cÁlculo una variable -...

T H O M A SC Á L C U L OU N A VA R I A B L E

UNDÉCIMA EDICIÓN

REGLAS DE DERIVACIÓN

Fórmulas generales

Suponiendo que u y v son funciones diferenciables de x.

Funciones trigonométricas

Funciones exponenciales y logarítmicas

ddx

ax = ax ln a ddx

sloga xd =1

x ln a

ddx

ex = ex ddx

ln x = 1x

ddx

scot xd = -csc2 x ddx

scsc xd = -csc x cot x

ddx

stan xd = sec2 x ddx

ssec xd = sec x tan x

ddx

ssen xd = cos x ddx

scos xd = -sen x

ddx

sƒsgsxdd = ƒ¿sgsxdd # g¿sxdRegla de la cadena: ddx

xn = nxn - 1Potencia:

ddx

auy b =y

dudx

- u dydx

y2Cociente:

ddx

suyd = u dydx

+ y dudx

Producto: ddx

scud = c dudx

Múltiplo constante: ddx

su - yd = dudx

- dydx

Diferencia: ddx

su + yd = dudx

+ dydx

Suma: ddx

scd = 0Constante: Funciones trigonométricas inversas

Funciones hiperbólicas

Funciones hiperbólicas inversas

Ecuaciones paramétricas

Si y son diferenciables, entonces

y¿ =dydx

=dy>dtdx>dt y d2ydx2 = dy¿>dtdx>dt

y = gstdx = ƒstd

ddx

scoth-1 xd = 11 - x2

ddx

scsch-1 xd = - 1ƒ x ƒ21 + x2

ddx

stanh-1 xd = 11 - x2

ddx

ssech-1 xd = - 1x21 - x2

ddx

ssenh-1 xd = 121 + x2

ddx

scosh-1 xd = 12x2 - 1

ddx

scoth xd = -csch2 x ddx

scsch xd = -csch x coth x

ddx

stanh xd = sech2 x ddx

ssech xd = -sech x tanh x

ddx

ssenh xd = cosh x ddx

scosh xd = senh x

ddx

scot-1 xd = - 11 + x2 d

dx scsc-1 xd = - 1

ƒ x ƒ2x2 - 1

ddx

stan-1 xd = 11 + x2 d

dx ssec-1 xd = 1

ƒ x ƒ2x2 - 1

ddx

ssen-1 xd = 121 - x2 d

dx scos-1 xd = - 1

21 - x2

C Á L C U L OU N A V A R I A B L EU N D É C I M A E D I C I Ó N

George B.Thomas, Jr.Massachusetts Institute of Technology

Revisado por:Maurice D.Weir Joel Hass Frank R. Giordano

Naval Postgraduate School University of California, Davis Naval Postgraduate School

Dr. Carlos Bosh GiralDepartamento de MatemáticasInstituto Tecnológico Autónomo de México(ITAM)

César Luis García García Departamento de MatemáticasInstituto Tecnológico Autónomo de México(ITAM)

Claudia Gómez Wulschner Departamento de MatemáticasInstituto Tecnológico Autónomo de México(ITAM)

Mauricio Pedraza PérezDepartamento de MatemáticasEscuela Superior de Ingeniería Mecánicay EléctricaUnidad AzcapotzalcoInstituto Politécnico Nacional

María Elisa Barrón García, M.E.Instituto Tecnológico y de EstudiosSuperiores de Monterreycampus Guadalajara

Roberto Núñez Malherbe Instituto Tecnológico de Estudios Superiores de Occidente (ITESO)

Francisco Javier González PiñaDepartamento de Matemáticas, CUCEIUniversidad de Guadalajara

Carlos J. Zea RiveraCoordinación de Ciencias Físico-MatemáticasUniversidad Iberoamericanacampus Torreón

José BottoUniversidad Nacional de Rosario, Facultadde Ciencias Exactas, Ingeniería y AgrimensuraArgentina

Emilio Sastre Universidad Nacional de Rosario, Facultadde Ciencias Exactas, Ingeniería y AgrimensuraArgentina

Antonio Merchan Abril Coordinador Cálculo DiferencialDepartamento de Matemáticas Pontificia Universidad Javeriana Colombia

Óscar Andrés Montaño CarreñoDepartamento de Ciencias Naturalesy MatemáticasPontificia Universidad JaverianaColombia

Leonardo SánchezProfesor del Departamento de IngenieríaMatemáticaFacultad de Ciencias Físicas y MatemáticasUniversidad de Chile

René Jorge Piedra de la TorreDirector del Departamento de Matemática yFísicaPontificia Universidad Católica Madre yMaestraRepública Dominicana

María Rosa BritoProfesora de CálculoUniversidad Simón Bolívar,Venezuela

Antonio José Syers Hernández Coordinador de CálculoUniversidad Metropolitana,Venezuela

TRADUCCIÓN

REVISIÓN TÉCNICA

Elena de Oteyza de Oteyza Víctor Hugo Ibarra MercadoInstituto de Matemáticas, Escuela Superior de Física y MatemáticasUniversidad Nacional Autónoma de México Instituto Politécnico Nacional

Authorized translation from the English language edition, entitled Thomas’ calculus 11th ed., George B. Thomas, Jr., published by Pearson Education, Inc.,publishing as Addison Wesley, Copyright © 2005. All rights reserved.ISBN 0-321-185587

Traducción autorizada de la edición en idioma inglés, titulada Thomas’ calculus 11a ed., de George B. Thomas, Jr., publicada por Pearson Education, Inc.,publicada como Addison Wesley, Copyright © 2005. Todos los derechos reservados.

Esta edición en español es la única autorizada.

Edición en españolEditor: Enrique Quintanar Duarte

e-mail: [email protected] de desarrollo: Miguel B. Gutiérrez HernándezSupervisor de producción: José D. Hernández Garduño

Datos de catalogación bibliográfica

THOMAS, JR., GEORGE B.

Cálculo. Una variable. Undécima edición

PEARSON EDUCACIÓN, México, 2006

ISBN: 970-26-0643-8 Área: Universitarios

Formato: 21 × 27 cm Páginas: 824

Edición en inglés:Publisher: Greg Tobin Acquisitions Editor: Willliam Hoffman Managing Editor: Karen Wernholm Senior Project Editor: Rachel S. Reeve Editorial Assistants: Mary Reynolds, Emily Portwood Production Supervisor: Julie LaChance James Marketing Manager: Phyllis Hubard Marketing Assistant: Heather Peck Senior Manufacturing Buyer: Evelyn Beaton

Senior Prepress Supervisor: Caroline Beaton Associate Media Producer: Sara Anderson Software Editors: David Malone, Bob Carroll Senior Author Suppor/Technology Specialist: Joe Vetere Supplements Production Supervisor: Sheila Spinney Composition and Production Services: Nesbitt Graphics, Inc. Illustrations: Techsetters, Inc. Senior Designer: Geri Davis/The Davis Group, Inc. Cover Design: Barbara T. Atkinson Cover Photograph: © Benjamin Mendlowitz

UNDÉCIMA EDICIÓN, 2006

D.R. © 2006 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Atlacomulco núm. 500, 5° pisoCol. Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Juárez, Edo. de MéxicoE-mail: [email protected]

Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperaciónde información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabacióno cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.

El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes.

ISBN 970-26-0643-8

Impreso en México. Printed in Mexico.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 09 08 07 06

Dedicado a

Ross Lee Finney III

(1933-2000)

profesor, mentor, autor,

gran persona, y amigo de todos

CONTENIDO

Prefacio ix

Volumen I

1 Preliminares 11.1 Los números reales y la recta real 11.2 Rectas, círculos y parábolas 91.3 Funciones y sus gráficas 191.4 Identificación de funciones: modelos matemáticos 281.5 Combinación de funciones; traslaciones y cambio de escala en gráficas 381.6 Funciones trigonométricas 481.7 Graficación con calculadoras y computadoras 59

PREGUNTAS DE REPASO 68EJERCICIOS DE PRÁCTICA 69EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 71

2 Límites y continuidad 732.1 Razón de cambio y límites 732.2 Cálculo de límites mediante las leyes de los límites 842.3 La definición formal de límite 912.4 Límites laterales y límites al infinito 1022.5 Límites infinitos y asíntotas verticales 1152.6 Continuidad 1242.7 Tangentes y derivadas 134


3 Derivadas 1473.1 La derivada como una función 1473.2 Reglas de diferenciación 159

iii

3.3 La derivada como razón de cambio 1713.4 Derivadas de funciones trigonométricas 1833.5 Regla de la cadena y ecuaciones paramétricas 1903.6 Diferenciación implícita 2053.7 Razones de cambio o tasas relacionadas 2133.8 Linealización y diferenciales 221


4 Aplicaciones de las derivadas 2444.1 Valores extremos de una ecuación 2444.2 El teorema del valor medio 2554.3 Funciones monótonas y el criterio de la primera derivada 2624.4 Concavidad y trazado de curvas 2674.5 Problemas de optimización aplicados 2784.6 Formas indeterminadas y la regla de L’Hôpital 2924.7 El método de Newton 2994.8 Antiderivadas 307


5 Integración 3255.1 Estimación con sumas finitas 3255.2 Notación sigma y límites de sumas finitas 3355.3 La integral definida 3435.4 El teorema fundamental del cálculo 3565.5 Las integrales indefinidas y la regla de sustitución 3685.6 Sustitución y áreas entre curvas 376


6 Aplicaciones de las integrales definidas 3966.1 Cálculo de volúmenes por secciones transversales y por rotación

alrededor de un eje 3966.2 Cálculo de volúmenes por medio de casquillos cilíndricos 4096.3 Longitudes de curvas planas 4166.4 Momentos y centro de masa 4246.5 Áreas de superficies de revolución y el teorema de Pappus 4366.6 Trabajo 4476.7 Presiones y fuerzas en fluidos 456

iv Contenido


7 Funciones trascendentes 4667.1 Funciones inversas y sus derivadas 4667.2 Logaritmos naturales 4767.3 La función exponencial 4867.4 y log 4957.5 Crecimiento y decaimiento exponenciales 5027.6 Razones de crecimiento relativas 5117.7 Funciones trigonométricas inversas 5177.8 Funciones hiperbólicas 535


8 Técnicas de integración 5538.1 Fórmulas básicas de integración 5538.2 Integración por partes 5618.3 Integración de funciones racionales por medio de fracciones parciales 5708.4 Integrales trigonométricas 5818.5 Sustituciones trigonométricas 5868.6 Tablas de integrales y sistemas de álgebra por computadora (SAC) 5938.7 Integración numérica 6038.8 Integrales impropias 619


9 Aplicaciones adicionales de integración 6429.1 Campos de pendientes y ecuaciones diferenciables separables 6429.2 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 6509.3 Método de Euler 6599.4 Soluciones gráficas de ecuaciones diferenciales autónomas 6659.5 Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de primer orden 673


a xax

Contenido v

Volumen II

10 Secciones cónicas y coordenadas polares 68510.1 Secciones cónicas y ecuaciones cuadráticas 68510.2 Clasificación de secciones cónicas por su excentricidad 69710.3 Ecuaciones cuadráticas y rotaciones 70210.4 Cónicas y ecuaciones paramétricas; la cicloide 70910.5 Coordenadas polares 71410.6 Gráficas en coordenadas polares 71910.7 Áreas y longitudes en coordenadas polares 72510.8 Secciones cónicas en coordenadas polares 732


