clases primer parcial( 2da parte fisica 2) potencial eléctrico
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JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2 JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2 JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2
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Energía Potencial eléctrica
Recordemos que la diferencia en la energía
potencial ∆U cuando una partícula se mueve
entre dos puntos a y b bajo la influencia de una
fuerza , es igual al negativo del trabajo
realizado por la fuerza esto es:
Wab es el trabajo realizado por la fuerza
cuando la partícula se mueve desde a hasta b,
esto es valido solo si la fuerza es conservativa
Luego para poder definir la energía potencial
eléctrica, supongamos que tenemos dos
cargas dispuestas como se muestran a
continuación:
(Figura 1)
La carga q2 se mueve en relación a q1, por un
desplazamiento , cuando una partícula
cargada se mueve en un campo eléctrico ,
tenemos que:
Ya que
Como el campo está a lo largo del eje x
entonces tenemos
Si movemos la carga q2 respecto a la carga q1
tenemos que:
La ecuación 1 se cumple ya sea que q2 se
mueva hacia q1 o se aleje de ella, en el primer
caso rb < ra, y en el segundo caso rb > ra,
también se cumple para cualquier combinación
de los signos de q1 y q2.
En forma general la energía potencial eléctrica
es una magnitud escalar u su unidad es el
Joule (J).
Energía potencial de un sistema de cargas
puntuales.
Supongamos que tenemos un sistema de
cargas puntuales las cuales se mantienen en
posiciones fijas por fuerzas no especificadas.
(Figura 2 arreglo de cargas )
Podemos calcular la energía potencial eléctrica
del sistema de la siguiente manera
q2 q1
Q1 Q2
Q1
Q3 Q4
a a
b
b
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Observe que la energía potencial eléctrica es
una carga de sistema y no de alguna carga
individual.
Diferencia de potencial y potencial eléctrico
Para calcular la diferencia de potencial
eléctrico entre dos puntos A y B de un campo
eléctrico , se mide el trabajo que debe
realizar una fuerza externa para mover una
carga de prueba puntual qo, con rapidez
constante (sin ser acelerado) desde el punto A
hasta el punto B.
Entonces la diferencia de potencial se expresa
así:
Donde el
El trabajo realizado puede ser:
Positivo si
Negativo si
Nulo si
Unidades
En el sistema internacional (SI)
Trabajo (Joule)
Carga eléctrica (Coulomb)
Potencial eléctrico (Voltios)
Entonces
Potencial en un punto
Según la ecuación
Si colocamos una carga de prueba qo en un
punto A a una distancia infinita del conjunto de
cargas, donde el campo eléctrico sea cero.
Luego desplazamos dicha carga de prueba
desde esa separación infinita hasta el punto B
En este proceso la energía potencial cambia
de 0 a .
El potencial eléctrico en B debido a esta
distribución de cargas es:
Ya que asumimos arbitrariamente que el
potencial en el infinito es cero.
El potencial eléctrico es una cantidad escalar
porque tanto la carga como el trabajo son
cantidades escalares.
Tanto el trabajo W como la diferencia de
potencial son independientes de la
trayectoria seguida por la carga de prueba
positiva , al ser trasladada desde A hasta B.
Superficies equipotenciales
Una superficie equipotencial es el lugar
geométrico de todos los puntos que tienen el
mismo potencial eléctrico.
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(Figura 3. Superficies equipotenciales).fuente
tomada del Resnik- Holliday
En la figura 3, observamos que de las cuatro
trayectorias marcadas como 1,2,3 y 4 sobre
las cuatro superficies equipotenciales solo las
trayectorias 3 y 4 tienen diferencias de
potencial diferentes de cero ya que los puntos
que unen la trayectoria marcada están
ubicados en superficies equipotenciales
diferentes. Las trayectorias 1 y 2 tienen
diferencias de potencial cero, ya que sus
trayectorias pertenecen a puntos ubicados en
la misma superficie equipotencial.
Relación entre potencial y campo eléctrico
Supongamos que tenemos una fuerza externa
la cual mueve a una carga puntual de prueba
, desde un punto A hasta un punto B, el cual
tiene las siguientes características de
particularidad.
a) El campo eléctrico no es uniforme
b) La trayectoria es una trayectoria curva
cualquiera
c) La carga es trasladada con rapidez
constante ( sin ser acelerada)
El trabajo realizado o producido por la
fuerza externa, cuando este agente externo
produce un desplazamiento sobre la
carga a lo largo de la trayectoria
punteada es:
Entonces el trabajo total al mover la carga
de prueba desde A hasta B es:
Por otro lado tenemos que:
A
B
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Si el potencial en A lo consideramos en el
infinito entonces tenemos
Potencial eléctrico debido a una carga
puntual positiva
Supongamos que tenemos una carga
positiva aislada la cual tiene las
características:
a) El campo eléctrico es radial
b) Las líneas de fuerza de campo eléctrico
se alejan de la carga +q
c) El valor del campo eléctrico en cualquier
punto es
Debido a la fuerza externa, la carga de
prueba positiva + se mueve desde A
hasta B a velocidad constante (sin ser
acelerada).
