integral (2). Potser una funcio, una distribucio no negativa ouna distribucio no necessariament no negativa,cada cas esta subjecte a certes condicionsd’integrabilitat.

Els resultats mes importants d’aquesta tesi sonla descripcio de la llei de probabilitat de lasolucio u(t, x) a cada punt (t, x) ∈ (0, T ] × R

d.Mes especıficament, en el cas que Λ es unadistribucio no necessariament no negativa, de-mostem que u(t, x) es diferenciable en el sentitde Malliavin i que la derivada de Malliavinsatisfa una EDPE en un espai de Hilbert. A mesdemostrem que diverses integrals estocastiquescom aquella que apareix en (2) coincideixen itrobem un resultat que permet commutar laintegral de Lebesgue i l’operador de la derivadade Malliavin en aquest context. Finalmentobtenim que la llei de probabilitat d’u(t, x) esabsolutament contınua. En el cas que Λ es unadistribucio no negativa, considerem una famıliad’EDPE com (1), en que el soroll F es substituıtper εF , amb un parametre ε ∈ (0, 1]. Quanε ↓ 0, la famılia de les solucions (uε)ε∈(0,1]convergeix puntualment cap a la solucio del’EDP determinista sense el terme de soroll.Per tant, per a tot (t, x) ∈ (0, T ] × R

d, lesdensitats pεt,x de les distribucions de probabi-litat de uε(t, x) haurien de convergir cap a lesdistribucions de Dirac δu0(t,x). El resultat mesimportant es justificar aquest comportamentasimptotic de les densitats quan ε ↓ 0 i cal-cular la velocitat amb que es produeix aquestaconvergencia. Com a resultat secundari, trobemuna caracteritzacio del suport topologic de ladistribucio de probabilitat de u(t, x) per cada(t, x) ∈ [0, T ] × R

d.

81

A mes demostrem l’existencia i unicitat dela solucio si L es un operador diferencial hi-perbolic amb coeficients variables i la derivacio

d’una teoria d’integracio estocastica respecte aprocessos estocastics del tipus ≪solucio d’unaEDPE≫.

• Elisa Lorenzo Garcıa va llegir la seva tesi, dirigida per Joan-Carles LarioLoyo, titulada Arithmetic properties of non-hyperelliptic genus 3 curves, eldia 10 de setembre de 2014. La tesi correspon al Departament de MatematicaAplicada II de la Universitat Politecnica de Catalunya.

En aquesta tesi s’aborden principalment dosproblemes. El primer d’ells es l’estudi d’unmetode per calcular el conjunt de twists decorbes no hiperel.lıptiques, mentre que el segon

se centra en l’estudi de la conjectura de Sato-Tate. En ambdos casos, s’obtenen resultatssobre propietats aritmetiques de corbes nohiperel.lıptiques de genere 3.

1. Propietats aritmetiques de corbes. Perpropietats aritmetiques d’una corba ens referima les propietats codificades en la funcio Lde la corba. En particular, en la informaciodonada pels seus factors locals, que en elsprimers de bona reduccio es pot interpretarcom el polinomi caracterıstic de l’endomorfismede Frobenius. Dues corbes definides sobre uncos k i isomorfes sobre k tenen per tant lesmateixes propietats aritmetiques. Tanmateix,dues corbes definides sobre k i isomorfes so-bre k, i per tant definint el mateix objectegeometric, poden tenir propietats aritmetiquescompletament diferents. Aixı doncs, un bonpunt de partida per estudiar les propietatsaritmetiques d’una corba es estudiar el conjuntdels seus twists.

2. Twists de corbes. El calcul dels twists decorbes de genere 0 i 1 definides sobre cossos denombres es un resultat classic, mentre que elcalcul dels twists de corbes de genere 2 definidessobre un cos de nombres es degut al treball deCardona i Quer (2001). Totes aquestes corbesresulten ser hiperel.lıptiques. A partir de genere3, pero, aixo deixa de ser cert i la majoria decorbes son no hiperel.lıptiques.

En aquesta tesi es desenvolupa un metode quepermet calcular el conjunt de twists d’unacorba no hiperel.lıptica i les equacions queels defineixen. El metode es basa en unacorrespondencia entre el conjunt de twists i elconjunt de solucions a un problema d’immersiode Galois. El metode per calcular les equacionsexplıcites dels twists es basa en l’estudi d’una

certa representacio de Galois en el conjunt dediferencials regulars de la corba de partida.

