Mecánica Cuántica Tarea 2 de Clase

1. Determine como se escribiría el operador de posición x̂ en la representación de

momentos. Para ello, (a) Indique como se escriben las funciones de onda que tienen posición bien definida

en la representación de momentos, ( , )x p tΦ . (b) Utilice la expresión anterior para encontrar una forma de escribir el operador x̂ en

la representación de momentos, de tal manera que sea útil para extraer el valor de la posición, es decir,

ˆ ( , ) ( , )x xx p t x p tΦ = Φ (c) Si la forma que encontró para x̂ es correcta, entonces debe cumplirse que para

una función de onda general (que no necesariamente tiene bien definida la posición de la partícula)

ˆ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( )p t x p t dp x t x x t dx x t∞ ∞

∗ ∗

−∞ −∞

Φ Φ = Ψ Ψ ≡∫ ∫ ,

donde ( , )p tΦ es la función de onda en representación de momentos y ( , )x tΨ es la función de onda en representación de posiciones. Compruébelo utilizando la expresión que encontró en el inciso (b).

2. Para el caso de que el potencial no dependa explícitamente del tiempo, la ecuación de

Schrödinger nos indica que la solución más general para la función de onda se escribe ( , ) ( ) iEt

E EE

r t A r eψ −Ψ =∑ �� �

donde EA son constantes, ( )E rψ � son soluciones de la ecuación de Schrödinger estacionaria y E son las energías. Estos últimos tienen valores discretos debido a que deben cumplir con las condiciones de frontera del problema. Asumiendo que las soluciones estacionarias son ortonormales, es decir,

3,

( ) ( )E E E E

todo elespacio

r r dψ ψ δ∗′=∫ r

� � ,

encuentre como se calcula el promedio de la energía en términos de los coeficientes EA .