Cálculo Integral Grupos 19 Semestre 2015-2 Examen 3 de Casa en Equipo

EQUIPO

Nombre Integrante % participación

MARIAN 25

MARCO 25

FERNANDO 25

ALAN 25

La tabla siguiente presenta 20 postulados, algunos de los cuales son verdaderos y otros son falsos. Analiza detenidamente cada postulado y elige tu respuesta circulando la V (verdadero) o la F (falso) (3 puntos)

1. Si a b , entonces a be e V F

2. 5e

1

dx5

x V F

3. Si x 0 , entonces 3

ln x 3 ln x V F

4. En la ecuación diferencial dy

ky, kdx

es la tasa porcentual de crecimiento exponencial V F

5. 5 ln xln x

5 V F

6. 2

ln xln xdx c

x 2 V F

7. 8

1 ln5

log 5 ln8 V F

8. El dominio de la inversa de la función exponencial es el conjunto de reales positivos V F

9. a b a ln x b ln x, x 0 V F

10. x 2 xln 3e ln 3e 2 V F

11. La derivación logarítmica no es aplicable a funciones no logarítmicas V F

12. 3

x 3

0e dx e V F

13. La derivada de ex es e 1ex

V F

14. Una indeterminación matemática del tipo / conduce al valor cero, si la función del numerador crece más rápido que la función del denominador

V F

15. La primitiva de

2xf x e solo se puede obtener a partir de su expansión en serie de

Taylor o de su expansión en serie de Maclaurin V F

16.

2x

2

x

1e lim 1

x

V F

17. Las integrales impropias de segunda especie son aquellas que presentan límites de integración infinitos e implican asíntotas horizontales

V F

18. Las formas indeterminadas y0 00 , 1 aparecen por la presencia oculta del número e V F

19. Se denomina catenaria a la curva que adopta una cadena, cuerda o cable ideal perfectamente flexible, con masa distribuida uniformemente por unidad de longitud, suspendida por sus extremos y sometida a la acción de un campo gravitatorio uniforme

V F

20. 1

30

dx 1

3x V F

21. Obtener las derivadas de las siguientes funciones: (0.8 puntos)

a) 2f x ln x x 1 , b) tan yf y e , c) 2

2z log1

, d)

3xy 4

22. Obtener las derivadas de las siguientes funciones: (0.8 puntos)

a)

2 / 3

2

1 xy

x 1

, b)

2x 4y 4x 3

23. Calcular las siguientes primitivas: (1 puntos)

a) x 1

x 2

edx

e 4

, b) 32 t5t e dt , c)

x

2 x

5 edx

e

, d) 3x4 dx , e)

2

1dx

x x ln x

24. Evaluar las siguientes integrales: (0.6 puntos)

a) 1

x x

05 3 dx , b)

0

cosd

3 sen

, c) 2

3 x 1

0e dx

25. a) Obtener la expansión en serie de Maclaurin de la función 𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥 , considerando los primeros siete términos. (0.4 puntos) b) Con la expansión obtenida en a), aproxime el valor de la función en el punto 𝑥 = 1 (0.2 puntos) c) Determinar el intervalo de convergencia de la serie. (0.2 puntos) 26. Una sola cédula de levadura se divide cada 10 minutos para producir dos células completas de levadura, en un medio nutritivo homogéneo. Por cada célula, habrá dos células luego de 10 minutos, tras otros 10 minutos habrá cuatro células, 10 minutos después habrá ocho, luego 16 y así sucesivamente. Si P(t) representa la cantidad de células en el instante t, donde t se mide en horas, y se empieza teniendo 20 células de levadura, a) Establezca una ecuación que involucre una función exponencial general, que determine el número de células de levadura en cualquier instante. (0.4 puntos) b) ¿En qué tiempo se obtendría un millón de células de levadura? (0.2 puntos)

27. Calcule el volumen del sólido generado por la región acotada por la función 3y x , el eje

horizontal y las rectas yx 2 x 3

a) al hacerla girar en torno al eje x (0.3 puntos) b) al hacerla girar en torno al eje y (0.3 puntos)

28. Obtenga la función integral que determina el volumen de líquido contenido en un recipiente cilíndrico horizontal de 1.5 m de radio y 7 m de largo. (0.6 puntos)

29. Aplicando la regla de L’Hôpital, calcule el siguiente límite: (0.6 puntos)

lim𝑥→0+

(1 + 𝑥)1/𝑥

30. Evalúe la siguiente integral impropia: (0.6 puntos)

∫𝑑𝑥

√𝑥(𝑥 + 1)

∞

0