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Clase #2

INTRODUCCION A LA PROGRAMACIÓN

LINEAL

CONTENIDO

• 1. Introducción• 2. El Problema de Asignación de Recursos• 3. Ejemplo Prototipo: La Wyndor Glass Co.• 3.1 Definición del Problema• 3.2 Formulación del Modelo• 3.3 Solución Gráfica

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1. INTRODUCCIÓN¿Porque se llama

Programación lineal?

Funciones linealesPlaneaciónOptimización

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2. EL PROBLEMA DE ASIGNACIÓN DE 2. EL PROBLEMA DE ASIGNACIÓN DE RECURSOSRECURSOS

Asignar recursos limitados entre actividades competitivas de la mejor

manera posible (óptima)

La programación lineal es una La programación lineal es una buena herramienta que nos ayuda buena herramienta que nos ayuda

a solucionar este problemaa solucionar este problema

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3. EJEMPLO PROTOTIPO:La Wyndor Glass Corporation

La La Wyndor Glass CoWyndor Glass Co. es una empresa dedicada a . es una empresa dedicada a la elaboración de artículos de vidrio de alta la elaboración de artículos de vidrio de alta calidad (puertas y ventanas) los cuales se hacen calidad (puertas y ventanas) los cuales se hacen en 3 plantas diferentes.en 3 plantas diferentes.

Planta 1 Molduras y marcos de aluminioMolduras y marcos de aluminio

Planta 2 Molduras y marcos en maderaMolduras y marcos en madera

Planta 3 Se hace y se ensambla el vidrio.Se hace y se ensambla el vidrio.

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Se tiene un programa de cambio de la producción Se tiene un programa de cambio de la producción y se propone incursionar con 2 nuevos productos.y se propone incursionar con 2 nuevos productos.

Producto 1 Puerta de vidrio con marco en aluminio

Producto 2 Ventana de vidrio con marco en madera

Según el dpto de comercialización toda la producción de éstos puede colocarse en el mercado

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3.1 DEFINICIÓN DEL PROBLEMA YRECOLECCION DE INFORMACIÓN

Se debe determinar la tasa de producción de los 2 productos para maximizar las utilidades sujeto a las limitaciones que tiene la empresa.

NOTA: Se fabrican lotes de 20 productos por NOTA: Se fabrican lotes de 20 productos por semana. La tasa de producción será el número de semana. La tasa de producción será el número de lotes producidos a la semana.lotes producidos a la semana.

Debemos formularnos algunas preguntas

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• ¿Cual es la ganancia por lote de cada tipo de producto?• ¿De cuántas horas por semana dispone cada planta para la elaboración de un lote de cada tipo de producto?• ¿Cual es el requerimiento en horas para producir 1 lote de cada tipo de producto en cada una de las plantas?

Todos esta información debe ser Todos esta información debe ser recolectada, así:recolectada, así:

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Tiempo de producción por lote (horas)

P1 (puertas) P2 (ventanas)Planta

Tiempo de producción disponible a la semana (horas)

1 1 0 42 0 2 123 3 2 18

Ganancia por lote US$3000 US$5000

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3.2 FORMULACIÓN DEL MODELO DE P.L

••3.2.1 Definición de Variables.3.2.1 Definición de Variables.

XX11 : Número de lotes del producto 1 : Número de lotes del producto 1 fabricados por semana.fabricados por semana.

XX22 : Número de lotes del producto 2 : Número de lotes del producto 2 fabricados por semana.fabricados por semana.

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••3.2.2 Coeficientes de Costo (o de Utilidad)3.2.2 Coeficientes de Costo (o de Utilidad)

••3.2.3 Medida de la eficiencia: 3.2.3 Medida de la eficiencia: Función Objetivo: F. O.Función Objetivo: F. O.

Maximizar la gMaximizar la ganancia semanal total (en miles anancia semanal total (en miles de dólares) por la producción de los 2 productosde dólares) por la producción de los 2 productos

Z = 3xZ = 3x11 + 5x+ 5x2 2 [US$[US$/ / artart ]] * * [[ artart//semsem]] ==[US$[US$/ semana/ semana]]

Sujeto a:Sujeto a:Restricciones de capacidad de producciónRestricciones de capacidad de producción

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••3.2.4 Término del lado derecho3.2.4 Término del lado derecho••3.2.5 Coeficientes tecnológicos3.2.5 Coeficientes tecnológicos••3.2.6 Restricciones funcionales. 3.2.6 Restricciones funcionales.

[horas[horas/ / artart ]] * * [[ artart//semsem] = [] = [ horas/horas/semsem] ] R1: Horas disponibles en la planta 1 R1: Horas disponibles en la planta 1

XX11 ≤≤ 44R2 : Horas disponibles en la planta 2 R2 : Horas disponibles en la planta 2

2X2X22 ≤≤ 1212R3 : Horas disponibles en la planta 3 R3 : Horas disponibles en la planta 3

3X3X11 + 2X+ 2X2 2 ≤≤ 18183.2.7 Restricción de signo de las variables:3.2.7 Restricción de signo de las variables:

Tasas de producción no negativas: Tasas de producción no negativas: XX11 , X, X22 ≥≥ 00

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••3.2 El MODELO DE P. L. 3.2 El MODELO DE P. L.

En síntesis, el problema formulado En síntesis, el problema formulado como un modelo de P. L. sería:como un modelo de P. L. sería:

Maximizar Maximizar Z = 3XZ = 3X1 1 + 5X+ 5X22

Sujeto aSujeto a

XX11 ≤≤ 442X2X22 ≤≤ 1212

3X3X11 + 2X+ 2X2 2 ≤≤ 1818

XX11 , X, X22 ≥≥ 00

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3.3 SOLUCIÓN GRÁFICA

El problema tiene sólo 2 variables de decisión El problema tiene sólo 2 variables de decisión y por lo tanto está en sólo 2 dimensiones.y por lo tanto está en sólo 2 dimensiones.

Podemos utilizar un método gráfico Podemos utilizar un método gráfico para resolverlopara resolverlo

Nota:Nota:Las soluciones de un problema de P.L son puntosLas soluciones de un problema de P.L son puntos

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Grafiquemos las restricciones

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

123456789

10X1 = 4 (planta 1)

X2 = 6(planta2)

3X1+ 2X2 = 18 (planta 3)

x2

x1

2-16

Definición:

REGION FACTIBLE:

Conjunto de puntos en los cuales Conjunto de puntos en los cuales todas las restricciones se cumplentodas las restricciones se cumplen

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Solución óptima

Seleccionar dentro de la región factible el punto Seleccionar dentro de la región factible el punto que maximiza el valor de la F. O. que maximiza el valor de la F. O. Z = 3XZ = 3X11 + 5X+ 5X22

Podemos utilizar el Podemos utilizar el procedimiento por prueba y procedimiento por prueba y

error. error. Por Por ej ej podemos elegir el valor podemos elegir el valor

Z = 15 = 3XZ = 15 = 3X11 +5X+5X22

RECTA DE ISOUTILIDAD

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Veamos ésto gráficamente

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

123456789

10X1 = 4 (planta 1)

3X1+ 2X2 = 18 (planta 3)

x2

x1

X2 = 6(planta2)

Z = 15 = 3X1 +5X2

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La solución óptima

Se desplaza la recta de la F. O. Se desplaza la recta de la F. O. paralelamente hasta que toque el último paralelamente hasta que toque el último

punto antes de abandonar la región punto antes de abandonar la región factible. factible.

Veamos la siguiente gráfica.

2-20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

123456789

10

R2

R3

x2

x1

R1

Z = 36

(2,6)

2-21

Ecuación de la forma pendienteEcuación de la forma pendiente--ordenada:ordenada:

Al despejar XAl despejar X2 2 de la ecuación de la ecuación Z = 3X1 + 5X2

Se tieneX2 = - 3/5 X1 + 1/5 Z

Así, X2 adquiere la forma de

y = mX + b

2-22

La solución óptima es:X1 = 2 X2 = 6

Valor de la F. O.

La ecuación de la recta es: Z = 3X1 + 5X2

Evaluada en el punto (2,6) da:3(2) + 6(5) = 36

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

123456789

10

R2

R3

x2

x1

R1

Z = 36

(2,6)

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Conclusiones:Conclusiones:

•• La solución óptima es XLa solución óptima es X11 = 2 , X= 2 , X22 = 6 con = 6 con Z = 36.Z = 36.

••Se deben fabricar los productos 1 y 2 a unas Se deben fabricar los productos 1 y 2 a unas tasas de 2 y 6 lotes semanales tasas de 2 y 6 lotes semanales respectivamente.respectivamente.

••La ganancia total máxima en estas La ganancia total máxima en estas condiciones es de US$ 36000 por semanacondiciones es de US$ 36000 por semana

2-25

El método es aplicable en otros El método es aplicable en otros problemas de este tipo ( 2 variables de problemas de este tipo ( 2 variables de decisión). decisión).

OJOOJO: Cuando el problema es de : Cuando el problema es de minimización, la recta se debe desplazar minimización, la recta se debe desplazar en la dirección en que Z decreceen la dirección en que Z decrece