DinámicaEn esta ocasión realizaremos ejercicios en donde se aplicarán la segunda ley deNewton para sistemas que describen trayectorias circulares con rapidezconstante.

Las particularidades en este tipo de situaciones son dos:

• La elección del espacio euclidiano está restringida, es decir, no se tiene libertadde elección pues el eje radial siempre deberá apuntar al centro de la trayectoriacircular con el origen situado en el centro del cuerpo

• Dado que en un movimiento circular siempre existe, al menos, la aceleraciónradial, a , la suma de fuerzas en el eje radial siempre deberá igualarse alradial, aR, la suma de fuerzas en el eje radial siempre deberá igualarse alproducto de la masa y la aceleración.

Recuerda:

• La aplicación de la tercera ley será inherente a los análisis que realizaremos.

• Todas las situaciones serán analizadas en presencia del campo gravitacional dela Tierra por lo que siempre deberá considerarse la existencia del peso.

• El aire no afectará el movimiento de nuestros cuerpos.

• Las cuerdas son inextensible y de masa despreciable.

1

DinámicaEjercicio 1.

Un objeto de 45.0 kg gira con rapidez constante alrededor deun poste vertical sin cambiar de altura. Si la cuerda que estáatada al bloque forma un ángulo de 15.0 grados con lavertical y esta mide 1.2 m, determina la magnitud de latensión y el periodo del movimiento circular.

Para resolver la situación planteada debemos de asociar las fuerzas que actúansobre el objeto.

Dado que el objeto tiene masa existirá el peso. Como el objeto está atado de una

q

2

Dado que el objeto tiene masa existirá el peso. Como el objeto está atado de unacuerda, entonces, existirá un fuerza de tensión.

r

z DCL

q

∑ 𝐹𝑟 : 𝑇 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚𝑎𝑅 ∑ 𝐹𝑧 : 𝑇 𝑐𝑜𝑠𝜃 − |𝑤| = 0 N

q

𝑤

𝑇

r

z

q

𝑤

𝑇

𝑤

𝑇

DinámicaEn esta ocasión se eligió el eje cartesiano z como el eje perpendicular al eje radialdebido a que la trayectoria circular se está describiendo en un plano horizontal,y la suma de fuerzas en el eje cartesiano z se igualó a cero pues el texto planteaque la altura de la trayectoria circular no cambia.

Para determinar la magnitud de la tensión, recurriremos a la suma de fuerzas enel eje cartesiano z pues podemos determinar el peso del objeto y tenemos elángulo que se forma con la vertical.

∑ 𝐹𝑧 : 𝑇 𝑐𝑜𝑠𝜃 − |𝑤| = 0 N … 𝑇 𝑐𝑜𝑠𝜃 − |𝑤| = 0 … 𝑇 =|𝑤|

𝑐𝑜𝑠𝜃=

𝑚𝑔

𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑇 =(45.0)(9.81)

𝑐𝑜𝑠15.0= 457.02

3

En cuanto al valor del periodo del movimiento circular, es requerido retomar laecuación de desplazamiento angular desarrollada en presentaciones anteriores.

Dado que el movimiento se da con rapidez constante, entonces la aceleraciónangular vale 0 rad/s2 y para determinar la velocidad angular necesitamos laaceleración radial y el radio del movimiento circular, ya que:

∑ 𝐹 : 𝑇 𝑐𝑜𝑠𝜃 − |𝑤| = 0 𝑇 𝑐𝑜𝑠𝜃 − |𝑤| = 0 𝑇 = =

𝑇 =(45.0)(9.81)

𝑐𝑜𝑠15.0= 457.02 N

∆𝜃 = ω0𝑡 + α𝑡 2

2

𝑎𝑅 = 𝜔2𝑅

DinámicaEl valor de la aceleración radial puede obtenerse de la suma de fuerzas en el ejeradial debido a que ya se conoce la magnitud de la tensión.

Para determinar el radio del movimiento circular, asumiremos que la longitud dela cuerda representa la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyo catetoopuesto es el radio del movimiento circular.

