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CLASIFICACION DE LOS NUMEROS
EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS NATURALES
El conjunto de los números naturales es el más antiguo y se usa primordialmente para contar.
Los números naturales forman una colección infinita, en sus elementos. El conjunto de los
números naturales se representan con la letra N.
N::{O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,... }
El símbolo (infinito) indica una sucesión indefinida de números.
UBICACIÓN DE LA RECTA NUMÉRICA
Los números naturales se pueden representar en una recta, a la cuál llamaremos RECTA
NUMERICA O EJE NUMERICO. Para construirla se elige un punto llamado origen, para
representar el O (cero).
A la derecha del cero se hacen divisiones consecutivas de la misma distancia y determinan los
puntos que corresponden al 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,... (no tienen fin).
Al número asociado a cada punto lo llamaremos COORDENADA.
Los cuatro postulados de PEANO que caracterizan las propiedades del conjunto de los
números N son:
1.- Su primer elemento es el cero.
2.- A cada número natural le sigue otro, llamado su sucesor
3.- El cero no es sucesor de ningún número natural
4.- Si dos números tienen el mismo sucesor, son iguales
Todo número natural tiene un sucesor, por ejemplo:
S ( 0 ) = 1, S ( 1 ) = 2, S ( 2 ) = 3, S ( 3 ) = 4, ETC.
Todo número natural tiene un antecesor, a excepción del cero.
Así como decimos que 3 es sucesor de 2, podemos también decir que 2 es antecesor de 3.
Que denotamos a (3,) = 2
RELACION DE ORDEN
Si se tienen dos números naturales a y b entonces una y sólo una de las siguientes relaciones
puede ocurrir.
a > b a mayor que b
a = b a igual que b
a < b a menor que b
Sea K un cuerpo abellano y consideremos una relación de orden total en el conjunto de los
elementos de K que representaremos mediante la notación ≤. Se dice que K es un cuerpo
ordenado con esta relación cuando se cumplen las siguientes condiciones:
a) Si ≤ x y entonces x + z ≤ y + z para cualquier z de K.
b) Si 0 ≤ x y 0 ≤ y entonces 0 ≤ xy. Si K es un cuerpo ordenado mediante una relación ≤ y P
es el conjunto de los elementos positivos de K se cumplen las siguientes propiedades: a) Si x < y se cumple que - x > - y.
b) Si x < y y z es positivo se cumple que xz < yz. Si es negativo entonces se cumple que xz >
yz.
c) P es un grupo multiplicativo.
d) K es un cuerpo de característica cero. Se dice que un cuerpo ordenado K es arquimediano
cuando se verifica la siguiente propiedad: si x, y son elementos positivos de K existe un
número natural n tal que y < nx. Esta condición equivale a la siguiente: si z K entonces z <
n para algún entero n. Si K es arquimediano todo elemento de K está comprendido entre dos
enteros. Aplicando reiteradamente la definición anterior se demuestra que entre dos
elementos de K siempre existe un elemento racional. Para efectuar la demostración basta
con hacerlo cuando x < y siendo x, y positivos o nulos. Para ello denominaremos h a la
diferencia y - x, que siempre es positiva. Evidentemente siempre se puede encontrar un
número natural n tal que
hn
1
y un número natural m tal que
n
my
El cuerpo Q de los números racionales es un cuerpo arquimediano. Se define el supremo de un subconjunto acotado A de un subconjunto ordenado E como la
menor de las cotas superiores de A. Con las definiciones anteriores diremos que el cuerpo
real R es un cuerpo ordenado, arquimediano y tal que todo subconjunto acotado
superiormente tiene supremo. El cuerpo Q de los números racionales no cumple la
condición de existencia de supremo, lo que demuestra que Q y R son diferentes.
Consideremos dos números reales a, b siendo a < b. El conjunto { x | a < x < b } recibe el
nombre de intervalo abierto de extremos a, b y se denota por (a, b). Análogamente, el
conjunto [x | a x b] se denomina intervalo cerrado de extremos a, b y se denota por la
[a, b]. dE modo similar se emplea la notación (a, b| y [a,b para intervalos semiabiertos o
semicerrados. El principio de encaje establece que toda sucesión decreciente de intervalos
cerrados de R tiene una intersección que no es vacía. En efecto, consideremos una sucesión
decreciente de intervalos cerrados.
...baba 2,21,1
Es evidente que se verifica que
...,321 aaa
...,321 bbb El conjunto { ...321 aaa } está acotado superiormente por lo que tiene un supremo
al que llamaremos s. Ahora bien, por definición se cumple que 1a s para cada i N. Como además cada b, es cota superior del conjunto anterior debe ser s > b, para todo i
N. Ahora bien esto quiere decir que s [ 1,1 ba ] para todo i N, con lo que queda demostrado el enunciado. Se define la longitud de un intervalo cerrado, abierto o
semiabierto de extremos a, b siendo a < b como la diferencia b -a. Se dice que un conjunto A
de números reales es acotado y sólo si está contenido en un intervalo. Si x es un número
real se llama valor absoluto de x y se denota por | x |, al elemento positivo del conjunto {x, -
x} si 0x . Si x = 0 el valor absoluto es 0. Los números reales cumplen las propiedades | x +
y| |x| + |y|, |xy| = |x| |y| igual que los números enteros y racionales. De la primera de las propiedades anteriores deduce que |x - y| |x| - |y|. Si x, y son
elementos de R, la distancia de x a y se define como |x - y|. Si A es un conjunto acotado de
números reales el conjunto de las distancias entre dos puntos cualesquiera de A es acotado
de modo que tiene un supremo.
