MÓDULO 3:

LOS DESAFÍOS DE LA ENSEÑANZA DE LAS OPERACIONES CON

FRACCIONES Y DECIMALES

PRESENTACIÓN DEL MÓDULO

En este Módulo nos ocuparemos de estudiar cuál es el recorte señalado en los objetos matemáticos que los NAP determinan, y cómo se piensa hoy su enseñanza en la escuela primaria. Para ello se retoma la lectura de textos de investigaciones didácticas y propuestas para el aula, y se analizan secuencias de trabajo sobre esas nociones para el segundo ciclo de la escuela primaria, elaboradas para el Plan Matemática para todos.

También avanzaremos en la incorporación a este curso de nociones didácticas que permitan elaborar criterios de acción para analizar y modificar las prácticas de enseñanza. En este sentido, en este Módulo incluiremos nuevos elementos para considerar la gestión de una clase de matemática, cómo planificar de manera articulada en el ciclo para no generar discontinuidades y cómo evaluar de manera coherente con la enseñanza.

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CICLO FORMATIVO

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Autoras: Graciela Chemello, Mónica Agrasar, Silvia Chara y Analía Crippa / Equipo Áreas curriculares del Ministerio de Educación

PRESENTACIÓN

En esta clase nos ocuparemos de analizar los contextos posibles para proponer problemas con las cuatro operaciones con fracciones y decimales, y su aporte a la construcción de sentido de estas operaciones.

También nos abocaremos a profundizar en la consideración de la gestión de la clase, cuestión ya tratada en la clase 4. Se trata ahora de plantear algunas recomendaciones surgidas del trabajo con colegas docentes al reflexionar sobre sus clases, atendiendo a decisiones que se toman durante su desarrollo y que están orientadas por la intención de sostener un trabajo matemático productivo para todos los alumnos.

1. OPERACIONES CON FRACCIONES Y DECIMALES

Cuando comenzamos a trabajar en la escuela con fracciones y decimales, los niños tienen ya una amplia experiencia de trabajo numérico en el que los números permiten dar cuenta de una cantidad que se puede contar. Al estudiar las operaciones con números naturales, han tenido oportunidad de resolver problemas con diferentes estructuras y en distintos contextos, y también han resuelto cálculos en forma exacta y aproximada con diferentes estrategias, todas fundamentadas en sus propiedades, construyendo una primera concepción acerca de estas operaciones.

1.a. Contextos verosímiles y significados de las cuatro operaciones básicas

En este apartado procuraremos explorar dos cuestiones. La primera: ¿Cómo incluir la consideración de contextos cuando pensamos en la enseñanza de las operaciones con

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fracciones y decimales? La segunda: dado que las fracciones y los decimales aparecen -en la escuela primaria- en situaciones donde expresan un reparto, la parte de un todo, una medida o una razón, ¿Qué relación tienen estos significados con los de las operaciones con esos números?

Sobre esta segunda cuestión señalemos en principio, que parece razonable considerar la posibilidad de extender los significados construidos para las operaciones con números naturales y ver, para cada una, si esto ocurre o no y también qué significados de los números racionales aparecen en cada uno de los campos de problemas. En este sentido, hay una diferencia importante entre lo que ocurre con las situaciones donde se utilizan sumas y/o restas y lo que ocurre con las situaciones donde se utilizan la multiplicación y la división.

Volviendo al tema de los contextos, sabemos que la elección debiera ser tal que permita a los alumnos dar sentido tanto al uso de las fracciones como al de las operaciones que intervienen, es decir que es necesario ser cuidadoso respecto de la verosimilitud de los problemas. Dado que las cantidades expresadas con fracciones tienen un uso social limitado, con la intención de “buscar problemas cotidianos” muchas veces se fuerza su incorporación presentando problemas “escolares”, sin relación con realidad alguna, como aquellos en los que las fracciones representan partes pintadas de paredes o postes.

Por otra parte, en las situaciones de la realidad en las que tiene sentido expresar una cantidad con un número racional, las fracciones se usan muy poco. Es más usual hacerlo con un número decimal que con una fracción, porque la decimal es una escritura más cómoda para operar que la fraccionaria, y además porque, a través de las equivalencias de unidades, es posible transformar las cantidades expresándolas con números naturales y operar con ellos o mantener la operatoria con decimales y luego controlar los resultados mediante esas equivalencias.

Con los recaudos mencionados para los contextos, analicemos los significados de los números y de las operaciones en el campo de los problemas de suma y resta y luego en el de problemas de multiplicar y dividir.

Es posible construir un campo de problemas en los que haya que sumar o restar fracciones y/o decimales manteniendo los significados conocidos de esas operaciones , es decir que se pueden reconocer problemas en los que es necesario agregar o reunir diferentes cantidades ó quitar, hallar la diferencia o el complemento.

En esas situaciones, si analizamos el significado de los números que intervienen, las fracciones o los decimales que se suman o se restan, expresan medidas o partes de un entero.

Esto ocurre por ejemplo, en el siguiente problema de la Secuencia de 4to grado de Notas para la enseñanza 21, hay que sumar y restar medidas de longitud:

1 Disponible en la sección Lecturas Complementarias de la plataforma virtual.

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Para el proyecto de telares, otra carpintería donó 4 varillas de 2m, 3 de 1,50 y 4 de 1 m.

Los chicos pensaron que podían armar bastidores triangulares para los que necesitan 2 varillas de 0,80m y una de 1,13cm.

a) ¿Cuántos pueden hacer?

b) ¿Pueden hacer algunos cuadrados con los recortes? ¿De qué medida?

c) ¿Pueden usar los recortes para arman bastidores para hacer fajas de 50 cm por 25 cm?

En este problema hay que pensar cómo cortar varillas de 0,80 m. y 1,13 m. de otras cuyas longitudes son 2 m., 1,50 m. y 1 m., lo que requiere en primer lugar, comparar 0,80 y 1,13 con cada una de las otras tres longitudes. Se verá entonces que las de 0,80 se pueden cortar de las de 1m, las de 1,13 m. pueden cortar de las de 1,5 m.

Con la de 2m se pueden cortar una de 0,80 m. y otra de 1,13 m., conclusión que se puede obtener al sumar 1,13 m. + 0,80 y comparar con 2 m. Las preguntas b) y c) requieren calcular la longitud de los recortes, para lo que habrá que restarlas.

