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Calculo I
Tema 14: Teorema del valor intermedio.
Teorema de Weierstrass.
Ejemplo
Hay ejemplos muy sencillos de funciones continuas cuya imagen no es unintervalo. Consideramos la funcion f : R∗ −→ R dada por
f(x) ={ −1 si x < 0
1 si x > 0
Es claro que f(R∗) = {−1,1}, luego la imagen de f no es un intervalo.
Como ademas R− y R+ son intervalos abiertos y la restriccion de f a cada unode ellos es una funcion constante (luego continua), entonces, por el caracterlocal de la continuidad, f es continua.
El Teorema del valor intermedio nos asegura que este tipo de ejemplos solopueden darse si el dominio (R∗ en este caso) no es un intervalo.
Ejemplo
Hay ejemplos muy sencillos de funciones continuas cuya imagen no es unintervalo. Consideramos la funcion f : R∗ −→ R dada por
f(x) ={ −1 si x < 0
1 si x > 0
Es claro que f(R∗) = {−1,1}, luego la imagen de f no es un intervalo.
Como ademas R− y R+ son intervalos abiertos y la restriccion de f a cada unode ellos es una funcion constante (luego continua), entonces, por el caracterlocal de la continuidad, f es continua.
El Teorema del valor intermedio nos asegura que este tipo de ejemplos solopueden darse si el dominio (R∗ en este caso) no es un intervalo.
Ejemplo
Hay ejemplos muy sencillos de funciones continuas cuya imagen no es unintervalo. Consideramos la funcion f : R∗ −→ R dada por
f(x) ={ −1 si x < 0
1 si x > 0
Es claro que f(R∗) = {−1,1}, luego la imagen de f no es un intervalo.
Como ademas R− y R+ son intervalos abiertos y la restriccion de f a cada unode ellos es una funcion constante (luego continua), entonces, por el caracterlocal de la continuidad, f es continua.
El Teorema del valor intermedio nos asegura que este tipo de ejemplos solopueden darse si el dominio (R∗ en este caso) no es un intervalo.
Ejemplo
Hay ejemplos muy sencillos de funciones continuas cuya imagen no es unintervalo. Consideramos la funcion f : R∗ −→ R dada por
f(x) ={ −1 si x < 0
1 si x > 0
Es claro que f(R∗) = {−1,1}, luego la imagen de f no es un intervalo.
Como ademas R− y R+ son intervalos abiertos y la restriccion de f a cada unode ellos es una funcion constante (luego continua), entonces, por el caracterlocal de la continuidad, f es continua.
El Teorema del valor intermedio nos asegura que este tipo de ejemplos solopueden darse si el dominio (R∗ en este caso) no es un intervalo.
Ejemplo
Hay ejemplos muy sencillos de funciones continuas cuya imagen no es unintervalo. Consideramos la funcion f : R∗ −→ R dada por
f(x) ={ −1 si x < 0
1 si x > 0
Es claro que f(R∗) = {−1,1}, luego la imagen de f no es un intervalo.
Como ademas R− y R+ son intervalos abiertos y la restriccion de f a cada unode ellos es una funcion constante (luego continua), entonces, por el caracterlocal de la continuidad, f es continua.
El Teorema del valor intermedio nos asegura que este tipo de ejemplos solopueden darse si el dominio (R∗ en este caso) no es un intervalo.
Teorema de los ceros de Bolzano
Lema (conservacion del signo)Sea A⊂ R, a ∈A y f :A−→ R una funcion continua en a.Si f(a) 6= 0, entonces existe δ > 0 tal que
x ∈A ∩ ]a− δ,a+ δ[ ⇒ f(x)f(a)> 0.
Teorema (de los ceros de Bolzano)Sean a,b ∈ R y f : [a,b]−→ R continua tal que f(a)f(b)< 0.Entonces existe (al menos) un elemento c ∈ [a,b] tal que f(c) = 0.
El siguiente resultado afirma que la imagen por una funcion continua de unintervalo es un intervalo.
Corolario (Teorema del valor intermedio)Si I ⊂ R es un intervalo y f : I −→ R es una funcion continua, entonces f(I)es un intervalo.
Teorema de los ceros de Bolzano
Lema (conservacion del signo)Sea A⊂ R, a ∈A y f :A−→ R una funcion continua en a.Si f(a) 6= 0, entonces existe δ > 0 tal que
x ∈A ∩ ]a− δ,a+ δ[ ⇒ f(x)f(a)> 0.
Teorema (de los ceros de Bolzano)Sean a,b ∈ R y f : [a,b]−→ R continua tal que f(a)f(b)< 0.Entonces existe (al menos) un elemento c ∈ [a,b] tal que f(c) = 0.