Radio = (Longitud)senq

∑ 𝐹𝑟 : 𝑇 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚𝑎𝑅 … 𝑇 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚𝑎𝑅 … 𝑎𝑅 =𝑇 𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑚 … 𝑎𝑅 =

457.02𝑠𝑒𝑛 15.0

45.0= 2.63 m/s2

q Longitud

4

Radio = 1.2sen15.0 = 0.31 m

Empleando la ecuación para la aceleración radial, podemos determinar el valorde la velocidad angular.

Finalmente, sabemos que el periodo está definido como el tiempo que tarda elobjeto en completar un ciclo, es decir, cuando Dq vale 2p radianes.

∆𝜃 = ω0𝑡 + α𝑡 2

2 … ∆𝜃 = ω0𝑡 … 𝑡 =

∆𝜃

ω=

2𝜋

2.91= 2.16 s

𝑎𝑅 = 𝜔2𝑅 … 𝜔 =𝑎𝑅

𝑅=

2.63

0.31= 2.91 rad/s

Radio, R

DinámicaDe la suma de fuerzas en el eje cartesiano x para el bloque m2 podemosdeterminar la magnitud de la tensión de la cuerda que une a los dos bloques, .

Al sustituir este valor en la suma de fuerzas en el eje cartesiano x para el bloquem1 podemos determinar la magnitud de la tensión de la cuerda que une albloque m1 con la pared vertical, .

𝑇2

∑ 𝐹𝑥 : |𝑤2|𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑇2 = 0 N … |𝑤2|𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑇2 = 0 … |𝑤2|𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑇2

𝑇2 = (9.81)(15.0)𝑠𝑒𝑛25.0 = 62.19 N

𝑇1

∑ 𝐹𝑥 : 𝑇2 + |𝑤1|𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑇1 = 0 N … 𝑇2 + |𝑤1|𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑇1 = 0 … 𝑇1 = 𝑇2 + |𝑤1|𝑠𝑒𝑛𝜃

5

Observa como la magnitud de la tensión 1 es mucho mayor que la tensión 2.Esto es debido a que la cuerda uno está contrarrestando el efecto de dos fuerzas,la contribución del peso asociado con m1 y la tensión 2 que “jala” al bloque unohacia la parte baja de la superficie inclinada.

Otro detalle que puedes observar es la dirección de la tensión 2, ya que en elbloque m1 apunta “hacia abajo” de la superficie mientras que en el bloque m2

apunta “hacia arriba” de la superficie.

∑ 𝐹𝑥 : 𝑇2 + |𝑤1|𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑇1 = 0 N … 𝑇2 + |𝑤1|𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑇1 = 0 … 𝑇1 = 𝑇2 + |𝑤1|𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑇1 = (62.19) + (9.81)(40.0)𝑠𝑒𝑛25.0 = 228.03 N

DinámicaEjercicio 2.

Un bloque de 40.0 kg sujeto a dos cuerdas de longitud 1.25 m,que están atadas a un poste vertical, de forma que el bloquedescribe un movimiento circular de radio 0.75 m con rapidez yaltura constante. Si la tensión sobre la cuerda superior es800.0 N determina la rapidez del movimiento y la tensión en lacuerda inferior. Considera el mismo ángulo para cada cuerdacon respecto a la vertical.

q

q

Para resolver la situación planteada debemos de asociar las fuerzas que actúansobre el objeto.

q

q

q

q

6

sobre el objeto.

Dado que el objeto tiene masa existirá el peso. Como el objeto está atado a doscuerdas diferentes, entonces, existirán dos tensiones.

r

z DCL

q

∑ 𝐹𝑟 : 𝑇1 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑇2 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚𝑎𝑅 ∑ 𝐹𝑧 : 𝑇1 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑇2 𝑐𝑜𝑠𝜃 − |�⃗�| = 0 N

𝑤

r

z

𝑇1

𝑤 𝑇2 𝑤

𝑇1

𝑇2

𝑇1

𝑇2 q

DinámicaPara iniciar la resolución del ejercicio primero determinaremos el ángulo q queestán haciendo las cuerdas con respecto a la vertical. Para ello recurriremos a untriángulo en donde la longitud de la cuerda representa la hipotenusa y el radiodel movimiento circular el cateto opuesto.

