c:/latex/math.com.mx/cur 11 002 mb apuntes 001€¦ · ecuaciones exponenciales ... es primo sí...

Apuntes

Resumen de definiciones

www.math.com.mxJosé de Jesús Angel Angel

[email protected]

MathCon c© 2007-2015

Contenido

1. Expresiones Algebraícas 31.1. Conjuntos de Números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 31.2. Propiedades de los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 41.3. Propiedades de potencias y radicales . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 51.4. Criterios de divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 5

2. Porcentajes 72.0.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7

2.1. Porcentajes simplificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 82.2. Porcentajes especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 9

2.2.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 102.3. Porcentaje conocido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 10

2.3.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 102.4. Porcentaje desconocido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 11

2.4.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 112.5. Problemas de Porcentajes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 11

2.5.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11

3. Polinomios 153.1. Producto de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 153.2. Producto notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 15

3.2.1. Binomio al cuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 153.2.2. Diferencia de cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 163.2.3. Simplificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 163.2.4. División de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 173.2.5. Factorización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 193.2.6. Trinomio Cuadrado Perfecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 213.2.7. Trinomio Cuadrado Perfecto y diferencia de cuadrados . . . . . . . . . . . . 213.2.8. Completando TCP y Diferencia de Cuadrados . . . . . . . . .. . . . . . . . 22

4. Logaritmos 244.1. Definición. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 244.2. Ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 244.3. Hallar los logaritmos base 2 de los siguientes números.. . . . . . . . . . . . . . . . 254.4. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 254.5. Reglas del los logaritmos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 264.6. Logaritmación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 274.7. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 284.8. Logaritmo y potenciación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 284.9. Cambio de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 29

2

4.10. Ecuaciones Exponenciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 294.11. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 304.12. Aplicaciones comunes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 31

5. Trigonometría 335.1. Ángulos en grados y radianes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 335.2. sen(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.2.1. El valor del seno para algunos ángulos comunes . . . . . .. . . . . . . . . . 345.2.2. El valor del seno para30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.2.3. El valor del seno para45◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.2.4. El valor del seno para60◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.2.5. El valor del seno para120◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.2.6. El valor del seno para135◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.2.7. El valor del seno para150◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.2.8. El valor del seno para210◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.3. El valor del seno para225◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.4. El valor del seno para240◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.4.1. El valor del seno para300◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.4.2. El valor del seno para315◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.4.3. El valor del seno para330◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.4.4. Resumen de valores comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 505.4.5. Relaciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 51

Capítulo 1

Expresiones Algebraícas

1.1. Conjuntos de Números

Los números naturalesN = { 1, 2, 3, 4, 5, ...}

1. Con los números naturales se puede contar.

2. Todo número natural, tiene su sucesor.

3. Con los números naturales se puede sumar,3 + 2 = 5.

4. con los números naturales se puede multiplicar,3 · 2 = 6.

5. Se puede elevar potencias,23 = 2 · 2 · 2.

6. La ecuaciónx+ 3 = 1, no se puede resolver con naturales.

Los números enterosZ = {...− 2,−1, 0, 1, 2, ...}

1. Con los números enteros se puede sumar,3 + 2 = 5 y restar5− 2 = 3.

2. Con los números enteros se puede multiplicar,3 · 2 = 6.

3. Se puede elevar potencias,23 = 2 · 2 · 2.

4. La ecuación3x = 1, no se puede resolver con enteros.

5. Propiedad de Euclides: para todos dos enterosa, b existen otros enterosq, r, tales quea = qb+r.(Salto de la rana).

6. Un número entero diferente a 1, es primo sí solo es divisible por el 1 y por sí mismo.

7. Números Primos2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ....

8. Teorema Fundamental de la aritmética: Todos los números enteros se pueden escribir comoproducto de potencias de números primos.

1.2. Propiedades de los números reales 4

Los números racionalesQ = {ab| b 6= 0, a, b ∈ Z}

1. Con los números enteros se puede sumar y restar,a

b± c

d=

ad± bc

bd, b, c 6= 0.

2. Con los números enteros se puede multiplicar,a

b

b

c=

ab

bc, b, c 6= 0.

3. Con los racionales se puede dividir,

a

bc

d

=ad

bc, b, c, d 6= 0.

4. Se puede elevar potencias,(a

b

)

n

=an

bn.

5. La ecuaciónx2 = 2, no se puede resolver con racionales.

Los números irracionalesI

1. Son números irracionales√2,√3,√5, π, e

Los números realesR = Q ∪ I

1.2. Propiedades de los números reales

Propiedades de campo de los números reales.

1. La suma es conmutativaa+ b = b+ a.

2. La suma es asociativaa+ (b+ c) = (a+ b) + c.

3. Existe el neutro aditivo,0, a+ 0 = a.

4. Existen los inversos aditivosa+ (−a) = 0.

5. El producto es conmutativoa · b = b · a.

6. El producto es asociativoa · (b · c) = (a · b) · c.

7. Existe el neutro multiplicativo,1, a · 1 = a.

8. Existen los inversos multiplicativos solo para los reales diferentes de cero,a · 1a= 1.

9. La ley distributiva y la factorización:a · (b+ c) = a · b+ a · c.

1.3. Propiedades de potencias y radicales 5

1.3. Propiedades de potencias y radicales

Propiedades de potencias enteras.

1. an · am = an+m.

2.an

am= an−m.

3. a0 = 1

4. (an)m = anm

Potencias negativas y racionales.

1. a−n =1

an.

2. a1

n = n

√a.

Propiedades válidas.

1.√ab =

√a√b.

2.

√

a

b=

√a√b

.

3. n

√ab = n

√a

n

√b = a

1

n b1

n = (ab)1

n .

4. n

√

a

b=

n

√a

n

√b=

a1

n

b1

n

=(a

b

)1

n

.

5. m

√

n

√a = nm

√a = n

√

m

√a =

(

a1

n

)1

m

= a1

nm =(

a1

m

)1

n

6. n

√am = a

m

n = (am)1

n

Propiedades NO válidas.

1.√a+ b =

√a+√b.

2. (a+ b)2 = a2 + b2.

3.a+ b

a= b.

1.4. Criterios de divisibilidad

Cómo saber si un número tienen factor a 2,3,5.

