Se llama sucesin a un conjunto de nmeros dispuestos uno a continuacin de otro.

a1, a2, a3 ,..., an

a1, a2, a3 ,..., : Trminos de la sucesin.

El subndice indica el lugar que el trmino ocupa en la sucesin.

El trmino general es an es un criterio que nos permite determinar cualquier trmino de la sucesin.

Por el trmino general

an= 2n-1 Por una ley de recurrencia

Los trminos se obtienenoperando con los anteriores.

DETERMINACIN DE UNA SUCESIN:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,...

No siempre hay trmino general

OPERACIONES CON SUCESIONES

Dadas las sucesiones an y bn:

an= a1, a2, a3, ..., anbn= b1, b2, b3, ..., bn

Suma con sucesiones:

(an) + (bn) = (an + bn)(an) + (bn) = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3, ..., an + bn)

Propiedades

1 Asociativa:

(an + bn) + cn = an + (bn + c n)

2 Conmutativa:

an + bn = bn + a n

3 Elemento neutro

(0) = (0, 0, 0, ...)

an + 0 = an

4 Sucesin opuesta

(-an) = (-a1, -a2, -a3, ..., -an)

an + (-an) = 0

Diferencia con sucesiones:

(an) - (bn) = (an - bn)

(an) - (bn) = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3, ..., an - bn)

Producto con sucesiones:

(an) (bn) = (an bn)

(an) (bn) = (a1 b1, a2 b2, a3 b3, ..., an bn)

Propiedades

1 Asociativa:

(an bn) c n = an (bn c n)

2 Conmutativa:

an bn = bn a n

3 Elemento neutro

(1) = (1, 1, 1, ..)

an 1 = an

4 Distributiva respecto a la suma

an (bn + c n) = an bn + an c n

Sucesin invertible

Una sucesin es invertible si todos sus trminos son distintos de

cero. Si la sucesin bn es invertible, su inversa es:

Cociente

Slo es posible el cociente entre dos sucesiones si el denominador

es inversible

TIPOS DE SUCESIONES

Sucesiones montonas

Sucesiones estrictamente crecientes

an+1 > an

Sucesiones crecientes

an+1 an

Sucesiones estrictamente decrecientes

an+1 < an

Sucesiones decrecientes

an+1 an

Sucesiones constantes

Todos su trminos son iguales, an= k.

an = an+1

Sucesiones acotadas inferiormenteTodos sus trminos son que un nmero K (COTA INFERIOR de la sucesin)

an K

A la mayor de las cotas inferiores se le llama EXTREMO INFERIOR O NFIMO .

Si el nfimo de una sucesin es uno de sus trminos se le llama MNIMO.

Toda sucesin acotada inferiormente es creciente.

Sucesiones acotadas superiormenteTodos sus trminos son que un cierto nmero K (COTA SUPERIOR)

an K'

A la menor de las cotas superiores se le llama EXTREMO SUPERIOR O SUPREMO.

Si el supremo de una sucesin es uno de sus trminos se llama MXIMO.

Toda sucesin acotada superiormente es montona decreciente.

Sucesiones acotadasUna sucesin se dice acotada si est acotada superior e inferiormente. Todoslos trminos de la sucesin estn comprendidos entre K y K'.

K an K'

PROGRESIONES ARITMTICAS

Una progresin aritmtica es una sucesin de nmeros talesque cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior msun nmero fijo llamado diferencia que se representa por d.

Trmino general de una progresin aritmtica

1 Si conocemos el 1er trmino.an = a1 + (n - 1) d

2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro trmino de laprogresin.

an = ak + (n - k) d

Interpolacin de trminos

Interpolar medios diferenciales o aritmticos entre dos nmeros, esconstruir una progresin aritmtica que tenga por extremos losnmeros dados.Sean los extremos a y b, y el nmero de medios a interpolar m.

Suma de trminos equidistantes

Sean ai y aj dos trminos equidistantes de los extremos, se cumpleque la suma de trminos equidistantes es igual a la suma de losextremos.

ai + aj = a1 + an

a3 + an-2 = a2 + an-1 = a1 + anSuma de n trminos consecutivos

PROGRESIONES GEOMTRICAS

Una progresin geomtrica es una sucesin en la que cadatrmino se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fijar, llamada razn.

Trmino general de una progresin geomtrica

1 Si conocemos el 1er trmino.

an = a1 rn-1

2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro trmino dela progresin.

an = ak rn-k

Interpolacin de trminos

Interpolar medios geomtricos o proporcionales entre dosnmeros, es construir una progresin geomtrica que tengapor extremos los nmeros dados.