11 Sucesiones y series infinitas 74611.1 Sucesiones 74711.2 Series infinitas 76111.3 Criterio de la integral 77211.4 Pruebas de comparación 77711.5 Pruebas de la raíz y de la razón 78111.6 Series alternantes, convergencia absoluta y convergencia condicional 78711.7 Series de potencias 79411.8 Series de Taylor y de Maclaurin 80511.9 Convergencia de series de Taylor; estimación de errores 81111.10 Aplicaciones de las series de potencias 82211.11 Series de Fourier 833


12 Los vectores y la geometría del espacio 84812.1 Sistemas de coordenadas tridimensionales 84812.2 Vectores 85312.3 El producto punto 86212.4 El producto cruz 87312.5 Rectas y planos en el espacio 88012.6 Cilindros y superficies cuádricas 889


vi Contenido

13 Funciones con valores vectoriales y movimiento en el espacio 90613.1 Funciones vectoriales 90613.2 Cómo modelar el movimiento de un proyectil 92013.3 Longitud de arco y el vector tangente unitario T 93113.4 Curvatura y el vector unitario normal N 93613.5 Torsión y el vector unitario binormal B 94313.6 Movimiento de planetas y satélites 950


14 Derivadas parciales 96514.1 Funciones de varias variables 96514.2 Límites y continuidad en dimensiones superiores 97614.3 Derivadas parciales 98414.4 Regla de la cadena 99614.5 Derivadas direccionales y vectores gradiente 100514.6 Planos tangentes y diferenciales 101514.7 Valores extremos y puntos de silla 102714.8 Multiplicadores de Lagrange 103814.9 Derivadas parciales con variables restringidas 104914.10 Fórmula de Taylor para dos variables 1054


15 Integrales Múltiples 106715.1 Integrales dobles 106715.2 Área, momentos y centros de masa 108115.3 Integrales dobles en forma polar 109215.4 Integrales triples en coordenadas rectangulares 109815.5 Masas y momentos en tres dimensiones 110915.6 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas 111415.7 Sustitución en integrales múltiples 1128


Contenido vii

16 Integración en Campos Vectoriales 114316.1 Integrales de línea 114316.2 Campos vectoriales, trabajo, circulación y flujo 114916.3 Independencia de la trayectoria, funciones potenciales

y campos conservativos 116016.4 Teorema de Green en el plano 116916.5 Área de superficies e integrales de superficie 118216.6 Superficies parametrizadas 119216.7 Teorema de Stokes 120116.8 El teorema de la divergencia y una teoría unificada 1211


Apéndices AP-1

A.1 Inducción matemática AP-1A.2 Demostración de los teoremas de límites AP-4A.3 Límites que aparecen comúnmente AP-7A.4 Teoría de los números reales AP-9A.5 Números complejos AP-12A.6 La ley distributiva para el producto cruzado de vectores AP-22A.7 El teorema de la derivada mixta y el teorema del incremento AP-23A.8 El área de la proyección de un paralelogramo en un plano AP-28A.9 Fórmulas básicas de álgebra, geometría y trigonometría AP-29

Respuestas R-1

Índice I-1

Breve tabla de integrales T-1

Créditos C-1

viii Contenido

PREFACIO

INTRODUCCIÓN Al preparar la undécima edición de Cálculo de Thomas, hemos queridomantener el estilo de las versiones anteriores y conservar las fortalezas detectadas en ellas.Nuestra meta ha sido, por lo tanto, identificar las mejores características de las edicionesclásicas de la obra y, al mismo tiempo, atender cuidadosamente las sugerencias de nues-tros muchos usuarios y revisores. Con estos altos estándares en mente, hemos reconstruidolos ejercicios y aclarado algunos temas de difícil comprensión. De acuerdo con el autor,George Thomas, “hemos intentado escribir el libro con tanta claridad y precisión como hasido posible”. Además, hemos restablecido los contenidos para que sean más lógicos ycongruentes con los programas de estudio de mayor difusión. Al revisar esta labor en re-trospectiva, nos percatamos de que los muchos conocimientos adquiridos nos han ayudadoa crear un texto de cálculo útil y atractivo para la siguiente generación de ingenieros ycientíficos.

En su undécima edición, el texto no sólo presenta a los estudiantes los métodos y lasaplicaciones del cálculo, sino que plantea también una manera de pensar totalmente mate-mática. A partir de los ejercicios, los ejemplos y el desarrollo de los conceptos que revelala teoría en un lenguaje legible, este libro se centra en el pensamiento y la comunicaciónde ideas matemáticas. El cálculo tiene gran relación con muchos de los paradigmas clave delas matemáticas, y establece los fundamentos reales para la reflexión precisa y lógica entorno de temas físicos y matemáticos. Nuestro propósito se centra en ayudar a los estu-diantes a alcanzar la madurez matemática necesaria para dominar el material y aplicar susconocimientos de manera íntegra. El razonamiento que se deriva de la comprensión de loanalizado en las páginas de esta obra hacen que el esfuerzo que ha implicado su creaciónvalga la pena.

Una vez analizado el contenido de este libro, los estudiantes estarán bien instruidos enel lenguaje matemático que se necesita para aplicar los conceptos de cálculo a numerosassituaciones de ciencias e ingeniería. También estarán preparados para tomar cursos deecuaciones diferenciales, álgebra lineal o cálculo avanzado.

Cambios en la undécima edición

EJERCICIOS Los ejercicios y ejemplos juegan un papel crucial en el aprendizaje delcálculo. En esta edición hemos incluido muchos ejercicios que ya aparecían en versionesanteriores de la obra por considerarlos una de las grandes fortalezas de la misma. Los ejer-cicios se han reorganizado por tema en cada una de las secciones, planteando primero losproblemas computacionales para luego abordar los relativos a la teoría y las aplicaciones.Esta disposición permite que los estudiantes desarrollen habilidades en el uso de los mé-todos del cálculo y adquieran una comprensión más profunda de sus aplicaciones en elmarco de una estructura matemática coherente.

ix

RIGOR En comparación con las ediciones anteriores, en esta versión el contenido del tex-to es más riguroso y consistente. En él se brindan análisis formales e informales, haciendouna clara distinción entre ambos; además, se incluyen definiciones precisas y demostracio-nes accesibles para los estudiantes. Este texto está organizado de manera que el materialpueda ser cubierto informalmente, dando cierta flexibilidad al instructor. Por ejemplo, apesar de que no se prueba que una función continua en un intervalo cerrado y acotado tieneun máximo ahí, el teorema correspondiente se expone con todo cuidado para comprobarvarios resultados subsecuentes. Más aún, el capítulo de límites ha sido reorganizado demanera sustancial, haciendo hincapié tanto en su claridad como en su precisión. Como enlas ediciones anteriores, el concepto de límite se basa en la importante idea de obtener lapendiente de la recta tangente a una curva en un punto de aquella.

CONTENIDO En la preparación de esta edición hemos puesto especial atención a las su-gerencias y comentarios de los usuarios y revisores de las versiones anteriores de Cálculo deThomas. Esto ha dado como resultado extensas modificaciones en varios de los capítulos.

TOMO I• Preliminares Hemos reescrito el capítulo 1, de manera que proporcione una breve

revisión de las funciones elementales. Aunque muchos profesores podrían optar porobviar este capítulo, su estudio permite a alumnos un fácil repaso de conocimientospara que unifiquen notaciones. También contiene material útil que muchos estudian-tes podrían desconocer, como los errores que se producen al confiar totalmente enlas calculadoras o computadoras para construir la gráfica de una función.

• Límites En el capítulo 2 se incluyen las definiciones epsilón-delta, las demostra-ciones de muchos teoremas, así como límites en el infinito y límites infinitos (y susrelaciones con las asíntotas de una gráfica).

• Antiderivadas En los capítulos 3 y 4 presentamos la derivada y sus aplicacionesmás importantes, concluyendo con el concepto de antiderivada, con lo cual se esta-blecen las bases para la integración.

• Integración Después de discutir varios ejemplos de sumas finitas, en el capítulo 5introducimos la integral definida en la forma tradicional del área debajo de la curva.Continuamos con el análisis del teorema fundamental del cálculo, relacionando de-rivadas y antiderivadas, y con la presentación de la integral indefinida, junto con laregla de sustitución para integración. Luego proseguimos con el capítulo tradicionalde aplicaciones de las integrales definidas.

• Técnicas de integración En el capítulo 8 se presentan las principales técnicas deintegración, incluyendo integración numérica. Después se ofrece una introducción alas funciones trascendentes, definiendo el logaritmo natural como la integral y lafunción exponencial como su inversa.

• Ecuaciones diferenciales La mayor parte del material para resolver ecuacionesdiferenciales básicas ahora está organizado solamente en el capítulo 9. Esta disposi-ción permite que los profesores encuentren la flexibilidad idónea para cubrir los te-mas correspondientes.

TOMO II

• Cónicas Atendiendo a la demanda de muchos usuarios, el capítulo 10 ha sido total-mente reescrito. Por otro lado, este capítulo completa el material de ecuaciones paramé-tricas, dando las parametrizaciones para las parábolas, las hipérbolas y las cicloides.

• Series En comparación con ediciones anteriores, en el capítulo 11 hemos desarro-llado de manera más completa los criterios de convergencia para series. También in-cluimos, al final del capítulo, una breve sección para presentar las series de Fourier(cuyo estudio puede omitirse, según convenga).

x Prefacio

• Vectores Para evitar la repetición de los conceptos algebraicos y geométricos fun-damentales, hemos combinado el tratamiento de vectores en dos y tres dimensionesen un solo capítulo, el 12. A esta presentación le sigue el capítulo de funciones devalores vectoriales en el plano y en el espacio.

• Los números reales Hemos escrito un nuevo apéndice para analizar brevementela teoría de los números reales y su aplicación en el cálculo.

ARTE Sabemos que las figuras y las ilustraciones representan un componente de granimportancia en el aprendizaje del cálculo, por lo que hemos mejorado todas las figuras deeste libro, buscando mayor claridad en la relación entre éstas y los conceptos a que hacenreferencia. Esto resulta especialmente evidente en las gráficas tridimensionales, en las quepodemos indicar mejor la profundidad, las capas y la rotación (vea las figuras siguientes).

y

x

0a

xb

y � R(x)

y � r(x)

0

x

y y

0

x

(x, R(x))

(x, r(x))

Arandela

xx

4

1

0

2

y

y

x

x

⎛⎝

⎛⎝

2y , y

2yx �

2yx �

2yR(y) �

2yR(y) �

0

1

4

y

2

(a)

(b)

y

Prefacio xi

FIGURA 6.13, página 403Las secciones transversalesdel sólido de rotacióngenerado aquí son arandelas,no discos.

FIGURA 6.11, página 402Determinación del volumen del sólidogenerado al hacer girar la región (a)alrededor del eje y.

Otras características

PROYECTOS Y RESUMEN DE FINAL DE CAPÍTULO Además de los problemas que apare-cen después de cada sección, los capítulos terminan con preguntas de repaso, ejerciciosprácticos que cubren todo el contenido analizado, y una serie de ejercicios adicionales yavanzados en donde se plantean problemas sintetizados o que plantean retos de mayorenvergadura. Asimismo, casi todos los capítulos incluyen la descripción de varios proyectospara que los estudiantes trabajen en ellos, ya sea individualmente o en equipo, en periodos máslargos. Estos proyectos requieren el uso de una computadora y de material adicional, dis-ponible en www.pearsoneducacion.net/thomas.