1.4. Criterios de divisibilidad 6

1. Un númeron es divisible por 2 si es par.

2. Un númeron es divisible por 3, si la suma de sus dígitos es divisible por 3..

3. Un número es divisible por 5, si termina en 0 o 5.

Capítulo 2

Porcentajes

El porcentaje es una manera práctica de hablar que ayuda a daruna idea inmediata de la magnitud deuna cantidad respecto a otra. A una cantidada cualquiera la suponemos como un todo, que llamamos el100%, entonces podemos partir a esa cantidad en 100 partes y hablar de cualquiera de sus partes.

La regla para obtener un porcentaje es simple, por ejemplo siqueremos obtener el15% de a,entoncesa es el100% y se resuelve por una regla de 3.

100% ←→ a

15% ←→ x

∴ x =15 · a100

2.0.1. Ejercicios

1. Encontrar el20% de 170

100% ←→ 17020% ←→ x

∴ x =20 · 170100

= 34


100% ←→ 126056% ←→ x

∴ x =56 · 1260

100= 705,6


100% ←→ 235090% ←→ x

2.1. Porcentajes simplificado 8

∴ x =90 · 2350

100= 2115


100% ←→ 1277% ←→ x

∴ x =77 · 12100

= 9,24

5. Encontrar el29% de1,5

100% ←→ 1,529% ←→ x

∴ x =29 · 1,5100

= 0,435

2.1. Porcentajes simplificado

Observemos que de la fórmula para obtener el15% es:

∴ x =15 · a100

Esto es equivalente a multiplicara por15

100= 0,15

Por lo tanto:

1. Para obtener el3% dea, basta multiplicara · 0,03










2.2. Porcentajes especiales 9

2.2. Porcentajes especiales

Es frecuente que algunos porcentajes sean simples de calcular. Observe que de la fórmula para elb

por ciento.

100% ←→ a

b% ←→ x

∴ x =b · a100

1 Si queremos obtener el50%, entonces obtenemos:

∴ x =50

100a =

1

2a

Es decir obtener el50% dea es obtener la mitad dea.


∴ x =25

100a =

1

4a

Es decir obtener el25% dea es obtener la cuarta parte dea.


∴ x =20

100a =

1

5a

Es decir obtener el20% dea es obtener la quinta parte dea.


∴ x =10

100a =

1

10a

Es decir obtener el10% dea es obtener la décima parte dea.


∴ x =75

100a =

3

4a

Es decir obtener el75% dea es obtener tres cuartas partes dea.

2.3. Porcentaje conocido 10

2.2.1. Ejercicios


50%(9000) =9000

2= 4500


25%(150) =150

4= 37,5


20%(330) =330

5= 66


10%(1260) =1260

10= 126


75%(27) =3 · 274

= 20,25

2.3. Porcentaje conocido

Si se conoce el porcentaje de un todo, con la regla de 3, es simple conocer el todo. Es decir, si sesabe queb% esa, cuál es el100%.

100% ←→ x

b% ←→ a

∴ x =a · 100

b

2.3.1. Ejercicios

1. Sí el30% es 330, cuál es el100%.

x =330 · 100

30= 1100


x =150 · 100

15= 1000


x =300 · 100

75= 400

2.4. Porcentaje desconocido 11

2.4. Porcentaje desconocido

Si se conoce dos números cualquiera, con la regla de 3 es simple conocer que porcentaje es uno delotro. Es decir, si se sabe quea, b que porcentaje esa deb. Es decir sib es el100%, cual porcentajexesa.

100% ←→ b

x% ←→ a

∴ x =a · 100

b%

2.4.1. Ejercicios

1. Qué porcentaje es 30.4 de 95

x =30,4 · 100

95= 32%

2. Qué porcentaje es 156 de 1950

x =156 · 1001950

= 8%

3. Qué porcentaje es 3.5 de 1.75

x =3,5 · 1001,75

= 200%

2.5. Problemas de Porcentajes

2.5.1. Ejercicios

1. Si una televisión cuesta 2300$ y tiene un descuento de 12%, £Cuánto costará al final?

Paso 1El costo final es2300− (12%(2300)).

Paso 2El 12% de2300 es:

x =12 · 2300

100= 276%

Paso 3El costo final es2300− 276 = 2024.

2. Si el salario mínimo es de53$ y tienen un aumento del 0.5%, £Cuánto será el salario?

Paso 1El salario final es53 + (0,5%(53)).

Paso 2El 0,5% de53 es:

x =0,5 · 23100

= 0,115%

Paso 3El salario final es53 + 0,115 = 53,115

3. En una compañía de 1230 trabajadores el35% hablan inglés, £Cuántos trabajadores no hablaninglés?

Paso 1El porcentaje de trabajadores que no hablan inglés es100− 35 = 65%

2.5. Problemas de Porcentajes 12

Paso 2El 65% de1230 es:

x =65 · 1230

100= 799,5%

Paso 3El número de trabajadores que no hablan inglés es 799 ó 800.

4. Al vender una casa por 2345000 se gana el13%, £Cuánto valía la casa ?

Paso 1La casa se vendió al100+13 = 113%, el costo de la casa antes de venderla es del100%.

113% ←→ 2345000100% ←→ x

Paso 2El costo de la casa se calcula por la regla de tres siguiente:

x =100 · 2345000

113= 2075221,23%

Paso 3El casa valía2075221,23.

Otra manera de poder resolver este problema es plantear la siguiente ecuación: si la casa cuestaa entonces se vendió ena+0,13a, es decir, su costo más el la ganancia. Entoncesa(1+0,13) =

2345000, por lo tantoa =2345000

1,13= 2075221,23.

5. Si compro libros a 120 y los vendo a 130, £Qué porcentaje gano?

Paso 1El costo de ganancia es de130− 120 = 10.

Paso 2El porcentaje de ganancia es el porcentaje que es 10 de 120.

x =10 · 100120

= 8,33%

Paso 3El porcentaje de ganancia aproximado es de8,33%

6. Los precios de televisiones incluyen el IVA (16 %), y pagué por uno de ellos $ 2550 pesos, alfacturar el empleado £cómo calcula el IVA ?

Paso 1El costo de la televisión esa, entonces más IVA es dea+ a0,16.

Paso 2Igualando,a+ a0,16 = a(1 + 0,16) = 2550.

Paso 3Despejandoa =2550

1,16= 2198,27.

7. Al comprar gasolina, se llenó el tanque con $300 pesos, £cuánto se compró de gasolina sin IVA?

Paso 1El costo de la gasolina esa, entonces más IVA es dea+ a0,16.

Paso 2Igualando,a+ a0,16 = a(1 + 0,16) = 300.

Paso 3Despejandoa =300

1,16= 258,62.