Este supremo se denomina diámetro de A. Una aplicación i x, de N en R se denomina
una sucesión de elementos de R y se designa por ( ix ) Ni Los elementos ( ix ) Ni reciben el
nombre de términos de la sucesión. Consideramos una sucesión de números reales ( ix ) Ni
diremos que el número real x es el límite de dicha sucesión cuando se cumple la siguiente
propiedad: para cada número real positivo , existe un número natural n tal que siempre
que i > n se verifica que |x - x| < . El límite de una sucesión, si existe, es único. En efecto,
consideramos una sucesión ( ix ) Ni y sean x y x1 dos límites de la misma. Se cumplirá que |x-
x1| |x - x1| + | x1 - x1|
Si es un número real positivo, |x - x| es inferior a /2 siempre que i sea mayor que un
cierto número natural n.
Análogamente, |x-x1| es menor que /2 para todo i mayor que n1 N. Así pues, tomando i
mayor que n y que n1 resulta que |x -x1| <
Se dice que una sucesión de números reales es convergente cuanto tiene límite. El conjunto
de elementos de una sucesión convergente de números reales es un conjunto acotado. La
suma de dos sucesiones convergentes es otra sucesión convergente cuyo límite es la suma de
los límites de las sucesiones iniciales. El producto de dos sucesiones convergentes es otra
sucesión convergente cuyo límite es el producto de los límites de las sucesiones iniciales.
El conjunto de los números racionales Q
La división entre números enteros obliga a la introducción de una nueva clase de números:
“Los números fraccionarios”.
Los números fraccionarios son, positivo o negativos, compuestos por un par de números
enteros, dados en cierto orden: “l numerador y el denominador” (este último distinto de
cero).
Así: adormindeno
numerador
b
a Donde b 0
Ejemplos: ,7
0,
1
50,
4
15,
5
4,
2
10,
8
3 etc.
Obsérvese que las fracciones: 2
10,
1
50,
7
0 son números enteros por que:
52
10, 50
1
50, 0
7
0
Las fracciones positivas y las fracciones negativas forman con el conjunto de los números
enteros “EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REACIONALES”.
Los números racionales se pueden expresar el cociente de dos números enteros y se
denotan con la letra Q:
0bconZb,ZaDondeQ ba
xx
Así, son números racionales:
2,75.1,1,,5.0,0,5.0,1,75.1,2Q 41
43
43
41
Para todo racional existe un simétrico, inverso u opuesto:
43 su inverso es 4
3 411 su inverso es 4
11
LOS NÚMEROS IRRACIONALES Q’
Los números irracionales son los reales que no son racionales, y que por lo tanto no pueden
expresarse como cociente de enteros, este conjunto es el complemento de los números
racionales. Los números irracionales se clasifican en algebraicos y trascendentes, según que
sean o no raíces de una ecuación algebraica de coeficientes racionales.
Todos los números irracionales expresados por raíces o combinación de raíces son
algebraicos; 2 , 11 , 2
3,
7
3, etc.
Los números ¶ = 3.1415926... y e = 2.718... son irracionales trascendentes.
DIAGRAMAS DE VENN - EULER
Los diagramas de Venn Euler se usan para representar gráficamente un conjunto o más. La
siguiente ilustración es un diagrama del conjunto de los números reales.
Diagrama de Venn - Euler
CONCLUSIÓN: Los números reales se clasifican en racionales Q e irracionales Q’.
Números Racionales e Irracionales.
Sumas, ejemplos:
a) a+a+a= 3a
b) 3+4+6= 13
c) 4+(3+4)+6+(2+4) = 4+7+6+6= 23
d) (6+3)+4+6+8+6+(4+10)= 47
Resta, ejemplos:
a) 4-3-1 = 0
b) 4-6-(3-2)= -3
c) 6-2= 4
d) -4+7-(4+3)-9-(-3-6)= -4
Multiplicación:
a) 4(3+6)+4(4-3)-8(4-6)= 56
b) 3{6(4-2)+4(3+2)-6(-3+2)}= 68
División:
a) 9 3= 3
b) 27+2(1) 3-6= 9.6
Quebrados:
Suma
a) 312
3
7
9
21
9
4107
9
4
9
10
9
7
b) 210131
210
223
420
446
420
161180105
60
23
7
3
4
1
Resta:
a) 15
10
45
30
45
273027
5
3
9
6
5
3
5
9
5
3
5 3 5 3
5 1 5 5
1 1 1 1
b) 495
292
495
297270275
5
3
11
6
9
5
9
11
5
3
3 11 5 3
1 11 5 5
1 11 1 11
1 1 1
Multiplicación:
a) 2
1
6
3
18
9
36
18
9
6x
4
3
b) 225
45
544
90
8
3x
9
6x
7
5
División:
a) 130
30
10
6
5
3
b) 71
639 11
63
72
12
9
7
6
Simplificación de una fracción compleja.
36432168 04321 071268 10943
603512012031206
Se efectúan las operaciones del numerador y el denominador hasta convertirlos en un solo
quebrado, y se efectúa la división de estos dos quebrados, ejemplo:
411
76
121
91
61
8
x)(
121
21
616
17
636
7
411
76
121
91
61
x248
x
8
x)(
)4235(x
3
3
5231
51
21
53
23
41
52
2141
Efectuando numerador:
1043
27
54
3
5
3
2
23
42
512
23
41
52
Efectuando denominador:
1067
21
5363
214
1
21
518
214
1
21
53
Efectuando paréntesis:
56x4235 215
51176
51
51
Tendremos:
6763
672408
6743 3556x56x
1067
1043
Raíz cuadrada:
1.- Exacta: De un número es el número que elevado al cuadrado reproduce exactamente el
número dado.