Radio = (Longitud)senq … senq = (Radio)/(Longitud)

q = sen–1 (0.75/1.25) … q = 36.87 grados

Si ahora recurrimos a la suma de fuerzas en el eje cartesiano z y sustituimos el

q Longitud

Radio, R

7

Si ahora recurrimos a la suma de fuerzas en el eje cartesiano z y sustituimos elvalor de la tensión que experimenta la cuerda superior, = 800.0 N, así comoel valor del peso, podremos encontrar el valor de la magnitud de la tensión en lacuerda inferior.

Con el resultado de la magnitud de la fuerza de tensión en la cuerda inferior,podemos ahora sustituirlo en la suma de fuerzas en el eje radial para determinarla aceleración radial y, posteriormente, obtener la rapidez del movimiento.

𝑇1

∑ 𝐹𝑧 : 𝑇1 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑇2 𝑐𝑜𝑠𝜃 − |𝑤| = 0 N … 𝑇1 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑇2 𝑐𝑜𝑠𝜃 − |𝑤| = 0 … 𝑇2 =𝑇1 𝑐𝑜𝑠𝜃 −|𝑤 |

𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑇2 =(800.0)𝑐𝑜𝑠36.87 − (40.0)(9.81)

𝑐𝑜𝑠36.87= 309.5 N

DinámicaObtención de la aceleración radial.

Finalmente, para determinar la rapidez emplearemos la ecuación proveniente dela cinemática del movimiento circular.

𝑎𝑅 =|𝑣|2

𝑅

∑ 𝐹𝑟 : 𝑇1 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑇2 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚𝑎𝑅 … 𝑇1 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑇2 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚𝑎𝑅 … 𝑎𝑅 =𝑇1 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑇2 𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑚

𝑎𝑅 =(800.0)𝑠𝑒𝑛36.86 + (309.5)𝑠𝑒𝑛36.86

40.0= 16.6 m/s2

8

Sustituyendo el valor de la aceleración radial y el radio de la trayectoria circular,tendremos:

𝑎𝑅 =|𝑣|2

𝑅

𝑎𝑅 =|𝑣|2

𝑅 … |�⃗�| = 𝑎𝑅𝑅 = (16.6)(0.75) = 3.53 m/s

DinámicaEjercicio 3.

En un asiento de una rueda de la fortuna de radio 15.0 m, sesienta una persona cuya masa es 42.0 kg. Si la rueda de lafortuna se mueve con rapidez constante y periodo de 12.0 s,determina la magnitud de la fuerza normal que experimenta lapersona en la parte más alta de la trayectoria (cenit) y en laparte más baja de la trayectoria (nadir).

Para resolver la situación planteada debemos de asociar las fuerzas que actúansobre la persona. Dado que la persona tiene masa existirá el peso y como estásentada en el asiento entonces existirá la fuerza normal.

R

9

sentada en el asiento entonces existirá la fuerza normal.

Analicemos primero la situación del cenit.

r

DCL

∑ 𝐹𝑟 : |𝑤| − |𝑛| = 𝑚𝑎𝑅

𝑤

rR

𝑛

𝑤

R

𝑛

𝑤

𝑛

DinámicaEn esta ocasión no se planteó un eje perpendicular al eje radial dado que todaslas fuerzas que experimenta la persona se encuentran sobre el eje radial.

Obsérvese que el eje radial apunta verticalmente hacia abajo pues ahí seencuentra el centro del movimiento circular.

Para determinar la magnitud de la fuerza normal en el cenit, es necesariocalcular la aceleración radial del movimiento circular que, en este caso, seobtendrá a partir del periodo, obteniendo primero la velocidad angular para unmovimiento con rapidez constante.

∆𝜃 = ω0𝑡 + α𝑡 2

2∆𝜃 = ω0𝑡 ω =

∆𝜃

𝑡=

2𝜋

12.0= 0.52 rad/s

10

Retomando la suma de fuerzas en el eje radial y sustituyendo el valor deaceleración radial somos capaces de obtener la magnitud de la fuerza normal.