8. Si invertimos$2500 pesos en un banco que ofrece el3% de interés anual, cuánto capital ten-dremos al cabo de un año?

Paso 1El capital inicial es dea pesos.

Paso 2Al final del año se tendrá el capital inicial más el interés acumulado, es decir,a+0,03a =a(1 + 0,03) = 1,03a.

Paso 3El capital final esb = 1,03(2500) = 2575.


9. Si pedimos un préstamo de$2000 y nos cobran un interés del9% anual, cuánto debemos depagar al final del año?

Paso 1El préstamo inicial es dea pesos.

Paso 2Al final del año se tendrá un acumulado del inicial más el interés, es decir,

a+ 0,09a = a(1 + 0,09)= 1,09a

Paso 3La deuda esb = 1,09(2000) = 2180.

10. Si aún no podemos pagar la deuda del problema anterior, y se prórroga un año más el tiempopara liquidar la deuda, cuánto debemos pagar al final de los dos años?

Paso 1Aplicando el mismo razonamiento que el caso anterior, salvoque el capital inicial, ahoraesb.

Paso 2

b+ 0,09b = b(1 + 0,09)= 1,09b

Paso 3Sustituyendob = 1,09a, obtenemos el capital más interés al final de dos años:

c = 1,09b= 1,09(1,09a)= 1,092a= 1,092(2000)

Paso 3El capital más interés al final de dos años esc = 2376,2.

11. La siguiente tabla muestra las ventas de pantallas electrónicas durante los años 2002 y 2003.Completar las cifras faltantes.

a b cTipo 2002 2003 VariaciónLCD 130 670 415,38%Plasma 380 160.53%Retroproyector 470 490 4.26 %Proyector 170 41.67%Tipos nuevos 2320 110.91%Tubo 10410 9290 −10,76%Total

Paso 1La primera fila nos permite constatar la relación entre las columnas. Si llamamos a lacolumna de ventas del 2002 comoa y a la columna de ventas del 2003 comob, entoncesla primera fila nos dice quea+ a4,1538 = b. Es decir:

a+ a4,1538 = a(1 + 4,1538)= a(5,1538)= (130)(5,1538)= 669,994≃ 670

Por lo tanto se muestra que las ventas del 2002 se incrementaron un415,38%.


Paso 2Para la columna 2 (pantallas de plasma), tenemos que la relación esa + a1,6053 = b,dondea = 380. Entonces,(380 + 380(1,6053) = 380 + 610,014 = 990,014.

Paso 4Para la columna 4, tenemos que:

b = a+ a0,4167= a(1 + 0,4167)= a(1,4167)

170 = a(1,4167)

Por lo tantoa =170

1,4167= 119,997.

Capítulo 3

Polinomios

Una expresión de la siguiente formaa0 + a1x + a2x2 + a3x

3 + · · · + anxn se llama polinomio

con indeterminadax y coeficientesa0, a1, a2, ..., an enZ,Q,R en tal caso el conjunto de polinomiosse denomina comoZ[x],Q[x],R[x] respectivamente. El númeron se llama grado del polinomio.

En los polinomios se pueden definir una suma, seanp(x), q(x) polinomios entoncesp(x) + q(x)es la suma de polinomios.

Al igual de los enteros, en los polinomios satisface la propiedad euclidiana, es decir, dadosa(x), b(x)entonces existenq(x), r(x) tales quea(x) = q(x)b(x) + r(x).

3.1. Producto de polinomios

(a2m+1 − 5a2m+2 + 3a2m) por (a3m−3 + 63m−1 − 8a3m−2)

Paso 1Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos, la ley distributiva y la ley de losexponentes (a0 = 1), obtenemos:

(a2m+1 − 5a2m+2 + 3a2m)

(a3m−3 + 6a3m−1 − 8a3m−2) = (a2m+1 − 5a2m+2 + 3a2m)(a3m−3)

(a2m+1 − 5a2m+2 + 3a2m)(6a3m−1)

(a2m+1 − 5a2m+2 + 3a2m)(−8a3m−2)

= a5m−2 − 5a5m−1 + 3a5m−3

6a5m − 30a5m+1 + 18a5m−1

−8a5m−1 + 40a5m − 24a5m−2

= −23a5m−2 + 5a5m−1 + 3a5m−3 + 46a5m − 30a5m+1

Paso 2Por lo tanto

(a2m+1−5a2m+2+3a2m)(a3m−3+63m−1−8a3m−2) = −23a5m−2+5a5m−1+3a5m−3+46a5m−30a5m+1

3.2. Producto notables

3.2.1. Binomio al cuadrado

(4m5 + 5n6)2

3.2. Producto notables 16

Paso 1Usando la fórmula para este caso.

(4m5 + 5n6)2 = (4m5)2 + 2(4m5)(5n6) + (5n6)2

Paso 2Efectuando operaciones.

(4m5 + 5n6)2 = 16m10 + (2)(4)(5)m5n6 + 25n12

= 16m10 + 40m5n6 + 25n12

3.2.2. Diferencia de cuadrados

(a2 − ab+ b2)(a2 + b2 + ab)

Paso 1Reordenando términos.

(a2 − ab+ b2)(a2 + b2 + ab) = ((a2 + b2)− (ab))((a2 + b2) + (ab))

Paso 2Usando la fórmula para este caso.

(a2 − ab+ b2)(a2 + b2 + ab) = (a2 + b2)2 − (ab)2

3.2.3. Simplificación

Simplificar

x

y− y

x

1 +y

x

Paso 1Simplificando numerador y denominador.x

y− y

x

1 +y

x

=

x2 − y2

yxx+ y

x

Paso 2Dividiendo y simplificando.

x2 − y2

yxx+ y

x

=x(x2 − y2)

yx(x+ y)

=(x+ y)(x− y)

y(x+ y)

=x− y

y


Paso 3Por lo tanto.

x

y− y

x

1 +y

x

=x− y

y

3.2.4. División de polinomios

am4 − am− 2a entream+ a

Paso 1Se dividen los primeros términos del dividendo y el divisoram4

am= m3, el resultado es el

primer término del cociente:

m3

am+ a√am4 − am− 2a

Paso 2Se multiplicam3 poram+ a, se cambia el signo y se coloca abajo del dividendo:

m3

am+ a√am4 − am− 2a−am4 − am3

Paso 3Se realiza la suma.