Suma de n trminos consecutivos

Suma de los trminos de una progresin geomtrica decreciente

Producto de dos trminos equidistantes

Sean ai y aj dos trminos equidistantes de los extremos, secumple que el producto de trminos equidistantes es igual alproducto de los extremos.

ai . aj = a1 . an

a3 an-2 = a2 an-1 = ... = a1 an

Producto de n trminos equidistantes

Algunas recomendaciones: Trmino general de una sucesin

1 Comprobar si es una progresin aritmtica.

2 Comprobar si es una progresin geomtrica.

3 Comprobar si los trminos son cuadrados perfectos.

Tambin nos podemos encontrar con sucesiones cuyos trminos son nmeros

prximos a cuadrados perfectos.

4 Si los trminos de la sucesin cambian consecutivamente de signo.

Si los trminos impares son negativos y los pares positivos:

Multiplicamos an por (-1)n.

Si los trminos impares son positivos y los pares negativos:

Multiplicamos an por (-1)n-1.

5 Si los trminos de la sucesin son fraccionarios (no siendo una

progresin).

Se calcula el trmino general del numerador y denominador por

separado.

LMITE DE UNA SUCESIN

Existe un numero, que indicauna relacin entre distancias,que se repite constantementeen la naturaleza sin que nadiehaya sabido explicar aunporque. Fue un comercianteitaliano llamado Leonardo dePisa y apodado Fibonacciquien escribi la serie quelleva su nombre y quecontena en su interior elenigmtico numero de oro.

Se dice que una sucesin an tiene por lmite L si y slo si para cualquiera nmero positivo que tomemos, existe un trmino ak, a partir del cual todos los trminos de an, siguientes a ak cumplen que |anL| < .

Ejemplo: La sucesin an = 1/n tiene por lmite 0.

Ya que podemos determinar a partir de que trmino de la sucesin, su distancia a 0 es menor que un nmero positivo (), por pequeo que ste sea.

Como k>10 a partir del a11 se cumplir que su distancia 0 es menor que 0.1.

Lmite infinito de una sucesin

Se dice que una sucesin an *ene por lmite + cuando para toda M>0 existe un trmino ak, a partir del cual todos los trminos de an, siguientes a

ak cumplen que an> M.

Ejemplo: Vamos a comprobar que el lmite de la sucesin an= n2 es +.

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...

Si tomamos M = 10 000, su raz cuadrada es 100, por tanto a partir de a101superar a 10 000.

a101= 1012 = 10 201

Se dice que una sucesin an *ene por lmite cuando para toda N >0

existe un trmino ak, a partir del cual todos los trminos de an, siguientes a ak cumplen que an < N.

Ejemplo: Vamos a comprobar : que el lmite de la sucesin an= n

2 es

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...

Si tomamos N= 10 000, su raz cuadrada es 100, por tanto a partir de a101superar a 10 000.

a101= 1012 = 10 201

PROPIEDADES DE LOS LMITES

1 El lmite si existe es nico.

2 Si una sucesin an tiene lmite, todas las subsucesiones tienen el mismo

lmite que an.

3 Todas las sucesiones convergentes estn acotadas.

4 Hay sucesiones acotadas que no son convergentes

5 Todas las sucesiones montonas y acotadas son convergentes.

6 Hay sucesiones convergentes que no son montonas.

INFINITSIMOS

Una sucesin an es un infinitsimo si es una sucesin convergente que tiene por lmite cero.

lim an = 0

Ejemplo

Propiedades de los infinitsimos1 La suma de dos infinitsimos es un infinitsimo.2 El producto de un infinitsimo por una sucesin acotada es un

infinitsimo.3 El producto de infinitsimos es un infinitsimo.4 El producto de una constante por un infinitsimo es un infinitsimo.5 Si una sucesin an converge a L, la sucesin (an L) es un infinitsimo.6 Si una sucesin an es divergente, su inversa es un infinitsimo.

OPERACIONES CON LMITES

AL OPERAR CON LMITES PUEDEN PRESENTARSE ESTOS CASOS:

Clculo de lmites. Indeterminacin infinito partido infinito

Regla prctica Si el numerador y denominador tienen el mismo grado el lmite es el cociente entre los coeficientes de las potencias de mayor grado

Indeterminacin infinito menos infinito

Otro arreglo

Ejemplo: