FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

CENTRO ULADECH - PIURA

DOCENTE : LIC. ANDRES CASTILLO SILV A

CURSO : ESTÁTICA

TEMA 1 : CONDICIONES DE EQUILIBRIO PA RA CUERPOS RÍGIDOS. TEMA 2 : CLASIFICACIÓN ESTÁTICA DE LAS ESTRUCTURAS.

ALUMNO : JOSE I. JUAREZ ALQUIZAR

PIURA - PERÚ

2015

TEMA Nº01: TEMA Nº01: TEMA Nº01: TEMA Nº01: CONDICIONES DE EQUILIBRIO PARA CONDICIONES DE EQUILIBRIO PARA CONDICIONES DE EQUILIBRIO PARA CONDICIONES DE EQUILIBRIO PARA CUERPOS RÍGIDOSCUERPOS RÍGIDOSCUERPOS RÍGIDOSCUERPOS RÍGIDOS

Introducción: Estabilidad y Equilibrio.

Un cuerpo en equilibrio estático, si no se le perturba, no sufre aceleración de traslación o de rotación, porque la suma de todas las fuerzas o la suma de todos los momentos que actúan sobre él son cero. Sin embargo, si el cuerpo se desplaza ligeramente, son posibles tres resultados: (1) el objeto regresa a su posición original, en cuyo caso se dice que está en equilibrio estable; (2) el objeto se aparta más de su posición, en cuyo caso se dice que está en equilibrio inestable; o bien (3) el objeto permanece en su nueva posición, en cuyo caso se dice que está en equilibrio neutro o indiferente. Cuando un cuerpo está sometido a un sistema de fuerzas, tal que la resultante de todas las fuerzas y el momento resultante sean cero, entonces el cuerpo está en equilibrio.

Como en general, los cuerpos que son objeto de estudio en ingeniería están unidos, soportados, en contacto con otros, las posibilidades de movimiento en translación y rotación son menores, esto es, disminuyen los grados de libertad. Es entonces, importante conocer qué tipo de restricción ofrecen los apoyos, uniones o contactos que tiene el cuerpo objeto del análisis. Las restricciones a que es sometido un cuerpo, se manifiestan físicamente por fuerzas o pares (momentos) que impiden la translación o la rotación respectivamente y se les conoce como reacciones.

EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO.

Un cuerpo rígido se puede definir como aquel que no sufre deformaciones por efecto de fuerzas externas, es decir un sistema de partículas cuyas posiciones relativas no cambian. Un cuerpo rígido es una idealización, que se emplea para efectos de estudios de cinemática, ya que esta rama de la mecánica, únicamente estudia los objetos y no las fuerzas exteriores que actúan sobre de ellos

La estática de cuerpos extensos es mucho más complicada que la del punto, dado que bajo la acción de fuerzas el cuerpo no sólo se puede trasladar sino también puede rotar y deformarse.

Consideraremos aquí la estática de cuerpos rígidos, es decir indeformables. En este caso para que haya equilibrio debemos pedir, tomando como referencia un punto P cualquiera del cuerpo, que P no se traslade y que no haya rotaciones.

Es decir que la resultante de todas las fuerzas aplicadas sea nula y que el momento resultante (la suma de los momentos de todas las fuerzas) se anule. Por lo tanto es necesario tomar en cuenta el punto de aplicación de cada fuerza.

Sobre un cuerpo rígido actúan:

1. Fuerzas externas: representan la acción que ejercen otros cuerpos sobre el cuerpo rígido, son las responsables del comportamiento externo del cuerpo rígido, causarán que se mueva o asegurarán su reposo.

2. Fuerzas internas: son aquellas que mantienen unidas las partículas que conforman el cuerpo rígido.

Se puede concluir que cada una de las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo rígido pueden ocasionar un movimiento de traslación, rotación o ambas siempre y cuando dichas fuerzas no encuentren ninguna oposición.

Condiciones de Equilibrio.

� El equilibrio de un cuerpo se expresa como:

� Considerando sumar los momentos respecto algún otro punto, tal como A, requerimos:

Tipos de apoyo para el análisis del diagrama de cuerpo libre en equilibrio de cuerpos rígidos:

Apoyo simple: Restringe un grado de libertad de los tres que posee el cuerpo, puede evitar el cuerpo se mueva hacia arriba, pero permite que se desplace a los lados y también que rote. La fuerza de interacción con el cuerpo es perpendicular al apoyo.