m3


0− am3 − am− 2a

Paso 4Se dividen ahora−am3

am= −m2, el resultado será el segundo término del cociente:

m3 −m2


0− am3 − am− 2a

Paso 5Se multiplica−m2 por am + a, se cambia de signo y se coloca abajo del residuo hasta ahoraobtenido:

m3 −m2


0− am3 − am− 2aam3 + am2


Paso 6Se suma lo obtenido con los términos correspondientes:

m3 −m2


0− am3 − am− 2aam3 + am2

0 + am2 − am− 2a

Paso 7Se dividen ahoraam2

am= m, el resultado será el tercer término del cociente:

m3 −m2 +m


0− am3 − am− 2aam3 + am2

0 + am2 − am− 2a

Paso 8Se multiplicam por am + a, se cambia de signo y se coloca abajo del residuo hasta ahoraobtenido:

m3 −m2 +m


0− am3 − am− 2aam3 + am2

0 + am2 − am− 2a−am2 − am


m3 −m2 +m


0− am3 − am− 2aam3 + am2

0 + am2 − am− 2a−am2 − am

0− 2am− 2a

Paso 10Se dividen ahora−2amam

= −2, el resultado será el cuarto término del cociente:


m3 −m2 +m− 2


0− am3 − am− 2aam3 + am2

0 + am2 − am− 2a−am2 − am

0− 2am− 2a

Paso 11Se multiplica−2 por am + a, se cambia de signo y se coloca abajo del residuo hasta ahoraobtenido:

m3 −m2 +m− 2


0− am3 − am− 2aam3 + am2

0 + am2 − am− 2a−am2 − am

0− 2am− 2a2am+ 2a


m3 −m2 +m− 2


0− am3 − am− 2aam3 + am2

0 + am2 − am− 2a−am2 − am

0− 2am− 2a2am+ 2a0

Paso 13Por lo tantoam4 − am− 2a

am+ a= m3 −m2 +m− 2

3.2.5. Factorización

Factorizar1 + a+ 3ab+ 3b.

Paso 1Identificado los términos.La expresión1 + a+ 3ab+ 3b tiene cuatro términos.

Paso 2Reordenando términos.La expresión1 + a+ 3ab+ 3b puede re-escribirse como:(1 + a) + 3b(a+ 1) factorizando3by 1.


Paso 3Factorizando de nuevo.Ahora la expresión(1 + a) + 3b(a+ 1), tiene a(1 + a) como factor común.

Paso 4Finalmente.

1 + a+ 3ab+ 3b = (1 + a) + 3b(a+ 1)

= (1 + a)(1 + 3b)

Factorizar3a3 − 3a2b+ 9ab2 − a2 + ab− 3b2.

Paso 1Identificado los términos.La expresión3a3 − 3a2b+ 9ab2 − a2 + ab− 3b2 tiene seis términos.

Paso 2Reordenando términos.La expresión3a3−3a2b+9ab2−a2+ab−3b2 puede re-escribirse como:3a(a2−ab+3b2)−(a2 − ab+ 3b2) factorizando3a y −1.

Paso 3Factorizando de nuevo.Ahora la expresión3a(a2 − ab+ 3b2)− (a2 − ab+ 3b2), tiene a(a2 − ab+ 3b2) como factorcomún.

Paso 4Finalmente.

3a3 − 3a2b+ 9ab2 − a2 + ab− 3b2 = 3a(a2 − ab+ 3b2)− (a2 − ab+ 3b2)

= (a2 − ab+ 3b2)(3a− 1)

Factorizara2b3 − n4 + a2b3x2 − n4x2 − 3a2b3x+ 3n4x.

Paso 1Identificado los términos.La expresióna2b3 − n4 + a2b3x2 − n4x2 − 3a2b3x+ 3n4x tiene seis términos.

Paso 2Reordenando términos.La expresióna2b3−n4+a2b3x2−n4x2−3a2b3x+3n4x puede re-escribirse como:a2b3(1+x2 − 3x)− n4(1 + x2 − 3x) factorizandoa2b3 y −n4.

Paso 3Factorizando de nuevo.Ahora la expresióna2b3(1 + x2 − 3x)− n4(1 + x2 − 3x), tiene a(1 + x2 − 3x) como factorcomún.

Paso 4Finalmente.

a2b3 − n4 + a2b3x2 − n4x2 − 3a2b3x+ 3n4x = a2b3(1 + x2 − 3x)− n4(1 + x2 − 3x)

= (1 + x2 − 3x)(a2b3 − n4)


3.2.6. Trinomio Cuadrado Perfecto

Factorizara6 − 2a3b3 + b6.

Paso 1Identificado los términos con raíz exacta.

a) Una raíz cuadrada dea6 esa3.

b) Una raíz cuadrada deb6 es−b3.

Paso 2verificando si el término restante es el doble del producto delas raíces.2(a3)(−b3)= −2a3b3.

Paso 3Por lo tanto.a6 − 2a3b3 + b6 = (a3 − b3)2

Factorizar9(x− y)2 + 12(x− y)(x+ y) + 4(x+ y)2.

Paso 1Identificado los términos con raíz exacta.

a) Una raíz cuadrada de9(x− y)2 es3(x− y).

b) Una raíz cuadrada de4(x+ y)2 es2(x+ y).

Paso 2verificando si el término restante es el doble del producto delas raíces.2(3(x− y))(2(x+ y))= 12(x− y)(x+ y).

Paso 3Por lo tanto.9(x− y)2 + 12(x− y)(x+ y) + 4(x+ y)2 = ((x− y) + (x+ y))2

3.2.7. Trinomio Cuadrado Perfecto y diferencia de cuadrados

Factorizara2 + 2ab+ b2 − x2.

Paso 1Identificado el TCP.El TCP de la expresión esa2 + 2ab+ b2

Paso 2Factorizando el TCP.Obtenemos la primera factorización:a2 + 2ab+ b2 − x2 = (a+ b)2 − x2

Paso 3Aplicando la fórmula de diferencia de cuadrados:(a+ b)2 − x2 = ((a+ b) + x)((a+ b)− x)

Paso 4Por lo tanto:

a2 + 2ab+ b2 − x2 = (a+ b+ x)(a+ b− x)

Factorizara2 − 2a+ 1− b2.

Paso 1Identificado el TCP.El TCP de la expresión esa2 − 2a+ 1

Paso 2Factorizando el TCP.Obtenemos la primera factorización:a2 − 2a+ 1− b2 = (a− 1)2 − b2


Paso 3Aplicando la fórmula de diferencia de cuadrados:(a− 1)2 − b2 = ((a− 1) + b)((a− 1)− b)

Paso 4Por lo tanto:

a2 − 2a+ 1− b2 = (a− 1 + b)(a− 1− b)

Factorizara2 − 16− x2 + 36 + 12a− 8x.

