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Calculo Diferencial para funciones de dos variables.-Diferencial

-Derivadas parciales-Relaciones con la continuidad

El diferencial de y=f(x)

La derivada de f en x = x0 Dom(f) se define como

f(x0) = limh0f(x0 + h)

f(x0)

h ,

cuando este lmite existe.

Es decir,

limh0

f(x0 + h) f(x0) f(x0)hh

= 0.

A df(x0, h) = f(x0)h se le llama el diferencial de f en x0.

El diferencial de z=f(x,y)

Definicion 1 Sea (x0, y0) Int(Dom(f)). La funcionT(h, k) = P0h + Q0k, P0, Q0 R,

es el diferencial de f en (x0, y0) si

lim(h,k)(0,0)

f(x0 + h, y0 + k) f(x0, y0) T(h, k)h2 + k2

= 0.

Teorema 1 Si f tiene diferencial en el punto (x0, y0), estees unico.

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Notacion

En lugar de T(h, k) escribiremosDf(x0, y0; h, k).

Si el diferencial existe en todo punto de un dominio entonces es

inevitable que se destaque su dependencia del punto (x, y) donde

se calcula. As escribimos

Df(x, y; h, k) = P(x, y)h + Q(x, y)k.

Veremos que P y Q no son funciones cualesquiera y como se

calculan a partir de f.

Si definimos

dx(h, k) = h, dy(h, k) = k,

entonces podemos escribirDf(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy,

o mas simplificadamente

Df = P dx + Qdy.

Uno de nuestros problemas consiste en calcular P(x, y) y Q(x, y)a partir de f, pues a eso se reduce la busqueda de Df.

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Relaciones entre Df y las derivadas parciales

Si consideramos el lmitelim

(h,k)(0,0)f(x0 + h, y0 + k) f(x0, y0) T(h, k)

h2 + k2= 0,

cuando nos acercamos a (x0, y0) por la recta y = y0, es decir,

k = 0, obtenemos

limh0

f(x0 + h, y0) f(x0, y0) T(h, 0)h2 + 02

=

limh0

f(x0 + h, y0) f(x0, y0) P0hh

= 0,

es decir

limh0

f(x0 + h, y0) f(x0, y0)h

P0 = 0,

luegoP0 =

f

x(x0, y0).

Analogamente se demuestra que

Q0 =f

y(x0, y0).

Como conclusion tenemos el siguiente

Teorema 2 Si f es diferenciable en un punto (x0, y0) en-

tonces en ese punto existen las derivadas parciales y

Df(x0, y0) = fx(x0, y0)dx + fy(x0, y0)dy

El recproco no es cierto. Pueden existir las derivadas parciales

de una funcion en un punto donde esta no es diferenciable.

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Cuando las derivadas parciales garantizan la dife-renciabilidad de una funcion?

Teorema 3 Si f admite derivadas parciales continuas fx yfy en una vecindad de (x0, y0), entonces f es diferenciable

en (x0, y0) y el diferencial esta dado por Df = fxdx + fydy.

Aplicar cuando sea posible el siguiente resultado:

si la funcion no admite una derivada parcial en un

punto, entonces no es diferenciable en ese punto.

Calculo de fx y fy

Si en el punto no hay indeterminacion las derivadas par-ciales pueden calcularse empleando las reglas conocidas de

derivacion.

Si hay indeterminacion 0/0 usamos la definicion en terminosde lmites.

Las relaciones entre diferenciabilidad y continuidad son tambien

importantes y utiles.

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Relacion entre continuidad y diferenciabilidad

Si z = f(x, y) es continua en (x0, y0) no es necesariamente dife-renciable en (x0, y0).

Si z = f(x, y) es diferenciable en (x0, y0) entonces escontinua en (x0, y0). El diferencial es una derivada fuerte.

Lo anterior nos ofrece un argumento, no siempre aplicable,

para concluir que una funcion no es diferenciable en un punto:

Si z = f(x, y) no es continua en un punto tampoco es

diferenciable en ese punto.

Relacion entre continuidad y existencia de derivadasparciales

La existencia de derivadas parciales no garantiza la continuidad.

El siguiente ejemplo ilustra lo dicho.

Ejemplo 1 Estudiar la continuidad, derivabilidad parcial ydiferenciabilidad en (0, 0) para la funcion

f(x, y) =

x sin(y)

x2 + y2(x, y) = (0, 0)

0 x = y = 0.En el ejemplo anterior existen ambas derivadas parciales en (0, 0)

donde la funcion no es continua.

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La funcion puede ser continua y no tener derivadas parciales tal

como ocurre en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2 Comprobar que es continua en (0, 0) pero no ad-mite derivada respecto a x en dicho punto.

f(x, y) =

x2x2 + y2

(x, y) = (0, 0)

0 x = y = 0.

Una sugerencia

Dada una funcion con caractersticas similares a las de los ejem-

plos anteriores, la estrategia a seguir puede ser la siguiente:

Estudiar la continuidad en el punto

Existencia de derivadas parciales en el punto Si las derivadas parciales existen en el punto, sean estas P0

y Q0, estudiar la diferenciabilidad a traves del lmite

lim(h,k)(0,0)

f(x0 + h, y0 + k) f(x0, y0) (P0h + Q0k)h2 + k2

= 0.

Se ve que es posible concluir la NO diferenciabilidad en el puntoen el primero y segundo paso. Si f no es continua o no tiene

alguna de las dos derivadas parciales, entonces no es diferenciable

en dicho punto. Si es continua y tiene derivadas parciales hay

que llegar hasta el 3er paso.