Articulación: Restringe dos grados de libertad, el cuerpo no se puede desplazar hacia arriba (verticalmente), ni hacia los lados (horizontalmente). La reacción a este tipo de apoyos es una fuerza cuyos componentes se observan en la figura:

Empotrado: Restringe los tres grados de libertad. Desplazamiento vertical, desplazamiento horizontal y rotación.

Ecuaciones de Equilibrio.

Para el equilibrio de un cuerpo rígido en 2D:

ΣFx = 0; ΣFy = 0; ΣMO = 0

� ΣFx, ΣFy representan la suma de las componentes x, y de todas las fuerzas.

� ΣMO representa la suma de los momentos de los pares y de los momentos de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo.

Ecuaciones de equilibrio alternativas:

� Para problemas coplanares de equilibrio:

ΣΣΣΣFx = 0; ΣΣΣΣFy = 0; ΣΣΣΣMO = 0 (respecto al eje z, O cualquier punto).

Procedimiento de Análisis.

Diagrama de Cuerpo Libre:

� La fuerza o el momento tienen magnitud desconocida, pero podemos asumir sus líneas de acción.

� Indicar las dimensiones del cuerpo necesarias para calcular los momentos de las fuerzas.

Ecuaciones de equilibrio:

� Aplicar ΣMO = 0 respecto al punto O.

� Orientar los ejes x, y a lo largo de las líneas que dan la resolución más simple de las fuerzas en sus componentes x, y.

� Un resultado escalar negativo supone que el sentido es negativo respecto al que se asumió en el DCL.

Miembros de dos y tres fuerzas.

La solución se simplifica reconociendo miembros sujetos a solo 2 o 3 fuerzas.

Miembros de 2 fuerzas

• Cuando las fuerzas se aplican a solo dos puntos de un elemento, el elemento se llama miembro de dos fuerzas.

• Solo la magnitud de la fuerza debe de determinarse.

Las condiciones de equilibrio requieren que actúen en la misma línea de acción:

(b) FR = 0 (c) MA = 0 o MB = 0

Miembros de 3 fuerzas

• Cuando un elemento está sujeto a 3 fuerzas, las fuerzas son concurrentes o paralelas (si dos se cortan, la tercera también, ya que MO = 0).

Diagramas de Cuerpo Libre 3D.

Reacciones de los soportes

Como en el caso dimensional:

• Una fuerza es ejercida por un soporte.

• Un momento de par se desarrolla cuando se impide la rotación de un miembro ligado.

• La orientación de la fuerza se define por los ángulos de coordenadas α, β, γ.

Ecuaciones de Equilibrio 3D.

Ecuaciones vectoriales de equilibrio

• Las dos condiciones de equilibrio de un cuerpo rígido en forma vectorial,

ΣF = 0 ΣMO = 0

Ecuaciones de equilibrio en forma escalar

• Si todas las fuerzas externas y momentos de expresan en forma cartesiana,

ΣF = ΣFxi + ΣFyj + ΣFzk = 0

ΣMO = ΣMxi + ΣMyj + ΣMzk = 0

Ligaduras para un cuerpo rígido.

Ligaduras Redundantes:

• Más soportes de los necesarios para el equilibrio.

• Estáticamente indeterminado: más cargas desconocidas que ecuaciones.

Ligaduras Impropias:

• La restricción impropia de los soportes causa inestabilidad.

• Cuando las fuerzas reactivas son concurrentes en un punto, el cuerpo está impropiamente ligado o sujeto (en 3-D cuando intersectan un eje).

Ejemplo: La placa homogénea tiene una masa de 100 kg y está sujeta a una fuerza y un momento de par a lo largo de sus lados. Si está aguantada horizontalmente por medio de una rodadura en A, una unión de pivote en N, y una cuerda en C, determine las componentes de las reacciones en los soportes.