En el caso de que las fracciones o decimales expresen partes en un reparto, no tiene sentido reunir o agregar una parte en un reparto con otra parte en otro reparto, por ejemplo la parte de 5 repartido entre 4 con la parte de 4 repartido entre 3. Sí es posible proponer la realización de una comparación de partes en repartos y eventualmente una resta para saber la diferencia entre las partes.

El campo de problemas de multiplicación y división de fracciones o decimales por un número natural permite extender los significados conocidos de estas operaciones y, cuando se trata de multiplicaciones y divisiones de fracciones o decimales entre sí está conformado por aquellos problemas en los que se realizan productos de medidas. Esto ocurre tanto al averiguar áreas o volúmenes como cuando interviene una relación entre magnitudes proporcionales y se puede expresar esa relación mediante una razón o un producto constantes.

Para estos problemas, los significados de las fracciones y decimales que intervienen son el de medidas –correspondientes a las cantidades de las magnitudes que se relacionan proporcionalmente - y también el de razón para la constante de proporcionalidad entre magnitudes del mismo o de distinto tipo –que expresa la relación entre las magnitudes que intervienen.

Al respecto, en los Cuadernos para el aula de 5to y 6to grados se plantean algunos ejemplos.

Veamos, en la página siguiente, dos casos de productos de fracciones. En el primer caso, una fracción expresa una razón escalar y en el otro, una medida.

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Para preparar un flan para 7 personas, Jimena usa una receta para 4 personas, en la que los ingredientes son 8 huevos, ¼ kg. de azúcar y ½ l de leche. ¿Qué cantidades de cada ingrediente debe utilizar?

¿Cómo se podría calcular la cantidad de leche para 7 personas? Las cantidades de personas y las de leche se relacionan de manera directamente proporcional, entonces 7/4 es el escalar que expresa la relación entre dos cantidades de porciones, las de la receta con las que se quieren preparar. Se averiguan las cantidades para una persona y luego para 7

Personas 4 7

Cantidad de leche ½ l de leche

Cantidad de azúcar ¼ kg. de azúcar

½ litros x 7/4 = …..litros

Esta resolución se muestra en la primera flecha del esquema siguiente:

Al multiplicar la cantidad de leche por ¼ se averigua la cuarta parte, es decir, la cantidad de leche para una porción y luego al multiplicar por 7 la cantidad de leche para las 7 que se quieren preparar.

La resolución indicada en la segunda flecha da numéricamente el mismo resultado pero no corresponde al sentido del problema.

En el segundo problema, una fracción expresa una medida y un número decimal expresa la razón entre las dos magnitudes que se relacionan.

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Don Juan desea completar la siguiente lista de precios del queso sardo, haciendo sólo una cuenta con su máquina de calcular. Si ½ kg. cuesta $12,20, ¿qué cuenta podría hacer para saber cuánto debe cobrar? Completá la tabla.

Aquí la fracción ½ expresa una medida, el peso de un trozo de queso (1/2 kg..) y $12,20/ ½ kg. que es igual a 24.40 $/kg. (El precio por cada medio kg. es igual al doble del precio por cada kilo), es la constante de proporcionalidad.

Para averiguar el precio de ¾ kg. por ejemplo, se puede multiplicar esa cantidad por la constante:

¾ kg. x 12,20$ / ½ kg. = ¾ kg. x 24,40$/kg.

Por último analicemos otro ejemplo en el que los dos números son fracciones que expresan medidas lineales y el producto permite hallar el área.

Calculá el área de un rectángulo de 3 ½ de largo y 2 ¼ de ancho.

En una representación en la que la unidad es un cuadrado de 4 cuadraditos, el área podría calcularse contando rectangulitos como el anaranjado que representa 1/8 del cuadrado unidad, ya que tiene ¼ de alto x ½ de ancho. Como entran 9 rectangulitos anaranjados en el alto (1/4 “entra” 9 veces en 2 y ¼) y 7 en el ancho (1/2 “entra” 7 veces en 3 y ½), resultan 63 rectangulitos o sea 63 x 1/8 = 63/8

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3 ½ x 2 ¼ = 7/2 x 9/4 = 63/8

También se puede pensar mediante la equivalencia de las expresiones 3 ½ = 3 + ½ y 2 ¼ = 2 + ¼ y usando la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma:

3 ½ x 2 ¼ =

3 + ½ x 2 + ¼ = 3 x 2 + 3 x ¼ + 2 x ½ + ½ x ¼ =

6 + ¾ + 1 + 1/8 7 + 6/8 + 1/8 = 7 + 7/8

En el segundo ciclo de la escuela primaria se incluye el trabajo con problemas con sumas y restas y también con multiplicaciones y divisiones de fracciones y decimales, como los que hemos visto en los ejemplos. Este trabajo debería apoyarse en el conocimiento de diferentes significados de las fracciones y los decimales lo que requiere, además del habitual tratamiento de estos números como “parte - todo”, dedicar tiempo al abordaje de los significados de reparto y medida y, al menos inicialmente, al significado de razón.

En el caso de una primaria con 7mo. grado, convendrá retomar todos los significados y, en particular, se podrá profundizar el de razón. Cuando el 7mo. año sea el primero de la secundaria, se debiera retomar el tratamiento de los diferentes significados de los números racionales como parte del trabajo que contribuye a que los alumnos puedan también construir significado para las operaciones.

1.b. El cálculo, las escrituras aditivas y multiplicativas

Con respecto al cálculo son varias las cuestiones a tener en cuenta para no caer en la transmisión de los algoritmos de manera directa. En esa enseñanza, se presentan reglas explicando un paso a paso, que se espera pueda ser repetido. Son reglas generales para operar, únicas e independientes de los números que intervienen, útiles en muchos casos, innecesarias en otros. En esa forma de enseñanza, no se considera que los procedimientos de cálculo han de ser construidos en la clase mediante un proceso de producción de técnicas para números particulares, lo que da lugar al análisis de una variedad de alternativas y a la búsqueda de generalizaciones.

El cálculo de sumas y restas de fracciones, presentado según la enseñanza clásica, centrando la atención en los denominadores, y diferenciando dos algoritmos, uno para “sumar fracciones de igual denominador” y otro para “sumar fracciones de distinto denominador”, diferenciación que, a priori, no tiene sentido para los alumnos.

Pensamos en cambio otra “entrada” de los signos de + y – entre fracciones, en situaciones que den lugar a escrituras aditivas.