Com a aplicacio d’aquest metode, a la tesies calculen els twists de les corbes no hi-perel.lıptiques de genere 3. Es a dir, de lesquartiques planes llises definides sobre un cosde nombres arbitrari. Abans de poder aplicarel metode ha calgut donar una descripcioparticularment precisa de l’estratificacio pergrup d’automorfismes de l’espai de moduli decorbes de genere 3. D’aquesta manera oferimel que hem anomenat classificacio modificadade Henn de quartiques planes llises amb grupd’automorfismes no trivial.

3. La conjectura de Sato-Tate. La darrerapart de la tesi esta dedicada a l’estudi de laconjectura de Sato-Tate. Aquesta conjecturaprediu la distribucio del nombre de puntsracionals sobre cossos finits d’una corba donadaen termes del seu grup de Sato-Tate. S’hademostrat la conjectura per al conjunt de twistsde les quartiques de Fermat i de Klein, i a mess’han calculat explıcitament els grups i les dis-tribucions de Sato-Tate corresponents. Aixı, esmostren doncs nous exemples de distribucionsde Sato-Tate.

Finalment, s’ha estudiat tambe la conjecturade Sato-Tate en el cas particular de les hipersu-perfıcies de Fermat. Sota certes condicions, s’hademostrat la conjectura per a aquesta famılia,i s’ha dissenyat un algorisme per al calculexplıcit dels grups i les distribucions de Sato-Tate per a cada hipersuperfıcie de Fermat. Ames, s’enuncia una conjectura amb una formulatancada per al grup de Sato-Tate.

82

• Pedro Daniel Prieto Martınez va llegir la seva tesi, dirigida perNarciso Roman Roy, titulada Geometrical structures of higher-orderdynamical systems and field theories, el dia 2 d’octubre de 2014. La tesicorrespon al Departament de Matematica Aplicada IV de la UniversitatPolitecnica de Catalunya.

La fısica geometrica es una branca relativamentjove de la matematica aplicada que es vainiciar als anys seixanta i setanta quan A.Lichnerowicz, W. M. Tulczyjew i J. M. Souriau,entre molts altres, van comencar a estudiardiversos problemes en fısica usant metodes degeometria diferencial. Aquesta ≪geometritza-cio≫ proporciona una manera d’analitzar lescaracterıstiques dels sistemes fısics des d’unaperspectiva global, obtenint aixı propietatsqualitatives que faciliten la integracio de lesequacions que els descriuen.Des d’aleshores s’ha produıt un fort desen-volupament en el tractament intrınsec d’unagran varietat de problemes en fısica teorica,matematica aplicada i teoria de control usantmetodes de geometria diferencial. Gran part deltreball dut a terme en la fısica geometrica desdels seus primers dies s’ha centrat en l’estudi deteories de primer ordre, es a dir, models fısicstals que la informacio fısica depen de, com amolt, derivades de primer ordre de les coor-denades de posicio generalitzades (velocitats).Tanmateix, hi ha teories en fısica en les qualsla informacio fısica depen de manera explıcitad’acceleracions o derivades d’ordre superiorde les coordenades de posicio generalitzades,requerint, per tant, eines geometriques messofisticades per modelar-les de manera acurada.

Els sistemes dinamics d’ordre superior juguenun paper molt rellevant en certes branquesde la fısica teorica, la matematica aplicada il’analisi numerica. En particular, apareixen enla descripcio matematica de la interaccio departıcules relativistes amb spin, en models

de teories de cordes de Polyakov i d’altres,en el lagrangia de Hilbert per a la teoria dela gravitacio, en la generalitzacio de l’elec-tromagnetisme de Podolsky, i en molts altressistemes. D’altra banda, els sistemes d’ordresuperior tambe apareixen en alguns problemesde mecanica de fluids i fısica classica, i enmodels numerics obtinguts mitjancant la dis-cretitzacio de sistemes dinamics de primer or-dre que preservin les estructures geometriquesinherents al sistema. En aquest tipus de teories,la informacio fısica te dependencia explıcitad’acceleracions o derivades d’ordre superior deles coordenades de posicio generalitzades.