EJERCICIOS DE DESARROLLO TEÓRICO Los ejercicios de desarrollo teórico que aparecena lo largo de todo el libro, solicitan a los alumnos que exploren y expliquen una variedadde conceptos y aplicaciones del cálculo. Además, al final de cada capítulo se halla una lis-ta de preguntas para que los estudiantes repasen y resuman lo que han aprendido. Muchos deestos ejercicios pueden servir para que el profesor asigne tareas de contenido teórico.

RESPUESTAS Se proporcionan todas las respuestas de los ejercicios impares cuando esadecuado; la corrección de tales respuestas ha sido revisada cuidadosamente.

EXACTITUD MATEMÁTICA Como en las ediciones anteriores, hemos tenido gran cuidadoen afirmar solamente aquello que sea correcto desde el punto de vista matemático. Cadadefinición, teorema, corolario y demostración han sido revisados para garantizar su clari-dad y exactitud matemática.

LEGILIBILIDAD Y APLICACIÓN EN PROBLEMAS REALES Como siempre, este texto bus-ca ser fácil de leer, interactivo y matemáticamente rico. Cada tema nuevo ha sido abordadocon claridad, ilustrado con ejemplos de fácil comprensión y reforzado con aplicaciones aproblemas reales que involucran el cálculo en ciencias e ingeniería, y que resultan de inte-rés para los estudiantes. Estos problemas de aplicación se han actualizado, mejorado y am-pliado a lo largo de las últimas ediciones.

TECNOLOGÍA Aunque seguimos proporcionando apoyo para las aplicaciones tecnológicasdel cálculo, a partir de la décima edición esto resulta menos evidente dentro de los capítu-los. Sin embargo, el uso de este texto puede incorporar fácilmente la tecnología según lospropósitos del profesor. Para ello, cada sección contiene ejercicios que requieren el uso dela tecnología, identificados de cualquiera de las siguientes maneras:

• Con una si se requiere una calculadora o computadora para su resolución.• Con el texto EXPLORACIÓN CON COMPUTADORA si se necesita un software

matemático (como Maple o Mathematica) para contestarlos.

Complementos multimedia y soporte en línea (en inglés)

MANUALES DE RECURSOS TECNOLÓGICOSMaple Manual, escrito por Donald Hartig, de la California Polytechnic State UniversityMathematica Manual, preparado por Marie Vanisko, de la California State UniversityStanislaus, y por Lyle Cochran, del Whitworth CollegeTI-Graphing Calculator Manual, por Luz DeAlba, de la Drake University.Estos manuales cubren los programas Maple 9 y Mathematica 5, y las calculadoras TI-83Plus, TI-84 Plus, TI-85/TI-86 y TI-89/TI-92 Plus, respectivamente. Cada uno de ellos ofreceguía detallada para la integración de un paquete de software o una calculadora graficadoraa lo largo del curso, incluyendo sintaxis y comandos.

T

xii Prefacio

COURSECOMPASSCourseCompass es una plataforma para cursos en línea que Pearson Educación ofrece demanera exclusiva como apoyo para sus libros de texto. Este libro cuenta con un curso precar-gado en CourseCompass, que incluye ejercicios y recursos en MyMathLab y en MathXL,el sistema de tutoriales, tareas y evaluación en línea de Addison Wesley. MyMathLab pro-porciona un amplio conjunto de materiales relacionados con el curso, así como ejerciciosgenerados algorítmicamente para repasar tanto como se desee un tema. Los alumnos puedenutilizar también herramientas en línea, como clases en vídeo, animaciones, una versiónelectrónica del libro y proyectos de Maple/Mathematica para mejorar su comprensión ydesempeño. Además, los estudiantes pueden responder exámenes por capítulo y obtenerun plan de estudio personalizado de acuerdo con sus resultados. Por su parte, los profesorespueden emplear los administradores de tareas y exámenes que proporciona CourseCom-pass para seleccionar y asignar ejercicios en línea relacionados directamente con el libro,así como importar exámenes de TestGen para obtener más flexibilidad. El libro de notasde MyMathLab —diseñado específicamente para matemáticas y estadística— lleva unregistro automático de las tareas y los resultados de los exámenes de los alumnos, y dacontrol al profesor para calcular las notas de fin de curso. CourseCompass está disponiblepara quienes adopten el libro. Para obtener más información, visite nuestro sitio Web enwww.coursecompass.com, o pida una demostración del producto al representante de ven-tas de Pearson Educación que lo atiende.

TESTGEN CON QUIZMASTERTestGen permite a los profesores crear, editar, imprimir y administrar exámenes medianteun banco de preguntas computarizado, desarrollado para cubrir todos los objetivos del tex-to. TestGen se basa en algoritmos, gracias a lo cual los profesores pueden crear múltiplesversiones de la misma pregunta o del mismo examen con sólo hacer clic en un botón. Losmaestros pueden también modificar las preguntas del banco de exámenes o agregar nuevosreactivos utilizando además el editor integrado para crear o importar gráficas, insertarnotación matemática, números variables o texto. Los exámenes pueden imprimirse o dis-tribuirse por Internet o en una red local, o pueden ser importados en CourseCompass oBlackboard. TestGen incluye QuizMaster, que permite a los estudiantes realizar las pruebasen una red de área local. El software está disponible en un CD-ROM para las plataformasWindows y Macintosh.

SITIO WEB www. pearsoneducacion.net/thomasEl sitio Web del libro Cálculo de Thomas proporciona al alumno biografías más ampliasde los personajes históricos referidos en el libro, así como artículos relacionados. Asimis-mo, pone a su disposición un conjunto de módulos de Maple y Mathematica que puedeutilizar como proyectos individuales o en grupo. Este sitio también ofrece al profesor unvínculo hacia el sitio de descarga de materiales (en inglés) de este libro.

Agradecimientos

Deseamos expresar nuestra gratitud a quienes hicieron muchas y muy valiosas contribu-ciones durante las distintas etapas de desarrollo de esta edición.

Editores de desarrollo CorrectoresElka Block William ArdisDavid Chelton Karl KattcheeFrank Purcell Douglas B. Meade

Robert PierceFrank PurcellMarie VaniskoThomas Wegleitner

Prefacio xiii

xiv Prefacio

Jefatura de revisiónHarry Allen, Ohio State UniversityRebecca Goldin, George Mason UniversityChristopher Heil, Georgia Institute of TechnologyDominic Naughton, Purdue UniversityMaria Terrell, Cornell UniversityClifford Weil, Michigan State University

Revisión técnicaRobert Anderson, University of Wisconsin–MilwaukeeCharles Ashley, Villanova UniversityDavid Bachman, California Polytechnic State UniversityElizabeth Bator, University of North TexasWilliam Bogley, Oregon State UniversityKaddour Boukaabar, California University of

PennsylvaniaDeborah Brandon, Carnegie Mellon UniversityMark Bridger, Northeastern UniversitySean Cleary, The City College of New YorkEdward Crotty, University of PennsylvaniaMark Davidson, Louisiana State UniversityRichard Davitt, University of LouisvilleElias Deeba, University of Houston, Downtown CampusAnne Dougherty, University of ColoradoRafael Espericueta, Bakersfield CollegeKlaus Fischer, George Mason UniversityWilliam Fitzgibbon, University of HoustonCarol Flakus, Lower Columbia CollegeTim Flood, Pittsburg State UniversityRobert Gardner, East Tennessee State UniversityJohn Gilbert, The University of Texas at AustinMark Hanish, Calvin CollegeZahid Hasan, California State University, San BernardinoJo W. Heath, Auburn UniversityKen Holladay, University of New OrleansHugh Howards, Wake Forest UniversityDwanye Jennings, Union UniversityMatthias Kawaski, Arizona State UniversityBill Kincaid, Wilmington CollegeMark M. Maxwell, Robert Morris UniversityJack Mealy, Austin CollegeRichard Mercer, Wright State UniversityVictor Nestor, Pennsylvania State UniversityMichael O’Leary, Towson UniversityBogdan Oporowski, Louisiana State University

Troy Riggs, Union UniversityFerinand Rivera, San Jose State UniversityMohammed Saleem, San Jose State UniversityTatiana Shubin, San Jose State UniversityAlex Smith, University of Wisconsin-Eau ClaireDonald Solomon, University of Wisconsin-MilwaukeeChia Chi Tung, Minnesota State UniversityWilliam L. VanAlstine, Aiken Technology CollegeBobby Winters, Pittsburg State UniversityDennis Wortman, University of Massachusetts at Boston

Participantes en encuestasOmar Adawi, Parkland CollegeSiham Alfred, Raritan Valley Community CollegeDonna J. Bailey, Truman State UniversityRajesh K. Barnwal, Middle Tennessee State UniversityRobert C. Brigham, University of Central Florida (retired)Thomas A. Carnevale, Valdosta State UniversityLenny Chastkofsky, The University of GeorgiaRichard Dalrymple, Minnesota West Community & Tech-

nical CollegeLloyd Davis, College of San MateoWill-Matthis Dunn III, Montgomery CollegeGeorge F. Feissner, SUNY College at CortlandBruno Harris, Brown UniversityCeleste Hernandez, Richland CollegeWei-Min Huang, Lehigh UniversityHerbert E. Kasube, Bradley UniversityFrederick W. Keene, Pasadena City CollegeMichael Kent, Borough of Manhattan Community Colle-

geRobert Levine, Community College of Allegheny County,

Boyce CampusJohn Martin, Santa Rosa Junior CollegeMichael Scott McClendon, University of Central Okla-

homaChing-Tsuan Pan, Northern Illinois UniversityEmma Previato, Boston UniversityS.S. Ravindran, University of AlabamaDan Rothe, Alpena Community CollegeJohn T. Saccoman, Seton Hall UniversityMansour Samimi, Winston-Salem State UniversityNed W. Schillow, Lehigh Carbon Community CollegeW.R. Schrank, Angelina CollegeMark R. Woodard, Furman University

Agradecemos a todos los profesores que hansido leales usuarios y han impartido la materiade Cálculo en los países de habla hispana conel apoyo del reconocido libro de Thomas. Susvaliosos comentarios han servido para enri-quecer el desarrollo de la actual edición. Espe-ramos que con el uso de este texto cumplan sa-tisfactoriamente los objetivos del programa delcurso y preparen a sus alumnos para enfrentarlos retos actuales dentro del ámbito de las Ma-temáticas. En especial deseamos agradecer elapoyo y retroalimentación que nos han dadolos siguientes profesores:

COLOMBIA

Escuela Colombiana de Ingeniería JulioGaravito

Ana Alicia Guzmán Benjamín Rafael Sarmiento Bernarda Aldana Boris Mauricio Pulido Campo Elías Velosa Carlos Abel ÁlvarezCarlos Enrique Frasser Carmenza Moreno Clara Teresa Triviño Claudia Castro Diego Parada Edgar Obonaga Edith Zoraida Pinzón Eduardo Brieva Ernesto Acosta Gloria Inés Bernal Guiomar Lleras Guiomar Mora Gustavo Erazo Herbert Alonso Dueñas Isabel Carlota López Jaime Alonso Castillo Jaime Arango Jairo Scarpeta Jorge Augusto Pérez Jorge Bateman José Francisco Amador Juan Manuel Bedoya Juan Manuel Cordero Juan Manuel Ospina Juan Manuel Sarmiento Luis Alejandro Fonseca Luis Miguel Acosta Manuel Casabianca Manuel Díaz Margarita Mónica Rey María Consuelo Cortés María Viviana Bernal Néstor Raúl Pachón Olga Maritza Camacho Óscar Antonio Pulido Óscar Darío Zárate