2.- Inexacta: o entera: De un número es el mayor número cuyo cuadrado esta contenido en
el número dado o el número cuto cuadrado excede en menos al número.
Ejemplo:
a)
b)
LEYES DE LOS EXPONENTES
631043271410 06943 060727 13078
7 9 4 3149158 4188 8 3
CONCEPTOS ALGEBRAICOS
Signos de:
operación: +, -, x, ...
relación: < >, , =...
agrupación: ( ), { }, [ ]
Monomio: 1 término 2a
Binomio: 2 términos 2a+3c
Trinomio: 3 términos 2a+3c+4b
Polinomio: A partir de 2 términos 3a+3b-6c+9x+3y= z
LOS NÚMEROS NATURALES
La sucesión de los números naturales 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12..., es una sucesión
con infinitos términos. La suma de números naturales es la operación mediante la cual se
reúnen en un solo número las unidades que forman ambos números. Los números que se
suman se llaman sumandos y el resultado de la operación es la suma. La operación suma se
representa con el signo más (+). La suma de números naturales cumple las propiedades
uniforme, asociativa, conmutativa y tiene elemento cero.
Propiedad uniforme. La suma de dos números naturales es siempre un número natural.
Propiedad asociativa. La suma de números naturales cumple que a+(b+c)=(a+b)+c Propiedad conmutativa. La suma de números naturales cumple que a+b= b+a. Elemento
neutro. La suma de números naturales a se verifica que a+0 =0+a= a.
Por este motivo se dice que el número cero es el elemento neutro respecto de la suma de
números naturales. Con la suma de números naturales no existe elemento simétrico, ya
que existe elemento simétrico cuando al operar cualquier elemento con su elemento
simétrico se obtiene el elemento neutro. Obviamente la suma de números naturales no
cumple esta propiedad. Así, por ejemplo, el elemento simétrico del número 5 debería
cumplir que 5+s= s+5 = 0. Para ello, debería se s = -5, pero -5 no es un número natural.
Así pues, la suma de números naturales no posee elemento simétrico.
por todo lo expuesto, el conjunto N de los números naturales con la operación suma posee
estructura de semigrupo abellano con elemento neutro. La resta es la operación opuesta a la
suma y consiste en hallar uno de los sumandos, que se denomina resta, conocida la suma, que
se llama minuendo y el otro sumando, que recibe el nombre de sustraendo. El signo
menos (-) colocado entre el minuendo y el sustraendo indica que ambos deben restarse. Una
restricción muy importante de la sustracción de números naturales consiste en que la resta
sólo puede efectuarse cuando el minuendo es mayor que el sustraendo.
Multiplicación o producto.
Esta operación que consiste en hallar un número denominado producto a partir de dos
enteros llamados multiplicando y multiplicador, que indican respectivamente el número
que hay que multiplicar y el número de veces que hay que multiplicarlo. Los signos por (x) o
(*) encontrados entre el multiplicando y el multiplicador indican que los números deben
multiplicarse. El multiplicando y el multiplicador se denominan también factores. La
multiplicación de números naturales debe considerarse como una suma de tantos sumandos
iguales al multiplicando como indique el multiplicador.
La multiplicación de números naturales verifica las propiedades uniforme, asociativa,
conmutativa, distributiva respecto de la suma y posee elemento neutro. Propiedad
uniforme. El producto de dos números naturales es siempre un número natural. Propiedad
asociativa. El producto de números naturales verifica que a x (b x c) = (a x b) x c Propiedad conmutativa. La multiplicación de números naturales cumple que:
a x b= b x a
Elemento neutro. El producto de números naturales verifica que para todo número natural a
se cumple que:
a x 1 = 1 x = a
Por este motivo se dice que el número 1 es el elemento neutro del producto de números
naturales. El producto números naturales no posee, en general, elemento simétrico.
En efecto, si consideramos, por ejemplo, el número 4, su elemento simétrico debería ser 1/4,
pero 1/4 no es un número natural.
Propiedad distributiva. La multiplicación de números naturales verifica que:
a x (b+c) = (a x b) + (a x c)
Así, pues el conjunto N de los números naturales con la operación producto tiene estructura
de semigrupo abeliano con elemento neutro. La división es la operación inversa de la
multiplicación y consiste en hallar uno de los factores, llamado cociente, conocidos otro de
los factores llamado divisor y el producto, que se denomina dividendo. El signo (:)
colocado entre el dividendo y el divisor indica que ambos números deben dividirse.
Ejemplos de términos semejantes:
Regla Se suma los coeficientes poniendo delante de esta suma el mismo signo que tienen
todos...
CASO 1.- Reducción de 2 o más términos.
a) 3a+5b = 8a
b) -5b-7b = 12b
c) -a2-9a2 = 10 a2
d) 3ax-2+5ax-2= 8ax-2
e) -4am+1-7am-1 = 11am+1
Regla Se restan los coeficientes poniendo delante de esta la diferencia el signo del mayor.