L’objectiu d’aquesta tesi doctoral ha estatobtenir models geometrics d’algunes d’aquestesteories fısiques. En particular, hem modelatsistemes dinamics i teories de camps talsque la seva informacio dinamica ve donadaen termes d’una funcio lagrangiana, o d’unhamiltonia que prove d’un sistema lagrangia.Per ser mes precisos hem emprat la formulaciounificada Lagrangiana-Hamiltoniana per tal dedesenvolupar marcs geometrics adequats per asistemes dinamics d’ordre superior autonoms ino autonoms, i per a teories de camps de segonordre. Mitjancant aquests marcs geometricshem estudiat alguns exemples fısics rellevants ialgunes aplicacions, com la teoria de Hamilton-Jacobi per a sistemes mecanics d’ordre superi-or, partıcules relativistes amb spin i problemesde deformacio en mecanica, aixı com l’equaciode Korteweg–de Vries i altres sistemes enteories de camps.

83

Handbook of Hilbert Geometry (IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics Vol. 22)Athanase Papadopoulos (Université de Strasbourg, France) and Marc Troyanov (École Polytechnique Fédérale de Lausanne, Switzerland), Editors

ISBN 978-3-03719-147-7. 2014. 460 pages. Hardcover. 17 x 24 cm. 78.00 Euro

This volume presents surveys, written by experts in the field, on various classical and the modern aspects of Hilbert geometry. They are assuming several points of view: Finsler geometry, calculus of variations, projective geometry, dynamical systems, and others. Some fruitful relations between Hilbert geometry and other subjects in mathematics are emphasized, including Teichmüller spaces, convexity theory, Perron–Frobenius theory, representation theory, partial differential equations, coarse geometry, ergodic theory, algebraic groups, Coxeter groups, geometric group theory, Lie groups and discrete group actions.The Handbook is addressed to both students who want to learn the theory and researchers working in the area.

Hans Triebel (University of Jena, Germany)Hybrid Function Spaces, Heat and Navier–Stokes Equations (Tracts in Mathematics Vol. 24)

ISBN 978-3-03719-150-7. 2015. 196 pages. Hardcover. 17 x 24 cm. 48.00 Euro

This book is the continuation of Local Function Spaces, Heat and Navier–Stokes Equations (Tracts in Mathematics 20, 2013) by the author. A new approach is presented to exhibit relations between Sobolev spaces, Besov spaces, and Hölder–Zygmund spaces on the one hand and Morrey–Campanato spaces on the other. Morrey–Campanato spaces extend the notion of functions of bounded mean oscillation. These spaces play a crucial role in the theory of linear and nonlinear PDEs.Chapter 1 (Introduction) describes the main motivations and intentions of this book. Chapter 2 is a selfcontained introduction into Mor-rey spaces. Chapter 3 deals with hybrid smoothness spaces (which are between local and global spaces) in Euclidean n-space based on the Morrey–Campanato refinement of the Lebesgue spaces. The presented approach relies on wavelet decompositions. This is applied in Chapter 4 to linear and nonlinear heat equations in global and hybrid spaces. The obtained assertions about function spaces and nonlinear heat equations are used in the Chapters 5 and 6 to study Navier–Stokes equations in hybrid and global spaces.This book is addressed to graduate students and mathematicians having a working knowledge of basic elements of (global) function spaces, and who are interested in applications to nonlinear PDEs with heat and Navier–Stokes equations as prototypes.

Individual members of the EMS, member

societies or societies with a reciprocity agree-

ment (such as the American, Australian and

Canadian Mathematical Societies) are entitled

to a discount of 20% on any book purchases, if

ordered directly at the EMS Publishing House.

European Mathematical Society Publishing HouseSeminar for Applied Mathematics, ETH-Zentrum SEW A27

Scheuchzerstrasse 70CH-8092 Zürich, Switzerland

orders@ems-ph.orgwww.ems-ph.org

New books published by the

Armen Sergeev (Steklov Mathematical Institute, Moscow, Russia)Lectures on Universal Teichmüller Space (EMS Series of Lectures in Mathematics)

ISBN 978-3-03719-141-5. 2014. 112 pages. Softcover. 17 x 24 cm. 24.00 Euro

This book is based on a lecture course given by the author at the Educational Center of Steklov Mathematical Institute in 2011. It is designed for a one semester course for undergraduate students, familiar with basic differential geometry, complex and functional analysis.The universal Teichmüller space is the quotient of the space of quasisymmetric homeomorphisms of the unit circle modulo Möbius transformations. The first part of the book is devoted to the study of geometric and analytic properties of . It is an infinite-dimensional Kähler manifold which contains all classical Teichmüller spaces of compact Riemann surfaces as complex submanifolds which explains the name “universal Teichmüller space”. Apart from classical Teichmüller spaces, contains the space of diffeomorphisms of the circle modulo Möbius transformations. The latter space plays an important role in the quantization of the theory of smooth strings. The quantization of is presented in the second part of the book. In contrast with the case of diffeomorphism space , which can be quantized in frames of the conventional Dirac scheme, the quantization of requires an absolutely different approach based on the noncommutative geometry methods.The book concludes with a list of 24 problems and exercises which can be used during the examinations.