Paso 1Identificado el TCP.Un TCP de la expresión esa2 + 2(6)(a) + 62.Otro TCP de la expresión esx2 − 2(4)x+ 42.

Paso 2Factorizando los TCP.a2 + 2(6)(a) + 62 = (a+ 6)2

x2 − 2(4)x+ 42 = (x+ 4)2

Paso 2Resultado parcial.a2 − 16− x2 + 36 + 12a− 8x = (a+ 6)2 − (x+ 4)2

Paso 3Aplicando la fórmula de diferencia de cuadrados:(a+ 6)2 − (x+ 4)2 = ((a+ 6) + (x+ 4))((a+ 6)− (x+ 4))

Paso 4Por lo tanto:

a2 − 16− x2 + 36 + 12a− 8x = (a+ x+ 10)(a+ 2 + x)

3.2.8. Completando TCP y Diferencia de Cuadrados

Factorizara4 + a2 + 1.

Paso 1Identificando parte del TCP.Toda la expresión es una parte de un TCPa4 + a2 + 1.

Paso 2Completando el TCP.a4 + a2 + 1 + a2 − a2

(a4 + a2 + 1 + a2)− a2

Paso 3Factorizando el TCP.(a4 + 2a2 + 1)− a2 = (a2 + 1)2 − a2

Paso 4Ahora aplicando la fórmula de diferencia de cuadrados:(a2 + 1)2 − a2 = ((a2 + 1) + (a))((a2 + 1)− (a))

Paso 5Por lo tanto:

a4 + a2 + 1 = (a2 + 1 + a)(a2 + 1− a)

Factorizar25a4 + 54a2b2 + 49b4.


Paso 1Identificando parte del TCP.Toda la expresión es una parte de un TCP25a4 + 54a2b2 + 49b4.Re-escribiendo la misma expresión(5a2)2 + 54a2b2 + (7b2)2.Para que sea un TCP debemos tener a(2)(5a2)(7b2) = 70a2b2

De los cuales, sólo tenemos54a2b2, faltan entonces16a2b2 para tener un TCP.

Paso 2Completando el TCP.25a4 + 54a2b2 + 49b4 + 16a2b2 − 16a2b2

(25a4 + 54a2b2 + 49b4 + 16a2b2)− 16a2b2

(25a4 + 70a2b2 + 49b4)− 16a2b2

Paso 3Factorizando el TCP.(25a4 + 70a2b2 + 49b4)− 16a2b2 = (5a2 + 7b2)2 − (4ab)2

Paso 4Ahora aplicando la fórmula de diferencia de cuadrados:(5a2 + 7b2)2 − (4ab)2 = ((5a2 + 7b2) + (4ab))((5a2 + 7b2)− (4ab))

Paso 5Por lo tanto:

25a4 + 54a2b2 + 49b4 = (5a2 + 7b2 + 4ab)(5a2 + 7b2 − 4ab)

Factorizar81a4b8 − 292a2b4x8 + 256x16.

Paso 1Identificando parte del TCP.Toda la expresión es una parte de un TCP81a4b8 − 292a2b4x8 + 256x16.Re-escribiendo la misma expresión(9a2b4)2 − 292a2b4x8 + (16x8)2.Para que sea un TCP debemos tener a−(2)(9a2b4)(16x8) = −288a2b4x8

De los cuales tenemos−292a2b4x8, sobran entonces4a2b4x8 para tener un TCP.

Paso 2Completando el TCP.(9a2b4)2 − 292a2b4x8 + (16x8)2 + 4a2b4x8 − 4a2b4x8

(9a2b4)2 − 292a2b4x8 + (16x8)2 + 4a2b4x8 − 4a2b4x8

((9a2b4)2 − 288a2b4x8 + (16x8)2)− 4a2b4x8

Paso 3Factorizando el TCP.((9a2b4)2 − 288a2b4x8 + (16x8)2)− 4a2b4x8 = (9a2b4 − 16x8)2 − (2ab2x4)2

Paso 4Ahora aplicando la fórmula de diferencia de cuadrados:(9a2b4 − 16x8)2 − (2ab2x4)2 = ((9a2b4 − 16x8) + (2ab2x4))((9a2b4 − 16x8)− (2ab2x4))

Paso 5Por lo tanto:

81a4b8 − 292a2b4x8 + 256x16 = (9a2b4 − 16x8 + 2ab2x4)(9a2b4 − 16x8 − 2ab2x4)

Capítulo 4

Logaritmos

4.1. Definición.

Seana, x ∈ R y 1 6= b > 0 tales que:

a = bx

Entonces decimos que:

x = logb a

4.2. Ejemplos.

1. Como53 = 125, entonceslog5 125 = 3.

2. Como25 = 32, entonceslog2 32 = 5.

3. Como10−3 = 0,001, entonceslog10 0,001 = −3.

4. Como

(

1

2

)10

=1

1024, entonceslog1/2

1

1024= 10.

5. Como

(

1

2

)1/2

=1√2

, entonceslog1/21√2= 1/2.

4.3. Hallar los logaritmos base 2 de los siguientes números. 25

6. Si log10 100000 = 5, entonces105 = 100000.

7. Si log3 81 = 4, entonces34 = 81.

8. Si log31

81= −4, entonces3−4 =

1

81.

9. Si log10 0,01 = −2, entonces10−2 = 0,01.

10. Silog43

27

64= −3, entonces

(

4

3

)

−3

=27

64.

4.3. Hallar los logaritmos base 2 de los siguientes números.

1. De32, como25 = 32, entonceslog2 32 = 5.

2. De1

2, como2−1 =

1

2, entonceslog2

1

2= −1.

3. De√2, como21/2 =

√2, entonceslog2

√2 = 1/2.

4. De1/√2, como2−1/2 = 1/

√2, entonceslog2 1/

√2 = −1/2.

5. De 3√4, como 3

√4 =

3√22 = 22/3, entonceslog2

3√4 = 2/3.

4.4. Ejercicios.

Hallar los logaritmos base 10 de los siguientes números.