CASO 2.- Reducción de 2 términos con signo distinto.
a) 2a-3a = -a
b) 18x-11x = 7x
c) -20ab+11ab = -9ab
d) -18ax+13ax= 5ax
e) 25ax+1-54ax+1 = -29ax+1
Regla: Hacer la suma o resta algebraica de cada uno respetando los signos anteponiendo el
signo de la sumatoria mayor de expresión y después la parte literal.
CASO 3.- Reducción de 2 o más términos semejantes con signo distinto.
a) 2a-3a+6a = -7a
b) 18x-11x-4x = -3x
c) -20ab+11ab-6ab =-3ab
d) 25ax+1-54ax+1+21ax+1+3a+1= -5ax+1
EL BINOMIO DE NEWTON
El binomio de Newton es una expresión que permite determinar el desarrollo de (a+b)n en
función de las potencias de a y de b siendo n un número natural cualquiera.
Las potencias sucesivas de (a+b) son las que se representan en la tabla 1. Resulta inmediato
comprobar que en cada sumando la suma de los exponentes de a y b coinciden con el
exponente de (a+b)n en la expresión correspondiente.
Por lo que respecta a los coeficientes se tiene la siguiente regularidad (ver tabla 2). Es decir,
los coeficientes que se obtienen coinciden con los correspondientes al desarrollo del
triángulo de Tartaglia. Generalizando el caso (a+b)n se demuestra sin dificultad como
podemos ver en la tabla 3.
El desarrollo precedente se conoce como binomio de Newton y en él se observan las
siguientes regularidades. El número de términos del desarrollo es una unidad mayor que el
exponente del binomio. El exponente de a en el primer término del desarrollo es igual al
exponente del binomio y en cada término posterior va aumentando en una unidad. El
exponente de b en el segundo término del desarrollo es 1 y en cada término posterior va
aumentando también en una unidad.
El coeficiente del primer término del desarrollo es y el coeficiente del segundo término es
igual al exponente de a en el primer término del desarrollo.
El coeficiente de cualquier término se obtiene multiplicando el coeficiente del término
anterior por el exponente de a en dicho término anterior y dividiendo este producto por el
exponente de b en ese mismo término aumentado en una unidad.
El último término del desarrollo es b elevado al exponente del binomio.
Ejemplo. Desarrollar (x+2)5
Solución: Tendremos los resultados que se observan en la tabla 4.
Usando el segundo término del binomio es negativo, los signos que aparecen son
alternativamente positivos y negativos. A veces interesa calcular directamente un término
cualquiera del desarrollo d eun binomio sin tener que calcular todos los términos anteriores.
Para ello se usan los siguientes resultados:
El numerador del coeficiente de un término cualquiera del desarrollo es un producto que
empieza por el exponente del binomio. Cada factor posterior es una unidad menor que el
anterior y aparecen tantos factores como térmios preceden al térmio de que se trate.
El denominador del coeficiente de un término cualquiera es una expresión factorial de igual
número de factores que el numerador.
El exponente de a en un término cualquiera es el exponente del binomio disminuido en el
número de términos que preceden a dicho término. El exponente de b en un término
cualquiera es igual al número de térmios que lo preceden.
Ejemplo: Calcular el cuarto término de (x-2)5
Solución: Tendremos:
POLINOMIOS
Se dice que una función real de variable real f es una función polinómica cuando existen uno
números reales a0, a1, ...,an tales que f(x)
Se dice que una función real de variable real f es una función pollnómlca cuando existen unos números reales a0,a... a tal es que f(x)—a0+a1x+a2x
2+ +...+anxn Los números reales se
denominan coeficientes de la función pollnómica. Por consiguiente, una función polinómica
sobre el cuerpo R de los números reales es una sucesión infinita de números reales que son
todos ellos iguales a cero salvo un número finito.
Si n es el mayor entero tal que an 0 se dice que el grado de la función polinómica es n, o
sea, que grad f = n. Así, la función polinómica
f(x) = 4x’ — 3x2 — 5 es de cuarto grado. Cada uno de los sumandos que aparecen en la
expresión de una función polinómica es un monomio o término El conjunto de las
funciones polinómicas reales con las operaciones suma y producto posee estructura de anillo
conmutativo con elemento neutro. Como además no hay divisores de cero, se dice que tiene
estructura de dominio de integridad. Si y g son funciones polinómicas reales diferentes de
cero, se verifica que grad (f. g) = grad f grad g. Cuando se emplea el símbolo x como
indeterminada, el anillo de las funciones polinómicas sobre R se denota por R (x) y una
función polinómica cualquiera f se denota por f(x). El cuerpo R de los números reales puede
también considerarse como un subconjunto de R (x) como consecuencia de la identificación
anterior. Esto es correcto puesto que las operaciones suma y multiplicación de números
reales se conservan mediante dicha Identificación. En efecto, se tiene:
(...,0,a0)+(...,0, b0)=
=(..., 0, a0+b0)
y (...,0, a0)...(..., 0, b0)=
= (..., 0, a0b0)
Tal como puede observarse, los números reales distintos de cero son las unidades del anillo
R (x). Hay que resaltar asimismo que cualquier función polinómica diferente de cero está
asociada a un polinomio mónico único. Por consiguiente, si d y d’ son polinomios mónicos
tales que d divide a d’ y d’ divide a entonces d = d’. puesto que cualquier función polinómica g
divide a otra función polinómica f sI existe otra fundón polinómica h tal que f = h . g. Sean 1 y
g dos funciones polinómicas sobre el conjunto R de los números y supongamos que g 0.1
En este supuesto, existirán polinómicas k y s tales que f = kg + s, siendo s = 0 o bien
grads<gradg. En efecto, si f = 0, o bien si grad 1< g tendremos que f = 0 . g + f. Supongamos
que grad 1< g, como por ejemplo,
f = anxn+...+a
1x+a0 y g = bmxm+...+b1x+b0
siendo an2 bm 0 y h m.
