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Matemática para Ingeniería (MA261)

Clase práctica 10.1

Temas: Identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y resolución de triángulos

1. Determine los ceros de la función g, con regla de correspondencia 2cos3cos2)( 2 xxxg .

Solución

Los ceros de g se determinan haciendo: g(x) = 0

En base a la condición anterior, obtenemos la ecuación 02cos3cos2 2 xx

CVA = R

Haciendo uso del método de aspa simple, factorizamos la ecuación y obtenemos:

0 )2(cos)1cos2( xx

Para que el producto de los términos sea cero, bastará que alguno de ellos sea cero. Por lo tanto:

...(*)01cos2 x o ...(**)02cos x

Analizando (*)

2

1cos01cos2 xx

Graficando en la circunferencia trigonométrica, tenemos que:

CASO 1: x podría tomar el valor 3

,

23 ,

4

3 , …, ¿por qué?

En general, x = .,23

Zkk

El primero corresponde al que se observa en la circunferencia trigonométrica; los siguientes se deben a que podría dar una o más vueltas y llegar al mismo punto.

2

CASO 2: x podría tomar el valor 3

,

2

3 ,

4

3 , …

En general, x = .,23

Zkk

Analizando (**)

2cos02cos xx

¿Es posible que el cos x tome el valor hallado? ¿Por qué? No, 1cos1 x

Entonces, los ceros de la función g ocurren en

k23 y

k2

3 , .Zk

2. Una persona, cuya visual se encuentra a 1,6 metros del piso, observa la parte más alta de una torre

con un ángulo de elevación de 32º. Luego de acercarse 14 metros de la torre, la observa con un

ángulo de elevación de 40º. Determinar la altura de la torre.

Solución

Sobre el dibujo, complete la información que se brinda en el enunciado del problema.

Definición de variables:

x: Altura de la torre, expresada en metros.

La medida del ángulo β es de 40° – 32° = 8°

Aplicando ley de senos en el triángulo ABD, tenemos que:

metros. 53,31

8sen

14

32sen

y

y

3

Ahora, recordemos que en un triángulo rectángulo se cumple que hipotenusa

opuesto catetosen

Entonces, y

x 6,1º40sen

¿por qué se puso x – 1,6 y no simplemente x?

El valor de x es aproximadamente de 35,86 metros.

Respuesta: La altura aproximada de la torre es de 35,86 metros.

3. Demostrar que x

xxx

sen1

sen1)tan(sec 2

Solución

Para demostrar la identidad anterior se tiene que partir de uno de los miembros y llegar al otro.

En este caso, partiremos del primer miembro y buscaremos llegar al segundo miembro.

Sabemos que x

xcos

1 sec y que

x

xx

cos

sentan

Reemplazando en el primer miembro, tenemos que:

2

2

cos

sen

cos

1)tan(sec

x

x

x xx

Sacando denominador común y separando los cuadrados del numerador y denominador,

obtenemos:

...(*)cos

)sen1()tan(sec

2

22

x

xxx

Ahora, se sabe que ) sen 1)(sen1( sen 1cos 22 xxxx

Reemplazando en (*), se tiene x

x

xx

x

sen 1

sen1

)sen 1( )sen1(

)sen1( 2

Por lo tanto, queda demostrado que x

xxx

sen1

sen1)tan(sec 2

Porque la altura del triángulo rectángulo mide x menos la altura de la visual de la persona

4

4. Demuestre las siguientes identidades:

a. xx

xcot

tan1

1cot

cos cos sen1

cos cos sencot 1 cossen sencot

sen cos sen1 tan sen cos sen sen1

cos cos

x x x

x x xx xx xx

x x xx x x x x

x x

b. xxx

2sec2sen1

1

sen1

1

2

2 2

1 sen 1 sen1 1 2 22sec

1 sen 1 sen 1 sen 1 sen 1 sen cos

x xx

x x x x x x

c. 1sen2cottan

cottan 2

x

xx

xx

2 2 2 2

2 2

2

2

sen cos sen cos sen (1 sen )

tan cot cos sen cos sen cos sen

sen cos 1sen costan cot

cos sen cos sencos sen

2sen 1 cos sentan cot2sen 1

tan cot cos sen

x x x x x x

x x x x x x x x

x x x xx x

x x x xx x

x x xx xx

x x x x

d.