1. De1000.

2. De0, 0001.

3. De 3√100

4. De1

10√10

Encontrar el valor de la incógnita:

5. x = log3 27

6. y = log5 0, 04

7. log1/2 n = −3

4.5. Reglas del los logaritmos. 26

8. log8 z = −29. log3/2 u = 2

4.5. Reglas del los logaritmos.

Logaritmo de un producto = suma de logaritmos:

logb(xy) = logb x+ logb y

SeaM = logb x,N = logb y, oseabM = x, bN = y, xy = bMbN

Es decir,xy = bM+N .logb(xy) = N +M = logb x+ logb y

Logaritmo de un cociente = resta de logaritmos:

logb

(

x

y

)

= logb x− logb y

Logaritmo de una potencia = baja la potencia:

logb (xy) = y logb x

4.6. Logaritmación. 27

4.6. Logaritmación.

1. y = a3b2,log(y) = log(a3) + log(b2), aplicando logaritmo.log(y) = 3 log(a) + 2 log(b). bajando potencias.

2. y =√ab,

log(y) = log(ab)1/2, aplicando logaritmo.log(y) = (1/2) log(ab), bajando potencias.log(y) = (1/2)(log(a) + log(b)), logaritmo del producto.

3. x =3√ac

(a+ b)2,

log(x) = log( 3√ac)− log (a+ b)2, aplicando logaritmo del cociente.

log(x) = (1/3)(log(a) + log(c))− 2 log(a+ b), bajando potencias.

4. y =n

√

1

ab

√

b

a,

log(y) =1

n

(

log

(

1

ab

√

b

a

))

, baja potencia.

log(y) =1

n

(

log

(

1

ab

)

+ log

(

√

b

a

))

, logaritmo del producto.

log(y) =1

n

(

log(1)− log(ab) + 1/2 log

(

b

a

))

log(y) =1

n(0− (log(a) + log(b)) + 1/2(log(b)− log(a)))

log(y) =1

n(− log(a)− log(b) + 1/2 log(b)− 1/2 log(a))

log(y) =1

n(−3/2 log(a)− 1/2 log(b))

5. y =

√

4a√ab

5b3√a2b

,

log(y) =1

2

(

log(

4a√ab)

− log(

5b3√a2b))

log(y) =1

2(log(4a) + 1/2(log(a) + log(b))− log(5b)− 1/3(2 log(a) + log(b)))

log(y) = 1/2 log(4a) + 1/4 log(a) + 1/4 log(b) − 1/2 log(5b) − 1/3 log(a) −1/6 log(b)log(y) = 1/2 log(4a)− 1/12 log(a)− 1/12 log(b)− 1/2 log(5b)

4.7. Ejercicios. 28

4.7. Ejercicios.

Aplicar logaritmo a las siguientes expresiones.

1. y =

3

√

a4√ab

b2 3√bc

2

2. y =

√

40√

2√3

3

√

5√6

3. y =1

√

a√

b√c

4. y =n

√

mp√b2

5. y =m

√

an+1 n√bp

Encontrar el valor de la incógnita:

6. log x = log 5− log 2 + log 3.

7. log u =1

3log(a+ b)− [log a+ 2 log(b+ c)]

8. log y =1

5[3 log(a− b) + 2 log(a+ b)− 4 log a]

9. log y =1

3[log a+ 1/4(log a+ 3 log c)]− [log b+ 3 log(c+ a)− log(b+ 1)]

4.8. Logaritmo y potenciación.

4.9. Cambio de base. 29

La operación potencia es la inversa del logaritmo:

x = logb a

Entonces:

bx = blogb a = a

4.9. Cambio de base.

Fórmula para el cambio de base:

logb a =logc a

logc b

4.10. Ecuaciones Exponenciales.

1. x√2 = 2x,

21/x = 2x, la raíz como exponente.1

x= x, se aplicalog2.

1 = x2, se despejax.x = ±1.

2. 9−3x =

(

1

27

)x+3

,(

1

32

)3x

=

(

1

33

)x+3

, se descomponen las potencias.

4.11. Ejercicios. 30

(

1

3

)6x

=

(

1

3

)3x+9

, se aplican reglas de potencia.

6x = 3x+ 9, se aplican logatirmo base 1/3.x = 3, se despejax.

3. 3x+1 +18

3x= 29,

3x+13x + 18 = 29 · 3x, se multiplica por3x.3 · 32x − 29 · 3x + 18 = 0, se aplican reglas de exponentes.y = 3x, se hace un cambio de variable.3y2 − 29y + 18 = 0, se obtiene una cuadrática.

y =2

3, y = 9 se resuelve la cuadrática.

Si y =2

3,2

3= 3x.

Entoncesx = log32

3.

Si y = 9, 9 = 3x, 32 = 3x .Entoncesx = 2.

4.11. Ejercicios.

Resolver las siguientes ecuaciones.

1. xx2−7x+12 = 1

2. x

√16 =

√4x

3. 4−1

x =1

2

4.

(

5

4

)0,8x

=64

125

5. 25x+3 = 32x+1

6. 3x2

= 7

7. ln x = 1 + ln(x+ 1)

8. log(x3) = (log x)3

4.12. Aplicaciones comunes. 31

Despejar a x:

9. y =10x + 10−x

2.

10. y =10x − 10−x

2

11. y =10x − 10−x

10x + 10−x

12. y =ex − e−x

2

4.12. Aplicaciones comunes.

1. Decaimiento exponencial: algunos materiales radiactivos se desin-tegran respecto a la siguiente fórmula.

N(t) = N0e−λt

DondeP0 es la cantidad inicial (ent = 0), λ es la constante dedesintegración radiactiva,t es el tiempo. Así tambiénτ = 1/λ, esel promedio de vida de un material radiactivo.

2. Crecimiento de población: el crecimiento de ciertas poblacionesse comportan por medio de una fórmula exponencial.

P (t) = P0ekt

DondeP0 es la la población inicial (ent = 0), k es el promedio decrecimiento anual,t es el tiempo.

3. Intéres compuesto: el crecimiento de capital inicialC0 que se in-vierte a una tasai, enn períodos esta dado por;

C = C0(1 + i)n

4.12. Aplicaciones comunes. 32

4. Depreciación: para calcular el tiempon para que un objeto de valorC llegue a tener un valorV , donde el objeto tiene una esperanzade vidaN , se obtiene con la fórmula:

n =log V − logC

log

(

1− 2

N

)

5. Comparación de terremotos: La magnitudR en la escala de Rich-ter de un terremoto se obtiene con la fórmula:

R = log( a

T

)

+ B

Dondea es la magnitud del movimiento vertical,T es el periódode la onda sísmica yB es el debilitamiento de la onda sísmica conel aumento de la distancia con respecto al centro del terremoto.