DCL

• Cinco reacciones a determinar actúan sobre la placa. • Cada reacción se asume que actúa en una dirección coordenada positiva. Ecuaciones de Equilibrio ΣFx=0; Bx=0 ΣFy=0; By=0 ΣFz=0; Az+Bz+TC−300 N−981N=0

Ecuaciones de Equilibrio:

Σ Mx = 0; TC (2m)−981 N(1m ) + BZ (2m) = 0 Σ My = 0; 300 N(1.5m ) + 981 N(1.5m )−Bz (3m )−Az (3m )−200 N.m = 0

• La componentes de la fuerza en B se pueden eliminar si se usan los ejes x’, y’, z’

Σ Mx' = 0; 981N (1m) + 300 N (2m) − Az (2m) = 0 Σ My' = 0; −300N (1.5m) −981 N(1.5m)200 N.m + TC (3m) = 0

Resolviendo: Az = 790 Bz = -217N Tc = 707N. • El signo negativo indica que Bz actúa hacia abajo. • La placa está parcialmente sostenida ya que los soportes no pueden evitar que gire alrededor del eje z si se aplica una fuerza en el plano x-y.

TEMA Nº02: CLASIFICACIÓN ESTÁTICA DE LAS TEMA Nº02: CLASIFICACIÓN ESTÁTICA DE LAS TEMA Nº02: CLASIFICACIÓN ESTÁTICA DE LAS TEMA Nº02: CLASIFICACIÓN ESTÁTICA DE LAS ESTRUCTURASESTRUCTURASESTRUCTURASESTRUCTURAS

Introducción.

Toda estructura debe cumplir con las condiciones que se derivan de las tres componentes que intervienen en su cálculo (estática, cinemática y leyes de comportamiento) que se traducen en ecuaciones de equilibrio, ecuaciones de compatibilidad y ecuaciones constitutivas.

Calcular una estructura implica tanto las incógnitas estáticas (reacciones, esfuerzos de extremo de barra y solicitaciones) como las cinemáticas (movimientos y funciones de desplazamiento). Ambos grupos de incógnitas están relacionadas entre sí, por lo que para abordar el cálculo, debe decidirse en primer lugar, que incógnitas son las principales: las estáticas o las cinemáticas, y en segundo lugar, de qué tipo de estructura se trata.

Si la elección recae en las incógnitas estáticas es imprescindible determinar su número o grado de indeterminación estática de la estructura (GIE) con el fin de utilizar un método adecuado para su resolución estática en función de su clasificación. Por otra parte, debe identificarse si la estructura es un mecanismo, y por lo tanto presenta problemas de estabilidad.

Clasificación estática de las estructuras

Si las incógnitas principales son las fuerzas debe obtenerse en primer lugar el grado de indeterminación estática de la estructura (GIE) y a partir de ésta clasificarla estáticamente, para aplicar un método adecuado de cálculo. Debe prestarse especial atención al caso de los mecanismos, ya que el valor de grado de determinación no es el único determinante, pudiendo presentarse problemas de inestabilidad.

Grado de Indeterminación estática

El grado de indeterminación estática (GIE) o grado de hiperestaticidad es el número de fuerzas redundantes de la estructura, es decir el número de fuerzas incógnitas independientes que no pueden determinarse mediante las ecuaciones de equilibrio de la estructura, dado que el número de incógnitas estáticas excede el número total de ecuaciones de equilibrio disponibles.

El número de fuerzas redundantes no varía para una misma estructura, aunque sí variará la selección que se haga de éstas entre todas las fuerzas incógnitas.

Llamamos:

B: número de barras. N: número de nudos. Σ Dtb: número de desconexiones totales en extremo de barra. Σ R: número de reacciones. El número total de incógnitas estáticas se obtiene sumando las incógnitas externas (reacciones) y las incógnitas internas (esfuerzos de extremo de barra). Dado que una barra perteneciente a una estructura plana tiene dos extremos (i,j) y tres esfuerzos en cada uno de ellos (axil, cortante y flector: Fxi; Fyi, Mi, Fxj, Fyj, Mj), el número total de incógnitas estáticas será:

Número total de incógnitas estáticas: 6B + ΣR

El número total de ecuaciones de equilibrio se obtiene sumando las ecuaciones de equilibrio en nudo y en barra que son tres respectivamente en el caso de estructuras planas. A éstas hay que sumarle una ecuación por cada desconexión total en extremo de barra ya que aporta una condición de esfuerzo nulo en la dirección de la desconexión.