xx

xtan

2cos1

2sen

2 2

sen 2 2sen cos 2sen cos sentan

1 cos 2 1 2cos 1 2cos cos

x x x x x xx

x x x x

e. x

x

x

x2

2

sen1

sen

sen

1sec

2 2

2 22 2 2

2 2

1 1 cos sen1

sec 1 sen sencos cos cos

sen sen sen sen sen cos 1 sen

x x

x x xx x x

x x x x x x x

5

f. x

x

x

x

cos1

sen

tan

1sec

2

2

1 1 cos1 1 cos 1 cossec 1 1 cos 1 coscos cos

sen sentan sen sen 1 cos sen 1 cos

cos cos

sec 1 sen sen

tan sen 1 cos 1 cos

xx xx x xx x

x xx x x x x x

x x

x x x

x x x x

5. Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas:

a. 0cos2sen xx

CVA= R

Usando la identidad sen(2x) 2senx cos x , tenemos:

2sen cos cos 0

cos 2sen 1 0( )

x x x

x x

Luego, cos 0 2sen 1 0x x

(1) cos 0 ,2

1(2) 2sen 1 0 sen

2

x x k k Z

x x

2 ,6

72 ,

6

x k k Z

x k k Z

Por lo tanto, 7

; 2 ; 22 6 6

CS k k k k Z

Nota: Tenga en cuenta que el CS se puede expresar de otra forma.

6

b. 01coscos2 2 xx

CVA= R

Usando el método de aspa simple tenemos:

(cos 1)(2cos 1) 0x x

Luego, cos 1 0 2cos 1 0x x

(1) cos 1 0 2 ,

1(2) 2cos 1 0 cos

2

x x k k Z

x x

22 ,

3

22 ,

3

x k k Z

x k k Z

Por lo tanto, 2 2

2 ; 2 ; 23 3

CS k k k k Z

c. 02)3(sen)3(sen2 xx

CVA= R

Usando el método de aspa simple tenemos:

sen(3 ) 2 sen(3 ) 1 0x x

Luego, sen(3 ) 2 0 sen(3 ) 1 0x x

(1) sen(3 ) 2 0 sen(3 ) 2x x No hay solución posible porque

1 sen(3 ) 1x

(2) sen(3 ) 1 0 sen(3 ) 1x x

3 2 ,2

x k k Z

luego 2

,6 3

kx k Z

Por lo tanto, 2

6 3

kCS k Z

7

d. 05cos5cos2 2 xx

CVA= R

Factorizando, tenemos:

cos(5 )(2cos(5 ) 1) 0x x

Luego, cos(5 ) 0 2cos(5 ) 1 0x x

(1) cos(5 ) 0 5 , ,2 10 5

1(2) 2cos (5 ) 1 0 cos (5 )

2

kx x k k Z x k Z

x x

25 2 , ,

3 15 5

kx k k Z x k Z

25 2 , ,

3 15 5

kx k k Z x k Z

Por lo tanto, 2 2

; ;10 5 15 5 15 5

k k kCS k Z

e. .0 , 032cos2cos2 2 xxx

CVA= R

Factorizando tenemos:

2cos(2 ) 3 cos(2 ) 1 0x x

Luego, 2cos(2 ) 3 0 cos(2 ) 1 0x x

3(1) 2cos(2 ) 3 0 cos(2 )

2x x No hay solución posible porque

1 cos(2 ) 1x

(2) cos(2 ) 1 0 cos(2 ) 1x x

2 2 , ,x k k Z x k k Z

Como los valores de x deben estar restringidos al intervalo 0; los valores que cumplirán

son 0 y para k = 0 y k = 1, respectivamente 0;CS

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6. Para las funciones f, g y h, determine sus ceros. Se sabe que sus reglas de correspondencia son,

respectivamente, 3cos2)( xxf , 3sensen2)( 2 xxxg y 23cos4)( xxh .