El siguiente resultado afirma que la imagen por una funcion continua de unintervalo es un intervalo.
Corolario (Teorema del valor intermedio)Si I ⊂ R es un intervalo y f : I −→ R es una funcion continua, entonces f(I)es un intervalo.
Teorema de los ceros de Bolzano
Lema (conservacion del signo)Sea A⊂ R, a ∈A y f :A−→ R una funcion continua en a.Si f(a) 6= 0, entonces existe δ > 0 tal que
x ∈A ∩ ]a− δ,a+ δ[ ⇒ f(x)f(a)> 0.
Teorema (de los ceros de Bolzano)Sean a,b ∈ R y f : [a,b]−→ R continua tal que f(a)f(b)< 0.
Entonces existe (al menos) un elemento c ∈ [a,b] tal que f(c) = 0.
El siguiente resultado afirma que la imagen por una funcion continua de unintervalo es un intervalo.
Corolario (Teorema del valor intermedio)Si I ⊂ R es un intervalo y f : I −→ R es una funcion continua, entonces f(I)es un intervalo.
Teorema de los ceros de Bolzano
Lema (conservacion del signo)Sea A⊂ R, a ∈A y f :A−→ R una funcion continua en a.Si f(a) 6= 0, entonces existe δ > 0 tal que
x ∈A ∩ ]a− δ,a+ δ[ ⇒ f(x)f(a)> 0.
Teorema (de los ceros de Bolzano)Sean a,b ∈ R y f : [a,b]−→ R continua tal que f(a)f(b)< 0.Entonces existe (al menos) un elemento c ∈ [a,b] tal que f(c) = 0.
El siguiente resultado afirma que la imagen por una funcion continua de unintervalo es un intervalo.
Corolario (Teorema del valor intermedio)Si I ⊂ R es un intervalo y f : I −→ R es una funcion continua, entonces f(I)es un intervalo.
Teorema de los ceros de Bolzano
Lema (conservacion del signo)Sea A⊂ R, a ∈A y f :A−→ R una funcion continua en a.Si f(a) 6= 0, entonces existe δ > 0 tal que
x ∈A ∩ ]a− δ,a+ δ[ ⇒ f(x)f(a)> 0.
Teorema (de los ceros de Bolzano)Sean a,b ∈ R y f : [a,b]−→ R continua tal que f(a)f(b)< 0.Entonces existe (al menos) un elemento c ∈ [a,b] tal que f(c) = 0.
El siguiente resultado afirma que la imagen por una funcion continua de unintervalo es un intervalo.
Corolario (Teorema del valor intermedio)Si I ⊂ R es un intervalo y f : I −→ R es una funcion continua, entonces f(I)es un intervalo.
Teorema de los ceros de Bolzano
Lema (conservacion del signo)Sea A⊂ R, a ∈A y f :A−→ R una funcion continua en a.Si f(a) 6= 0, entonces existe δ > 0 tal que
x ∈A ∩ ]a− δ,a+ δ[ ⇒ f(x)f(a)> 0.
Teorema (de los ceros de Bolzano)Sean a,b ∈ R y f : [a,b]−→ R continua tal que f(a)f(b)< 0.Entonces existe (al menos) un elemento c ∈ [a,b] tal que f(c) = 0.
El siguiente resultado afirma que la imagen por una funcion continua de unintervalo es un intervalo.
Corolario (Teorema del valor intermedio)
Si I ⊂ R es un intervalo y f : I −→ R es una funcion continua, entonces f(I)es un intervalo.
Teorema de los ceros de Bolzano
Lema (conservacion del signo)Sea A⊂ R, a ∈A y f :A−→ R una funcion continua en a.Si f(a) 6= 0, entonces existe δ > 0 tal que
x ∈A ∩ ]a− δ,a+ δ[ ⇒ f(x)f(a)> 0.
Teorema (de los ceros de Bolzano)Sean a,b ∈ R y f : [a,b]−→ R continua tal que f(a)f(b)< 0.Entonces existe (al menos) un elemento c ∈ [a,b] tal que f(c) = 0.
El siguiente resultado afirma que la imagen por una funcion continua de unintervalo es un intervalo.
Corolario (Teorema del valor intermedio)Si I ⊂ R es un intervalo y f : I −→ R es una funcion continua, entonces f(I)es un intervalo.
Teorema de los ceros de Bolzano
Lema (conservacion del signo)Sea A⊂ R, a ∈A y f :A−→ R una funcion continua en a.Si f(a) 6= 0, entonces existe δ > 0 tal que
x ∈A ∩ ]a− δ,a+ δ[ ⇒ f(x)f(a)> 0.