Se trata de, por una parte, de proponer situaciones con cantidades de uso social conocido como 1/2 l., ¼ kg., ¾ l., 1y ½ kg., 3/8 l., dando lugar a la escritura de equivalencias sencillas (1/2 = ¼ + ¼; 1= ¾ + ¼; 2/8 + ¼ = ½, etc.). También pueden dar

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lugar a escrituras multiplicativas tales como 3 x ¼ = ¼ + ¼ + ¼, por ejemplo para anotar el contenido de tres vasos de jugo

Otro caso es el de escribir la parte en un reparto. Si se fracciona el entero en partes, esto se puede escribir de distintas formas, entre ellas, por ejemplo, al repartir 3 entre 4 a cada uno le toca ½ + ¼. Ejemplos de esto problemas se han visto en la secuencia de 5to grado del módulo anterior.

También dan lugar a estas escrituras las actividades para armar el entero, como por ejemplo: si tengo ¾, para armar el entero necesito ¼ más (¾ + ¼ = 1) o si tengo 3/5 me faltan 2/5 para armar el entero (3/5 + 2/ 5 = 1). También en el módulo anterior de este ciclo, hemos visto ejemplos de este tipo de actividades.

Otro ejemplo de actividades que permiten pensar la fracción como expresión de una parte y que da lugar a escrituras aditivas son el formar 1 o formar 2 que requieren de reunir partes en casos como 1 = ½ + ¼ + ¼; 1 = ½ + 1/3 + 1/6; o 1 = 1/8 + 1/8 + ¼ + ½. En estos juegos, el reemplazo de una fracción por otra equivalente aparece como necesidad de la situación, y tiene un apoyo inicialmente experimental, lo que permite discutir con los alumnos y arribar a la idea de que “para poder agregar o quitar (etc.) partes, es necesario que esas partes sean del mismo tipo, o que sean pensadas como del mismo tipo”. En efecto, por ejemplo con ½ + ¼ = ¾, si bien cuando ya se conoce puede estar memorizada y no pensar cada vez en cómo se arribó al resultado, al inicio, al justificarlo, se piensa ½ como ¼ + ¼. Lo mismo con ½ + 1/3 + 1/6 = 1: resulta que 1/3 + 1/6 es ½ porque 1/3 se puede pensar como 1/6 + 1/6.

Por otra parte, es posible plantear por ejemplo con juegos de cartas, actividades de encuadramiento entre números naturales (y más adelante también entre naturales y racionales) de cada fracción de la operación y de su resultado, permitiendo el control del mismo.

Los juegos dan lugar al uso de fracciones en contextos donde no está en riesgo la verosimilitud y donde además es posible pensarlas como un número, un punto en la recta numérica, y no un objeto compuesto por “dos números, un numerador y un denominador, que refuerza la idea de dos entidades independientes y obstaculiza concebir a la fracción como un número. No volvemos aquí sobre una cuestión ya señalada en materiales como los Juegos para aprender2 y es que estamos proponiendo el uso del juego en la clase de Matemática con intención didáctica pero remitimos a quien no lo conozca a la lectura de ese material.

Para el caso de la suma y resta de decimales, el contexto del dinero es un buen punto de apoyo para pensar sumas y restas inicialmente, cuando se trabaja con dos cifras decimales. El apoyo en la posicionalidad del sistema de numeración permite validar los procedimientos de cálculo y la estimación de resultados.

2 Chemello, G. (coord.), M. Hanfling y V. Machiunas (2001), Juegos en Matemática. EGB 2. El juego como

recurso para aprender. (Material para docentes y recortable para alumnos). Buenos Aires: Ministerio de Educación Ciencia y Tecnología. Disponible en: http://portal.educacion.gov.ar/primaria/recursos-didacticos-y-publicaciones .

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El cálculo de multiplicaciones y divisiones con fracciones y decimales, que también suele enseñarse explicando reglas, requiere considerar otra entrada que apunte a la construcción del significado de estas técnicas.

En efecto, multiplicar numeradores entre sí y denominadores entre sí para la multiplicación y la de multiplicar, invirtiendo la segunda fracción en el caso de la división, son procedimientos que requieren de un proceso de construcción. Del mismo modo, multiplicar los números decimales como si fueran enteros y luego poner la coma contando los lugares decimales y dividir decimales transformando el cociente en otro con divisor entero, se apoyan en el procedimiento para multiplicar dos fracciones y la posibilidad de transformar fracciones en otras equivalentes.

Es posible comenzar con juegos sobre dobles y mitades de fracciones, y luego el doble del doble y la mitad de la mitad o la mitad de la tercera parte. En estos casos, al multiplicar (en el caso de n x p/m) o dividir una fracción por un número natural (p/m : n), las fracciones pueden tener el significado de partes o de medidas y, para la operación todavía no enfrentamos la dificultad del cambio de significado de estas operaciones. Como decimos en los Cuadernos para el Aula3 el cálculo de 2 x ¾ puede pensarse como “2 veces ¾” ó “¾+ ¾”, donde ¾ podría ser una parte de una pizza o la longitud de una cinta. Y para ¾ : 2, del mismo modo, se podría repartir en dos los ¾ de una pizza o la longitud de la cinta.

En cambio, no ocurre lo mismo al pensar p/m x n o también n : p/m. ¿Qué significado atribuir a, por ejemplo, ¾ x 2? ¿Y a 8 : 2/3?

Si se interpreta ¾ como 3 x ¼, quedaría 3 x ¼ x 2, el triple de la cuarta parte de 2. Pero, ¿por qué la cuarta parte de 2 se escribe ¼ x 2 y no 2 : 4? Porque aquí el signo de x asume ese nuevo significado, dividir por un número natural es multiplicar por su inverso, un número racional.

En cuanto a la división de, por ejemplo, 8 : 2/3 = x, también nos apoyamos en la idea de inverso multiplicativo, es posible pensar qué número por 2/3 da igual 8.

x . 2/3 = 8.

8 . 3 / 2 . 2 / 3 = 8

x = 24 / 2

En la escuela primaria iniciamos el uso de la fracción como razón, es decir, como expresión de una relación, por ejemplo en 6to. grado al tratar problemas de proporcionalidad con razón fraccionaria o decimal y con medidas también expresadas con fracciones o decimales4. Estos problemas son, entonces, una ocasión para dar significado al producto y cociente de racionales, ya que una cantidad de una magnitud, multiplicada o dividida por la razón de proporcionalidad según corresponda, permite averiguar el valor de la cantidad correspondiente.

3 Cuaderno de 5to., p. 94.

4 En los casos en que la escuela primaria tenga 7 años, o en el primer año de la escuela media cuando la

primaria tenga 6 años, se podrá abordar el producto de dos razones como composición de relaciones.