Si un terremoto tieneR = 7,9 y otro 5,9, se puede mostrar que elprimero es 100 veces más fuerte que el segundo.

6. Ley de enfriamiento de Newton: un objeto que esta caliente seenfriará debido al medio ambiente, la temparaturaT del objeto enel tiempot se obtiene mediante la fórmula:

T = Tm + (T0 − Tm)e−kt

DondeTm es la temperatura del medio,T0 es la temparatura inicialdel objeto,k constante de enfriamiento.

Capítulo 5

Trigonometría

5.1. Ángulos en grados y radianes

Las dos maneras más comunes de denotar un ángulo es por gradosy por radianes(números reales). La relación que tienen los ángulos conlos radianes se muestra en la siguiente tabla.

Valores entre grados y radianes más comunes

0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 120◦ 135◦ 180◦ 270◦ 360◦

0π

6

π

4

π

3

π

2

2

3π

3

4π π

3

2π 2π

5.2. sen(x)

La función seno puede ser definida de diferentes maneras, la formamás común de hacerlo es a partir de un triángulo rectángulo.

La funciónseno de un ánguloα se define, como el cociente del catetoopuesto al ánguloα, sobre la hipotenusa del triángulo.

Sen(α) =a

c

5.2. sen(x) 34

aΑ

b

c

Figura 2: El valor del seno y coseno en el círculo

5.2.1. El valor del seno para algunos ángulos comunes

Para calcular el valor delseno en algunos ángulos comunes, hay quetrasladar al triángulo en consideración al círculo unitario, ya que deesta manera se podrán obtener algunos valores de la funciónseno deforma explícita. Comosen(α) =

a

cdondea es el cateto opuesto yc

la hipotenusa, por ser el círculo unitarioc = 1. Por lo tantosen(α) esigual a la longitud del segmento rojo de la figura 2.

5.2. sen(x) 35

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5Círculo Unitario

1

Α

SenHΑL

CosHΑL

Figura 2: El valor del seno y coseno en el círculo unitario.

Los valores de ángulos más simples a obtener, son los valores si-guientes:0◦, 90◦, 180◦, 270◦, 360◦. Como se observa en la figura 3, elseno toma los valores de0, 1, 0,−1, 0 respectivamente para estos pri-meros ángulos.

5.2. sen(x) 36

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

Α=0

SenH0L=0

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

Α=90°

SenH90°L=1

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

Α=180°

SenH180°L=0

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

Α=270°

SenH270°L=-1

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

Α=360°

SenH360°L=0

Figura 3: El valor del seno para0◦, 90◦, 180◦, 270◦, 360◦.

En las siguientes subsecciones calcularemos el valor explícito delseno para otros ángulos comunes. Se trabajaran esencialmente dostriángulos, el triángulo rectángulo de30◦ y 60◦ como ángulos internos,

5.2. sen(x) 37

y el triángulo rectángulo isosceles de45◦.

5.2.2. El valor del seno para30

El valor delseno enα = 30◦ se calcula considerando los triángulos△ ACB,△ ABD en círculo unitario como se muestra en la figura 4:

1. El ángulo∠BAC es el ángulo de30◦.

2. El ángulo∠ACB, es de90◦, porque el triángulo△ ACB es rec-tángulo.

3. Por lo tanto el ángulo∠B, es de60◦.

4. También el ángulo∠D, es de60◦, derivado del reflejo del triángulo△ ACB.

5. Así el triángulo△ ABD es equiangular, por lo tanto equilátero.

6. Entonces el ladoDB tiene como longitud 1.

7. Como el ángulo es de30◦, entonces el segmentoAC biseca al lado

BD, entonces la longitud deBC es1

2.

8. Lo anterior muestra que elseno de30◦ es1

2.

A

B

C

D

30°

1��

2

SenH30°L

Figura 4:Sen(π/6) = sen(30◦) =1

2.

5.2. sen(x) 38

5.2.3. El valor del seno para45◦

El valor delseno enα = 45◦, se calcula al considerar el triángulo△ ACB, en el círculo unitario como se muestra en la figura 5:

1. El ángulo∠A es el ángulo de45◦, el ángulo∠C, es de90◦, porqueel triángulo△ ACB es rectángulo.


3. Por lo tanto el triángulo△ ABC es isosceles.

4. Entonces el ladoAC tiene la misma longitud del ladoBC.

5. Por el teorema de pitágoras,|AC|2 + |BC|2 = 1, pero |AC| =|BC|, es decir2|BC|2 = 1, entonces|BC| es

1√2.

6. Lo anterior quiere decir que elseno de45◦ es

√2

2, multiplicando

por

√2√2

a1√2.

A

B

C45°

�!!!!2��

2

SenH45°L

Figura 5:sen(π/4) = sen(45◦) =

√2

2.

5.2. sen(x) 39


El valor delseno enα = 60, se calcula al considerar el triángulo△ ACB en el círculo unitario como se muestra en la figura 6:

1. El ángulo∠A es el ángulo de60◦, el ángulo∠C, es de90◦, porqueel triángulo△ ACB es rectángulo.


3. Entonces, del triángulo de la figura 4, del seno de30◦, tenemos que

el lado|AC| = 1

2.

4. Por el teorema de pitágoras,|AC|2 + |CB|2 = 1, pero|AC| = 1

2,

entonces|CB|2 = 1 − 1

4, lo que implica que|CB|2 =

3

4, o sea

|CB| =√3

2.

5. Lo anterior quiere decir que elseno de60 es

√3

2.

A

B

C60°

�!!!!3��

2

SenH60°L

Figura 6:sen(π/3) = sen(60◦) =

√3

2.

5.2. sen(x) 40


El valor delseno enα = 120◦, se calcula considerando el triángulo△ACB en el círculo unitario como se muestra en la figura 7:

1. Enseno del ángulo120◦, es la longitud del segmento|BC|.2. El ángulo∠A es de60◦.


4. El triángulo△ACB es congruente al△ACB del caso60◦.

5. Por lo tanto|BC| =√3

2


√3

2.

A

B

C 120°

�!!!!3��

2

SenH120°L

Figura 7:sen(2π/3) = sen(120◦) =

√3

2.

5.2. sen(x) 41


El valor delseno enα = 135◦, se calcula considerando el triángulo△BCA en el círculo unitario como se muestra en la figura 8:



4. El triángulo△BCA es congruente al△BCA del caso45◦.


2


√2

2.

A

B

C135°

�!!!!2��

2

SenH135°L

Figura 8:sen(3π/4) = sen(135◦) =

√2

2.