Rafael Guzmán Ricardo Mancipe Ricardo Quintana Sandra Isabel Gutiérrez Víctor Ardila William Estrada

Fundación del Área Andina Mario Duarte Rosario Granados

INPAHU Edgar Borras

Pontificia Universidad JaverianaAbrahan Jiménez Antonio Merchan Diego Guerrero Eddy HerreraEduardo Estrada Fabio Molina Fernando Suárez Francisco Soler Gerardo Tole Guillermo Arias Gustavo Nieto Harold Noriega Héctor Orlando Linares Irina Reyes Ismael García Iván Castro Jesús Fernando Novoa José Humberto Serrano José Severino Niño Juan Carlos Quintero Julio César Melo Lennin Reyes Liliana ÁngelLiliana Barreto Luis Alejandro Bello Luis Alfonso Mejía Luz Marina Moya Luz Mary Ariza María C. Rodríguez Martha Alvarado Martha Moreno Matilde PáezNelson Urrego Nicolás Civetta Rafael Castro Vladimir Moreno

Universidad Antonio NariñoOrlando Vanegas

Universidad AutónomaGladys Villamarín Marco Tulio Millán

Universidad Católica de ColombiaAna Mercedes Márquez Carlos Daza Carlos Hernando Pinzón Felipe Lara Gerardo Ardila Germán Beltrán Javier Manotas Libardo Ortegón Lorenzo Zubieta Miguel Ángel Martínez Régulo Miguel Hernández Rubén Darío Castañeda

Universidad de AméricaEdgar Rodríguez Héctor Lozano Jaime Bolaños Margarita Ruiz

Universidad de la Sabana Héctor López María Lilia Perilla

Universidad de San BuenaventuraElmer VillegasHernán Pineda Patricia Mateus Wilson Soto

Universidad de San Martín Jaime Preciado

Universidad del BosqueLibardo Munevar

Universidad Distrital Francisco José deCaldas

Abrahan Jiménez Adrián Ricardo Gómez Carmen Leonor Pulido Claudia Vela Clemencia Garavito Gloria Neira Ignacio Rodríguez Janeth Galeano José María Pino José Villada Luis Martín María Astrid Cuida María del Pilar BohórquezNayive Nieves Pablo Acosta Rodrigo Javier Herrera Zulima Ortiz

Universidad INCCA de Colombia Jorge Eliécer Rodríguez

Agradecimientos a los profesores

Universidad Militar Nueva Granada Arturo Ramírez Felipe A. Riaño José Farid Patiño Luis Antonio Meza

Universidad Nacional Héctor Useche Herbert Dueñas

Universidad Piloto Carlos Garzón William Arley Rincón

Universidad Santo Tomás Eunice Chara Gloria Torres Marlene Garzón

GUATEMALA

Universidad de San Carlos Arturo Samayoa

MÉXICO

Instituto Tecnológico Autónomo de México(ITAM)

Beatriz Rumbos Pellicer Claudia Gómez Wulschner Lorena Zogaib María del Carmen López Laiseca

Unidad Profesional Interdisciplinaria deIngeniería y Tecnologías Avanzadas

Carlos Cruz Prisciliano Aguilar Viveros

Universidad Anáhuac del Sur Vicente Rivera

Universidad Iberoamericana Humberto Mondragón Suárez

Universidad La Salle Gustavo Velázquez Garduño

Instituto Tecnológico de Estudios Superioresde Ecatepec

Francisco Javier Vargas Mancilla Gabriel Ramírez Dámaso

Instituto Tecnológico y de EstudiosSuperiores de Monterrey, campus Estado deMéxico

Faustino Yescas Martínez Rubén Darío Santiago Acosta

Instituto Tecnológico y de EstudiosSuperiores de Monterrey, campus Toluca

José Arturo Tar Ortiz Peralta

Instituto Tecnológico y de EstudiosSuperiores de Monterrey, campus Sinaloa

José Benigno Valdez Torres

Instituto Tecnológico y de EstudiosSuperiores de Monterrey, campusGuadalajara

Abel Vázquez Pérez Abelardo Ernesto Damy Solís Guillermo Rodríguez López Humberto Hipólito García Díaz Jesús Cuauhtémoc Ruvalcaba Álvarez Luis Eduardo Falcón Morales Luz María González Ureña María Elisa Barrón García

Instituto Tecnológico y de EstudiosSuperiores de Monterrey, campus León

Enrique Garibay Ruiz

Instituto Tecnológico de Estudios Superioresde Occidente (ITESO), Guadalajara

César Espinosa Abundis Enrique Rodríguez Ruiz Héctor Vidaurri Aguirre Roberto Núñez Malherbe

Centro de Enseñanza Técnica Industrial,Guadalajara

Michael Vollger Zaepfel

Universidad de GuadalajaraFrancisco Javier González Piña Guadalupe Isabel Rodríguez Medina Jorge Mario Arellano Hernández José de Jesús Uribe Madrigal Lucía González Rendón María de Lourdes Martínez Silva María Esther Mejía Marín Tomás Ignacio Villaseñor Saavedra

Universidad Autónoma de Nuevo LeónAlejandro García García Angélica Tovar Gómez Bertha Arellano Silva Gloria Pedroza Cantú María Magdalena de la Rosa Reséndiz Santiago Neyra Rosales Sergio Elizondo Arroyave Yenny Valenzuela Murillo

Universidad Regiomontana Luis Alberto Rodríguez Escamilla Ma. Teresa Narváez Flores Neyda Eliza López Leal

Universidad Autónoma de San Luis Potosí José César Hernández García María Guadalupe Silva Esparza

Universidad Autónoma de TamaulipasRamiro Garza Molina

Instituto Tecnológico de Veracruz Mario Martínez Cano

Universidad Veracruzana Dolores Vera Dector Uriel García Ortiz

PERÚ

Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas Agustín Curo

REPÚBLICA DOMINICANA

Instituto Tecnológico de Santo DomingoCoride Pérez Máximo A. Campuzano

Pontificia Universidad Católica Madre yMaestra

Masako Saito

Universidad Autónoma de Santo DomingoCarlos Feliz Sánchez Carlos Mayobanet Cabral David Torrez

Universidad Apec Justo Báez

Universidad Católica Tecnológica del Cibao Cristian Mercedes Cruz

Universidad Iberoamericana Máximo Santana

VENEZUELA

Universidad Central de Venezuela María de Armas Martha Zerpa

Universidad MetropolitanaAntonio Syers Lida Niño

Universidad Simón BolívarMaría Rosa Brito

Universidad del Zulia Daniel Duque

xvi Agradecimientos a los profesores

INTRODUCCIÓN En este capítulo se presenta un repaso de las ideas básicas necesarias pa-ra iniciar el estudio del cálculo. Entre los temas se incluyen el sistema de números reales,las coordenadas en el plano cartesiano, las líneas rectas, las parábolas, los círculos, lasfunciones y la trigonometría. También se analiza el uso de calculadoras graficadoras y deprogramas para graficación por computadora.

1

PRELIMINARES

C a p í t u l o

1

Los números reales y la recta real

Esta sección trata de los números reales, las desigualdades, los intervalos y las propieda-des del valor absoluto.

Números reales

Gran parte del cálculo se basa en las propiedades del sistema de números reales. Los nú-meros reales son aquellos que pueden expresarse como decimales, por ejemplo

En cada caso, los puntos suspensivos … indican que la sucesión de dígitos decimales con-tinúa indefinidamente. Cualquier expansión decimal posible representa un número real,aunque algunos números tienen dos representaciones. Por ejemplo, los decimales infinitos.999… y 1.000… representan el mismo número real, 1. Una afirmación similar es válidapara cualquier número con una infinita fila de nueves.

Los números reales pueden representarse geométricamente como puntos sobre unarecta numérica, llamada recta real.

El símbolo denota tanto al sistema de números reales como a la recta real.Las propiedades del sistema de números reales se clasifican en tres categorías: pro-

piedades algebraicas, propiedades de orden y propiedad de completez. Las propiedadesalgebraicas establecen que los números reales pueden sumarse, restarse, multiplicarse ydividirse (excepto entre 0) para obtener más números reales bajo las reglas usuales de laaritmética. No es posible dividir entre 0.

�

–2 –1 0 1 2 3 � 434

13

– �2

22 = 1.4142 Á

13

= 0.33333 Á

- 34

= -0.75000 Á

1.1

En el apéndice 4 se dan las propiedades de orden de los números reales. A partir deellas pueden obtenerse las siguientes reglas útiles, donde el símbolo significa “implica”.Q

2 Capítulo 1: Preliminares

Reglas para desigualdadesSi a, b y c son números reales, entonces:

1.

2.

3.

4.Caso especial:

5.

6. Si tanto a como b son ambos positivos o ambos negativos, entonces

a 6 b Q 1b

6 1a

a 7 0 Q 1a 7 0a 6 b Q -b 6 -a

a 6 b y c 6 0 Q bc 6 aca 6 b y c 7 0 Q ac 6 bca 6 b Q a - c 6 b - ca 6 b Q a + c 6 b + c

Tenga en cuenta las reglas para multiplicar una desigualdad por un número. Al multiplicarpor un número positivo se conserva el sentido de desigualdad; cuando se multiplica por unnúmero negativo el sentido de desigualdad cambia. Por otro lado, tomar recíprocos invier-te el sentido de desigualdad cuando los números son del mismo signo. Por ejemplo,pero y

En el caso del sistema de números reales, la propiedad de completez* es compleja ydifícil de definir con precisión; sin embargo, es esencial para comprender el concepto delímite (capítulo 2). A grandes rasgos, la propiedad de completez afirma que hay suficien-tes números reales para “completar” la recta real, en el sentido que no haya “vacíos” o “fal-tantes” o huecos en ella. Si el sistema de números reales no cumpliera con esta propiedad,muchos teoremas de cálculo carecerían de validez. Por conveniencia, el tema se deja paraun curso más avanzado, pero el apéndice 4 da una idea de sus implicaciones y de cómo seconstruyen los números reales.

Entre los números reales pueden distinguirse tres subconjuntos especiales.

1. Los números naturales, digamos 1, 2, 3, 4, . . .

2. Los números enteros, como

3. Los números racionales, es decir, aquellos que pueden expresarse como una fracciónm/n, donde m y n son enteros y Por ejemplo

Los números racionales son precisamente los números reales con expansiones deci-males, que son

(a) finitas (terminan con una secuencia infinita de ceros), por ejemplo

(b) periódicas (terminan con un bloque de dígitos que se repite una y otra vez), por ejemplo,

La barra indica elbloque de dígitosque se repite.

2311

= 2.090909 Á = 2.09

34

= 0.75000 Á = 0.75 o

13

, - 49

= -49

= 4-9 , 20013

, y 57 = 571

.

n Z 0.

0, ;1, ;2, ;3, Á

1>2 7 1>5.-2 7 -52 6 5

* A este término también se le conoce como propiedad de densidad o de completitud.

Las expansiones decimales finitas representan un tipo especial de repetición decimal definal de ceros repetidos.

El conjunto de números racionales tiene todas las propiedades algebraicas y de ordende los números reales, pero carece de la propiedad de completez. Por ejemplo, no existe unnúmero racional cuyo cuadrado sea 2; esto quiere decir que hay un “vacío” en la recta ra-cional, donde debería estar .