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En el caso de productos y cocientes asociados a problemas con datos expresados con fracciones y donde se calculan áreas o dada el área y una dimensión calcular la otra, las representaciones geométricas, en particular los rectángulos, resultan un buen punto de apoyo para trabajar y validar los procedimientos que se realicen.

Tanto en el contexto de la proporcionalidad como en el geométrico, es posible pensar en las ideas de “parte” y “parte de parte” como planteamos en el Cuaderno… ya citado (pág. 94), como interpretaciones para escrituras del tipo ¾ x 2 y ¾ x 2/5, es decir como las tres cuartas partes de 2, y las tres cuartas partes de las dos quintas partes.

Se ve en ese Cuaderno…, cómo interpretar en un rectángulo productos del tipo ¾ x 2/5.

Por otra parte, para ¾ x 2 también es posible pensar que los tres cuartos de una cantidad es menos que esa cantidad con lo que el resultado será un número menor que 2, y así controlar ese resultado. Para ¾ x 2/5, el resultado será una fracción menor que 2/5.

Para los cocientes como ¾ : 2/5 (donde ¾ es un área y 2/5 la medida de un lado por ejemplo), es posible transformar la división planteada cambiando cada fracción por una equivalente y escribir 15/20 : 8/20. Buscar el resultado es lo mismo que buscar qué número multiplicado por 8/20 da 15/20, es decir, pensar en el inverso multiplicativo.

8/20 x ….. =15/20

Del mismo modo es posible pensar en los productos y cocientes de expresiones decimales. Podemos escribir el producto de decimales en forma fraccionaria como 0,1 x 0,01 = 1/10 x 1/100 = 1/1000, y pensar cómo se hace la décima parte de una cantidad que es 1/100 de un entero. Cada parte es un milésimo. Si se tiene, por ejemplo, un centésimo de un metro (1cm), y de ese centésimo se tiene la décima parte, ¿qué parte del metro es esa décima parte?, un milésimo (1mm).

Si fuera el caso de 2,3 x 4,5 se puede pensar como (2 + 0,3) x (4 + 0,5) = (2 x 4) + (2 x 0,5) + (0,3 x 4) + (0,3 x 0,5) apoyando el procedimiento en la propiedad distributiva donde 0,3 x 0,5 = 3/10 x 5/10

Para dividir 28,6 : 1,39 se podría escribir 2860/100 : 139/100 y buscar el resultado pensando qué número multiplicado por 139/100 da 2860/100, nuevamente pensar en el inverso multiplicativo.

En síntesis, dos ideas nuevas son clave para abordar la multiplicación y división de números racionales:

“Multiplicar un número (natural o racional) por una fracción de numerador 1 se puede interpretar como la división por un número natural”.

“Dividir un número (natural o racional) por un número racional se puede interpretar como multiplicar por su inverso”.

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Cabe señalar que muchas veces estas ideas no se abordan como objeto de enseñanza, lo que lleva a la mecanización de algoritmos que no se comprenden.

2. LA CLASE DE MATEMÁTICA Y LAS INTERVENCIONES DEL DOCENTE

Desde un enfoque constructivista, hace mucho ya que no se piensa el lugar del maestro como el de alguien que sólo “acompaña los descubrimientos de los niños”. ¿Cómo es esa intervención que plantea al alumno un problema para que “resuelva por sí mismo”? ¿Qué recaudos tener al presentar el problema a los alumnos? ¿Cómo intervenir de forma de no resolver por el alumno, pero sí darle pistas para que entre en la tarea de resolver? ¿Qué dificultades pueden aparecer en la gestión del momento en que se quiere hacer circular en la clase el conocimiento producido en cada grupo, comparar las distintas resoluciones y formular una síntesis significativa para todos los alumnos y adecuada en términos del saber al que apuntó la clase?

En este apartado, acercamos algunos párrafos que describen el lugar del maestro, para señalar luego algunos posibles deslizamientos aportando respuestas a preguntas de los maestros.

Leemos a Brousseau (1988) en “Los diferentes roles del docente”:

“El trabajo del docente consiste, pues, en proponer al alumno una situación de aprendizaje para que produzca sus conocimientos como respuesta personal a una pregunta, y los haga funcionar o los modifique como respuestas a las exigencias del medio y no a un deseo del maestro. Hay una gran diferencia entre adaptarse a un problema que plantea el medio, insoslayable, y adaptarse al deseo del docente. La significación del conocimiento es completamente diferente. Una situación de aprendizaje es una situación donde lo que se hace tiene un carácter de necesidad en relación con obligaciones que no son arbitrarias ni didácticas. Ahora bien, toda situación didáctica contiene algo de intención y deseo del maestro.

Es necesario que el maestro logre que el alumno olvide los presupuestos didácticos de la situación. Sin ello, leerá la situación como justificada solamente por el deseo del maestro. Ahora bien, esta lectura siempre existe.

(…)

No basta “comunicar” un problema a un alumno para que ese problema se convierta en su problema y se sienta el único responsable de resolverlo. Tampoco basta que el alumno acepte esa responsabilidad para que el problema que resuelva sea un problema “universal”, libre de presupuestos subjetivos.

Denominamos “devolución” a la actividad mediante la cual el docente intenta alcanzar ambos resultados.

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(…)

La idea de que existirían situaciones de aprendizaje que deberían funcionar por las virtudes propias del alumno y de la situación, sin que la intervención del maestro se dirija al contenido de la adquisición, es una idea extraña para los maestros, pero también para los alumnos, y necesita de una construcción. La “desdidactificación” de las situaciones didácticas es una actividad voluntaria del maestro.

¿Cuál sería para un maestro la razón para intentar una “desdidactificación” de una situación, una devolución del problema al alumno? ¿Por qué es central que el alumno asuma como propio el problema, asuma la responsabilidad de encontrar una respuesta? Porque cuando tenga necesidad de que usar la matemática que conoce, fuera o dentro de la escuela, pero más adelante en el ciclo escolar, no tendrá al maestro para preguntar qué conocimiento usar o si está bien lo que hizo: él deberá reconocer frente a una situación que se le presente la ocasión de usar determinado conocimiento y ponerlo en juego.

2.a. La puesta en marcha

Veamos entonces algunas alternativas de estrategias que contribuyen a una primera cuestión: devolver el problema a los alumnos. Para ello, iremos respondiendo algunas preguntas que formulan los maestros cuando discutimos con ellos en espacios de capacitación sobre cómo hacer vivir en el aula el enfoque de enseñanza.

