clase m2 probabilidades

Datos y Azar

Probabilidades

APRENDIZAJES ESPERADOSDefinir el concepto de probabilidadResolver problemas que involucren probabilidad clsica , total o condicionada.Aplicar las propiedades de las probabilidades en la resolucin de problemas.

Contenidos1.1 Definicin Probabilidades1.2 Espacio muestral1.3 Evento o suceso2. Probabilidad clsica3. Tipos de sucesos3.1 Sucesos contrarios3.2 Suceso seguro3.3 Suceso imposible

4. Propiedades bsicas4.1 Suceso A Suceso B4.2 Suceso A y Suceso BCaso 1. Si son mutuamente excluyentesCaso 2. Si no son mutuamente excluyentesCaso 1. Si son independientesCaso 2. Si son dependientes4.3 Probabilidad con reposicin4.4 Probabilidad sin reposicin

FRECUENCIASEl nmero de veces que se repite un determinado valor en un conjunto de datos, se llama frecuencia.Si esta frecuencia se divide por el nmero total de datos, se obtiene la frecuencia relativa.Si la frecuencia relativa se multiplica por 100, entonces se habla de la frecuencia relativa porcentual (%).

Por ejemplo, si al lanzar 30 veces una moneda y se obtienen 13 caras y 17 sellos, la siguiente tabla grafica la situacin:

RESULTADOFrecuencia Absoluta (fi)Frecuencia Relativa (fr)Frecuencia Relativa % (fr%)CARA130,43333343,3333%SELLO170,56666656,6666%

EXPERIMENTO DETERMINSTICOEs aquel que siempre se produce en igual forma cuando se dan las mismas condiciones.Por ejemplo: tiempo que tarda un mvil en recorrer un espacio dado con movimiento uniforme, a velocidad constante.Poner un recipiente con agua a 0C

EXPERIMENTO ALEATORIO Con el trmino aleatorio se indica la posibilidad de que en idnticas condiciones puedan producirse resultados diferentes, que no son, por tanto, previstos de antemano.Por ejemplo: el nmero de naranjas que trae una malla de 3 kilosla temperatura mxima o mnima de maana, los nmeros sorteados en el Kino, etc.

1. ProbabilidadesEl concepto de probabilidad se encuentra con frecuencia en la comunicacin entre las personas. Por ejemplo:2) Los alumnos del IRA tienen un 95% de probabilidades de ingresar a la universidad.En los ejemplos, se da la medida de la ocurrencia de un evento que es incierto (ganarse un viaje, o ingresar a la universidad), y sta se expresa mediante un nmero entre 0 y 1, o en porcentaje.1) Pilar y lvaro tienen un 27% de probabilidades de ganarse un viaje al extranjero.

Intuitivamente podemos observar que cuanto ms probable es que ocurra el evento, su medida de ocurrencia estar ms prximo a 1 o al 100%, y cuando menos probable, ms se aproximar a 0. De aqu se deduce que un hecho o evento que NO puede ocurrir tendr probabilidad cero y uno cuya probabilidad es segura tendr probabilidad uno.Luego, si A representa un evento o suceso, se cumple que:

Es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento.Ejemplo:Al lanzar un dado de seis caras, el espacio muestral es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Ejemplo:Cuntos elementos tiene el Espacio Muestral si se lanza una moneda y un dado de seis caras?Usamos el principio multiplicativo:

2 6 = 12 elementos

3 monedasn monedas222 = 8 posibilidades22222= 2n posibilidadesCuando un objeto puede caer de a maneras y se lanzan n de esos objetos, el Espacio Muestral tiene a n elementos.E = {(c,c,c), (c,c,s), (c,s,c), (c,s,s), (s,c,c), (s,c,s), (s,s,c), (s,s,s)} Ejemplo:Al lanzar tres dados de seis caras, el Espacio Muestral tiene 63 = 216 elementosEn el lanzamiento de monedas, la cantidad de resultados posibles tambin se determina por el principio multiplicativo: 1 moneda2 posibilidadesE = {c, s} 2 monedas22 = 4 posibilidadesE = {(c,c), (c,s), (s,c), (s,s)}.