∆𝜃 = ω0𝑡 + α𝑡 2

2 … ∆𝜃 = ω0𝑡 … ω =

∆𝜃

𝑡=

2𝜋

12.0= 0.52 rad/s

𝑎𝑅 = 𝜔2𝑅 … 𝑎𝑅 = (0.52)2(15.0) = 4.1 m/s2

∑ 𝐹𝑟 : |𝑤| − |�⃗�| = 𝑚𝑎𝑅 … |𝑤| − |𝑛| = 𝑚𝑎𝑅 … |𝑛| = |𝑤| − 𝑚𝑎𝑅

|𝑛| = (42.0)(9.81) − (42.0)(4.1) = 239.8 N

DinámicaAhora analicemos el caso de la situación en donde la persona está en el nadir.

rDCL

∑ 𝐹𝑟 : |𝑛| − |𝑤| = 𝑚𝑎𝑅

𝑤

rR

𝑛

R

𝑤

𝑛

𝑤

𝑛

11

Obsérvese que el eje radial apunta verticalmente hacia arriba pues ahí seencuentra el centro del movimiento circular.

Para determinar la magnitud de la fuerza normal en el nadir, es necesaria laaceleración radial pero esta ya se determinó anteriormente, por lo cualdespejaremos de la suma de fuerzas en el eje radial la magnitud de la fuerzanormal .

∑ 𝐹𝑟 : |𝑛| − |𝑤| = 𝑚𝑎𝑅 … |�⃗�| − |𝑤| = 𝑚𝑎𝑅 … |𝑛| = |𝑤| + 𝑚𝑎𝑅

|𝑛| = (42.0)(9.81) + (42.0)(4.1) = 584.2 N

∑ 𝐹 : |𝑛| − |𝑤| = 𝑚𝑎

DinámicaEjercicio 4.

Un disco horizontal gira con rapidez constante de 0.5 m/s. Ensu superficie se coloca un muñeco a 10.0 cm del centro deldisco. Determina el coeficiente de fricción para que el muñecose mantenga a esa distancia del centro describiendo unmovimiento circular.

Para resolver la situación planteada debemos de asociar las fuerzas que actúansobre la persona. Dado que el muñeco tiene masa existirá el peso y como elmuñeco está en contacto con una superficie entonces existirá la fuerza normal.Finalmente, dado que el texto lo menciona, deberá existir la fuerza de fricción

R

12

Finalmente, dado que el texto lo menciona, deberá existir la fuerza de fricciónpero analicemos el por qué de esta fuerza.

Para que sea más claro el análisis, piensa en una situación en la que estásviajando de copiloto en un automóvil. Cuando el automóvil toma una curva tuexperimentas “una fuerza” que te “empuja” hacia afuera de la curva; es decir, sila curva se toma hacia la izquierda tu sientes que “te empujan a la derecha”. Sinembargo nadie te empujó así que ¿por qué sientes que “te vas a la derecha”?

La razón es la “aparición” de una fuerza inercial que surge como “respuesta” a lafuerza radial o centrípeta, es decir, “aparece” la fuerza centrífuga.

Dinámica

El carro puede dar la vuelta a la izquierda porque está en contacto con unasuperficie y la fuerza de fricción le permite girar, pero tu no estásexperimentando la fuerza de fricción con la superficie de la carretera y por esosientes que te mueves a la derecha, es decir, la dirección “natural” demovimiento en un sistema que describe una trayectoria circular es en direccióncontraria a la posición del centro del círculo. Dado lo anterior, si la fuerza defricción apunta en dirección contraria a la dirección “natural” de movimiento, lafuerza de fricción apunta hacia el centro del círculo por lo que será la fuerzacentrípeta o radial.

Pero, si la fuerza de fricción apunta hacia el centro de la trayectoria circular y es

13

Pero, si la fuerza de fricción apunta hacia el centro de la trayectoria circular y esla única fuerza en el eje radial, entonces, ¿por qué el carro no se va al centro dela trayectoria circular? La respuesta es por el efecto de la “fuerza inercial”denominada fuerza centrífuga, la cual apunta en dirección contraria a la fuerzacentrípeta y la “cancela” vectorialmente pues tiene la misma magnitud perodirección contraria. Esto es lo que permite describir una trayectoria circular conradio constante.

CUIDADO. La fuerza centrífuga no existe, es una fuerza inercial, por eso es queen la suma de fuerzas esta fuerza no aparece. Físicamente nadie la aplica ni laejerce.