¿Qué alternativas se pueden pensar para plantear la consigna?

Una cuestión central al presentar el problema es que los alumnos “entren” en él y se “hagan cargo” de su resolución. Además, teniendo en cuenta que este proceso es individual, habrá que cuidar que eso ocurra para todos los alumnos.

No resulta efectiva la estrategia habitual de que el docente entregue una fotocopia con la consigna o señale la página de un libro, luego pida a un alumno que lea en voz alta el enunciado y finalmente pregunte al grupo si lo entendió. Frecuentemente, esta lectura es seguida solo por algunos.

Una alternativa es que cada alumno lea la consigna de manera individual y luego el docente pregunte si alguien no entendió. A partir de la cantidad de dudas que surjan, verá si es necesario explicarla para todos, o reunir solamente a los que no la entendieron, mientras los otros empiezan a trabajar. Si hay muchos que no entendieron, se podría pedir a un alumno que explicara en qué consiste la actividad, con la aclaración de que no hay que decir “cómo se resuelve”, sino contar “qué dice el enunciado”.

Lo fundamental al dar la consigna, es que el maestro no de pistas de “lo que conviene hacer”, para no validar ningún procedimiento en voz alta.

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En cambio, sí podrán plantear reglas del trabajo en el aula, como “cada uno piense cómo resolver, recuerden que hay distintas formas de hacerlo”, o “anoten en las hojas para que después entendamos cómo lo pensaron.”

Así, estas reglas irán formando parte del nuevo contrato didáctico, en el que el alumno esperará que el docente le presente situaciones que pueda resolver solo y luego tenga que “explicar cómo lo hizo y por qué”, sabiendo que cada solución, errónea o no, será de igual valor para el maestro cuando el foco esté puesto en que todos produzcan soluciones.

Si se trata de un juego, el docente puede presentarlo con una explicación general a la clase y jugando con un alumno para que todos observen cómo se hace.

En estos casos, no es necesario terminar la partida, ya que una vez entendida la dinámica del juego, es posible reconocer “quién gana”. Si el juego es simple, es conveniente plantear la lectura del instructivo y que comiencen a jugar. Cuando se trata de un juego ya conocido, pero con un cambio del material o de las reglas, el docente puede solamente señalar estas diferencias.

¿Qué alternativas se podrían plantear para la organización del grupo?

La forma de organizar el grupo se vincula con la decisión didáctica respecto de las interacciones que se pretenden establecer y cómo maximizar los intercambios entre de cada alumno con el “medio”, el problema y sus pares.

En las clases “habituales”, es bastante común observar que los alumnos resuelven los problemas de manera individual y, a veces, los que terminan antes ayudan a sus compañeros. Luego, el docente corrige los trabajos o suele proponer un espacio de corrección colectiva. En este caso, no se promueve la confrontación de ideas, un procedimiento es el que está bien y las relaciones que se establecen son asimétricas, “el que sabe con el que no sabe”.

Detengámonos en el análisis de las posibilidades que se abren cuando se trabaja en pequeños grupos desde la perspectiva que proponemos. La interacción con los pares favorece la confrontación y el intercambio entre diferentes perspectivas, diferentes formas de interpretar el problema, y la comunicación de procedimientos y resultados entre los integrantes. En este intercambio es importante tener en cuenta que las primeras respuestas de unos alumnos pueden funcionar como punto de apoyo para otros, es decir, que algunos niños tengan en cuenta el problema y también las primeras respuestas dadas por sus compañeros. De esta manera, se fomenta la descentración y la coordinación de distintos puntos de vista. El trabajo en pequeños grupos ofrece mayores posibilidades de interacción, ya que en ese interjuego, a partir de errores y sucesivas reconstrucciones, se arriba a mejores resultados.

Cabe destacar que en el trabajo grupal a veces los alumnos pueden asumir diferentes roles. Por ejemplo, mientras algunos participan de un juego, otro es el encargado de registrar las respuestas, o bien de “cantar” mientras otros marcan en sus tableros. Se trata de reconocer que, en cada rol se realiza una actividad matemática diferente, y, por lo tanto, convendrá ir alternando los roles entre los integrantes de los equipos.

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Aprender a trabajar en grupo no es sencillo y lleva su tiempo. El docente debe ofrecer condiciones para que dicho trabajo se desarrolle. Así, se posibilita a todos y cada uno de los alumnos una “actividad matemática” con mayor número de intercambios y se produce un corrimiento del maestro de la posición del único capaz de validar las respuestas. En el juego, son los pares quienes dan por buena una jugada.

Si bien a veces los grupos se forman espontáneamente, en ciertas ocasiones la decisión debe ser tomada por el maestro. Al considerar la posibilidad de formar los grupos con alumnos de conocimientos más homogéneos o más heterogéneos, muchos docentes prefieren la segunda opción para que -como ya planteamos- “los que más pueden ayuden a los que más les cuesta”. En este sentido, habrá que construir criterios acerca del propósito de la actividad y los conocimientos involucrados en ella. La conformación de grupos con conocimientos más homogéneos puede ser conveniente cuando, por ejemplo, estamos apuntando a la memorización de cierto tipo de cálculo para que “no gane siempre el mismo”. Los grupos más heterogéneos pueden ser fértiles, por ejemplo, para que aparezcan variados procedimientos.

Otro tema a pensar es el de la cantidad de niños por grupo. Muchos docentes piensan que es conveniente armar menos grupos para tener un mayor control sobre lo que hacen, porque, según suelen decir: “Si son muchos grupos, no puedo saber lo que pasa en cada uno”.

Si bien no se trata de dar normas generales -pues el criterio para decidir depende de cada situación-, es importante que cada alumno no tenga que esperar mucho para intervenir, porque esto da lugar a la desconexión con la tarea. El espacio disponible y el mobiliario del aula es un condicionante importante a la hora de definir los grupos. En una misma hora de clase puede promoverse un trabajo en forma individual, en parejas, en grupos de cuatro alumnos. Sólo una organización flexible del espacio, que se adapte fácilmente, puede posibilitar estas distintas modalidades de trabajo.

¿Cómo seleccionar los materiales necesarios para la realización de la propuesta, qué uso darles y cómo repartirlos?

En el caso de que sea necesario, se aconseja utilizar un material que complemente el enunciado. La selección del material no será un tema menor, pues determinará los conocimientos que se pondrán en juego en los procedimientos que realizarán los alumnos.