5.2. sen(x) 42


El valor delseno enα = 150◦, se calcula considerando el triángulo△BCA en el círculo unitario como se muestra en la figura 9:



4. El triángulo△BCA es congruente al△BCA del caso45◦.


2


√2

2.

A

B

C 150°

1��

2

SenH150°L

Figura 9:Sen(5π/6) = Sen(150◦) =1

2.

5.2. sen(x) 43


El valor delseno enα = 210◦, se calcula considerando el triánguloen el círculo unitario como se muestra en la figura 10:

1. En seno del ángulo210◦, es la longitud del segmento|BC|. Eneste caso la longitud es negativa.

2. El triángulo a considerar es congruente al caso de30◦

3. Lo anterior quiere decir que elseno de210◦ es−12.

A

B

C 210°

-

1��

2

SenH210°L

Figura 10:Sen(7π/6) = Sen(210◦) = −12

.

5.3. El valor del seno para225◦ 44

5.3. El valor del seno para225◦

El valor delseno enα = 225◦, se calcula considerando el triánguloen el círculo unitario como se muestra en la figura 11:




A

B

C225°

-

�!!!!2��

2

SenH225°L

Figura 11:Sen(5π/4) = Sen(210◦) = −√2

2.


5.4. El valor del seno para240◦

El valor delseno enα = 240◦, se puede calcular considerando eltriángulo en el círculo unitario como se muestra en la figura 12:



3. Lo anterior quiere decir que elseno de240◦ es−√3

2.

A

B

C 240°

-

�!!!!3��

2

SenH240°L

Figura 12:Sen(4π/3) = Sen(240◦) = −√3

2.







2.

A

B

C300°

-

�!!!!3��

2

SenH300°L

Figura 13:Sen(4π/3) = Sen(240◦) = −√3

2.







2.

A

B

C315°

-

�!!!!2��

2

SenH315°L

Figura 14:Sen(7π/4) = Sen(315◦) = −√2

2.







A

B

C330°

-

1��

2

SenH330°L

Figura 15:Sen(7π/4) = Sen(315◦) = −√2

2.


Finalmente la gráfica delseno queda de la siguiente manera:

-Π-

Π

��

2

Π

��

2Π 3Π

��

22Π 5Π

��

23Π

1

-1 Período

Amplitud

Figura 15:sen(x).

Propiedades básicas de la funciónsen(x)

De la gráfica de la funciónseno podemos inferir algunas de sus pro-piedades básicas, como las siguientes:

1. La funciónseno tiene dominioR y rango (imagen del dominio) alintervalo[−1, 1]

sen(x) : R→ [−1, 1].

2. La funciónseno es impar, es decirsen(−x) = −sen(x).3. La funciónseno tiene un periodo2π, es decirsen(x) = sen(x +

k2π).

4. La funciónseno esta acotada por 1, es decir|sen(x)| ≤ 1.

5. La funciónseno tiene máximos (el 1) enx =π

2+ 2πk, k ∈ Z.

6. La funciónseno tiene mínimos (el−1) enx =3π

2+ 2πk, k ∈ Z.


5.4.4. Resumen de valores comunes

grados radianes sen cos tan cot sec csc

0 0 0 1 0 no existe 1 no existe

30π

6

1

2

√3

2

1√3

√3

2√3

2

45π

4

√2

2

√2

21 1

2√2

2√2

60π

3

√3

2

1

2

√3

1√3

22√3

90π

21 0 no existe 0 no existe 1

1202

3π

√3

2−1

2−√3 − 1√

3−2 2√

3

1353

4π

√2

2−√2

21 1 − 2√

2

2√2

1505

6π

1

2−√3

2− 1√

3

√3 − 2√

32

180 π 0 −1 0 no existe −1 no existe

2107

6π −1

2−√3

2

1√3

√3 − 2√

3−2

2255

4π −

√2

2−√2

21 1 − 2√

2− 2√

2

2404

3π −

√3

2−1

2

√3

1√3

−2 − 2√3

2702

3π −1 0 no existe 0 no existe −1

30010

6π −

√3

2

1

2−√3 − 1√

32 − 2√

3

3157

4π −

√2

2

√2

2−1 −1 2√

2− 2√

2

33011

6π −1

2

√3

2− 1√

3−√3

2√3

−2

360 2π 0 1 0 no existe 1 no existe


5.4.5. Relaciones trigonométricas

senα cosα tanα cotα secα cscα

senα√1− cos2 α

tanα√1 + tan2 α

1√1 + cot2 α

√sec2 α− 1

secα

1

cscα

cosα√1− sen2 α

1√1 + tan2 α

cotα√1 + cot2 α

1

secα

√csc2 α− 1

cscα

tanαsenα√

1− sen2 α

√1− cos2 α

cosα

1

cotα

√sec2 α− 1

1√csc2 α− 1

cotα

√1− sen2 α

senα

cosα√1− cos2 α

1

tanα

1√sec2 α− 1

√csc2 α− 1

secα1√

1− sen2 α

1

cosα

√1 + tan2 α

√1 + cot2 α

cotα

cscα√csc2 α− 1

cscα1

senα

1√1− cos2 α

√1 + tan2 α

tanα

√1 + cot2 α

secα√sec2 α− 1

Las anteriores relaciones trigonométricas se derivan de larelación(1)...sen2 α+ cos2 α = 1, quepropiamente se deriva de manera trivial del teorema de pitágoras en el triángulo formado en el círculounitario.

1. Relaciones sobre el seno:

a) Entre el seno y coseno.sinα =

√1− cosα despejando de (1)

b) Entre el seno y la cotangente.1√

1 + cot2 α=

1√

1 +cos2 α

sen2 α

sustituyendo

=1

√

sen2 α+ cos2 α

sen2 α

se realiza el quebrado

=11

senα

se usa (1) y se aplica la raíz

= senα se realiza la división.

c) Entre el seno y tangente.


tanα√1 + tan2 α

=

senα

cosα√

1 +sen2 α

cos2 α

sustituyendo definición de tangente .

=

senα

cosα√

cos2 α+ sen2 α

cos2 α

haciendo el quebrado .

=

senα

cosα√

1

cos2 α

aplicando (1) .

=

senα

cosα1

cosα

aplicando la raíz .

=senα cosα

cosαrealizando el cociente.

= senα reduciendo.

c:/latex/math.com.mx/cur 11 002 mb apuntes 001€¦ · ecuaciones exponenciales ... es primo sí...

Documents