ADICIÓN DE MONOMIOS.
La adición de monomios es una redacción de términos semejantes en un sólo término.
Sumar los siguientes monomios: 6x, -4x, +3x, -2x
6x-4x+3x-2x= (6-4+3-2)x = 3x
Se suman sus coeficientes numéricos Se saca factor común.
Este procedimiento es aceptable pues trata del uso de la propiedad distributiva, ejemplos:
a) 22a2b2-13a2b3+ a2b3-6 a2b3+20 a2b3 = (22-13+1-6+20) a2b3 = 24 a2b3
b) 7
5x2-
8
3x2+
8
1x2 = (
8
1
8
3
8
5)x2 =
8
3x2
Se reduce a un sólo término sumando
ADICIÓN DE POLINOMIOS
Para sumar dos o más polinomios agrupamos los términos semejantes de tal forma que se
coloquen juntos:
c) 5a+9b-6 sumarle -3a-4b+7
(5a+9b-6)+(-3a-4b+7) = (5a-3a)+(9b-4b)+(-6+7) = 2a+5b+1
Se colocan juntos los términos semejantes.
SUMA DE POLINOMIOS EN COLUMNAS
SUSTRACCIÓN DE MONOMIOS
El inverso aditivo de un número se obtiene anteponiéndose al número el signo “-“.
El inverso aditivo de x es -x
El inverso aditivo de +3x es -3x
El inverso aditivo de -5y2 es +5y2
El inverso aditivo de un término se obtiene cambiando el signo a su coeficiente.
La sustracción es una operación inversa de la suma y podemos restar sumando el inverso del
sustraendo.
(+7ax)-(-3ax)=(+7ax) = 10ax
INVERSO ADITIVO DEL SUSTRAENDO
Ejemplos:
(+9m)-(+2m) = (9)+(-2m) = 7m
(-11xy2)-(+2 xy2) = (-11 xy2)+(-2 xy2)= -13 xy2
SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS
Para restar polinomios se suma al minuendo el inverso aditivo del sustraendo.
Ejemplos:
MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS
Recuerda que una de las leyes de los exponentes para la multiplicación es:
(am)(an) 0 am+n se suman los exponentes
Ejemplos:
MULTIPLICACIÓN DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO
Al multiplicar un monomio por un polinomio se aplica la propiedad distributiva.
Ejemplos:
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
Para multiplicar un polinomio por otro polinomio hacemos uso repetido de la propiedad
distributiva. Ejemplos:
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS EN COLUMNAS
DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTRE UN POLINOMIO
1) Dividir 4x2-25x+x3+12 entre x-3
1.- El dividendo y el divisor se ordenan en forma descendente con respecto a “x”.
2.- Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor.
3.- Se multiplica el primer término del cociente por cada uno de los términos del divisor.
Estos productos se restan al
dividendo (recuerda se les
cambia el signo)
4.- Dividimos el primer término del nuevo dividendo entre el primer término del divisor.
x
x7 2= 7x segundo término del cociente
Se multiplica 7x por cada uno de los
términos del divisor.
(7x)(x) = 7x2 para restar -7x2
(7x)(-3) = -21x para restar +21x
Por último, dividimos -4x entre x
x
x4 = -4 tercer término del cociente
y multiplicamos -4 por cada término del divisor
(-4)(x) 0 -4x para restar +4x
(-4)(-3) = +12 para restar -12
PRODUCTOS NOTABLES
Cuadrado de la diferencia de 2 cantidades.
ejemplos:
a) (a-b)2 = a2-2ab+b2
b) (x-5)2 = x2-10x+25
c) (4a2-3b3)2 = 16a4-24a2b3+9b6
d) (2a-3b)2 = 4a2-12ab2+ab2
Producto de la suma por las diferencias de 2 cantidades.
Llegamos al final del proceso
ejemplos:
a) (a+b) (a-b) = 4a2-9b2
b) (2a+3b) (2a-3b) = 4 a2-9b2
c) (3xa-5ym) (5ym+3xa) = 9x2a-25y2m
d) (x+y) (x-y) = 2x-24
EL CUBO DE UN BINOMIO
Si elevamos x + y al cubo, tendremos:
Si se expresa esta fórmula por medio de palabras se tiene:
REGLA 1
El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo del primer término más el triple del
cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo,
más el cubo del segundo término.
Si elevamos x - y al cubo, tendremos:
Si se expresa está fórmula por medio de palabras se tiene:
REGLA 2
El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo del primer término, menos el triple
del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del
segundo, menos el cubo del segundo término.
Ejemplos:
BINOMIO AL CUBO (SUMA)
El primer término al cubo más el triple producto del primer término al cuadrado por el
segundo más el triple producto del primero por el segundo más el segundo al cubo.
Ejemplos:
a) (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3
b) (4x+5)3 = (4x)3+3(4x)2(5)+3(4x)(5)2+53
Resultado: 64x3+120x2+300x125
BINOMIO AL CUBO (RESTA)
El primero al cubo menos el triple producto del primero al cuadrado por el segundo más el
triple producto del primero por el segundo al cuadrado menos el segundo al cuadrado.
a) (a-b)3 = a3-3a2b+3a2b-b3
b) (3x-5y)3 = 3x3-3(3x)2+5y+3(3x)(5y)3-5y3
27x3-135x2y+225xy2-125y+3
PRODUCTOS NOTABLES
La transformación de productos notables en expresiones algebraicas, se resumen en la
siguiente tabla.