Los números reales que no son racionales se llaman números irracionales, y se carac-terizan por tener expansiones decimales no finitas y no periódicas. Por ejemplo,

y Como cada expansión decimal representa un número real, resulta evidenteque la cantidad de números irracionales es infinita. Podemos encontrar tanto números racio-nales como irracionales arbitrariamente cercanos a cualquier punto de la recta real.

La notación de conjuntos es muy útil para especificar un subconjunto de números rea-les. Un conjunto es una colección de objetos, los mismos que constituyen los elementosdel conjunto. Si S es un conjunto, la notación significa que a es un elemento de S, y

significa que a no es un elemento de S. Si S y T son conjuntos, es su unión,y ésta consiste de todos los elementos que pertenecen a S o a T (o tanto a S como a T). Laintersección consiste de todos los elementos que pertenecen a ambos conjuntos, S yT. El conjunto vacío es aquel que no tiene elementos. Por ejemplo, la intersección delos números racionales y los números irracionales es el conjunto vacío.

Algunos conjuntos pueden describirse al listar sus elementos separados por comasentre llaves. Por ejemplo, el conjunto A, conformado por los números naturales (o enterospositivos) menores que 6, puede expresarse como

El conjunto de todos los números enteros se escribe como

Otra manera de describir un conjunto, consiste en encerrar entre llaves una regla quegenere todos los elementos del conjunto. Por ejemplo, el conjunto

es el conjunto de los enteros positivos menores que 6.

IntervalosUn subconjunto de la recta real recibe el nombre de intervalo si contiene por lo menos dosnúmeros y todos los números reales que están entre cualquier par de sus elementos. Porejemplo, el conjunto de todos los números reales x tales que es un intervalo, así co-mo el conjunto de todos los x tales que El conjunto de todos los númerosreales distintos de cero no es un intervalo; como el 0 no se incluye, el conjunto no cumplecon la condición de contener todos los números reales entre y 1 (por ejemplo).

Geométricamente, los intervalos corresponden a rayos y segmentos de recta sobre la rec-ta real o a lo largo de la misma. Los intervalos de números que corresponden a segmentos derecta son intervalos finitos; los intervalos que corresponden a rayos y a la recta real son in-tervalos infinitos.

Decimos que un intervalo finito es cerrado si incluye sus dos extremos, semiabiertosi incluye uno de sus extremos pero no el otro, y abierto si no incluye ninguno de sus ex-tremos. Los extremos también se llaman puntos frontera, ya que conforman precisamen-te la frontera del intervalo. El resto de los puntos del intervalo son puntos interiores, yconstituyen el interior del intervalo. Los intervalos infinitos, que corresponden a rayos,son cerrados si contienen su extremo finito, de lo contrario son abiertos. La recta realcompleta es un intervalo infinito que es tanto abierto como cerrado.

Resolución de desigualdadesAl proceso de encontrar el intervalo o intervalos de números que satisfacen una desigual-dad en x se le llama resolver la desigualdad.

�

-1

-2 … x … 5.x 7 6

A = 5x ƒ x es un entero y 0 6 x 6 66

50, ;1, ;2, ;3, Á 6 .

A = 51, 2, 3, 4, 56 .

¤S ¨ T

S ´ Ta x Sa H S

log10 3 .23 5 ,

p, 22,

22

1.1 Los números reales y la recta real 3

EJEMPLO 1 Resolver las siguientes desigualdades y mostrar su solución en forma dedesigualdad, en forma de intervalo y en forma gráfica.

(a) (b) (c)

Solución

(a)

Sumar 1 en ambos lados.

Restar x en ambos lados.

El conjunto solución es el intervalo abierto (figura 1.1a).

(b)

Multiplicar por 3 ambos lados.

Sumar x en ambos lados.

Restar 3 en ambos lados.

Dividir entre 7. - 37 6 x

-3 6 7x

0 6 7x + 3

-x 6 6x + 3

- x3

6 2x + 1

s - q , 4d

x 6 4

2x 6 x + 4

2x - 1 6 x + 3

6x - 1 Ú 5-

x3

6 2x + 12x - 1 6 x + 3


TABLA 1.1 Tipos de intervalos

DescripciónNotación del conjunto Tipo Figura

Finito: (a, b) Abierto

[a, b] Cerrado

[a, b) Semiabierto

(a, b] Semiabierto

Infinito: Abierto

Cerrado

Abierto

Cerrado

(conjunto de todos Amboslos números reales) abierto y cerrado�s - q , q d

5x ƒ x … b6s - q , b]5x ƒ x 6 b6s - q , bd5x ƒ x Ú a6[a, q d5x ƒ x 7 a6sa, q d5x ƒ a 6 x … b65x ƒ a … x 6 b65x ƒ a … x … b65x ƒ a 6 x 6 b6

a b

a b

a b

a

a

b

b

b

a

0

0

0 1

1

1 4

(a)

–37

(b)

115

(c)

x

x

x

FIGURA 1.1 Conjuntos soluciónpara las desigualdades del ejemplo 1.

El conjunto solución es el intervalo abierto (figura 1.1b).

(c) La desigualdad puede satisfacerse solamente si ya que en cual-quier otro caso no está definido o es negativo. Así, es positivo y ladesigualdad no se altera si multiplicamos ambos lados por y tenemos que

Multiplicar ambos lados por

Sumar 5 en ambos lados.

El conjunto solución es el intervalo semiabierto (1, ] (figura 1.1c).

Valor absoluto

El valor absoluto de un número x, denotado por se define como

EJEMPLO 2 Encontrar los valores absolutos

Geométricamente, el valor absoluto de x es la distancia de x a 0 sobre la recta real.Como las distancias siempre son positivas o 0, si vemos que para todo número realx, y si y sólo si También

la distancia entre x y y sobre la recta real (figura 1.2).Como el símbolo denota siempre la raíz cuadrada no negativa de a, una defini-

ción alternativa de es

Es importante recordar que No se puede escribir a menos que se-pamos de antemano que

El valor absoluto tiene las propiedades siguientes. (Se le pedirá que pruebe estas pro-piedades en los ejercicios).

a Ú 0.2a2 = a2a2 = ƒ a ƒ .

ƒ x ƒ = 2x2 .ƒ x ƒ2a

ƒ x - y ƒ = es igual a la distancia entre x y y

x = 0.ƒ x ƒ = 0ƒ x ƒ Ú 0

ƒ 3 ƒ = 3, ƒ 0 ƒ = 0, ƒ -5 ƒ = - s -5d = 5, ƒ - ƒ a ƒ ƒ = ƒ a ƒ

ƒ x ƒ = e x, x Ú 0 -x, x 6 0.

ƒ x ƒ ,

11>5O x … 11

5.

115 Ú x .

11 Ú 5x

sx - 1d . 6 Ú 5x - 5

6

x - 1 Ú 5

sx - 1d ,sx - 1d6>sx - 1d x 7 1,6>sx - 1d Ú 5

s -3>7, q d


�–5� � 5 �3�

�4 � 1� � �1 � 4 � � 3

–5 0 3

1 4

FIGURA 1.2 Los valores absolutosindican las distancias entre los puntos de larecta numérica.

Propiedades del valor absoluto

1. Un número y su inverso aditivo o negativo tienenel mismo valor absoluto.

2. El valor absoluto de un producto es el producto delos valores absolutos.

3. El valor absoluto de un cociente es el cociente delos valores absolutos.

4. La desigualdad triangular. El valor absoluto dela suma de dos números es menor o igual que lasuma de sus valores absolutos.

ƒ a + b ƒ … ƒ a ƒ + ƒ b ƒ

` ab` = ƒ a ƒ

ƒ b ƒ

ƒ ab ƒ = ƒ a ƒ ƒ b ƒ

ƒ -a ƒ = ƒ a ƒ

Observe que Por ejemplo, mientras que Si a y btienen distinto signo, entonces en cualquier otro caso, En expresionescomo es igual a Las barras que denotan valor absoluto fun-cionan como los paréntesis: deben realizarse las operaciones aritméticas del interior antesde tomar el valor absoluto.

EJEMPLO 3 Ilustrar la desigualdad triangular

La desigualdad indica que la distancia de x a 0 es menor que el número posi-tivo a. Esto significa que x debe estar entre -a y a, como puede verse en la figura 1.3.

Todos los siguientes enunciados son consecuencia de la definición de valor absoluto,y suelen ser útiles en la resolución de ecuaciones o desigualdades con valor absoluto.

ƒ x ƒ 6 a

ƒ -3 - 5 ƒ = ƒ -8 ƒ = 8 = ƒ -3 ƒ + ƒ -5 ƒ ƒ 3 + 5 ƒ = ƒ 8 ƒ = ƒ 3 ƒ + ƒ 5 ƒ

ƒ -3 + 5 ƒ = ƒ 2 ƒ = 2 6 ƒ -3 ƒ + ƒ 5 ƒ = 8

ƒ -3 + 5 ƒƒ a ƒ + ƒ b ƒ .ƒ a + b ƒƒ a ƒ + ƒ b ƒ .ƒ a + b ƒ

- ƒ 3 ƒ = -3.ƒ -3 ƒ = 3,ƒ -a ƒ Z - ƒ a ƒ .


a 0 ax

aa

�x�

FIGURA 1.3 significa que x estáentre y a.-a

ƒ x ƒ 6 a

Valores absolutos e intervalosSi a es cualquier número positivo, entonces

5.

6.

7.

8.

9. ƒ x ƒ Ú a si y sólo si x Ú a o x … -aƒ x ƒ … a si y sólo si -a … x … aƒ x ƒ 7 a si y sólo si x 7 a o x 6 -aƒ x ƒ 6 a si y sólo si -a 6 x 6 aƒ x ƒ = a si y sólo si x = ;a

En matemática, el símbolo denota con frecuencia la relación lógica “si y sólo si”.También significa “implica y es implicado por”.

EJEMPLO 4 Resolver una ecuación con valores absolutos

Resolver la ecuación

Solución De acuerdo con la propiedad 5, así que hay dos posibilidades:

Resolver como de costumbre.

Las soluciones de son y

EJEMPLO 5 Resolver una desigualdad con valor absoluto

Resolver la desigualdad ` 5 - 2x ` 6 1.

x = -2.x = 5ƒ 2x - 3 ƒ = 7

x = 5 x = -2 2x = 10 2x = -4Ecuaciones equivalentessin valores abolutos. 2x - 3 = 7 2x - 3 = -7

2x - 3 = ;7,

ƒ 2x - 3 ƒ = 7.

3

Solución Tenemos

Propiedad 6

Restar 5.

Tomar recíprocos.

Observe cómo se emplearon aquí las distintas reglas para las desigualdades. Multiplicar porun número negativo cambia el sentido de la desigualdad. Sucede lo mismo al tomar recípro-cos en una desigualdad cuyos dos lados son positivos. La desigualdad original se satisfacesi y sólo si El conjunto solución es el intervalo abierto ( , ).

EJEMPLO 6 Resolver la desigualdad y mostrar el conjunto solución en la recta real:

(a) (b)

Solución

(a)

Propiedad 8

Restar 3.

Dividir entre 2.

El conjunto solución es el intervalo cerrado [1, 2] (figura 1.4a).

(b)

Propiedad 9

Dividir entre 2.

Sumar

El conjunto solución es (figura 1.4b).s - q , 1] ´ [2, q d

32

. x Ú 2 o x … 1 x - 3

2Ú 1

2 o x - 3

2… - 1

2

2x - 3 Ú 1 o 2x - 3 … -1ƒ 2x - 3 ƒ Ú 1 1 … x … 2

2 … 2x … 4

-1 … 2x - 3 … 1

ƒ 2x - 3 ƒ … 1

ƒ 2x - 3 ƒ Ú 1ƒ 2x - 3 ƒ … 1

1>21>3s1>3d 6 x 6 s1>2d .