Corresponde a un subconjunto de un Espacio Muestral, asociado a un experimento aleatorio. En el lanzamiento de 2 monedas, el Espacio Muestral es E = {(c,c), (c,s), (s,c), (s,s)} y tiene 4 elementos.Un suceso es que salgan dos caras, es decir {(c,c)}, que tiene 1 elemento. En el lanzamiento de un dado cuntos elementos tiene el Espacio Muestral y cuntos el suceso que salga un nmero par?Ejemplo:Ejemplo:Suceso = {2, 4, 6}, 3 elementosEspacio Muestral = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, 6 elementos.https://www.youtube.com/watch?v=jqCFhbiJuTo

2. Probabilidad clsica Ejemplo1:Cul es la probabilidad de que al lanzar un dado comn salga un nmero primo?Solucin:El Espacio Muestral E, est dado por:

E={1, 2, 3, 4, 5, 6}, por lo tanto posee 6 elementos, es decir, 6 casos posibles.Sea A, el evento o suceso:A: que salga un nmero primo, entonces se tiene que:

A={2, 3, 5}, por lo tanto posee 3 elementos, es decir, 3 casos favorables.

P(A) =Entonces:Casos favorables (nmeros primos): 3 (2, 3, y 5) Casos posibles: 6 (1, 2, 3, 4, 5 y 6)Por lo tanto:Ejemplo2:Al lanzar 2 monedas, cul es la probabilidad de que las dos sean caras?Casos posibles: 4 Casos favorables (2 caras): 1 Entonces:P(2 caras) ==

TRINGULO DE PASCALEl tringulo de Pascal en matemtica es un conjunto infinito de nmeros enteros ordenados en forma de tringulo que expresancoeficientes binomiales. El inters del Tringulo de Pascal radica en suaplicacin en lgebra y permite calcular de forma sencilla nmeros combinatorios lo que sirve para aplicar el binomio de Newton.

Si se lanza una moneda una vez, los casos posibles son:1 cara (c) 1 sello (s), que est representado en la primera fila del Tringulo de Pascal: 1 1 El total de casos posibles es 2.

Si se lanza una moneda dos veces, los casos posibles son:CC, CS, SC, SS, lo que implica que se tiene 1 caso en que aparecen dos caras, 2 casos distintos en que se obtiene una cara y un sello, y 1 caso en que se obtienen dos sellos, que est representado en la segunda fila del Tringulo de Pascal: 1 2 1 El total de casos posibles es 4.Ejemplo:En probabilidades el Tringulo de Pascal se utiliza como una tcnica de conteo en la resolucin de problemas de iteracin de experimentos sencillos, cuando el objeto considerado tiene dos posibilidades, por ejemplo una moneda, sexo de un hijo por nacer, etc.

La probabilidad de que un suceso NO ocurra, o probabilidad de un suceso contrario, se obtiene a travs de: 3. Tipos de sucesos3.1 Probabilidad de un suceso contrario:

Ejemplo:Solucin:P(no llueva) = 1 - P(llueva)

Si se tiene certeza absoluta de que un evento A ocurrir:P(A) = 1 Ejemplo:La probabilidad de obtener un nmero natural al lanzar un dado comn es 1 (6 de 6).Casos posibles: 6 (1,2,3,4,5,6) Casos favorables: 6 (1,2,3,4,5,6) 3.2 Probabilidad de un suceso seguro:

Ejemplo:La probabilidad de obtener un nmero mayor que 6 al lanzar un dado comn es 0 (0 de 6).P(A) = 0Casos posibles: 6 (1,2,3,4,5,6) Casos favorables: 0P(mayor que 6) == 03.3 Probabilidad de un suceso imposible: Si se tiene certeza absoluta de que un evento A NO ocurrir:

