CLASES DE MATRICES

Tipo de matriz

Definición Ejemplo

FILAAquella matriz que tiene una sola fila, siendo su orden 1×n

A1 x3= (7 2 −5 )

COLUMNAAquella matriz que tiene una sola columna, siendo su orden m×1

A3 x1=(−716 )

RECTANGULARAquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su orden m×n ,m≠n

A3 x 4=(1 3 2 95 7 −1 80 3 5 1 )

TRASPUESTA

Dada una matriz A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.Se representa por At  ó  AT

Sies A=(aij )mxn ,su transpuesta esAt=(a ji )nxm,

A=(1 2 53 −4 7) ,

At=(1 32 −45 7 )

OPUESTA

La matriz opuesta de una dada es la que resulta de sustituir cada elemento por su opuesto. La opuesta de A es -A.

A=( 1 35 −7

−6 4 ) ,−A=(−1 −3

−5 76 −4)

NULASi todos sus elementos son cero. También se denomina matriz cero y se denota por Amxn=(0)

A3 x3=(0 0 00 0 00 0 0)

CUADRADA

Aquella matriz que tiene igual número de filas que de

A3 x3=( 1 9 −62 0 1

−2 4 5 )Diagonal

columnas, m = n, diciéndose que la matriz es de orden n.

Diagonal principal : son los elementos a11 , a22 , ..., ann

Diagonal secundaria : son los elementos aij con i+j = n+1

Traza de una matriz cuadrada : es la suma de los elementos de la diagonal principal, notada por Tr (A)

T r (A )=∑i=1

n

aii

principal Diagonal secundaria

SIMÉTRICAEs una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta.A = At , a ij = a ji

ANTI SIMÉTRICA

Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su traspuesta.A = -At , aij = -aji Necesariamente aii = 0

A3 x3=( 0 1 −4−1 0 −24 2 0 )

DIAGONAL

Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal, es decir:

Sea la Matriz A= (aij)mxnssi:

a ij=0 ,∀ i≠ ja ij=escalar ,∀ i= j

A=(7 0 00 5 00 0 −2)

ESCALAR

Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales

A=(7 0 00 7 00 0 7)

IDENTIDAD

También se denomina matriz unidad.Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. Es decir:

Sea la Matriz I= (aij)mxnI es matriz identidad ssi:

a ij=0 ,∀ i≠ ja ij=1, ∀ i= j

I=(1 0 00 1 00 0 1)

TRIANGULAR

Matriz triangular Superior

Sea la Matriz A= (aij)mxnssi:

a ij=0 ,∀ i> jMatriz triangular Inferior

Sea la Matriz A= (aij)mxnssi:

a ij=0 ,∀ i< j

A=(1 3 50 4 −10 0 9 )

T. superior

A=(1 0 05 4 02 8 7)

T. inferior

IDEMPOTENTE

Una matriz A es idempotente si:A2=A

Nota: La identidad no es la única idempotente

I=I 2

I n=I

A=(0 10 1)

ORTOGONAL

Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible: A-1 = AT La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal.El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal.El determinante de una matriz ortogonal vale +1 ó -1.

A∗A t=I

A=(1

√21

√2−1√2

−1√2

)

NORMAL

Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta. Las matrices simétricas, anti simétricas u ortogonales son necesariamente normales.

A=( 5 4−4 5 )

A∗A t=At∗A

INVOLUTIVA

Es una matriz cuadrada ( tiene igual número de filas que de columnas) tal que su cuadrado es igual a la matriz unidad, es decir:

A es involutiva si A x A = I

A2 = I

NILPOTENTE

Decimos que una matriz cuadrada A es Nilpotente de orden r si y sólo si se verifica que Ar=0, ( r es el menor entero positivo )

A es nilpotente de orden

3, A3=0A=(0 1 30 0 −20 0 0 )

OPERACIONES CON MATRICES

Suma de matrices Si las matrices A= (a i j) y B= (b i j) tienen el mismo orden, la matriz suma es:A+B= (a i j+b i j).La matriz suma se obtiene sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición y la matriz resultante tiene el mismo orden de las matrices iníciales, o sea A y B.Ejemplo:

A=(2 0 13 0 05 1 1) B=(1 0 1

1 2 11 1 0)

A+B=(3 0 14 2 16 2 1)

Propiedades de la suma de matrices:

Interna:

La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.Asociativa:

A + (B + C) = (A + B) + CElemento neutro:

A + 0 = ADonde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.Elemento opuesto:

A + (−A) = OLa matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.Conmutativa:

A + B = B + A

Producto de un escalar por una matriz

Dada una matriz B= (b i j) y un número real k R, se define la multiplicación de un número real por una matriz a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por k.k · B=(k b i j)

Ejemplo:

B=(1 0 11 2 11 1 0)5∗B=(5 0 5

5 10 55 5 0)

Propiedades

a · (b · A) = (a · b) · A A Mmxn, a, b a · (A + B) = a · A + a · BA,B Mmxn , a (a + b) · A = a · A + b · A A Mmxn , a, b

1 · A = A A Mmxn

Producto de matrices Dos matrices A y B son multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.

Mm x n x Mn x p = M m x p

El elemento c i j de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

Ejemplo: Primer método de multiplicación de matrices:

A=(2 0 13 0 05 1 1) B=(1 0 1

1 2 11 1 0)

A∗B=(2∗1+0∗1+1∗1 2∗0+0∗2+1∗1 2∗1+0∗1+1∗03∗1+0∗1+0∗1 3∗0+0∗2+0∗1 3∗1+0∗1+0∗05∗1+1∗1+1∗1 5∗0+1∗2+0∗1 5∗1+1∗1+1∗0)

A∗B=(3 1 23 0 37 3 6)

Segundo método de multiplicación de matrices:

(1 0 11 2 11 1 0)

(2 0 13 0 05 1 1)

3 1 2

3 0 3

7 3 6

A * B =

Propiedades de la multiplicación de matrices:Asociativa:A · (B · C) = (A · B) · CElemento neutro:A · I = ADonde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.No es Conmutativa:A · B ≠ B · ADistributiva del producto respecto de la suma:A · (B + C) = A · B + A · C