Teorema (de los ceros de Bolzano)Sean a,b ∈ R y f : [a,b]−→ R continua tal que f(a)f(b)< 0.Entonces existe (al menos) un elemento c ∈ [a,b] tal que f(c) = 0.
El siguiente resultado afirma que la imagen por una funcion continua de unintervalo es un intervalo.
Corolario (Teorema del valor intermedio)Si I ⊂ R es un intervalo y f : I −→ R es una funcion continua, entonces f(I)es un intervalo.
Teorema de Weierstrass
Teorema (de Weierstrass)Sean a,b ∈ R con a < b y f : [a,b]−→ R una funcion continua. Entoncesf([a,b]) es un intervalo cerrado y acotado.
Es muy facil dar ejemplos de funciones continuas definidas en otros tipos deintervalos cuya imagen no es un intervalo cerrado o no es acotado.
Basta considerar las funciones
f(x) = x
1 + |x| , ∀x ∈ R, g(x) = 1x, ∀x ∈]0,1[.
En el primer caso f(R) =]−1,1[ y en el segundo g(]0,1[) =]1,+∞[.
El primer ejemplo muestra tambien que la imagen de un intervalo cerrado poruna funcion continua no tiene que ser un intervalo cerrado.
Por otra parte, como las funciones constantes son continuas, la imagen por unafuncion continua de un intervalo abierto no es necesariamente un intervaloabierto.
Teorema de Weierstrass
Teorema (de Weierstrass)Sean a,b ∈ R con a < b y f : [a,b]−→ R una funcion continua. Entoncesf([a,b]) es un intervalo cerrado y acotado.
Es muy facil dar ejemplos de funciones continuas definidas en otros tipos deintervalos cuya imagen no es un intervalo cerrado o no es acotado.
Basta considerar las funciones
f(x) = x
1 + |x| , ∀x ∈ R, g(x) = 1x, ∀x ∈]0,1[.
En el primer caso f(R) =]−1,1[ y en el segundo g(]0,1[) =]1,+∞[.
El primer ejemplo muestra tambien que la imagen de un intervalo cerrado poruna funcion continua no tiene que ser un intervalo cerrado.
Por otra parte, como las funciones constantes son continuas, la imagen por unafuncion continua de un intervalo abierto no es necesariamente un intervaloabierto.
Teorema de Weierstrass
Teorema (de Weierstrass)Sean a,b ∈ R con a < b y f : [a,b]−→ R una funcion continua. Entoncesf([a,b]) es un intervalo cerrado y acotado.
Es muy facil dar ejemplos de funciones continuas definidas en otros tipos deintervalos cuya imagen no es un intervalo cerrado o no es acotado.
Basta considerar las funciones
f(x) = x
1 + |x| , ∀x ∈ R, g(x) = 1x, ∀x ∈]0,1[.
En el primer caso f(R) =]−1,1[ y en el segundo g(]0,1[) =]1,+∞[.
El primer ejemplo muestra tambien que la imagen de un intervalo cerrado poruna funcion continua no tiene que ser un intervalo cerrado.
Por otra parte, como las funciones constantes son continuas, la imagen por unafuncion continua de un intervalo abierto no es necesariamente un intervaloabierto.
Teorema de Weierstrass
Teorema (de Weierstrass)Sean a,b ∈ R con a < b y f : [a,b]−→ R una funcion continua. Entoncesf([a,b]) es un intervalo cerrado y acotado.
Es muy facil dar ejemplos de funciones continuas definidas en otros tipos deintervalos cuya imagen no es un intervalo cerrado o no es acotado.
Basta considerar las funciones
f(x) = x
1 + |x| , ∀x ∈ R, g(x) = 1x, ∀x ∈]0,1[.
En el primer caso f(R) =]−1,1[ y en el segundo g(]0,1[) =]1,+∞[.
El primer ejemplo muestra tambien que la imagen de un intervalo cerrado poruna funcion continua no tiene que ser un intervalo cerrado.
Por otra parte, como las funciones constantes son continuas, la imagen por unafuncion continua de un intervalo abierto no es necesariamente un intervaloabierto.
Teorema de Weierstrass
Teorema (de Weierstrass)Sean a,b ∈ R con a < b y f : [a,b]−→ R una funcion continua. Entoncesf([a,b]) es un intervalo cerrado y acotado.
Es muy facil dar ejemplos de funciones continuas definidas en otros tipos deintervalos cuya imagen no es un intervalo cerrado o no es acotado.