3 13

6 x 6 12

.

Multiplicar por - 12

. 3 3 7 1x 7 2

3 -6 6 - 2x 6 -4

̀ 5 - 2x ` 6 1 3 -1 6 5 - 2x 6 1


1 2

1 2

(a)

(b)

x

x

FIGURA 1.4 Los conjuntos solución(a) [1, 2] y (b) delejemplo 6.

s - q , 1] ´ [2, q d

EJERCICIOS 1.1

Representación decimal1. Exprese 1/9 como un decimal periódico, usando una barra para

indicar los dígitos que se repiten. ¿Cuáles son las expansiones de-cimales de las siguientes fracciones: 2/9, 3/9, 8/9 y 9/9?

2. Exprese 1/11 como un decimal periódico, usando una barra paraindicar los dígitos que se repiten. ¿Cuáles son las expansiones de-cimales de las siguientes fracciones: 2/11, 3/11, 9/11 y 11/11?

Desigualdades3. Si ¿cuáles de las siguientes afirmaciones acerca de x

son necesariamente ciertas y cuáles no son necesariamente ciertas?

a. b.

c. d.

e. f.

g. h. -6 6 -x 6 -2-6 6 -x 6 2ƒ x - 4 ƒ 6 21 6

6x 6 3

16

6 1x 612

1 6 x2

6 3

0 6 x - 2 6 40 6 x 6 4

2 6 x 6 6,

4. Si ¿cuáles de las siguientes afirmaciones acer-ca de y son necesariamente ciertas y cuáles no son necesariamenteciertas?

a. b.

c. d.

e. f.

g. h.

En los ejercicios 5-12, resuelva las desigualdades y muestre su con-junto solución en forma gráfica (sobre la recta real).

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

Valor absolutoResuelva las ecuaciones en los ejercicios 13-18.

13. 14. 15.

16. 17. 18.

Resuelva las desigualdades en los ejercicios 19-34, expresando losconjuntos solución como intervalos o uniones de intervalos. Asimismo,muestre el conjunto solución en forma gráfica (sobre la recta real).

19. 20. 21.

22. 23. 24.

25. 26. 27.

28. 29. 30.

31. 32. 33.

34. ` 3r5

- 1 ` 7 25

` r + 12` Ú 1ƒ 2 - 3x ƒ 7 5ƒ 1 - x ƒ 7 1

ƒ s + 3 ƒ Ú 12ƒ 2s ƒ Ú 4` 2x - 4 ` 6 3

` 3 - 1x ` 6 12` 32 z - 1 ` … 2` z5 - 1 ` … 1ƒ 2y + 5 ƒ 6 1ƒ 3y - 7 ƒ 6 4ƒ t + 2 ƒ 6 1

ƒ t - 1 ƒ … 3ƒ x ƒ … 2ƒ x ƒ 6 2

` s2

- 1 ` = 1ƒ 8 - 3s ƒ = 92ƒ 1 - t ƒ = 1ƒ 2t + 5 ƒ = 4ƒ y - 3 ƒ = 7ƒ y ƒ = 3

- x + 52

… 12 + 3x4

45

sx - 2d 6 13

sx - 6d

6 - x4

6 3x - 42

2x - 12

Ú 7x + 76

3s2 - xd 7 2s3 + xd5x - 3 … 7 - 3x

8 - 3x Ú 5-2x 7 4

ƒ y - 5 ƒ 6 116 61y 6

14

2 6y

26 30 6 y - 4 6 2

y 6 6y 7 4

-6 6 y 6 -44 6 y 6 6

-1 6 y - 5 6 1, Desigualdades cuadráticasResuelva las desigualdades en los ejercicios 35-42. Exprese el conjun-to solución en forma de intervalos o uniones de intervalos, y en formagráfica (en la recta real). Use el resultado según convenga.

35. 36. 37.

38. 39. 40.

41. 42.

Teoría y ejemplos43. Evite caer en el error de que ¿Para cuáles números reales

a es verdadera esta ecuación? ¿Para cuáles números reales es falsa?

44. Resuelva la ecuación

45. Una demostración de la desigualdad triangular Dé una ra-zón que justifique cada uno de los pasos numerados en la siguientedemostración de la desigualdad triangular.

(1)

(2)

(3)

(4)

46. Demuestre que para cualesquiera números a y b.

47. Si y ¿qué se puede decir acerca de x?

48. Trace la gráfica de la desigualdad

49. Sea y sea cualquier número positivo. De-muestre que implica Aquí lanotación se refiere al valor de la expresión cuando

Esta notación de función se explica en la sección 1.3.

50. Sea y sea cualquier número positivo.

Demuestre que

Aquí la notación se refiere al valor de la expresióncuando (Vea la sección 1.3).

51. Demuestre que para cualquier número a.

52. Sea a cualquier número positivo. Demuestre que si y sólosi o

53. a. Si b es cualquier número real distinto de cero, demuestre que

b. Demuestre que a y b Z 0.

54. Usando inducción matemática (vea el apéndice 1), demuestre quepara cualquier número a y n un entero positivo.ƒ an ƒ = ƒ a ƒ n

` ab` = ƒ a ƒ

ƒ b ƒ para cualesquiera números

ƒ 1>b ƒ = 1> ƒ b ƒ .

x 6 -a .x 7 aƒ x ƒ 7 a

ƒ -a ƒ = ƒ a ƒ .x = a.

2x + 3ƒ(a)ƒ ƒsxd - ƒs0d ƒ 6 P siempre que ƒ x - 0 ƒ 6

P2

.P 7 0ƒsxd = 2x + 3

x = a.2x + 1ƒ(a)

ƒ ƒsxd - ƒs1d ƒ 6 2d .ƒ x - 1 ƒ 6 dd 7 0ƒsxd = 2x + 1

ƒ x ƒ + ƒ y ƒ … 1.

x 7 -1>2,ƒ x ƒ … 3ƒ ab ƒ = ƒ a ƒ ƒ b ƒ

ƒ a + b ƒ … ƒ a ƒ + ƒ b ƒ

= s ƒ a ƒ + ƒ b ƒ d2 = ƒ a ƒ 2 + 2 ƒ a ƒ ƒ b ƒ + ƒ b ƒ 2 … a2 + 2 ƒ a ƒ ƒ b ƒ + b2 = a2 + 2ab + b2

ƒ a + b ƒ 2 = sa + bd2

ƒ x - 1 ƒ = 1 - x .

ƒ -a ƒ = a .

x2 - x - 2 Ú 0x2 - x 6 0

sx + 3d2 6 2sx - 1d2 6 419

6 x2 6 14

4 6 x2 6 94 … x2x2 6 22a2 = ƒ a ƒ


1.2 Rectas, círculos y parábolas 9

Rectas, círculos y parábolas

En esta sección hablaremos de coordenadas cartesianas, rectas, distancia, círculos y pará-bolas en el plano. También se discutirá el concepto de incremento.

Coordenadas cartesianas en el plano

En la sección anterior identificamos puntos sobre la recta con números reales asignándo-les coordenadas. Los puntos que están en el plano pueden identificarse como pares orde-nados de números reales. Para empezar, trazamos dos rectas coordenadas perpendicularesque se intersecan en el punto 0 de cada recta. Estas rectas se llaman ejes coordenados enel plano. En el eje horizontal x, los números se denotan mediante x y se incrementan hacia laderecha. En el eje vertical y, los números se denotan mediante y y se incrementan haciaarriba (figura 1.5). En consecuencia, “hacia arriba” y “hacia la derecha” son direccionespositivas, mientras que “hacia abajo” y “hacia la izquierda” son consideradas como negati-vas. El origen O —también identificado con un 0— del sistema de coordenadas es el puntodel plano donde x y y son cero.

Si P es cualquier punto en el plano, puede ser localizado mediante, exactamente, unpar ordenado de números reales de la siguiente manera. Se trazan rectas que pasen por P ysean perpendiculares a los dos ejes coordenados. Si estas rectas intersecan los ejes x y y enpuntos con coordenadas a y b, respectivamente (figura 1.5), entonces el par ordenado (a, b)se asigna al punto P, y se llama par coordenado. El primer número, a, es la coordenada x(o abscisa) de P; el segundo número, b, es la coordenada y (u ordenada) de P. La coor-denada x de cualquier punto en el eje y es 0. La coordenada y de cualquier punto en el ejex es 0. El origen es el punto (0, 0).

Empezando con un par ordenado (a, b), podemos invertir el proceso y llegar al punto Pcorrespondiente en el plano. Frecuentemente identificamos P con el par ordenado y escri-bimos P(a, b). Algunas veces también nos referimos al “punto (a, b)” y el contexto nospermitirá saber cuando (a, b) se refiere a un punto en el plano y no a un intervalo abiertoen la recta real. En la figura 1.6 se muestran varios puntos identificados por sus coordenadas.

Este sistema de coordenadas se denomina sistema rectangular de coordenadas osistema de coordenadas cartesianas (en honor de René Descartes, matemático francésdel siglo XVI). Los ejes coordenados de este plano coordenado o cartesiano dividen el pla-no en cuatro regiones llamadas cuadrantes, numerados en sentido contrario al movimien-to de las manecillas del reloj, como se muestra en la figura 1.6.

La gráfica de una ecuación o desigualdad en las variables x y y es el conjunto de todoslos puntos P(x, y) en el plano, cuyas coordenadas satisfacen la ecuación o desigualdad.Cuando se grafican datos en el plano cartesiano o se traza la gráfica de fórmulas con va-riables que tienen distintas unidades de medida, no es necesario usar la misma escala enlos dos ejes. Si graficamos, por ejemplo, tiempo contra fuerza de propulsión al analizar elcomportamiento del motor de un cohete, no hay razón para colocar la marca que muestra1 segundo a la misma distancia del origen sobre el eje del tiempo, que la marca que identi-fica 1 libra sobre el eje de la fuerza de propulsión.

En general, cuando se grafican funciones cuyas variables no representan medidas físicasy cuando se trazan figuras en el plano cartesiano para estudiar su geometría y trigonome-tría, se intenta que las marcas de las escalas sean idénticas en ambos ejes. Así, una unidadvertical de distancia se ve igual que una unidad horizontal. Como en un mapa topográficoo en un dibujo a escala, los segmentos de recta que supuestamente tengan la misma longi-tud se verán de un largo equivalente, y los ángulos que supuestamente sean congruentes severán congruentes.

Las pantallas de calculadoras o computadoras son otro asunto. Las escalas vertical yhorizontal de las gráficas generadas por computadora suelen diferir, y existen distorsionesen distancias, pendientes y ángulos. Los círculos se pueden ver como elipses, los rectángulospueden verse como cuadrados, los ángulos rectos como agudos u obtusos, etcétera. En lasección 1.7 estudiaremos con más detalle estas imágenes y distorsiones.

