La función cuadráticaUn problema propuesto por un alumno

Luis Arancibia Morales

Sector Matemática

COLEGIO SAN IGNACIO

Año 2010

El Problema Si sabemos que una parábola tiene un foco y unadirectriz, ¿cómo los podemos determinar, si sólo contamos con laecuación?

Relacionando con lo conocido

Relacionando con lo conocidoLa parábola se define como el lugar geométrico de los puntos queequidistan de un punto fijo F y una recta dada d

Relacionando con lo conocido

Para la situación canónica está dado su estudio, por lo tanto,consideraremos un caso no canónico, pero siempre considerando quetrabajamos con una función

Relacionando con lo conocido

•F (h, k)

y = d

Relacionando con lo conocido

•F (h, k)

y = d

tenemos el punto y la recta

Relacionando con lo conocido

•F (h, k)

y = d

Las distancias a un punto del lugar

Relacionando con lo conocido

•F (h, k)

y = d

geométrico, quedan dadas por

Relacionando con lo conocido

•F (h, k)

y = d

Relacionando con lo conocido

•F (h, k)

y = d

• P(x , y)

Relacionando con lo conocido

•F (h, k)

y = d

• P(x , y)

La distancia de P a F debe ser igual

Relacionando con lo conocido

•F (h, k)

y = d

• P(x , y)

a la distancia de P a la recta

Relacionando con lo conocido

•F (h, k)

y = d

• P(x , y)

La cual se considera de P a Q

Relacionando con lo conocido

•F (h, k)

y = d

• P(x , y)

•

Q

Relacionando con lo conocido

•F (h, k)

y = d

• P(x , y)

•

Q

Relacionando con lo conocido

•F (h, k)

y = d

• P(x , y)

•

Q

La medida de PF es√

(x − h)2 + (y − k)2

Relacionando con lo conocido

•F (h, k)

y = d

• P(x , y)

•

Q

y la medida de P a la recta es la medida de PQ = |y − d |

Relacionando con lo conocido

•F (h, k)

y = d

• P(x , y)

•

Q

por condición dada:√

(x − h)2 + (y − k)2 = |y − d |

Apliquemos álgebra

Apliquemos álgebraLa igualdad anterior la trabajaremos como una ecuación

Apliquemos álgebra

√

(x − h)2 + (y − k)2 = |y − d |

Apliquemos álgebra

√

(x − h)2 + (y − k)2 = |y − d |√

(x − h)2 + (y − k)2 = |y − d | /()2

Apliquemos álgebra

√

(x − h)2 + (y − k)2 = |y − d |√

(x − h)2 + (y − k)2 = |y − d | /()2

(x − h)2 + (y − k)2 = (y − d)2

Apliquemos álgebra

√

(x − h)2 + (y − k)2 = |y − d |√

(x − h)2 + (y − k)2 = |y − d | /()2

(x − h)2 + (y − k)2 = (y − d)2

x2 − 2hx + h2 + y2 − 2ky + k2 = y2 − 2dy + d2

Apliquemos álgebra

√

(x − h)2 + (y − k)2 = |y − d |√

(x − h)2 + (y − k)2 = |y − d | /()2

(x − h)2 + (y − k)2 = (y − d)2

x2 − 2hx + h2 + y2 − 2ky + k2 = y2 − 2dy + d2

Ordenando esta última expresión nos queda que

Apliquemos álgebra

√

(x − h)2 + (y − k)2 = |y − d |√

(x − h)2 + (y − k)2 = |y − d | /()2

(x − h)2 + (y − k)2 = (y − d)2

x2 − 2hx + h2 + y2 − 2ky + k2 = y2 − 2dy + d2

2(k − d)y = x2 − 2hx + h2 + k2 − d2

Apliquemos álgebra

√

(x − h)2 + (y − k)2 = |y − d |√

(x − h)2 + (y − k)2 = |y − d | /()2

(x − h)2 + (y − k)2 = (y − d)2

x2 − 2hx + h2 + y2 − 2ky + k2 = y2 − 2dy + d2

2(k − d)y = x2 − 2hx + h2 + k2 − d2

y = f (x) =1

2(k − d)x2 +

hk − d

x +h2 + k2 − d2

2(k − d)

Apliquemos álgebra

√

(x − h)2 + (y − k)2 = |y − d |√

(x − h)2 + (y − k)2 = |y − d | /()2

(x − h)2 + (y − k)2 = (y − d)2

x2 − 2hx + h2 + y2 − 2ky + k2 = y2 − 2dy + d2

2(k − d)y = x2 − 2hx + h2 + k2 − d2

y = f (x) =1

2(k − d)x2 +

hk − d

x +h2 + k2 − d2

2(k − d)la forma es y = f (x) = ax2 + bx + c

Apliquemos álgebra

√

(x − h)2 + (y − k)2 = |y − d |√

(x − h)2 + (y − k)2 = |y − d | /()2

(x − h)2 + (y − k)2 = (y − d)2

x2 − 2hx + h2 + y2 − 2ky + k2 = y2 − 2dy + d2

2(k − d)y = x2 − 2hx + h2 + k2 − d2

y = f (x) =1

2(k − d)x2 +

hk − d

x +h2 + k2 − d2

2(k − d)la forma es y = f (x) = ax2 + bx + cal asumir que son iguales, nos queda:

