ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIASClase 4

ECUACIONES DIFERENCIALES TRAYECTORIAS ORTOGONALESAUTOR:Lic. Armando Velsquez Romero

TRAYECTORIAS ORTOGONALES

Dada una familia de curvas planas:

(1)uniparamtrica, se define trayectorias ortogonales a las curvas que en cada uno de sus puntos forman un ngulo constante 90 con cada una de las curvas de la familia (1) que pasa por el mismo punto.Para encontrar las trayectorias ortogonales .Se hace lo siguiente:a. Dado

b. Formamos la ecuacin diferencial de (1)

c. Luego, la familia de trayectorias ortogonales tendrn la forma

d. La integral general de esta ltima ecuacin diferencial nos proporciona las trayectorias ortogonales

Problema 11: Encuentre la familia de trayectorias ortogonales a todas las rectas que pasan por el origen.

Solucin:

i) (2)ii) Derivando (1)

Luego en (2)

iii) para las trayectorias ortogonales

(3)

iv) Resolviendo (3)

Integrando

Donde constante.

(Familia de circunferencias)Problema 12:

Encuentre las trayectorias ortogonales para la familia de curvas

donde es un parmetroSolucin

... (1)

Derivando

Reemplazo en (1)

(sta es la ecuacin diferencial si resuelvo (1))Para las trayectorias ortogonales

Luego ser . La integral general de esta ltima ecuacin diferencial nos proporciona la familia de trayectorias ortogonales

Integrando

COORDENADAS POLARES

FIGURA 1(1) Angulo entre el radio vector y la tangente:

(2) Longitud de la subtangente

(3) Longitud de la subnormal

(4) Longitud de la perpendicular del polo a la tangente:

(5) Elemento de longitud de arco Elemento de rea:

NOTA: Cuando aumenta con , es positiva como la figura y es agudo, entonces la subtangente OT es positiva y se mide hacia la derecha de un observador que desde O mire en la direccin OP.Algunas demostraciones

(1) Sea , las coordenadas polares de un punto .Sea el ngulo formado por la tangente y el radio vector del punto entonces segn el grafico:

Entonces

EMBED Equation.3 (2) En el tringulo de la figura 1:

Problema 13:Encontrar la ecuacin de una curva, para el cual el segmento de la tangente comprendida entre el punto de contacto y el pie de la perpendicular trazado por el polo a la tangente es del radio vector del punto de contacto.

En la figura

Pero (ecuacin diferencial)

Resolviendo por separacin de variables:

Problema 14:Hallar la curva para el cual la subnormal polar es el doble del seno del ngulo vectorial (Segunda Prctica Calificada UNI FIC 96-3)

Segn el grfico (figura 1) se tiene:

Subnormal

(Ecuacin diferencial). Al resolver por separacin de variables:

Problema 15:Demostrar que la subtangente polar es

Segn el grafico (figura 1) subtangente polar

Problema 16:Una bala se introduce en una tabla de de espesor con una velocidad de pasando con una velocidad . Suponiendo que la resistencia de la tabla es proporcional al cuadrado de su velocidad encuentre el tiempo del movimiento de la bala en la tabla.Solucin:

(1)

En (1) tenemos:

Que se escribe como . Integrando y evaluando:

,

De

Problema 17:

Se sabe que la poblacin de un estado crece a una velocidad proporcional al nmero de habitantes que viven actualmente en el estado, si despus de 10 aos la poblacin se ha triplicado y despus de 20 aos la poblacin es de 150000 habitantes, hallar el nmero de habitantes que haba inicialmente en el estado.Solucin:Sea el nmero de habitantes que vive en el estado en el tiempo

; ;

aproximadamente.Es decir, inicialmente, segn el modelo haba 16,667 habitantes en el estado.

Problema 18:Hallar la ecuacin de una curva que cumpla la siguiente condicin: la recta tangente a la curva en cualquier punto y el segmento que une el origen con el punto forman un tringulo de rea igual a .Solucin:

Dndole forma

Es lineal en la variable y se resuelve con antes. La solucin general es:

Problema 19:Dos pueblos y estn directamente opuestos el uno del otro en las riberas de un rio de ancho D, el cual corre hacia el oriente (paralelos al eje positivo) con una velocidad constante un bote que sale del pueblo A viaja con una velocidad constante V siempre dirigido hacia el pueblo B.a) La trayectoria del bote est dada por la ecuacin paramtrica

b) A qu punto de la orilla opuesta llega el bote si

Solucin:a)

Del grfico:

adems

Entonces se tiene

Se tiene una ecuacin diferencial homognea:

Haciendo ;

Usando la condicin inicial se obtiene la solucin el cual es

Volviendo a las variables originales:

Si elevamos al cuadrado y considerando simplificando trminos se obtiene

b) Si el bote llega al punto . Es decir no llega al pueblo .Problema 20:De acuerdo a la Teora especial de la relatividad de Einstein, la masa de una partcula vara con su velocidad de acuerdo a la frmula donde es la masa en el reposo y es la velocidad de la luz. La ecuacin diferencial del movimiento es

Si una partcula parte del reposo en y se mueve en una lnea recta, estimulada por una fuerza constante , Qu distancia cubrir y cul ser la velocidad en el tiempo ? Muestre que a medida que transcurre el tiempo, la velocidad de la partcula se acerca a la velocidad de la luz.