1.2

Eje x positivoEje y negativo

Eje x negativo Origen

Eje y positivo

P(a, b)

0 1123 2 3a

y

1

1

2

3

2

3

b

x

FIGURA 1.5 Las coordenadas cartesianasdel plano se basan en dos ejes perpendicularesque se intersecan en el origen.

x

y

Segundo cuadrante (�, �)

Primer cuadrante (�, �)

Tercer cuadrante (�, �)

Cuarto cuadrante (�, �)

1012 2

(0, 0)(1, 0)

(2, 1)

(1, 3)

(1, 2)

( 2, 1)

( 2, 1)1

1

2

2

3

FIGURA 1.6 Identificación de puntos enel plano xy o plano cartesiano. Todos lospuntos sobre los ejes tienen un parcoordenado, pero usualmente estánmarcados con un solo número real (demanera que (1, 0) en el eje x se identificacon 1). Observe los patrones de los signosde las coordenadas en los cuadrantes.

Incrementos y rectas

Cuando una partícula se mueve de un punto del plano a otro, los cambios netos en sus coor-denadas reciben el nombre de incrementos. Tales incrementos se calculan restando lascoordenadas del punto inicial de las coordenadas del punto final. Si x cambia de a elincremento en x es

EJEMPLO 1 Si vamos del punto al punto B(2, 5), los incrementos en las coor-denadas x y y son

De C(5, 6) a D(5, 1), los incrementos de las coordenadas son

Vea la figura 1.7.Dados dos puntos y en el plano, llamamos a los incrementos

y el avance y la elevación, respectivamente, entre y Dos puntos determinan siempre una única línea recta (por lo general denominada simple-mente recta) que pasa por ambos. La llamamos recta

Cualquier recta no vertical en el plano tiene la propiedad de que la razón

Es la fórmula dados dos puntos y en la recta (figura 1.8). Esto se debea que las razones de los lados correspondientes de dos triángulos semejantes son iguales.

P2sx2, y2dP1sx1, y1d

m = elevacióncorrida

=¢y¢x =

y2 - y1x2 - x1

P1 P2 .

P2 .P1¢y = y2 - y1¢x = x2 - x1P2sx2, y2dP1sx1, y1d

¢x = 5 - 5 = 0, ¢y = 1 - 6 = -5.¢x = 2 - 4 = -2, ¢y = 5 - s -3d = 8.

As4, -3d

¢x = x2 - x1 .

x2 ,x1


DEFINICIÓN PendienteLa constante

es la pendiente de la recta no vertical P1 P2 .

m = elevacióncorrida

=¢y¢x =

y2 - y1x2 - x1

La pendiente nos indica la dirección (hacia arriba, hacia abajo) a la derecha y la incli-nación de una recta. Una recta con pendiente positiva va hacia arriba a la derecha; una rec-ta con pendiente negativa va hacia abajo a la derecha (figura 1.9). A medida que aumentael valor absoluto de la pendiente, más rápido es el ascenso o el descenso de la recta, es de-cir, mayor es su inclinación. Una recta con pendiente cero tiene dirección horizontal y notiene inclinación. La pendiente de una recta vertical es indefinida. Como el avance escero en el caso de una recta vertical, resulta imposible evaluar la razón de la pendiente m.

La dirección y la inclinación de una recta también pueden medirse con un ángulo. Elángulo de inclinación de una recta que cruza el eje x es el menor ángulo medido en senti-do contrario al movimiento de las manecillas del reloj del eje x a la recta (figura 1.10). Lainclinación de una recta horizontal es 0º. La inclinación de una recta vertical es 90º. Si(la letra griega phi, o fi) es la inclinación de una recta, entonces 0 … f 6 180°.

f

¢x

�y � 8

�x � 2

A(4, 3)(2, 3)

�y � 5,�x � 0

D(5, 1)

C(5, 6)

B (2, 5)

1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

6

1

2

3

y

x

FIGURA 1.7 Los incrementos de lascoordenadas pueden ser positivos,negativos o nulos (ejemplo 1).

P1�

P2(x2, y2)

�x�

�x(corrida)

P1(x1, y1)

Q(x2, y1)

�y(eleva ción) �y�

P2�

0

Q�

L

x

y

FIGURA 1.8 Los triángulos yson semejantes, de manera que la

razón de sus lados tiene el mismo valorpara cualesquiera dos puntos sobre larecta. Este valor común es la pendientede la recta.

P1¿Q¿P2¿P1 QP2

BIOGRAFÍA HISTÓRICA*

René Descartes(1596–1650)

*Para aprender más acerca de las figuras históricas y del desarrollo de los elementos y temas principalesdel cálculo, visite www.aw-bc.com/thomas.

En la figura 1.11 se muestra la relación entre la pendiente m de una recta no vertical yel ángulo de inclinación de la misma:

Las rectas tienen ecuaciones relativamente sencillas. Todos los puntos sobre la rectavertical que pasa por el punto a, en el eje x tienen coordenadas x iguales a a. Por lo tanto,

es una ecuación para la recta vertical. De manera similar, es una ecuaciónpara la recta horizontal que interseca el eje y en b. (Vea la figura 1.12).

Podemos escribir una ecuación para una recta no vertical L si conocemos su pendientem y las coordenadas, de uno de sus puntos. Si P(x, y) es cualquier otro punto enL, podemos usar los dos puntos y P para calcular la pendiente:

de manera que

y - y1 = msx - x1d o y = y1 + msx - x1d .m =

y - y1x - x1

P1P1sx1, y1d

y = bx = a

m = tan f .

f


La ecuación

es la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto y tienependiente m.

sx1, y1d

y = y1 + msx - x1d

EJEMPLO 2 Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, 3) y tienependiente –3/2.

Solución Sustituimos y en la ecuación punto-pendiente paraobtener

Cuando así la recta interseca el eje y en

EJEMPLO 3 Una recta que pasa por dos puntos

Encontrar la ecuación de la recta que pasa por y (3, 4).

Solución La pendiente de la recta es

Podemos usar esta pendiente con cualquiera de los dos puntos dados en la ecuación punto-pendiente:

Con Con

Algunos resultados

Esto es, es la ecuación de la recta (figura 1.13).y = x + 1

y = x + 1y = x + 1y = 4 + x - 3y = -1 + x + 2y = 4 + 1 # sx - 3dy = -1 + 1 # sx - s -2dd

sx1 , y1d � s3, 4dsx1 , y1d � s�2, �1d

m = -1 - 4-2 - 3 =-5-5 = 1.

s -2, -1d

y = 6.x = 0, y = 6

y = 3 - 32

Ax - 2 B , o y = - 32 x + 6.m = -3>2x1 = 2, y1 = 3,

x

y

P1

P2 L

�y

�x

�y�x

m � � tan �

�

FIGURA 1.11 La pendiente de una rectano vertical es la tangente de su ángulo deinclinación.

este sí

este no

este sí

este no

x x

FIGURA 1.10 Los ángulos de inclinaciónse miden en sentido contrario almovimiento de las manecillas del reloj, apartir del eje x.

x

y

P2(4, 2)

P1(0, 5)P4(3, 6)

P3(0, 2)

101

1

2

3

4

6

2 3 4 5 6

L2

L1

FIGURA 1.9 La pendiente de es

Esto es, y aumenta 8 unidades cada vezque x se incrementa 3 unidades. Lapendiente de es

Esto es, y disminuye 3 unidades cada vezque x se reduce 4 unidades.

m =¢y¢x =

2 - 54 - 0 =

-34

.

L2

m =¢y¢x =

6 - s -2d3 - 0 =

83

.

L1

La coordenada y del punto donde una recta no vertical interseca el eje y se llama or-denada al origen de la recta. De forma similar, la abscisa al origen de una recta no hori-zontal es la coordenada x del punto donde interseca el eje x (figura 1.14). Una recta conpendiente m y ordenada al origen b en y pasa por el punto (0, b), tiene la ecuación

y = b + msx - 0d, o, simplemente, y = mx + b .


x

y

0

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4

A lo largo de esta recta,x � 2

A lo largo de esta recta,y � 3

(2, 3)

FIGURA 1.12 Las ecuaciones estándarpara las rectas vertical y horizontal quepasan por (2, 3) son x = 2 y y = 3.

La ecuación

se denomina ecuación pendiente-ordenada al origen de la recta con pendientem e intersección con el eje y, u ordenada al origen, b.

y = mx + b

Las rectas con ecuaciones de la forma tienen intersección con el eje y 0 y, por lotanto, pasan por el origen. Las ecuaciones de esas rectas reciben el nombre de ecuacioneslineales.

La ecuación

se conoce como ecuación general lineal en x y y, ya que su gráfica siempre representauna recta y toda recta tiene una ecuación con esta forma (incluyendo las rectas con pen-diente indefinida).

EJEMPLO 4 Encontrar la pendiente y la ordenada al origen

Encontrar la pendiente y la ordenada al origen de la recta y

Solución Se despeja y de la ecuación a fin de ponerla en la forma pendiente-ordenada alorigen:

La pendiente es La ordenada y al origen es

Rectas paralelas y perpendiculares

Las rectas paralelas tienen el mismo ángulo de inclinación, de manera que tienen la mismapendiente (si no son verticales). Recíprocamente, las rectas con pendientes iguales tienenel mismo ángulo de inclinación y son, por lo tanto, paralelas.

Si dos rectas no verticales y son perpendiculares, sus pendientes y satis-facen de manera que cada pendiente es el recíproco negativo de la otra:

Para comprobarlo, observe que, de acuerdo con los triángulos semejantes de la figura1.15, y Por lo tanto, m1 m2 = sa>hds -h>ad = -1.m2 = -h>a .m1 = a>h ,

m1 = -1

m2 , m2 = - 1m1 .m1 m2 = -1,

m2m1L2L1

b = 4.m = -8>5. y = - 85 x + 4.

5y = -8x + 20 8x + 5y = 20

8x + 5y = 20.

Ax + By = C sA o B distintas de cerod

y = mx

x

y

b

0 a

L

FIGURA 1.14 La recta L tiene unaintersección x a y una intersección y b.

x

y

4

0–2 1 2 3–1

(–2, –1)

(3, 4)

y � x � 1

FIGURA 1.13 La recta del ejemplo 3.

Distancia y círculos en el plano

La distancia entre puntos en el plano se calcula a partir de la fórmula del teorema de Pitá-goras (figura 1.16).


x

y

0 A D Ba

Pendiente m1

Pendiente m2

C

L2L1

h�1

�2�1

FIGURA 1.15 es semejante aEn consecuencia, también es el

ángulo superior en A partir de loslados de vemos que tan f1 = a>h .¢CDB ,

¢CDB .f1¢CDB .

¢ADC

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

� x2 � x1�

P(x1, y1)

� y2 � y1�

C(x2, y1)

Q(x2, y2)�x2 – x1�

2 � �y2 – y1�2d � �

(x2 – x1)2 � (y2 – y1)

2� �

Esta distancia es

x

y

0 x1

y1

y2

x2

FIGURA 1.16 Para calcular la distancia entrey aplicamos el teorema de

Pitágoras al triángulo PCQ.Qsx2 , y2d ,Psx1 , y1d

Fórmula de distancia para puntos en el planoLa distancia entre y es

d = 2s¢xd2 + s¢yd2 = 2sx2 - x1d2 + s y2 - y1d2 .

Qsx2 , y2dPsx1 , y1d

(1)(x - h)2 + (y - k)2 = a2.

EJEMPLO 5 Calcular la distancia entre dos puntos

(a) La distancia del origen al punto y Q(3, 4) es

(b) La distancia entre el origen y P(x, y) es

Por definición, un círculo de radio a es el conjunto de todos los puntos P(x, y) cuyadistancia desde algún punto fijo, llamado centro del círculo, C(h, k) es igual a a (figura1.17). De acuerdo con la fórmula de la distancia, P está en el círculo si y sólo si

de manera que

2sx - hd2 + s y - kd2 = a ,

2sx - 0d2 + s y - 0d2 = 2x2 + y2 .