Basta considerar las funciones
f(x) = x
1 + |x| , ∀x ∈ R, g(x) = 1x, ∀x ∈]0,1[.
En el primer caso f(R) =]−1,1[ y en el segundo g(]0,1[) =]1,+∞[.
El primer ejemplo muestra tambien que la imagen de un intervalo cerrado poruna funcion continua no tiene que ser un intervalo cerrado.
Por otra parte, como las funciones constantes son continuas, la imagen por unafuncion continua de un intervalo abierto no es necesariamente un intervaloabierto.
Teorema de Weierstrass
Teorema (de Weierstrass)Sean a,b ∈ R con a < b y f : [a,b]−→ R una funcion continua. Entoncesf([a,b]) es un intervalo cerrado y acotado.
Es muy facil dar ejemplos de funciones continuas definidas en otros tipos deintervalos cuya imagen no es un intervalo cerrado o no es acotado.
Basta considerar las funciones
f(x) = x
1 + |x| , ∀x ∈ R, g(x) = 1x, ∀x ∈]0,1[.
En el primer caso f(R) =]−1,1[ y en el segundo g(]0,1[) =]1,+∞[.
El primer ejemplo muestra tambien que la imagen de un intervalo cerrado poruna funcion continua no tiene que ser un intervalo cerrado.
Por otra parte, como las funciones constantes son continuas, la imagen por unafuncion continua de un intervalo abierto no es necesariamente un intervaloabierto.
Teorema de Weierstrass
Teorema (de Weierstrass)Sean a,b ∈ R con a < b y f : [a,b]−→ R una funcion continua. Entoncesf([a,b]) es un intervalo cerrado y acotado.
Es muy facil dar ejemplos de funciones continuas definidas en otros tipos deintervalos cuya imagen no es un intervalo cerrado o no es acotado.
Basta considerar las funciones
f(x) = x
1 + |x| , ∀x ∈ R, g(x) = 1x, ∀x ∈]0,1[.
En el primer caso f(R) =]−1,1[ y en el segundo g(]0,1[) =]1,+∞[.
El primer ejemplo muestra tambien que la imagen de un intervalo cerrado poruna funcion continua no tiene que ser un intervalo cerrado.
Por otra parte, como las funciones constantes son continuas, la imagen por unafuncion continua de un intervalo abierto no es necesariamente un intervaloabierto.
Teorema de Weierstrass
Merece la pena recalcar que bajo las hipotesis del Teorema de Weierstrass severifica que existen dos reales α y β tales que α≤ β y ademas f([a,b]) = [α,β].
En particular, existen x0,y0 ∈ [a,b] tales que f(x0) = α y f(y0) = β. Por estose suele decir que f alcanza su mınimo en el intervalo [a,b] en el punto x0 yaque
f(x0) = α≤ f(x), ∀x ∈ [a,b].
Por razones similares, se dice que f alcanza su maximo en el punto y0.
Teorema de Weierstrass
Merece la pena recalcar que bajo las hipotesis del Teorema de Weierstrass severifica que existen dos reales α y β tales que α≤ β y ademas f([a,b]) = [α,β].
En particular, existen x0,y0 ∈ [a,b] tales que f(x0) = α y f(y0) = β. Por estose suele decir que f alcanza su mınimo en el intervalo [a,b] en el punto x0 yaque
f(x0) = α≤ f(x), ∀x ∈ [a,b].
Por razones similares, se dice que f alcanza su maximo en el punto y0.
Teorema de Weierstrass
Merece la pena recalcar que bajo las hipotesis del Teorema de Weierstrass severifica que existen dos reales α y β tales que α≤ β y ademas f([a,b]) = [α,β].
En particular, existen x0,y0 ∈ [a,b] tales que f(x0) = α y f(y0) = β. Por estose suele decir que f alcanza su mınimo en el intervalo [a,b] en el punto x0 yaque
f(x0) = α≤ f(x), ∀x ∈ [a,b].
Por razones similares, se dice que f alcanza su maximo en el punto y0.
Teorema de Weierstrass
Merece la pena recalcar que bajo las hipotesis del Teorema de Weierstrass severifica que existen dos reales α y β tales que α≤ β y ademas f([a,b]) = [α,β].
En particular, existen x0,y0 ∈ [a,b] tales que f(x0) = α y f(y0) = β. Por estose suele decir que f alcanza su mınimo en el intervalo [a,b] en el punto x0 yaque
f(x0) = α≤ f(x), ∀x ∈ [a,b].
Por razones similares, se dice que f alcanza su maximo en el punto y0.