Dinámica

Con el análisis anterior, podemos establecer las fuerzas que actúan en el muñeco .

Dado que el ejercicio nos pide el valor del coeficiente de fricción, es necesarioobtener la aceleración radial, la cual se obtendrá de la ecuación que relaciona estaaceleración con la rapidez del movimiento circular y el radio.

R𝑤

𝑛

𝑓

r

DCL

r𝑤

𝑛

𝑓

z𝑓

𝑤

𝑛

z

∑ 𝐹𝑟 : 𝑓 = 𝑚𝑎𝑅 ∑ 𝐹𝑧 : |𝑛| − |𝑤| = 0 N

14

aceleración con la rapidez del movimiento circular y el radio.

Finalmente, despejaremos la magnitud de la fuerza normal de la suma de fuerzasen el eje cartesiano z para sustituirla en la suma de fuerzas en el eje radial ypoder encontrar el valor del coeficiente de fricción. Observa que como todos lostérminos tienen a la masa del muñeco, esta puede ser eliminada.

𝑎𝑅 =|𝑣|2

𝑅=

(0.5)2

0.1= 2.5 m/s2

∑ 𝐹𝑧 : |𝑛| − |𝑤| = 0 N … |𝑛| − |𝑤| = 0 … |𝑛| = |𝑤| … |𝑛| = 𝑚𝑔

∑ 𝐹𝑟 : 𝑓 = 𝑚𝑎𝑅 … 𝑓 = 𝑚𝑎𝑅 … 𝜇|𝑛| = 𝑚𝑎𝑅 … 𝜇𝑚𝑔 = 𝑚𝑎𝑅 … 𝜇 =𝑎𝑅

𝑔

𝜇 =2.5

9.81= 0.25

DinámicaEjercicio 5.

Un motociclista de 120.0 kg con todo y motocicleta, toma unacurva horizontal de 24.0 m de radio. Si el coeficiente de fricciónes 0.28, determina la rapidez del motociclista para describiruna trayectoria circular manteniendo el radio constante.

Para resolver la situación planteada debemos de asociar las fuerzas que actúansobre la motocicleta. Dado que el sistema motocicleta-motociclista tiene masaexistirá el peso y la motocicleta está en contacto con una superficie entoncesexistirá la fuerza normal, adicionalmente existe la fuerza de fricción

15

existirá la fuerza normal, adicionalmente existe la fuerza de fricción

r

DCL

r

z

𝑓

𝑤

𝑛 z

∑ 𝐹𝑟 : 𝑓 = 𝑚𝑎𝑅 ∑ 𝐹𝑧 : |𝑛| − |𝑤| = 0 N

𝑤

𝑛

𝑓

𝑤

𝑛

𝑓

Dinámica

Dado que el ejercicio pide el valor de la rapidez de movimiento circular esnecesario determinar la aceleración radial. Para ello, de la suma de fuerzas en eleje cartesiano z despejaremos la magnitud de la fuerza normal para despuésmultiplicarla por el coeficiente de fricción y así obtener la magnitud de la fuerza defricción.

∑ 𝐹𝑧 : |𝑛| − |𝑤| = 0 N … |𝑛| − |𝑤| = 0 … |𝑛| = |�⃗�| … |𝑛| = 𝑚𝑔 ∑ 𝐹𝑟 : 𝑓 = 𝑚𝑎𝑅 … 𝑓 = 𝑚𝑎𝑅 … 𝜇|𝑛| = 𝑚𝑎𝑅 … 𝜇𝑚𝑔 = 𝑚𝑎𝑅 … 𝜇𝑔 = 𝑎𝑅

𝑎𝑅 = (0.28)(9.81) = 2.75 m/s2

16

Observa que como todos los términos tienen la masa del sistema, esta fueeliminada.

Finalmente para obtener la rapidez del sistema, recurriremos a la ecuación querelaciona la aceleración radial con la rapidez del movimiento circular y el radio.

𝑎𝑅 =|𝑣|2

𝑅 … |�⃗�| = 𝑎𝑅𝑅 = (2.75)(24.0) = 8.12 m/s

DinámicaEjercicio 6.