4. PROPIEDADES BSICAS DEL CLCULO DE PROBABILIDADES4.1 La probabilidad de que ocurra el suceso A el suceso B. Caso 1: Cuando A y B son eventos mutuamente excluyentes est dada por:

P(A U B) = P(A) + P(B)Ejemplo:Al lanzar un dado, cul es la probabilidad de que salga un nmero menor que 2 mayor que 5?Solucin:1 6= +

Caso 2: De no ser mutuamente excluyentes:Ejemplo:Al lanzar un dado, cul es la probabilidad de que salga un nmero menor que 5 un nmero par?Solucin:Casos posibles 6 {1,2,3,4,5,6} Casos favorables (menor que 5): 4 {1,2,3,4}Casos favorables (nmero par): 3 {2,4,6}

Como 2 y 4 son menores que 5, y al mismo tiempo son pares, se estaran considerando como casos favorables dos veces. Por lo tanto:La probabilidad de que salga un nmero menor que 5 un nmero par, al lanzar un dado se expresa como:= P(< 5) + P(par) P(

En este caso, ambos sucesos ocurren simultneamente, A y B.4.2 La probabilidad de que ocurra el suceso A y el suceso B, siendo stos independientes.Caso 1: Cuando A y B son eventos independientes, se cumple que:Ejemplo:Cul es la probabilidad de que al lanzar dos veces un dado se obtengan dos nmeros pares?Solucin:Casos posibles: 6 (1,2,3,4,5,6) Casos favorables: 3 (2,4,6) Entonces:P(dos pares) = P(par) y P(par) = P(par) P(par)

Corresponde a la probabilidad de B tomando como espacio muestral a A, es decir, la probabilidad de que ocurra B dado que ha sucedido A. Solucin:B: Sacar 4A: Nmero par = { 2,4,6 }Ejemplo:Al lanzar un dado, cul es la probabilidad de obtener un 4 sabiendo que ha salido par?Caso 2: Cuando A y B son eventos dependientes corresponde a la Probabilidad Condicionada.

Ejemplo:Se tiene una bolsa con 30 pelotitas entre blancas y rojas, de las cuales 12 son blancas, todas de igual peso y tamao. Si se extraen 2 pelotitas al azar, con reposicin, cul es la probabilidad de que ambas sean blancas?Solucin:Casos posibles: 30 Casos favorables: 12 Entonces:P(dos blancas) = P(blanca) y P(blanca) = P(blanca) P(blanca)Casos posibles: 30 Casos favorables: 12 Primera extraccin Segunda extraccin (Con reposicin)4.3 Probabilidad con reposicin.

Ejemplo:Se tiene una bolsa con 30 pelotitas entre blancas y rojas, de las cuales 12 son blancas, todas de igual peso y tamao. Si se extraen 2 pelotitas al azar, sin reposicin, cul es la probabilidad de que ambas sean blancas?Solucin:Casos posibles: 30 Casos favorables: 12 Entonces:P(dos blancas) = P(blanca) y P(blanca) = P(blanca) P(blanca)Casos posibles: 29 Casos favorables: 11 Primera extraccin Segunda extraccin (Sin reposicin)4.4 Probabilidad sin reposicin.

EJEMPLOSSi se lanza un dado. Cul es la probabilidad de obtener:a. Un nmero impar = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

b. Un nmero primoc. Un nmero menor que 3 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Ahora tEn una sala de clase hay 12 estudiantes de Quillota, 8 de Calera y 10 de La Cruz. Si se selecciona un alumno al azar, cul es la probabilidad de que sea de Quillota?La opcin correcta es:a) 0,4b) 0,6c) 0,55

TIPOS DE SUCESOSSuceso Improbable o Imposible: Cuando la probabilidad de ocurrencia es 0

Suceso Seguro: Cuando la probabilidad de ocurrencia es 1

Suceso Equiprobable: Cuando la probabilidad de ocurrencia es la misma.