Los ceros de f ocurren cuando f (x) = 0 entonces 03cos2 x

3cos

2x

CVA= R

52 ,

6x k k Z

52 ,

6x k k Z

Los ceros de f ocurren en 5

2 ,6

k k Z

y en 5

2 ,6

k k Z

Los ceros de g ocurren cuando g (x) = 0 entonces 03sensen2 2 xx

CVA= R

Factorizando tenemos:

2sen 3 sen 1 0x x

Luego, sen(3 ) 2 0 sen(3 ) 1 0x x

3(1) 2sen 3 0 sen

2x x No hay solución posible porque

1 sen 1x

(2) sen 1 0 sen 1x x , luego

2 ,2

x k k Z

Los ceros de g ocurren en 2 ,2

k k Z

9

Los ceros de h ocurren cuando h(x) = 0 , entonces 02)3cos(4 x

CVA= R

Luego, 1

cos(4 )2

x

2 2 23 2 , ,

3 9 3

kx k k Z x k Z

2 2 23 2 , ,

3 9 3

kx k k Z x k Z

Los ceros de h ocurren en 2 2

,9 3

kk Z

y en

2 2,

9 3

kk Z

7. Desde lo alto de un acantilado se divisa un yate, que se aleja del acantilado horizontalmente, con un

ángulo de depresión de 28º. 10 segundos después el ángulo de depresión es de 21º. Si la altura del

acantilado al mar es de 138 metros, determine la distancia que se alejo el yate de la base del

acantilado en los 10 segundos señalados.

Primero se muestra un gráfico que describe la situación planteada:

x: longitud que se alejó el yate en los 10 segundos señalados.

Sea y la longitud del lado AB, en el triángulo rectángulo ABD se cumple que:

138 sen(28) y 138

y

sen(28)

En el triángulo ABC, utilizamos la ley de senos:

x

y x

y.sen(7) 100 metros

sen(7) sen(21) sen(21)

Respuesta: En los diez segundos señalados, el yate se alejó de la base del acantilado aproximadamente 100 metros.

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8. Un cazador, recostado en el piso, observa una paloma con un ángulo de elevación de 54º. Si la

paloma vuela horizontalmente a 60 m del piso y luego de 5 segundos pasa por encima del cazador,

determine la velocidad de la paloma, la cual se mueve con MRU.

x: distancia recorrida por la paloma hasta estar justo por encima del cazador.

El triángulo ABC es rectángulo; por ello, se cumple que: tan(36) 60

x x 43,6 metros

La paloma ha recorrido aproximadamente 43,6 metros en 5 segundos. Su velocidad será entonces aproximadamente de 8,72 m/s. Respuesta: La velocidad aproximada de la paloma es de 8,72 m/s.

9. Dos meteorólogos están situados a 25 millas uno de otro en una carretera este-oeste. El

meteorólogo del punto A observa un tornado en 38° este. El otro, en el punto B, observa el mismo

tornado en 53° oeste. Determine la distancia de cada meteorólogo al tornado y la distancia del

tornado a la carretera.

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Completando, la información dada, en el gráfico:

x: distancia del primer meteorólogo al tornado. y: distancia del segundo meteorólogo al tornado. h: distancia del tornado a la carretera. Aplicando la ley de senos en el triángulo ABC, tenemos:

25

15 millassen37 sen91

xx

2519,7 millas

sen52 sen91

yy

Además, en el triángulo rectángulo ACD se cumple que:

sen(52) h

x h 11,8 millas

Respuesta: Las distancias aproximadas de los meteorólogos al tornado son, respectivamente, 15 millas y 19,7 millas. Además, la distancia del tornado a la carretera es de aproximadamente 11,8 millas.

10. Para encontrar la longitud AB de un lago, un topógrafo midió el ángulo ACB de 96º y los lados AC

y BC midieron 95 m y 68 m. ¿Cuál es la longitud aproximada del lago?

Sea x la longitud del lago, aplicando la ley de cosenos tenemos que:

x2 68

2 95

2 2(68)(95) cos(96) x

2 14999,5 x 122,5 metros

Respuesta: La longitud aproximada del lago es de 122,5 metros.