Apliquemos álgebra

√

(x − h)2 + (y − k)2 = |y − d |√

(x − h)2 + (y − k)2 = |y − d | /()2

(x − h)2 + (y − k)2 = (y − d)2

x2 − 2hx + h2 + y2 − 2ky + k2 = y2 − 2dy + d2

2(k − d)y = x2 − 2hx + h2 + k2 − d2

y = f (x) =1

2(k − d)x2 +

hk − d

x +h2 + k2 − d2

2(k − d)la forma es y = f (x) = ax2 + bx + cal asumir que son iguales, nos queda:

a =1

2(k − d), b =

hk − d

y c =h2 + k2 − d2

2(k − d)

Apliquemos álgebra

√

(x − h)2 + (y − k)2 = |y − d |√

(x − h)2 + (y − k)2 = |y − d | /()2

(x − h)2 + (y − k)2 = (y − d)2

x2 − 2hx + h2 + y2 − 2ky + k2 = y2 − 2dy + d2

2(k − d)y = x2 − 2hx + h2 + k2 − d2

y = f (x) =1

2(k − d)x2 +

hk − d

x +h2 + k2 − d2

2(k − d)la forma es y = f (x) = ax2 + bx + cal asumir que son iguales, nos queda:

a =1

2(k − d), b =

hk − d

y c =h2 + k2 − d2

2(k − d)

h está determinado por−b2a

según se sabe de antes

continuamos

continuamosSe conoce h

continuamosSe conoce hentonces, falta determinar k y d

continuamosSe conoce hentonces, falta determinar k y d

pero sabemos que a =1

2(k − d)

continuamosSe conoce hentonces, falta determinar k y d

pero sabemos que a =1

2(k − d)

de aquí se deduce que1

k − d= 2a, es decir, la distancia entre k y d

continuamosSe conoce hentonces, falta determinar k y d

pero sabemos que a =1

2(k − d)

de aquí se deduce que1

k − d= 2a, es decir, la distancia entre k y d

es12a

continuamosSe conoce hentonces, falta determinar k y d

pero sabemos que a =1

2(k − d)

de aquí se deduce que1

k − d= 2a, es decir, la distancia entre k y d

es12a

Conocemos también la ordenada del vértice, la que corresponde a:

continuamosSe conoce hentonces, falta determinar k y d

pero sabemos que a =1

2(k − d)

de aquí se deduce que1

k − d= 2a, es decir, la distancia entre k y d

es12a

Conocemos también la ordenada del vértice, la que corresponde a:

f(

−b2a

)

=4ac − b2

4a

continuamosSe conoce hentonces, falta determinar k y d

pero sabemos que a =1

2(k − d)

de aquí se deduce que1

k − d= 2a, es decir, la distancia entre k y d

es12a

Conocemos también la ordenada del vértice, la que corresponde a:

f(

−b2a

)

=4ac − b2

4aSi V es el vértice, entonces V está en la linea de la distancia de F a larecta y la dimidia

continuamosSe conoce hentonces, falta determinar k y d

pero sabemos que a =1

2(k − d)

de aquí se deduce que1

k − d= 2a, es decir, la distancia entre k y d

es12a

Conocemos también la ordenada del vértice, la que corresponde a:

f(

−b2a

)

=4ac − b2

4aSi V es el vértice, entonces V está en la linea de la distancia de F a larecta y la dimidia

Por lo tanto, desde el vértice medimos14a

hacia arriba y hacia abajo.

Un ejemplo

Un ejemplo

Sea f (x) = 2x2 − 5x + 2, función cuadrática

Un ejemplo

Sea f (x) = 2x2 − 5x + 2, función cuadráticaSu gráfica es una parábola

Un ejemplo

Sea f (x) = 2x2 − 5x + 2, función cuadráticaSu gráfica es una parábola

Su eje de simetría x =54

Un ejemplo

Sea f (x) = 2x2 − 5x + 2, función cuadráticaSu gráfica es una parábola

Su eje de simetría x =54

Su vértice es(

54,−98

)

Un ejemplo

Sea f (x) = 2x2 − 5x + 2, función cuadráticaSu gráfica es una parábola

Su eje de simetría x =54

Su vértice es(

54,−98

)

k − d =14a

=14

Un ejemplo

Sea f (x) = 2x2 − 5x + 2, función cuadráticaSu gráfica es una parábola

Su eje de simetría x =54

Su vértice es(

54,−98

)

k − d =14a

=14

Entonces desde V consideramos18

arriba y otro abajo,

Un ejemplo

Sea f (x) = 2x2 − 5x + 2, función cuadráticaSu gráfica es una parábola

Su eje de simetría x =54

Su vértice es(

54,−98

)

k − d =14a

=14

Entonces desde V consideramos18

arriba y otro abajo,

es decir,−98

+18= −1 y

Un ejemplo

Sea f (x) = 2x2 − 5x + 2, función cuadráticaSu gráfica es una parábola

Su eje de simetría x =54

Su vértice es(

54,−98

)

k − d =14a

=14

Entonces desde V consideramos18

arriba y otro abajo,

es decir,−98

+18= −1 y

−98

−18=

−54

Un ejemplo

Sea f (x) = 2x2 − 5x + 2, función cuadráticaSu gráfica es una parábola

Su eje de simetría x =54

Su vértice es(

54,−98

)

k − d =14a

=14

Entonces desde V consideramos18

arriba y otro abajo,

es decir,−98

+18= −1 y

−98

−18=

−54

Como la parábola está vuelta hacia arriba, F(5

4 , −1)

y d : y =−54

La gráfica

La gráfica

eje x

La gráfica

eje x

eje y

La gráfica

eje x

eje y

y = d

La gráfica

eje x

eje y

y = d

•

F

La gráfica

eje x

eje y

y = d

•

F