Un motociclista toma una curva peraltada, q = 10.0 grados, de24.0 m de radio. Si el coeficiente de fricción es 0.28, determinala rapidez del motociclista para describir una trayectoriacircular manteniendo el radio constante.

Para resolver la situación planteada debemos de asociar las fuerzas que actúansobre la motocicleta. Dado que el sistema motocicleta-motociclista tiene masaexistirá el peso y la motocicleta está en contacto con una superficie entoncesexistirá la fuerza normal, adicionalmente existe la fuerza de fricción

q

17

existirá la fuerza normal, adicionalmente existe la fuerza de fricción

r

DCL

r

z

𝑓

𝑤

𝑛 z

∑ 𝐹𝑟 : 𝑓 + |𝑛|𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚𝑎𝑅 ∑ 𝐹𝑧 : |𝑛|𝑐𝑜𝑠𝜃 − |�⃗�| = 0 N

q𝑤

𝑛

𝑓

q𝑤

𝑛

𝑓

qq

Dinámica

Debe observarse que la fuerza normal está formando un ángulo con el ejecartesiano z debido a que el plano está inclinado. Esta es la característicaprincipal del movimiento circular en una curva con peralte (con inclinación).

En ejercicios anteriores nos dimos cuenta que gracias a la fuerza de fricción eraposible describir una trayectoria circular en una carretera ya que esta fuerzahacía las funciones de la fuerza radial. Sin embargo, en una curva peraltada lafuerza normal también contribuye con el movimiento circular.

Para determinar la rapidez del movimiento circular procederemos de formaanáloga al ejercicio anterior.

18

análoga al ejercicio anterior.

Observa que la rapidez es mayor con respecto a la obtenida en el ejercicio 5, en lacual se tenían las mismas condiciones de radio y coeficiente de fricción. Este es elefecto de la curva peraltada.

∑ 𝐹𝑧 : |𝑛|𝑐𝑜𝑠𝜃 − |𝑤| = 0 N … |𝑛|𝑐𝑜𝑠𝜃 − |𝑤| = 0 … |�⃗�| =|𝑤 |

𝑐𝑜𝑠 𝜃 … |𝑛| =

𝑚𝑔

𝑐𝑜𝑠 𝜃

∑ 𝐹𝑟 : 𝑓 + |𝑛|𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚𝑎𝑅 … 𝑓 + |𝑛|𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚𝑎𝑅 … 𝜇|𝑛| + |𝑛|𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚𝑎𝑅 … 𝜇 𝑚𝑔

𝑐𝑜𝑠 𝜃+

𝑚𝑔

𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚𝑎𝑅

𝑎𝑅 =(0.28)(9.81)

𝑐𝑜𝑠10.0+

9.81𝑠𝑒𝑛10.0

𝑐𝑜𝑠10.0= 4.52 m/s2

𝑎𝑅 =|𝑣|2

𝑅 … |�⃗�| = 𝑎𝑅𝑅 = (4.52)(24.0) = 10.42 m/s

Dinámica

La finalidad de las curvas peraltadas es asegurar que la trayectoria circular se déen una carretera sin necesidad de recurrir a la fuerza de fricción.

Si empleamos las ecuaciones encontradas en el ejercicio 6 y suponemos que lamagnitud de la fuerza fricción es cero, o bien, el coeficiente de fricción, podemosdeterminar la rapidez del movimiento circular para mantener el radio constante(24.0 m).

∑ 𝐹𝑧 : |�⃗�|𝑐𝑜𝑠𝜃 − |𝑤| = 0 N … |�⃗�|𝑐𝑜𝑠𝜃 − |𝑤| = 0 … |𝑛| =|𝑤 |

𝑐𝑜𝑠𝜃 … |�⃗�| =

𝑚𝑔

𝑐𝑜𝑠𝜃

∑ 𝐹𝑟 : |�⃗�|𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚𝑎𝑅 … |𝑛|𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚𝑎𝑅 … |𝑛|𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚𝑎𝑅 … 𝑚𝑔

𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚𝑎𝑅

𝑎 =9.81𝑠𝑒𝑛10.0

= 1.73

19

Como era de esperarse, al eliminar una contribución de la fuerza radial, la fuerzade fricción, la rapidez del movimiento será menor.