Número total de ecuaciones de equilibrio: 3N + 3B + ΣDtb

El GIE se obtiene descontando del número total de incógnitas estáticas el número de ecuaciones de equilibrio,

GIE = (6B + ΣR) – (3N + 3B + ΣDtb) = (3B + ΣR) – (3N + ΣDtb)

La aplicación de esta expresión implica una modelización previa de la estructura, separando nudos y barras y asignando a cada extremo de estas sus condiciones de vínculo, así como identificando los tipos de apoyo y sus reacciones asociadas.

Puede utilizarse una variante de esta expresión que no necesita modelización si se distingue entre nudos libres (NL) y apoyos (A) y se añaden las desconexiones totales en los apoyos (Dta), entonces:

3N = 3NL + 3A y ΣR = 3A – ΣDta

Al sustituir en la expresión del GIE se obtiene esta nueva expresión que no necesita de modelización previa:

GIE = (3B + ΣR) – (3N + ΣDtb) = (3B + 3A - ΣDta) - (3NL + 3A + ΣDtb)

GIE = 3B - (3NL + ΣDtb + ΣDta)

Clasificación

Las estructuras se clasifican estáticamente según el GIE, en:

1. Estructuras Isostáticas: GIE = 0. 2. Estructuras Hiperestáticas: GIE > 0. 3. Estructuras Hipostáticas: GIE < 0.

Estructuras Isostáticas

Una estructura es isostática cuando el GIE = 0. En ese caso el número de ecuaciones de equilibrio coincide con el número de incógnitas estáticas.

Una estructura isostática tiene una única configuración estática admisible posible y está estáticamente determinada. Se obtiene aplicando solo las ecuaciones de equilibrio.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Estructuras Hiperestáticas

Una estructura es hiperestática cuando el GIE > 0. En ese caso el número de ecuaciones de equilibrio es menor que el número de incógnitas estáticas.

Una estructura hiperestática tiene infinitas configuraciones estáticamente admisibles. Será por lo tanto estáticamente indeterminada (para obtener la configuración estática real tendríamos que considerar las condiciones de compatibilidad y las leyes de comportamiento).

Ejemplo 1:

Hay varias posibilidades en la elección de las 2 fuerzas redundantes, por ejemplo Mj1 y Mj 3.

Ejemplo 2:

El ejemplo 2 se trata de la misma estructura del ejemplo 1, pero en la que se ha impedido el desplazamiento del apoyo D por lo que su grado de hiperestaticidad resulta igual a 1.

Del mismo modo que en el ejemplo1 hay varias posibilidades en la elección de la fuerza redundante, por ejemplo RxD.

Estructuras Hipostáticas

Una estructura es hipostática cuando el GIE < 0. En ese caso el número de ecuaciones de equilibrio es excesivo ya que supera el número de incógnitas estáticas. Se trata de un mecanismo, es decir de una estructura inestable que no puede equilibrarse.

Ejemplo 1: Se trata de la misma estructura del primer ejemplo pero en la que se ha permitido el giro en el apoyo superior (nudo A), por lo que su grado de hiperestaticidad será -1. La estructura es inestable.

Pero el hecho de que el GIE sea mayor o igual que cero no garantiza que la estructura sea estable, pudiendo tener una inestabilidad local, y por tanto será un mecanismo. Veamos un ejemplo:

El valor del GIE es 0, luego podría suponerse que la estructura es isostática, sin embrgo no lo es. La estructura no puede equilibrarse horizontalmente. La barra 1 por ser biarticulada y no tener cargas perpendiculares a su directriz tendrá cortante nulo, es decir, la reacción en horizontal en A es nula. Como en B el movimiento horizontal está permitido, no hay reacción. La fuerza horizontal P2 no puede equilibrarse. Si rigidizáramos la unión entre la barra 2 y la viga (4-5) , dejando únicamente articulado el soporte 1, obtendríamos un GIE de valor 1, sin embargo la estructura seguiría sin poder equilibrarse a fuerzas horizontales.

BIBLIOGRAFÍA

Libros:

[1] Hibbeler, R.C.; Ingeniería mecánica – Estática. 12va Edición. México 2010.

[2] Basset, L.; Cálculo matricial de Estructuras. Desconexiones y vínculos.