No se trata de pensar en un material sofisticado. Muchas veces los dados, las tarjetas con números, las cartas comerciales u otras con números o figuras determinadas preparadas por el maestro dan lugar a que se planteen muy buenos problemas matemáticos, en la medida en que el docente tenga en claro el objetivo de la propuesta.

Para el caso de las fracciones, queremos señalar que no es necesario realizar fraccionamientos reales de pizzas, chocolates, y sí ver en qué casos es necesario utilizar papeles que los representen, o bien dibujos. Si no se incluyen estas representaciones, los chicos realizarán las que consideren pertinentes según cómo vayan pensando la situación. Por otra parte, al considerar un conjunto de problemas

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habrá que variar el tipo de representación de la fracción que se incluye, alternando convenientemente una longitud, una superficie circular, rectangular, etc., o sólo los números.

Como dijimos, la elección de utilizar o no materiales como parte del problema y, en caso de que se decida utilizarlos, sus características, dan lugar al empleo de diferentes conocimientos. Y, por ello, también a diferentes aprendizajes. Esto constituye una variable didáctica del problema, como ya fue tratado en la Clase 6.

Muchos libros de texto actuales proveen materiales recortables. Es importante organizar su preparación y conviene estar atento a la posibilidad de diseñar con ellos diversas actividades.

2.b. La producción de soluciones, la validación

Una vez iniciada la clase, ¿Qué papel jugarán los alumnos, el docente y los materiales?, ¿Qué interacciones se pueden producir a propósito del conocimiento en juego?, ¿Qué características de la situación y de su gestión en el aula posibilitan estas interacciones? ¿Cómo sostener desde el maestro la “devolución” durante la resolución?

¿Qué tipo de intervenciones en la producción de soluciones?

Según venimos planteando, la intención es que los alumnos produzcan soluciones propias; no se trata de que busquen una respuesta para atender al deseo del docente, como una obligación impuesta arbitrariamente desde afuera. Se trata de que “entren en el juego”, vivencien la situación y se involucren en una búsqueda propia de una solución que a ellos les parezca adecuada. Una vez involucrados, podrán iniciar una resolución y controlar si han llegado a una conclusión que responde la pregunta planteada.

Por ejemplo, en la actividad 4 de la secuencia de 4to. grado “Después del juego”5 el problema plantea un análisis de posibles jugadas de “El cinco y medio”. Para resolver quién ganó si Laura o Víctor y por cuánto, podrían aparecer diferentes procedimientos:

Laura: 2,50 - 0,25 - 0,75 - 1,25

Víctor: 0,25 - 1,50 - 2,75 - 0,50

A continuación detallamos las escrituras que podrían resultar:

� Se pueden tachar los iguales (0,25 lo tienen ambos) y luego comparar los que empiezan por el mismo número, por ejemplo, el 1,25 con 1,50 (gana Víctor por 0,25), el 2,50 con 2,75 (gana Víctor por 0,25) y el 0,75 con el 0,50 (gana Laura por 0,25), en esa mano ganó Víctor que tiene 0,25 más que Laura.

5 Ver la secuencia transcripta en la actividad final de esta clase.

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� Se pueden sumar todos los valores de cada uno agrupando en forma conveniente. Laura tiene 1,25 + 0,25 = 1,50 y 1,50 + 2,50 = 4 y 4 + 0,75 = 4,75. Víctor tiene 1,50 + 0,50 = 2 y 2 + 2,75 = 4,75 y 4,75 + 0,25 = 5. Ganó Víctor

� Se pueden sumar enteros y decimales por separado. Laura tiene 3 enteros y 50 + 25 + 75 + 25 = 175, o sea 1 entero y 75 centésimos, en total son 3 + 1,75 = 4,75. Víctor tiene 3 enteros y 25 + 50 + 75 + 50 =200, o sea 2 enteros, en total 5 enteros.

Como se ve, en los tres casos la respuesta a la pregunta planteada es la misma aunque haya comparaciones de a pares en el primero, sumas sucesivas en el segundo y sumas de enteros y decimales por separado.

¿Qué tipo de interacciones se podrían dar durante la resolución en relación con el problema planteado?

Si el trabajo ha sido individual, es porque pensamos que sería más interesante que las interacciones entre las diferentes soluciones se produzcan después. Si, en cambio proponemos un trabajo en grupos, por ejemplo armando grupos de a 4 para una clase de juego, con dos equipos en cada grupo, podrán discutir la estrategia para jugar.

Por ejemplo en “El cinco y medio” con grupos de 5 chicos, dos equipos de 2 y uno reparte cartas. Los dos del mismo equipo podrán debatir con qué valor les conviene “plantarse”, cuánto les falta para 5 y medio, si faltan salir muchas cartas de mayor valor que el que necesitan, etc.

Mientras los alumnos están enfrentando estas situaciones -desarrollando verdadera “actividad matemática”-, son diversas las posibles intervenciones de los docentes. Esto nos lleva a pensar: ¿qué hace el docente mientras circula? Puede releer y explicar el enunciado a un chico o grupo de chicos que no hayan comenzado la tarea o se hayan detenido, para aclararles las dudas. Si algunos están “bloqueados”, puede sugerirles cómo empezar a hacer algo, por ejemplo, animándolos a realizar un dibujo o recordándoles lo realizado en alguna actividad anterior relacionada con esa.

Por ejemplo, si en “El cinco y medio” les cuesta pensar en la suma de centésimos, puede plantearles ¿cómo hacían cuando sumaban centavos?

Si los alumnos utilizaron algún procedimiento muy costoso y largo, y si la tarea implica usar procedimientos que ya fueron objeto de discusión, verá la conveniencia de animarlos a intentar otros procedimientos más rápidos. En cambio, si se trata de que usen nuevos procedimientos, esta instancia puede reservarse para la puesta en común.

Si algunos alumnos terminaron más rápido, se les puede proponer que busquen otra forma de hacerlo.

Al recorrer el aula mirando qué hacen y cómo lo hacen, el docente decide si es necesaria una intervención puntual en un grupo o si es más conveniente analizarlo en la puesta común. Selecciona, entonces, los procedimientos que se pueden discutir en esa instancia y los que quedarán pendientes para otra ocasión. Es importante que en

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estos momentos el docente sostenga la incertidumbre. Sus intervenciones tienen que fomentar la “actividad matemática de todos y cada uno”, pero sin dar pistas sobre las respuestas ni sobre los procedimientos.

Asimismo el docente buscará animar a los alumnos a preguntarse ¿Cómo pensaron su respuesta? ¿Pueden asegurar que es adecuada? ¿Por qué? ¿Qué razones pueden ofrecer? Se trata de que cada alumno, o cada grupo si han trabajado con esa organización, pueda pensar y explicitar argumentos que apoyen su trabajo.

Tanto esta práctica de asegurarse de sus procedimientos y resultados, como la de embarcarse en enfrentar el problema con sus propios recursos, contribuyen a la posibilidad de uso autónomo de los conocimientos y, en tal sentido, forman parte de aquellas que queremos que nuestros alumnos vivan en la clase.

2.c. El debate sobre las producciones y las conclusiones matemáticas

Se espera que, a lo largo de la resolución del problema se produzca una evolución de los conocimientos de los alumnos, y para ello es necesario incluir un espacio para la reflexión sobre lo producido. Este espacio, en el que el docente organiza y dirige la puesta en común y el debate, implica la explicitación de los conocimientos utilizados de manera implícita.

¿Qué preguntas podrían orientar el análisis de las producciones?

Esta reflexión puede estar orientada por la comparación de procedimientos y de los conocimientos involucrados en ellos. ¿Qué representaciones se han utilizado? ¿qué se quiso expresar en cada una? ¿Se podría escribir de otra forma? ¿Qué propiedades se usaron? ¿Se parece a algún procedimiento ya usado en clases anteriores? ¿se usó una noción ya conocida? ¿Qué conocimientos es necesario explicitar para retener a futuro?

La descripción y explicitación de lo sucedido durante la resolución permite hacer circular los conocimientos en forma pública en la clase, identificar los conocimientos utilizados y vincularlos con otros anteriores, y relacionar el conocimiento de esas producciones con los se esperaba ver aparecer, aquellos a los que apuntó la clase: los objetos de enseñanza.

La puesta en común implica también la organización y conducción de un debate. Es tal vez este momento el más difícil para el docente. Se trata de crear un espacio de intercambio donde además de la explicitar lo producido habrá que discutir sobre su validez para obtener conclusiones a propósito de lo realizado avanzando hacia la descontextualización del contenido.

Como señala Brousseau (1998:74):

“[Se trata ahora de] describir lo que ha sucedido y lo que tiene una relación con el conocimiento al que se apunta, dar un status a los acontecimientos de la clase, como resultado de los alumnos y como resultado del docente,

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asumir un objeto de enseñanza, identificarlo, relacionar esas producciones con los conocimientos de los otros (culturales, o del programa), indicar que ellos pueden ser reutilizados”.

Para organizar la puesta en común el docente tendrá que tener en cuenta su propósito inicial y el análisis didáctico que realizó previo a la clase, que incluye los posibles procedimientos. Además, considerará lo que sus alumnos efectivamente produjeron en los distintos momentos de interacción con el problema y con sus compañeros. Todo esto lo llevará a preguntarse: ¿Qué procedimientos elegir para la discusión?, ¿Qué discusiones promover?, ¿Hasta dónde podremos avanzar en relación con el conocimiento al que se apunta? En función de lo observado en la clase, el docente elegirá entre diferentes opciones.

Veamos algunos ejemplos sobre las cuestiones en las que podría centrarse la puesta en común.

En el caso de las producciones de la actividad 4 que consideramos antes, podrá centrar la puesta en común en analizar, comparar y explicitar procedimientos acertados y errados, poniendo en evidencia las relaciones que se establecieron para resolver la situación. También podrá analizar dos o tres procedimientos, para establecer en qué se parecen y en qué se diferencian, discutir si son “matemáticamente distintos”, si ambos son pertinentes, cuál es más económico, etc.

En otras situaciones, el debate se podrá centrar en los argumentos que muestren la validez de las afirmaciones de los niños.

Por ejemplo, en la actividad 9 de la secuencia de 4to se pide explicar si ciertas afirmaciones valen siempre, a veces o nunca. Para “Si los números se ponen en columna para hacer la cuenta hay que ordenarlos de modo que coincida la última cifra”, los niños pueden afirmar que esto ocurre “siempre”, aunque hayan trabajado desde la actividad 5 de la secuencia con números de 1, 2 y tres cifras decimales en un mismo cálculo. En este caso, habrá que preguntar si todos están de acuerdo con el interés de que otro grupo cuestiona la respuesta y puedan debatir entre ambos grupos. Si esto no ocurre, el maestro retomará algún cálculo resuelto en clase como “45,61 + 4,2” ó “1,6 - 1,03” para preguntar ¿Cómo ordenamos los números? La idea es que los chicos puedan diferenciar que esa regla sólo vale cuando tengo números con igual cantidad de cifras decimales. Es “a veces” y no “siempre”.

¿Cuáles serían, en general, “buenas intervenciones del docente”? y ¿Qué actitud debería asumir para organizar el intercambio?

En principio, podemos decir que buenas intervenciones serían aquellas que ayudaran a hacer explícito lo implícito y a establecer relaciones entre las diversas producciones. Por ejemplo, ¿Cómo creen que pensó…?, ¿Por qué creen que…?, ¿Dónde encuentran… en ese procedimiento?

La organización del intercambio debe procurar el debate entre diferentes puntos de vista de los alumnos, dar lugar a que expliquen cómo lo pensaron, a que pregunten a

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otro cómo lo hizo o por qué lo hizo de tal modo. Debe, además promover el diálogo entre ellos, de manera que dirijan la explicación a sus compañeros y no solo a sí mismo, y que no consideren el error como ausencia de conocimiento.

Durante este trabajo, es conveniente que el docente no valore los procedimientos en términos de mejor o peor. A veces, podrá hacerse cargo de la escritura de los procedimientos que relatan los alumnos, en lugar de que ellos pasen a escribirlos, y también podrá promover el análisis de procedimientos más avanzados que los producidos en la clase, no para que todos los dominen, pero sí para que los conozcan e intenten comprenderlos.

En otras ocasiones, algunos alumnos exponen sus opiniones sin llegar a confrontarlas, o todos “muestran” cómo pensaron el problema reiterando procedimientos, y de esta manera la clase se vuelve tediosa.

Asimismo, es usual que las puestas en común se conviertan en una corrección colectiva, que consista en analizar si los resultados fueron correctos o no.

Con relación a los alumnos, podemos esperar que se involucren en la discusión, expliciten cómo pensaron y avancen en la necesidad de validar lo producido, que se preocupen por hacerse entender y convencer a sus interlocutores y no solo al docente, que no sientan la necesidad de esconder el error por temor a las posibles burlas de sus compañeros.