2s3 - s -1dd2 + s4 - 2d2 = 2s4d2 + s2d2 = 220 = 24 # 5 = 225.Ps -1, 2d

La ecuación (1) es la ecuación estándar de un círculo con centro en (h, k) y radio a. Elcírculo de radio y centro en el origen es el círculo unitario, con ecuación

x2 + y2 = 1.

a = 1

(x � h)2 � (y � k)2 � a2

C(h, k)

a

P(x, y)

0x

y

FIGURA 1.17 Un círculo con radio a enel plano xy y centro en (h, k) .

EJEMPLO 6

(a) La ecuación estándar del círculo de radio 2 y centro en (3, 4) es

(b) El círculo

tiene y El centro es el punto y el radio es

Si la ecuación de un círculo no está en la forma estándar, para encontrar su centro y suradio primero deberá convertirse la ecuación a dicha forma. La técnica algebraica para ha-cerlo consiste en completar los cuadrados (vea el apéndice 9).

EJEMPLO 7 Encontrar el centro y el radio de un círculo

Encontrar el centro y el radio del círculo

Solución Convertimos la ecuación a la forma estándar, completando los cuadrados en xy en y.

El centro es y el radio es

Los puntos (x, y) que satisfacen la desigualdad

forman la región interior del círculo con centro en (h, k) y radio a (figura 1.18). El exte-rior del círculo consiste de los puntos (x, y) que satisfacen

Parábolas

La definición geométrica y las propiedades generales de las parábolas se abordan en lasección 10.1. Aquí hablaremos de las parábolas que surgen al graficar las ecuaciones dela forma y = ax2 + bx + c .

sx - hd2 + s y - kd2 7 a2 .

sx - hd2 + s y - kd2 6 a2

a = 4.s -2, 3d

sx + 2d2 + s y - 3d2 = 16

sx2 + 4x + 4d + s y2 - 6y + 9d = 3 + 4 + 9

3 + a42b2 + a-6

2b2

ax2 + 4x + a42b2b + ay2 - 6y + a-6

2b2b =

sx2 + 4x d + s y2 - 6y d = 3

x2 + y2 + 4x - 6y - 3 = 0

x2 + y2 + 4x - 6y - 3 = 0.

a = 23.sh, kd = s1, -5da = 23.h = 1, k = -5,

sx - 1d2 + s y + 5d2 = 3

sx - 3d2 + s y - 4d2 = 22 = 4.


Empezamos con la ecuación dada.

Agrupamos términos. Pasamos laconstante al lado derecho.

Sumamos el cuadrado de la mitaddel coeficiente de x en amboslados de la ecuación. Hacemos lomismo con y. Las expresiones queestán dentro de los paréntesis enel lado izquierdo son ahoracuadrados perfectos.

Factorizamos los trinomios cua-drados perfectos, como binomioscuadrados.

Exterior: (x � h)2 � (y � k)2 � a2

Interior: (x � h)2 � (y � k)2 � a2

(h, k)

a

0 hx

y

k

En: (x � h)2 � (y � k)2 � a2

FIGURA 1.18 El interior y el exterior delcírculo sx - hd2 + s y - kd2 = a2 .

EJEMPLO 8 La parábola

Considere la ecuación Algunos de los puntos que satisfacen esta ecuación son

y Estos puntos (y todos los demás que sa-

tisfacen la ecuación), forman una curva suave llamada parábola (figura 1.19).

La gráfica de una ecuación de la forma

es una parábola cuyo eje de simetría es el eje y. El vértice de la parábola (el punto dondela parábola interseca su eje de simetría) está en el origen. La parábola abre hacia arriba si

y hacia abajo si Entre más grande sea el valor de la parábola será másangosta (figura 1.20).

Generalmente, la gráfica de es una parábola desplazada en formahorizontal y vertical de la parábola En la sección 1.5 discutiremos con más detalleel desplazamiento horizontal y vertical de las gráficas de las funciones cuadráticas.

y = x2 .y = ax2 + bx + c

ƒ a ƒ ,a 6 0.a 7 0

y = ax2

s -2, 4d .s0, 0d, s1, 1d, a32

, 94b , s -1, 1d, s2, 4d ,

y = x2 .

y = x2


0 1 2–1–2

1

4(–2, 4)

(–1, 1) (1, 1)

(2, 4)

⎛⎝

⎛⎝

32

94

,

x

y

y � x2

FIGURA 1.19 La parábola(ejemplo 8).

y = x2

La gráfica de y = ax2 + bx + c, a Z 0La gráfica de la ecuación es una parábola. La pará-bola abre hacia arriba si y hacia abajo si El eje x es la recta

(2)

El vértice de la parábola es el punto donde el eje y la parábola se intersecan. Sucoordenada x es su coordenada y se encuentra sustituyendo

en la ecuación de la parábola.x = -b>2a x = -b>2a ;

x = - b2a

.

a 6 0.a 7 0y = ax2 + bx + c, a Z 0,

Observe que si tenemos la cual es la ecuación de una recta. Eleje, dado por la ecuación (2), puede encontrarse completando el cuadrado o usando unatécnica que estudiaremos en la sección 4.1.

EJEMPLO 9 Trazar la gráfica de una parábola

Trazar la gráfica de la ecuación

Solución Comparando la ecuación con vemos que

Dado que la parábola abre hacia abajo. De acuerdo con la ecuación (2), su eje es larecta vertical

x = - b2a

= -s -1d

2s -1>2d = -1.

a 6 0,

a = - 12

, b = -1, c = 4.y = ax2 + bx + c

y = - 12

x2 - x + 4.

y = bx + ca = 0,

Eje

de

sim

etrí

a

Vértice en el origen

1

1

4 3 2 2 3 4

y � x2

y � x2

6

y �x2

10

y �x2

2

y � 2x2

x

y

FIGURA 1.20 Además de determinar ladirección en la que abre la parábola

, el número a es un factor deescalamiento. La parábola se ensanchaconforme a se acerca a cero, y se estrechaconforme aumenta.ƒ a ƒ

y = ax2

Cuando tenemos

El vértice esLas intersecciones con el eje x se dan en los puntos donde

Graficamos algunos puntos, trazamos el eje y usamos las reglas de dirección de la apertu-ra de la parábola para completar la gráfica de la figura 1.21.

x = 2, x = -4 sx - 2dsx + 4d = 0 x2 + 2x - 8 = 0

- 12

x2 - x + 4 = 0

y = 0:s -1, 9>2d .

y = - 12

s -1d2 - s -1d + 4 = 92

.

x = -1,


Con intersección en x = –4 y x = 2

Punto simétrico con intersección y

El vértice es ⎛⎝⎛⎝

92

–1,

Con intersección en y = 4

(0, 4)(–2, 4)

0

1

2

3

1–2–3

Eje

s: x

= –

1

x

y

y = x2 � x + 4– 12

FIGURA 1.21 La parábola del ejemplo 9.

EJERCICIOS 1.2

Incrementos y distanciaEn los ejercicios 1-4, una partícula se mueve de A a B en el planocoordenado. Encuentre los incrementos y en las coordenadasde la partícula. Determine también la distancia de A a B.

1. 2.

3. 4.

Describa las gráficas de las ecuaciones de los ejercicios 5-8.

5. 6.

7. 8.

Pendientes, rectas e interseccionesEn los ejercicios 9-12, grafique los puntos y encuentre la pendiente (siexiste) de la recta que éstos determinan. Encuentre también la pen-diente común (si existe) de las rectas perpendiculares a la recta AB.

9. 10.

11. 12.

En los ejercicios 13-16, encuentre la ecuación para (a) la recta verti-cal, y (b) la recta horizontal que pasa por el punto dado.

13. 14.

15. 16.

En los ejercicios 17-30, encuentre la ecuación de la recta, dados losdatos siguientes.

17. Pasa por con pendiente -1s -1, 1d

s -p, 0dA0, -22 BA22, -1.3 Bs -1, 4>3d

As -2, 0d, Bs -2, -2dAs2, 3d, Bs -1, 3d

As -2, 1d, Bs2, -2dAs -1, 2d, Bs -2, -1d

x2 + y2 = 0x2 + y2 … 3x2 + y2 = 2x2 + y2 = 1

As22, 4d, Bs0, 1.5dAs -3.2, -2d, Bs -8.1, -2d

As -1, -2d, Bs -3, 2dAs -3, 2d, Bs -1, -2d

¢y¢x

18. Pasa por (2, –3) con pendiente 1/2

19. Pasa por (3, 4) y (–2, 5)

20. Pasa por (–8, 0) y (–1, 3)

21. Tiene pendiente –5/4 y ordenada al origen 6

22. Tiene pendiente 1/2 y ordenada al origen –3

23. Pasa por (–12, –9) y tiene pendiente 0

24. Pasa por (1/3, 4) y la recta es vertical

25. Tiene y abscisa al origen 4 y abscisa al origen –1

26. Tiene y abscisa al origen –6 y abscisa al origen 2

27. Pasa por (5, –1) y es paralela a la recta

28. Pasa por y es paralela a la recta

29. Pasa por (4, 10) y es perpendicular a la recta

30. Pasa por (0, 1) y es perpendicular a la recta

En los ejercicios 31-34, encuentre las intersecciones con los ejes x y y,y utilice esta información para trazar la gráfica de la recta.

31. 32.

33. 34.

35. ¿Encuentra algo especial en la relación entre las rectasy Justifique su

respuesta.

36. ¿Encuentra algo especial en la relación entre las rectasy Justifique su

respuesta.Ax + By = C2 sA Z 0, B Z 0d?Ax + By = C1

Bx - Ay = C2 sA Z 0, B Z 0d?Ax + By = C1

1.5x - y = -322x - 23y = 26

x + 2y = -43x + 4y = 12

8x - 13y = 13

6x - 3y = 5

22x + 5y = 23A -22, 2 B2x + 5y = 15

Incrementos y movimiento37. Una partícula empieza en y sus coordenadas cambian con

incrementos Determine su nueva posición.38. Una partícula empieza en A(6, 0) y sus coordenadas cambian con

incrementos Encuentre su nueva posición.39. Las coordenadas de una partícula cambian con y

conforme se mueve de A(x, y) a Determine su nuevaposición.

40. Una partícula empieza en A(1, 0), da una vuelta alrededor del ori-gen, en sentido contrario al movimiento de las manecillas del re-loj, y regresa a A(1, 0). ¿Cuáles fueron los cambios netos en suscoordenadas?

CírculosEn los ejercicios 41-46, encuentre la ecuación para el círculo con elcentro C (h, k) y el radio a. Después, trace el círculo en el plano xy. In-cluya el centro del círculo en su gráfica, e identifique, de existir, lasintersecciones del círculo con los ejes x y y. Etiquete estos puntos consus pares coordenados.

41. 42.

43. 44.

45. 46.

Grafique los círculos cuyas ecuaciones se dan en los ejercicios 47-52.Determine el centro de cada círculo y las intersecciones con los ejes(si existen) con sus pares coordenados.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

ParábolasGrafique las parábolas de los ejercicios 53-60. Determine, en cada ca-so, las coordenadas del vértice, el eje de simetría y las interseccionescon los ejes si existen.

53. 54.

55. 56.

57. 58.

59. 60.

DesigualdadesEn los ejercicios 61-68, describa las regiones definidas por l

cÁlculo una variable -...

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