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11. Desde los puntos A y B (situados en el piso) se ve caer un objeto. En el instante en que el objeto se

halla a 80 metros del piso, los ángulos de elevación desde A y B hacia el objeto son de 39º y 32º,

respectivamente. Hallar el ángulo de elevación de B hacia el objeto cuando el ángulo de elevación

de A hacia el objeto sea de 25º.

Completando la información sobre el gráfico, tenemos:

En base al triángulo ACD, determinamos la longitud de AD: tan(39) 80

AD AD 98,79 m

En base al triángulo BCD, determinamos la longitud de BD: tan(32) 80

BD BD 128,03 m

En base al triángulo AED, determinamos la longitud de ED: tan(25) ED

AD ED 46,07 m

En base al triángulo DBE, determinamos el valor de x: tan x ED

BD x 19,8

Respuesta: La medida aproximada del ángulo de elevación de B, cuando el ángulo de elevación de A sea de 25°, será de 19,8°.

12. Excursionismo recreativo. Mientras que Otis Evans está en una excursión en una ruta alrededor de

la parte frontal de Colorado, determina que el ángulo de elevación hacia la parte superior de la

montaña Long´s Peak es de 30°. Si se mueve 1000 pies para acercarse a la montaña, Otis determina

que el ángulo de elevación es de 35°. ¿A qué altura del nivel de referencia de Otis se encuentra

Long´s Peak?

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x: Altura, sobre el nivel de referencia de Otis, del Long´s Peak.

Aplicando ley de senos en el triángulo ADC, hallamos el valor de y.

y

1000

y 5736,9 pies

sen(30) sen(5)

Ahora, en el triángulo rectángulo DBC, se cumple que: sen(35) x x 3290,5 pies

y

Respuesta: la altura aproximada de Long´s Peak, por encima del nivel de referencia de Otis, es de 3290,5 pies.

13. Vuelo recreativo. Un globo aerostático sobre Park City, Utah está a 760 pies sobre el nivel del

suelo. El ángulo de depresión del globo a un observador es de 5,25°. Suponiendo que el piso es

relativamente plano, ¿qué tan lejos está el observador del punto en el piso que está directamente

bajo el globo?

Completando la información sobre el gráfico, tenemos:

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x: Distancia desde el observador al punto en el piso que se encuentra directamente abajo del

globo.

Al tratarse de un triángulo rectángulo, se cumple que: tan(5,25) x

760 x 8271pies

Respuesta: La distancia aproximada, desde el observador hasta el punto en el piso, que se encuentra directamente abajo del globo, es de 8271 pies.

14. Determinación de altura. Dos observadores están separados 400 pies, en lados opuestos de un

árbol. Los ángulos de elevación de los observadores a la punta del árbol son 15° y 20°. Determinar

la altura del árbol.

Primero realizamos un gráfico que ilustra la situación descrita:

Aplicando ley de senos en el triángulo ABC, tenemos que:

pies 180,5 y )(145sen

400

)(15sen

y

En el triángulo rectángulo ADC, se cumple que: sen(20) y

x x 61,7 pies

Respuesta: la altura aproximada del árbol es de 61,7 pies.

15. Construcción de ingeniería. Un fabricante está diseñando la armadura de un tejado que se modela

en la figura que se muestra.

a. Determine la medida del CAE .

b. Si AF =12 pies, determine la longitud DF.

c. Usando el dato de la parte b, determine la longitud EF.

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Completando la información en el gráfico, tenemos:

a. x: medida del ángulo CAE

En el triángulo AEC, se cumple que: tan x 18

6 x 18,43

Respuesta: La medida aproximada del ángulo CAE es de 18,43°

b. Para hallar la medida del lado DF, bastará aplicar la ley de cosenos en el triángulo

ADF.

y 2 12

2 9

2 2(12)(9) cos(18,43) y 4,48 pies

Respuesta: La medida de DF es de aproximadamente 4,48 pies.

c. Para hallar la medida del lado EF, bastará aplicar la ley de cosenos en el

triángulo AEF

z 2 12

2 18

2 2(12)(18) cos(18,43) z 7,63 pies

Respuesta: La media de EF es de aproximadamente 7,63 pies.