Ya que:
Pero como tenemos que:
Como esta en el infinito
En forma general
Potencial debido a varias cargas puntuales
Supongamos que tenemos N cargas puntuales
en un sistema q1, q2, q3,….., Qn si queremos
hallar el potencial en un punto dado debido a
esas n cargas puntuales, se procede de la
siguiente manera:
Se calcula el potencial debido a cada una de
esas cargas de forma aislada de las demás y
luego sumamos algebraicamente cada uno de
los potenciales individuales y obtenemos el el
potencial total.
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En forma general
Potencial debido a una distribución de
cargas continúas
Para determinar el potencial eléctrico para una
distribución de cargas continuas se procede de
igual manera que para determinar el campo
eléctrico de distribuciones de cargas
continuas, se toma un pequeño diferencia de
carga y se integra de tal manera que se evalué
toda la distribución
Se toma la ecuación
Como
Entonces
Luego
Al igual que en el calculo de campo eléctrico
existen tres tipos de distribuciones continuas
Distribución lineal
Distribución superficial
Distribución volumétrica
Potencial eléctrico en un punto fuera de un
dipolo eléctrico
Supongamos que tenemos un punto de
coordenadas (x, y) ubicado en cualquier punto
del espacio que rodea a un dipolo eléctrico, el
potencial eléctrico en ese punto debido al
dipolo se calcula de la siguiente manera:
El potencial eléctrico en el punto P creado por
las dos cargas del dipolo es:
Como R1, R2 ≫2a
Tenemos que R1 ≅ R2≅ R
Θ ≅ φ
Y tenemos que
Finalmente
Ya que P= 2aq
EJERCICIOS RESUELTOS
1) Calcular el potencial eléctrico en el eje
que pasa por el centro de un anillo en
un punto P, situado a una distancia Z
-q q 2a
R2
R1 R
R2-R1
θ
P
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del centro del anillo, siendo a el radio
del anillo el cual tiene una distribución
uniforme de carga λ (C/m),
Tomamos un dl diferencial de longitud, en
cuyo diferencial hay un dq (diferencial de
carga), el cual origina en el punto P un dV
Donde:
Entonces tenemos que:
Si el anillo tiene una carga Q
Sabemos que
Entonces
Si nos piden calcular el potencial en el
centro del anillo entonces tenemos:
Entonces el potencial será
O en función de λ
2) Calcular la energía requerida para
agrupar el arreglo de cargas de la figura
siguiente, donde a = 0,20 cm, b = 0,40 cm y
q = 6 μC
SOLUCION
Z
Y
X
θ
dθ
θ dl
h Z
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3. Se tiene una esfera aisladora de radio a,
con una distribución de carga dada por
la función ( donde es una
constante), dentro de la cavidad de un
conductor esférico macizo y hueco de
radios b y c y que tiene una carga Q
a) ¿Cuál es el potencial eléctrico en la
superficie externa del aislante
b) ¿Cuál es la distribución de cargas en la
superficie externa e interna del
conductor
La segunda integral es cero debido a que el
, por estar dentro de un conductor.
Entonces tenemos
Como
Y el ángulo entre
Hallemos los campos E1 y E3
Resolviendo
q2=-2q
a
q1= q
q4= 3q
b
a b
c
Q
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Luego
Para encontrar E3
Luego
b.
Por gauss E2= 0
3. Un electrón de carga y masa
se dispara con una velocidad inicial
desde el punto o en dirección vertical hasta
una altura máxima H, determinar la
velocidad inicial con la que fue lanzado el
electrón.
H
ds
d
dr
Z
Y
Z
X
-e
B
A
R
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Como no existen fuerzas externas,
entonces se conserva la energía
La energía cinética en el punto B es cero
ya que en ese punto se detiene el electrón
De donde
Por otro lado tenemos que
Donde
Entonces
Integrando la primera integral
= u
Integrando tenemos que
Luego regresando el cambio y
evaluando entre a y b se tiene
Ahora definamos el potencial en el
punto A(ubicado en el centro del anillo)
como:
Para ello hacemos Z= 0
Ahora definamos el potencial en el
punto B, haciendo Z = H
f
Finalmente tenemos que la velocidad inicial
es: