clase06sistemas de primer orden
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Sistemas de primer orden
Departamento de Control, División de Ingeniería EléctricaFacultad de Ingeniería UNAM
México D.F. a 08 de Septiembre de 2006
Sistemas de primer orden 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Los sistemas de primer orden continuos son aquellos que responden auna ecuación diferencial de primer orden
)()()(00 trbtca
dttdc
La función de transferencia es:
0
0)()(
asb
sRsC
reacomodando términos también se puede escribir como:
1)()(
sK
sRsC
donde
0
0abK , es la ganancia en estado estable,
0
1a
, es la constante de tiempo del sistema.
el valor 1
0 as se denomina polo.
Sistemas de primer orden 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Respuesta de un sistemas de primer orden ante una entrada impulso
)()(0
0 sRasbsC
1)( sR
0
10
1)(as
btc L
taebtc 00)(
La salida en Laplace es
Utilizando transformada inversa de Laplace
Se obtiene la salida en función del tiempo
se evalúa la ecuación anterior en tiempos múltiplos de
Sistemas de primer orden 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
)(tct0 0367879.0 b
0135335.0 b
0b
23
40049787.0 b
0018315.0 b
respuesta al impulso
0b
t
0367879.0 b
Sistemas de primer orden 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Respuesta de un sistemas de primer orden ante una entrada escalón demagnitud A
)()(0
0 sRasbsC
sAsR )(
)(1)(
0
10 ass
Abtc L
)1()( 0taeAKtc
Utilizando transformada inversa de Laplace
La salida en Laplace es
Se obtiene la salida en función del tiempo
Ahora se evalúa la ecuación anterior en tiempos múltiplos de
Sistemas de primer orden 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
respuesta al escalón
AK
t
AK632120.0
AK981684.0
4
)(tct0 AK632120.0
0
23
4
AK864664.0AK950212.0
AK981684.0
Comentarios:•La constante de tiempo ( ) es igual al tiempo que tarda la salida enalcanza un 63.212% del valor final.
•Matemáticamente la salida alcanza su valor final en un tiempo infinito, pero en el sistema real lo hace en tiempo finito. Para fines prácticos seconsidera que la salida alcanza el estado estable en cierto porcentajedel valor final. Se usan dos criterios: el del 98%( ) y el del 95% ( )4 5
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Respuesta de un sistemas de primer orden ante una entrada rampa demagnitud A
Utilizando transformada inversa de Laplace
La salida en Laplace es
)()(0
0 sRasbsC
2)(sAsR
)(1)(
02
10 ass
Abtc L
taeAKtAKtc 0)()(
Se obtiene la salida en función del tiempo
Attr )(
respuesta a la rampa
AKt
t
Sistemas de primer orden 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
taeAKtAKtc 0)()(
AK
error en estado estable
Nota:Es importante aclarar que la entrada es de pendiente A, mientras que la salida presentapendiente AK desfasada seg.
En otras palabras siempre que laganancia en estado estable (K) delsistema no sea igual a uno, existirá un error en estado estableinfinito.
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Ejercicio:
Con lo visto anteriormente se observa que es posible lo siguiente:1. De la función de transferencia y conociendo la entrada, obtener la salida.2. De una gráfica (o datos) de respuesta de salida obtener la función de transferencia.
Un circuito RL tiene la siguiente función de transferencia.
LRsL
sVsI
1
)()(
Desarrollo:No se necesita usar fracciones parciales o transformada inversa, basta normalizar la función de transferencia para visualizar la respuesta:
cuando se aplica una entrada escalón de )(ti volt1Determinar la corriente
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entonces directamente se obtiene la ecuación:
)1(1)(tLR
eR
ti
t
RL
R1
RL2
RL3
RL4
1
1
)()(
sRLR
sVsI KR 1 Ganancia en estado
estable
RL Constante de tiempo
Sistemas de primer orden 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Ejercicio:
Una cautín se conecta a una alimentación de voltaje monofásica 127 volts. Alcanzar una temperatura estable de 325°C y tarde 130 segundos en alcanzar un 98% de ese valor. Determine la función de transferencia de primer orden que represente mejor esta respuesta.
Desarrollo:Se define la ganancia en estado estable:
559.2127325
entradadeVoltajeestableestadoenaTemperaturK
Se determina la constante de tiempo:Usando el criterio del 2% de error, se determina el tiempo que tarda la salida en alcanzar un 98% de su valor, se divide entre 4 y se obtiene la constante de tiempo.
5.324130
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por último se sustituye en la forma:
1)(
sKsG
15.32559.2
)()(
ssVsT
La función de transferencia que relaciona la temperatura con el voltaje es
30769.0078738.0
)()(
ssV
sT