Solucin:

constante; . Integrando tenemos

. De acuerdo a las condiciones iniciales

cuando implica .

Operando y de aqu despejamos con lo que se obtiene:

Que es la respuesta a la primera parte del enunciado.

Ahora, de implica despejamos

Para integrar hacemos el cambio de variables entonces da

=

La condicin para nos permite hallar y as tenemos la solucin para la posicin de la partcula en el tiempo

Tambin

EMBED Equation.3 Problema 21:

Cuando se impone cierta cantidad de dinero al por ciento de inters compuesto continuo, se tiene

donde es la cantidad de dinero despus de aos. Qu tiempo se necesita para duplicar una cantidad de dinero impuesta al de inters compuesto continuo?

Solucin:

Tenemos

Las condiciones iniciales: Para es ; Para es

Encontrando por lo que

Tambin: Para

Luego el tiempo necesario para duplicar tal cantidad de dinero impuesta al de inters compuesto continuo es 13.86 aos 13 aos 10 meses 10 das.Problema 22:

De acuerdo con la Ley de Kirchhoff, un circuito elctrico simple (ver figura) que contiene un resistor con resistencia de ohm y un inductor de (henrys), en serie con una fuente de fuerza electromotriz (batera o generador) que proporciona un voltaje de voltios en el tiempo , satisface la igualdad

donde es la corriente medida en amperes. Considere el circuito con henrys, 6 ohmios y un generador de corriente alterna que proporciona un voltaje . Si cuando encuentre en el momento y observe el comportamiento para valores grandes de .Solucin:

Reemplazando los valores dados en la ecuacin diferencial:

O lo que es lo mismo:

Tenemos una ecuacin diferencial lineal en . El factor integrante es:

Multiplicando por este factor integrante se obtiene la derivada de un producto en el primer miembro:

Integrando:

Al integrar produce la corriente :

De las condiciones iniciales cuando nos da

Con lo que en definitiva tenemos la corriente :

Para grandes valores de , resulta despreciable por lo que

Esta es una corriente alterna con la misma frecuencia que el voltaje impuesto.

TRAYECTORIAS ISOGONALES

Si tenemos una familia de curvas planas

(1)La curva que en cada uno de sus puntos forman un ngulo constante con las curvas de la familia (1) que pasa por el mismo punto se llama trayectoria isogonal.Se puede demostrar que la ecuacin diferencial de las trayectorias isogonales tiene la forma

Ejemplo:

Determinar la familia que forman un ngulo constante de con la familia de elipses:

(*)

Solucin:

Diferenciando (*):

Al reemplazar en (1) se tiene

Reemplazando este valor de en (*) tenemos:

Luego, como tendremos:

Escribiendo en la forma se tiene:

es una ecuacin homognea. Para resolver hacemos y entonces tenemos la solucin general:

TRAYECTORIAS ORTOGONALES EN COORDENADAS POLARESLas curvas polares son ortogonales en un punto de interseccin si y solo si:

Habamos visto que si es el ngulo formado por la recta tangente y el radio vector entonces

Ejemplo 1:

Encuentre las trayectorias ortogonales a (1)

Derivando: (2)Remplazando en (1): esta ecuacin en (2):

En (2)

Para las trayectorias ortogonales (E. diferencial)Resolviendo por separacin de variables: que es la ecuacin de la familia de trayectorias ortogonales.

Ejemplo 2:

Encuentre las trayectorias ortogonales a la familia de curvas:

(1)

Derivando . Luego al reemplazar en (1) se obtiene . Para las trayectorias ortogonales: . Integrando

Al escribir y simplificar tomando exponenciales se tiene:

que es la familia de trayectorias ortogonales solicitada.

Este problema tambin lo podramos haber resuelto usando en coordenadas rectangulares: Veamos: . Las formulas de transformacin son:

Considerando que tenemos . O sea tenemos la ecuacin cartesiana de la curva polar: (1)Derivando:

El cual se escribe como .

De esta ltima ecuacin se tiene que (2)De la ecuacin (1) se obtiene y al reemplazar en (2) tenemos:

Para las trayectorias ortogonales hacemos

Con lo que queda: (ecuacin diferencial a resolver). Escribiendo en la forma:

Que es una ecuacin diferencial homognea. El cambio la transforma en una ecuacin de variables separables:

Para la ultima integral hacemos: cambio que conduce a

Tomando funcin exponencial se tiene

De la ltima ecuacin se obtiene

Ejemplo 3:

Encuentre la constante para que las curvas y sean ortogonales.