En esta instancia, los alumnos, partícipes de un intercambio de ideas vinculadas con lo realizado, confrontan diferentes modos de proceder respecto de una misma problemática, defienden el propio punto de vista en una situación, producen argumentos que tal vez no elaborarían si solo tuvieran que convencerse a sí mismos de la validez de sus producciones. Estas situaciones favorecen la evolución de sus conocimientos, a la vez que se hacen más reconocibles en tanto “objetos matemáticos”.

¿Cómo y por qué arribar a conclusiones y a una sistematización de los conocimientos?

Como ya planteamos, además de organizar el debate para el intercambio de producciones, el docente también tendrá como propósito promover la elaboración colectiva de una síntesis de lo realizado, lo que formulará como las conclusiones alcanzadas por el grupo. Al formular las conclusiones, es necesario establecer relaciones entre lo que se ha explicitado en la clase y el conocimiento matemático al que ha pretendido llegar. En síntesis, en este momento el docente promueve y organiza el intercambio a propósito del conocimiento planteando preguntas (nuevos problemas), amplificando las buenas intervenciones, reformulando las expresiones de los alumnos, haciendo una síntesis.

Realizar esta síntesis no es una tarea sencilla. En algunos casos, el docente propone a la clase una conclusión que implica un “salto” respecto de los conocimientos que

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muchos alumnos utilizaron en sus resoluciones. Esto no les permite establecer relaciones entre lo trabajado y lo nuevo.

En otros, el docente no se ocupa de realizar esta síntesis o la realiza en forma oral pero no queda registrada. Esto reduce la posibilidad de capitalización de lo trabajado en clase ya que, “sacar conclusiones” es una tarea que la mayoría de los alumnos no hace de manera espontánea. Un ejemplo en el que el maestro deberá reformular es la de actividad 4, cuando se apunta a que los alumnos produzcan un texto, el pedido de “escribir la estrategia más rápida para sumar” decimales.

Otra tarea del docente que va en el mismo sentido de identificar y explicitar los conocimientos trabajados, pero tratando de ponerlos en relación, es la inclusión de preguntas que permitan vincular nociones trabajadas y así iniciar su “sistematización”.

Por ejemplo, en la secuencia de 4to, los dos primeros problemas dan lugar a realizar sumas y restas de cantidades de dinero y a escribir conclusiones acerca de procedimientos posibles para hacerlo, mientras que los problemas en 3 y 4 también dan lugar a realizar estas operaciones, a reutilizar lo aprendido en las anteriores con números decimales que no expresan cantidades. Entonces, al finalizar la actividad 4 de la secuencia de 4to grado, se puede preguntar ¿En qué se parecen y en qué se diferencian los centavos (de las actividades 1 y 2) y los centésimos (de la 3 y la 4)?

Realizar una síntesis y registrarla, preguntar para obtener sistematizaciones, son oportunidades de dejar establecido en la clase, qué conocimientos se han aprendido, con cuál representación, bajo qué formulación, cómo se relacionan entre sí. Es una manera de indicar, de dejar establecido que ellos pueden ser reutilizados.

Volvemos a Brousseau (1998:74) y su artículo sobre los diferentes roles del maestro, focalizando en una fase que él denomina de institucionalización, y que puede ser concebida como un proceso:

Esta actividad es ineludible: no se puede reducir la enseñanza a la organización de aprendizajes.

La consideración “oficial” del objeto de enseñanza por parte del alumno, y del aprendizaje del alumno por parte del maestro, es un fenómeno social muy importante y una fase esencial del proceso didáctico: este doble reconocimiento constituye el objeto de la INSTITUCIONALIZACIÓN. ¡El rol del maestro también consiste en institucionalizar!

(…)

Por supuesto, todo puede reducirse a la institucionalización. Las situaciones de enseñanza tradicionales son situaciones de institucionalización pero sin que el maestro se ocupe de la creación del sentido: se dice lo que se desea que el niño sepa, se le explica y se verifica que lo haya aprendido. Al principio, los investigadores estaban un poco obnubilados por las

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situaciones adidácticas porque era lo que más faltaba a la enseñanza tradicional.

“¡El rol del maestro también consiste en institucionalizar! La institucionalización se realiza tanto sobre una situación de acción –se reconoce el valor de un procedimiento que se convertirá en un recurso de referencia– como sobre una situación de formulación. Hay formulaciones que se conservarán (‘Esto se dice así’, ‘Aquellas merecen ser recordadas’). Lo mismo sucede con las pruebas: es necesario identificar lo que se retendrá de las propiedades de los objetos que hemos encontrado.

[…] La consideración ‘oficial’ del objeto de enseñanza por parte del alumno y del aprendizaje del alumno por parte del maestro es un fenómeno social muy importante y una fase esencial del proceso didáctico: este doble reconocimiento constituye el objeto de la INSTITUCIONALIZACIÓN”.

No se trata de pensar en la institucionalización como un momento que ocurre al final de la clase, sino como aquellas instancias en las que el docente se refiere al saber culturalmente reconocido (a los objetos matemáticos tal como se conocen en la ciencia), en el que el conocimiento pasa a ser “aquello que habrá que recordar a futuro”. Podrán hacerse institucionalizaciones parciales, o bien -si la resolución llevó más tiempo que el esperado- podrá plantearse al comienzo de la clase siguiente. Esos nuevos conocimientos, considerados “oficiales” por parte de ese grupo de alumnos, se convertirán en conocimientos de base para nuevas situaciones.

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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

---- BROUSSEAU, G. (1988). “Los diferentes roles del maestro”, en Parra, C. e I. Saiz (comp.), Didáctica de matemáticas. Aportes y reflexiones. Buenos Aires, Paidós.

---- CHARNAY, R. (1994). “Aprender (por medio de) la resolución de problemas”, en Parra, C. e I. Saiz (comp.), Didáctica de matemáticas. Aportes y reflexiones. Buenos Aires, Paidós.

---- CHEVALLARD, Y., BOSCH, M. y GASCÓN, J. (1997). Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entre enseñanza y aprendizaje. Universidad de Barcelona, Horsori editorial.

---- SADOVSKY, P. (2005), “La Teoría de Situaciones Didácticas: un marco para pensar y actuar la enseñanza de la matemática”, en ALAGIA, H., BRESSAN, A. y SADOVSKY, P., Reflexiones teóricas para la Educación Matemática. Buenos Aires, Libros del Zorzal.