Cuadrado de una suma
Cuadrado de una diferencia
Binomios
Conjugados
Producto de dos binomios
que tienen un término
común
Producto de dos binomios
con un término semejante
y el otro no común
Cubo de la suma de un
binomio
Cubo de la diferencia de un
binomio
Factores cuyo producto da
una suma de cubos
Factores cuyo producto da
una diferencia de cubos
Producto de dos binomios
que no tienen un término
común
SUMAS, RESTAS, MULTIPLICACIÓN, DIVISIÓN DE POLINOMIOS Y
MONOMIOS
x3+xy2+y3, -5x2y+x3-y3, 2x3-4xy2-5y2
-5xy + x3 - y
+ x3 + y3 + xy2
+ 2x3 - 5y3
+ 2x3
-5xy + 4x3 + 7y3 + xy2
-7m2n + 4n3, m36mn2-n3, -m3+7m2n+5n3
-m3 + 7m2n + 5n3
+m3 - n3 + 6mn2
- 7m2n + 4n3
m - m2n + 8n3 + 6mn2
x-4-x2+x, x3-4x2+5, 7x2-4x+6
7x2 - 4x + 6
-4x2 + 5 + x3
-x2 + x + x4
4x2 - 3x + 11 + x3 + x4
a4+a6+6, a5-3a3+8, a3-a2-14
a5 - 3a3 + 8
+ a3 - 14 - a5
+ 6 + a4 + a6
a5 - 2a3 + 12 - a2 + a4 + a6
x5+x-9, 3x4-7a2+6, -3x3-4x+5
3x4 - 7a2 + 6
- 9 + x3 + x
+ 5 + 4x - 3x3
3x4 - 7a2 + 8 + x3 - 3x - 3x3*
a3+a, a2+5, 7a2+4a, -8a2-6
-8a2 - 6
-7a2 + 4a
+a2 + 5 + a + 3
x4-x2y2, -5x8y+6xy3, -4xy3+y4, -4x2y2-6
-4x2y2 - 6
-x2y2 - x4
- 5x8y + 6xy3
- 4xy3 + y4
3x2y2 - 6 - x4 - 5x8y - 2xy3 + y4
xy+x2, -7y2+4xy-x2, 5y2-x2+6+y, -6x2-4xy+y2
6x2 - 4xy + y2
-x2 + 6xy + 5y2
x2 + 4xy - 7y2
3x2 + 5xy - y2
a3-8ax2+x3, 5a2-6ax2-x3, 3a3-5a2x-5a2x-x3, a3+14ax2-x3
5a2x - 6ax2 - 3
- 8ax2 + a3 + x3
-5a2x + 3a3 - x3
- 14ax2 + a3 - x2
a2x - ax2 - 3 + 5a3 - x3 - x2
-8a2m+6am2-m3, a3-5am2+m3, -4a3+4a2m-3am2, 7a2m-4am2-6
-4a3 + 4a2m - 3am2
- 8a2m + 6am2 - m3
a3 - 5am2 + m3
- 4am2 - 6
3a3 + 11a2m - 4am2 - m3 - 6
-m3-n3+6m2m, -4m2n+5mn2+n3, m3-n3+6mn2, -2m3-2m2n+n
-4m2n + 5mn2 + n3
+ 6mn2 - n3 + m3
-2m2n + n3 - 2m3
-6m2n - n3 + m3
-8m2n - mn2 - 2n3 + 2m2
x5-x3y2-xy4, 2x4y+3x2y3-y5, 3x3y2-4xy4-y5, x5+5xy4+2y5
x5 - x3y2 - xy4
- 3x3y2 - 4xy4 + 2x4y + 3x2y3 - y5
x5 + 5xy4 - y5
+ 2y5
2x5 - 4x3y2 - 10xy4 + 2x4y + 3x2y3 - 4y5
a5+a6+a2, a4+a3+6, 3a2+5a-8, -a5-4a2-5a+6
a5 + a6 + a2
+ 3a2 + a4 + a3 + 6 + 5a
-a5 - 4a2 - 8 + 5a
+ 6
-2a5 + a6 + 8a2 + a4 + a3 + 20 - 10a
a4-b4, -a3b+a2b2-ab3, -3a4+5a3b-4a2b2, -4a3b+3a2b2-3b4
4a3b + 3a2b2 - 3b4
-a3b + a2b2 - b4 + a4
5a3b - 4a2b2 - 3a4 - ab3
9a3b + 8aab2 + 4b4 - 4a4 - ab3
ax-3ax-2, 5ax-1+6x-3, 7ax-3+ax-4, ax-1, 13ax-3
5ax-1 + ax-3 - 3ax-2 + ax-4 + a
ax-1 + 7ax-3
- 13ax-3
6ax-1 + ax-3 - 3ax-2 + ax-4 + a
ax+2-ax+ax+1, -3ax+3-ax-1+ax-2, -ax+4ax+3-5ax+2, ax-1-ax-2+ax+2
ax+2 - ax + ax+1
- ax - 3ax+3 - ax-1 + ax-2
-5ax+2 + 4ax+3 + ax-1 - ax-2
+ ax+2 + ax-1 - ax-2
5 ax+2 + 2 ax + ax-1 + 7 ax+3 + 2 ax-1 - ax-2
x4+2x2y2+ 72 y4- 6
5 x4+ 83 x2y2- 6
1 xy3- 141 y4, - 6
5 x3y- 41 x2y2+ 7
1 x4
- 65 x4 +
83 x2y2 -
61 xy3 -
41 y4
x4 + 2x2y2 + 72 y4
- 41 x2y2 -
65 x3y
+ 71 y4
- 611 x4 +
415 x2y2 -
61 xy3 -
2819 y4 -
65 x3y
92 a3+ 6
5 ax2- 31 x3, 7
3 a2x- 87 ax2- 9
1 x3, - 32 a3+ 2
1 a2x- 41 a2
92 a3 +
65 ax2 -
31 x3 -
73 a2x
- 87 ax2 -
91 x3
- 32 a3 +
21 a2x -
41 a2
- 83 a3 -
241 ax2 +
34 x3 + a2x -
41 a2
a6-a4+a2 , 53 a5- 8
3 a3- 31 a, - 7
3 a4- 85 a2+6, - 8
3 a-6
a6 - a4 + a2 + 53 a5 -
83 a3 -
31 a
- 73 a4 -
85 a2 + 6
- 83 a3 -
83 a - 6
a6 - 74 a2 -
84 a2 +
53 a5 -
86 a3 -
2417 a 0
RESTAS
25x+25x3-18x2-11x5-4b de x3-6x4+8x2-9+15x
x3 - 6x4 + 8x2 - 9 + 15x
-25x3 - 18x2 - 46 - 25x - 11x5
-24x3 - 6x4 + 26x2 + 37 - 10x + 11x5
8a4b+a3b2-15a2b3-45ab4-8 de a5-26a3b2+8ab4-b5+6
a5 - 26a3b2 + 8ab4 - b5 + 6
+ a3b2 - 45ab4 - 8 + 8a4b - 15a2b
a5 - 26a3b2 - 37ab4 - b5 - 2 + 8a4b - 15a2b3
23y3+8y4-15y5-8y-5 de y6+y3+y2+9
y6 + y3 + y2 + 9
+ 23y3 - 5 + 8y4 - 15y5 - 8y
y6 + 23y3 + y2 - 4 + 8y4 - 15y5 - 8y
7x7+5x5-23x3+51x+36 de x8-x6+3x4-5x2-9
x8 - x6 + 3x4 - 5x2 - 9
+ 36 + 7x7 + 5x5 - 23x3 + 51x
x8 - x6 + 3x4 - 5x3 - 27 + 7x7 + 5x5 - 23x3 + 51x
y7-60x4y3+90x3y4-50xy6-x2y3 de x7-3x5y2+35x9y3-8x2y3+6
x7 - 3x5y2 + 35x4y3 - 8x2y5 + 6
- 60x4y3 - x2y5 + y7 + 90x3y4 - 50xy6
x7 - 3x5y2 - 25x4y3 + 7x2y5 - 6 + y7 + 90x3y4 - 50xy
ax+2-5ax+1-6ax de ax+3-8ax+1-5
ax+3 - 8ax+1 - 5
- 5ax+1 + ax+2 - 6ax
ax+3 + 3aa+1 - 5 - aa+2 - 6ax
8an-1+5an-2+7an+an-3 de 8an+16an-4+15an-4+15an-2a-3
8an + 16an-4 + 15an-2 + an-3
7an + 5an-2 + an-3 + 8an-1
ann + 16an-4 + 10an-2 + an-3 - 8an-1
31xa+1-axa+2-xa+2-xa+4-18xa-1 de 15xa+3+5xa+2-6xa+41xa-1
15xa+3 + 5xa+2 - 6xa + 47xa-1
- 9xa+2 - 18xa-1 - xa+4 - 37xa+1
15xa+3 - 4xa+2 + 6xa + 14xa-1 - xa+4 - 37xa+1
12am-2-5am-1-am-8am-4 de 9am-1-21am-2+26am-3+14am-5
9am-1 - 21am-2 + 26am-3 + 14am+5
-5am-1 + 12am-2 - am - 8am-4
-4am-1 - 9am-2 + 26am-3 + 14m-5 - am - 8am-4
-mx+4-6mx+1-23mx+2-mx-1 de 15x+3+50mx+1-14mx-6mx-1+8mx-2
-15mx+3 + 50mx+1 - 14mx - 6mx-1 + 8mx-2
- 6mx+1 - mx-1 - mx+4 - 23mx+2
-15mx+3 - 44mx+1 - 14mx + 5mx-1 + 8mx-2 - mx+4 - 23mx+2
112 m3 + n +
145 2n2 +
31 m3n3 - 6
- 87 m2n2 +
92 m3n3 + m4
112 m3 + n +
5629 m2n2 +
95 m3n3 - 6 + m4
MULTIPLICACIÓN
anb-an-2b2+2an-2b3-an-3b4 x anb2-an-2b4
anb - an-1b2 + 2an-2b3 - an-3b4
anb2 - an-2b4
-a2n5b4 + a2n-3b6 - 2a2n-4b7 + a2n - 5b8
- a2n-3b6 + an-2b5 - a2n-1b + a2b3
-a2n5b4 - 2a2n-4b7 + a2n-5b8 + an2b5 - a2n-1b4 + a2nb3
axbx x am+bm
ax + bx
am + bm
am + am+1
+ axbm + bmx
amx + ambxbaxbm + bm+x
x
ax-1-bn-1 x a-b
ax-1 - bn-1
a - b
ax-1 - abn-1
- ax+1b + b
2x-1 - abn-1 + ax-1b + b
a2m+1-5a2m+2+3a2m x a3m-3+6a3m-1-8a3m-2
5a2m+2 + a2m+1 + 3a2m
a3m-3 - 8am-1+ + 63m
-3a3m + a5m2 - 3a3m-3
-8a5m-1 - 24a5m-2 + 40a5-m
+18a5m-1 + 6am - 30a5m+1
5a5m-1 - 23a5m-2 - 3a5m-3 + 46a5m - 30a5m+1
81 ax- 2
1 x2+ 28 a2 x 2
8 x2-ax+ 82 a2
81 ax -
21 x2 +
28 a2
x 28 x2 - ax +
82 a2
439 a2x2 -
43 x4 +
27 ax3
- 31 a2x2 -
21 ax3 -
23 ax3
- 62 a2x2 -
92 ax3 +
66 a4
+ 1219 a2x2 -
43 x4 + ax3 -
1823 a3x + a4
72 x8+ 2
1 xy2- 51 x2y x 4
1 x2- 32 xy2+ 6
5 y2
72 x8 +
21 xy2 -
51 x2y
x 41 x2 -
32 x2y +
65 y2
x3y + 1215 x2y4 -
21 x2y3
81 x3y2 +
141 x5 -
201 x4y
132 x3y2 -
31 x2y3 -
212 x4y
230139 x3y2 +
1215 x2y4 -
21 x2y3 +
141 x5 -
420101 x4y
21 + 5
1 x2- 41 x+ 4
1 x3 x 23 x2- 6
1 + 101 x
x
x
21 +
31 x2 -
41 x +
41 x3
x 23 x2 -
61 +
101 x
201 x3 +
201 x -
151 x2 -
101
- 83 x3 +
43 x2 -
31 x3 +
83 x3
+ 301 x3 +
201 x -
401 x2 -
401 x2 -
101 -
401 x3
2243 x3 -
301 x +
12079 x2 -
4021 x4 +
83 x3
43 m3- 2
1 m2n+ 52 mn2- 4
1 n3 x 32 m2+ 2
5 n2- 32 mn
43 m3 -
21 m2n +
52 mn2 -
41 n3
x 32 m2 +
25 n2 -
32 mn
27 m5 -
31 m4n +
154 m3n2 -
61 m2n3
+ 8
15 m3n2 - 45 m2n3 +
22 mn4 -
85 n5
- 63 m4n +
31 m3n2 -
154 m2n3 +
61 mn4
21 m5 -
65 m4n +
4099 m3n2 -
60101 m2n3 +
67 mn4 -
85 n5
ax+am+1 entre a2
2am - 3am+2 + 6am+4
-3a3 -3a3 -3a3
Igual a: 2am-2 + am-1 + 2am+3
3
ambn+am-1bn+2-am-2bn+4 entre a2b2
ambn + am-1bm-2 - am-2bn+4
a2b3 a2b3 a2b2
Igual a: am-2bn-3+am-3bn-1-am-4bn+1
xm+2-5xm6xm+1+1-xm-1 entre a2b3
-5xm + 6xm+1 + xm+2 - xm-1
-m-2 xm-2 xm-2 xm-2
Igual a: -5x2+6x3+x4-x
4ax+4bm-1-6ax+3bm-2+8ax+2bm-3 entre -2ax+2b
4ax+4bm-1 - 6x+1bm-3 + 8ax+2bm-3
-2ax+2bm+4 +2ax+2bm -2ax+2bm-4
Igual : -2a2b3+3ab2-4b
3a-5b+6c x 103 a2x3
3a - 5b + 6c
x - 103 a2x3
104 ax3 -
23 a2bx5 +
52 3cx3
92 x4-x2y2+ 3
1 y4
92 x4 - x2y2 +
31 y4
x 78 x3y4
- 165 a2m +
245 a2b2m -
325 a2m2x2 +
81 a2my2
32 m3+ 2
1 m2n- 65 mn2- 9
1 n3 x 43 m2n3
32 m3 +
21 m2n -
65 mn2 -
91 n5
x 43 m2n3
21 m2n3 +
83 m4n4 -
85 m3n3 -
363 m2n6
52 x6- 3
1 x4y2+ 52 x2y4- 10
1 y6 x - 75 a3x4y3
52 x6 -
31 x4y2 +
53 x2y4 -
101 y6
x - 75 a3x4y3
- 72 a3x10y5 +
215 a3x4y5 -
73 a3x5y4 +
141 a3x4y9
21 a- 3
2 b x 52 a2
21 a -
32 b
x 52 a2
154 3b -
57 a2
32 a- 4
3 b x - 52 a3b
32 a -
43 b
x 32 a3b
- 94 a4b +
22 a3b2
53 a- 6
1 b+ 52 c x - 3
5 ac2
53 a -
61 b +
52 c
x - 35 ac2
a2+
135 ab =
32 ac3
52 a2+ 3
1 ab- 42 b2 x 3a2x
52 a2 +
31 ab -
92 b2
x 3a2x
52 8x + a3bx -
32 a2b3
31 x2- 5
2 xy- 41 y2 x 2
3 y3
31 x2 -
52 xy -
41 y2
x 23 y3
31 x2y3 -
52 xy4 -
41 -
88 y5