Solucin:

Tenemos

Diferenciando

Para las trayectorias ortogonales:

Entonces tenemos la ecuacin diferencial a resolver:

Integrando:

que lo escribimos como

De all podemos deducir que .PROBLEMAS PROPUESTOS

1) En cada punto de una curva la interseccin de la tangente con el eje es igual a . Encuentre la familia de curvas.

2) Una familia de curvas tiene la propiedad de que la lnea tangente a cada curva en el punto , el eje y la lnea que une con el origen, forman un triangulo issceles con la lnea tangente como base:

a) Determine una ecuacin para la familia.

b) Aquel miembro particular que pasa por el punto (2,0).

3) Determinar la funcin tal que que cumple la condicin: El rea limitada por la tangente a la curva en cualquier punto , el eje y el radio vector del punto es igual a una constante cuyo valor es 4.

4) Encuentre las trayectorias ortogonales a la familia de curvas dada por: . Grafique algunos miembros de cada familia.

5) Encuentre la constante a para que la familia de curvas y sean ortogonales.

6) Encuentre las trayectorias ortogonales a las familias (a es un parmetro)

a)

b)

7) Hallar la ecuacin diferencial de la familia de curvas .

8) Mostrar que la familia donde a y b son constantes dadas, es as mismo ortogonal. Esta es denominada una familia de cnicas confocales

9) Un cuerpo se mueve en una lnea recta con aceleracin constante a, si v0 es la velocidad inicial, v es la velocidad y s es la distancia viajada despus de un tiempo t. Muestre que

a) b) c)

10) Una masa m se lanza hacia arriba con una velocidad inicial La resistencia del aire es proporcional a su velocidad instantnea, siendo k la constante de proporcionalidad. Muestre que la altura mxima conseguida es

11) Se tienen n tanques interconectados dos a dos con 2 m3 de solucin y con 1 Kg de soluto cada uno. Si al primer tanque ingresa agua pura a razn de 1m3 por minuto y de ste pasa al segundo a la misma tasa, del segundo al tercero y as sucesivamente a la misma tasa. Hallar la cantidad de sal en el tanque ensimo en el instante t.

12) Un tanque contiene inicialmente 80 galones de solucin salina con 1/8 de lb de sal por galn. En el instante inicial otra solucin salina que contiene 1 lb de sal por galn se agrega al tanque a una velocidad de 4 galones por minuto, mientras que una solucin bien mezclada sale del tanque a una velocidad de 8 galones por minuto. Hallar la cantidad de sal en el tanque cuando este contenga exactamente 40 galones de solucin. 13) Un cuerpo de masa cae desde una altura con la velocidad v. Durante la cada el cuerpo experimenta una resistencia que es proporcional al cuadrado de la velocidad. Hallar la ley del movimiento. RESOLUCIN DEL EXAMEN PARCIAL MATEMTICA IV FIC 2007-1La prueba fue tomada el 16 Mayo del 2007Primer enunciado:

Resolver

Solucin:

Usando el mtodo de las ecuaciones exactas . La solucin de la ecuacin diferencial planteada es

Segundo enunciado:

Un depsito esfrico de 3 metros de radio est lleno de un lquido hasta una altura de 3 metros. Calcular el tiempo de salida del lquido del depsito, si este presenta un orificio de 2 centmetros de radio a una altura de 1 metro. Considere que el coeficiente de descarga es 0.5 y que .Solucin:

El modelo es

Reemplazando se tiene:

Integrando:

es el tiempo que demora en vaciarse el depsito ( esta dado en segundos). Integrando:

Tercer enunciado:

Se pide calcular la ecuacin de una curva que pase por el punto y que goce de la siguiente propiedad:Si por un punto se traza una tangente a la curva, sta corta al eje X en un punto que equidista de y de

Solucin:

La ecuacin de la recta tangente en es

Sea . Entonces con lo que

Como

Escribiendo en la forma

Tenemos . La ecuacin no es exacta. Sea un factor integrante. Entonces es exacta. Usando la expresin resulta que . Luego:

es una ecuacin diferencial exacta. Resolviendo por los mtodos explicados se obtiene la solucin general:

Usando el hecho que es un punto de la curva solucin se tiene . Finalmente la solucin del problema planteado es

Cuarto enunciado:

Resolver la ecuacin diferencial

La ecuacin diferencial es segundo orden. Usando el mtodo de reduccin de orden. Puesto que en la ecuacin no aparece la variable independiente la ecuacin corresponde al tercer caso.

Integrando se obtiene

Diferenciando

Finalmente integrando se obtiene la solucin paramtrica:

Quinto enunciado:

Hallar las soluciones de

Solucin:La ecuacin es de grado superior: con lo que se obtiene:

(*)Ahora, diferenciando:

Agrupando y factorizando:

De esta factorizacin se tiene

De la ecuacin (2) se obtiene integrando y que al reemplazar en la ecuacin (1) se tiene la solucin general:

Al reemplazar (1) en (*) se obtiene la solucin singular:

EMBED Equation.3

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