Valuation Theory in Interaction (EMS Series of Congress Reports)Antonio Campillo (Universidad de Valladolid, Spain), Franz-Viktor Kuhlmann (University of Saskatchewan, Saskatoon, Canada) and Bernard Teissier (Université de Paris Rive Gauche, France), Editors

ISBN 978-3-03719-149-1. 2014. 670 pages. Hardcover. 17 x 24 cm. 98.00 Euro

Having its classical roots, since more than a century, in algebraic number theory, algebraic geometry and the theory of ordered fields and groups, valuation theory has seen an amazing expansion into many other areas in recent decades. Moreover, having been dormant for a while in algebraic geometry, it has now been reintroduced as a tool to attack the open problem of resolution of singularities in positive characteristic and to analyse the structure of singularities. Driven by this topic, and by its many new applications in other areas, also the research in valuation theory itself has been intensified, with a particular emphasis on the deep open problems in positive characteristic.The book presents high quality research and survey papers and is of interest to researchers and graduate students who work in valua-tion theory, as well as a general mathematical audience interested in the expansion and usefulness of the approach.

SOCIETAT CATALANA DE MATEMATIQUES

Filial de l’Institut d’Estudis Catalans

Carrer del Carme, 47, 08001 Barcelona

c/e: scm@iecat.net Adreca web: http://www.iecat.net/scm

Sol.licitud d’inscripcio com a soci de la SCM o actualitzacio de dades

(cal imprimir-a, omplir-la, signar-la i enviar-la a la SCM per correu electronic, fax o correu ordinari)

Tipus de soci: Ordinari Estudiant∗ Institucio

En reciprocitat. Soc soci de(Al web trobareu la llista de societats amb les quals la SCM te acords de reciprocitat.)

Nom i cognoms:o institucio

Adreca: Codi postal:

Poblacio: NIF:

Correu electronic: Telefon: Fax:

Lloc d’estudi o de treball:

Dades per a la domiciliacio bancaria

Qui signa aquest document autoritza que anualment es faci efectiu el rebut de soci de la Societat

Catalana de Matematiques a nom de

a la llibreta d’estalvi / el compte / la targeta de credit que s’indica seguidament:

Titular del compte o targeta :

Entitat bancaria:

Adreca de l’oficina:

Codi de l’entitat, oficina i digits de control:

Numero del compte o llibreta:

Targeta de credit: Caducitat:

Data: NIF:

Signat:

Signatura

Envieu la butlleta d’inscripcio i l’ordre de domiciliacio, que trobareu al web de la SCM, http://blogs.iec.cat/

scm/la-societat/fes-ten-soci/, per correu postal o correu electronic, emplenada i signada.

Les quotes per a l’any 2015 son les seguents: 36 euros socis ordinaris, 18 euros socis estudiants i membres de

societats amb conveni de reciprocitat i 72 euros institucions.

D’acord amb la Llei organica 15/1999, del 13 de desembre, de proteccio de dades de caracter personal, us informem

que les vostres dades seran incorporades en un fitxer que es responsabilitat de l’Institut d’Estudis Catalans, amb la

finalitat de gestionar els socis i d’enviar comunicacions de les activitats i publicacions de la Societat i de l’Institut

d’Estudis Catalans (IEC). Podeu exercir els drets d’acces, rectificacio, cancel.lacio i oposicio de les vostres dades

personals adrecant-vos per escrit a l’Institut d’Estudis Catalans (carrer del Carme, 47, 08001 Barcelona) o be

enviant un correu electronic a l’adreca lopd@iec.cat.

∗Cal adjuntar fotocopia del comprovant de la matrıcula

37

Febr

er

20

15

SCM / Notícies / 37Edita la Societat Catalana de MatemàtiquesFilial de l’Institut d’Estudis Catalans

• Barcelona Mathematical Days 2014

• Nova revista Reports@SCM

• 11a Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques

• Premi Abel 2014

Institutd’Estudis

Catalans

Fórmules matemàtiquesi filatèlia

Cob SCM Num 37.pdf 1 20/03/15 10:40