Cabe mencionar que los motociclistas no tomarían una curva con esta rapidez(6.44 m/s ≡ 23.18 km/h) por ello, ellos inclinan la motocicleta al tomar una curva.

∑ 𝐹𝑟 : |�⃗�|𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚𝑎𝑅 |𝑛|𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚𝑎𝑅 |𝑛|𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚𝑎𝑅𝑚𝑔

𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚𝑎𝑅

𝑎𝑅 =9.81𝑠𝑒𝑛10.0

𝑐𝑜𝑠10.0= 1.73 m/s2

𝑎𝑅 =|𝑣|2

𝑅 … |�⃗�| = 𝑎𝑅𝑅 = (1.73)(24.0) = 6.44 m/s

Dinámica

Si quisiéramos que el motociclista tome la curva de 24.0 m con una rapidez de120.0 km/h (33.33 m/s), sin que exista la fuerza de fricción, entonces, podemosdeterminar cuánto debería inclinarse la motocicleta, lo cual implica incrementar elángulo que forma la magnitud de la fuerza normal con el eje cartesiano z.

El mecanismo de solución ahora sería contrario, es decir, con la rapidez ahoradeterminaremos la aceleración radial para después sustituirlo en las ecuacionesque provienen de la suma de fuerzas.

𝑎𝑅 =|𝑣|2

𝑅=

(33.33)2

24.0= 46.3 m/s2

20

Si al resultado anterior le restamos los 10.0 grados del peralte, tendremos lainclinación que debe dar el motociclista a su motocicleta, 68.0 grados, paramantener la trayectoria circular con un radio constante de 24.0 m con la rapidezde 120.0 km/h.

∑ 𝐹𝑧 : |𝑛|𝑐𝑜𝑠𝜃 − |𝑤| = 0 N … |�⃗�|𝑐𝑜𝑠𝜃 − |𝑤| = 0 … |�⃗�| =|𝑤 |

𝑐𝑜𝑠𝜃 … |�⃗�| =

𝑚𝑔

𝑐𝑜𝑠𝜃

∑ 𝐹𝑟 : |�⃗�|𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚𝑎𝑅 … |�⃗�|𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚𝑎𝑅 … |�⃗�|𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚𝑎𝑅 … 𝑚𝑔

𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚𝑎𝑅 … 𝑔𝑡𝑎𝑛𝜃 = 𝑎𝑅

𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1𝑎𝑅

𝑔= 𝑡𝑎𝑛−1

46.3

9.81= 78.0 grados

𝑎𝑅 =|𝑣|

𝑅=

(33.33)

24.0= 46.3

Ejercicios para resolver.

1) Una cabina cilíndrica gira en su eje con rapidez constante. En contactocon la pared interior de la cabina existe un cuerpo que se mantiene a lamisma altura por efecto del movimiento circular. Si el coeficiente defricción entre la pared interna de la cabina y el cuerpo es 0.2 y el radiode la cabina es 2.0 m, determina cuánto vale el periodo del movimientocircular.

2) Atas una cuerda de 30.0 cm a un bloque (m1 = 2.0 kg) y a este bloquelo atas con otra cuerda de 20.0 cm a un segundo bloque (m2 = 3.0 kg).Si los dos bloque giran con la misma velocidad angular describiendo uncírculo horizontal en una superficie que no presenta fricción, determinacírculo horizontal en una superficie que no presenta fricción, determinala rapidez de cada bloque y la magnitud de la tensión en la cuerda queune a los bloques. La magnitud de la tensión en la cuerda de 30.0 cmes 40.0 N

21

3) Un motociclista inclina su moto 10.0 grados para eliminar los efectos de la friccióncuando entra a una curva de 100.0 m de radio y 10.0 grados de peralte. Considerandoque la rapidez del motociclista es constante, determina el coeficiente de fricciónestático si el motociclista no inclina su moto los 10.0 grados.

4) Un objeto describe una trayectoria circular con rapidez constante en una superficieperaltada de 48.0 m de radio e inclinación de 27.0 grados. Determina qué rapidez debetener el objeto para mantener el radio constante si A) el coeficiente de fricción es cero yB) si el coeficiente de fricción vale 0.23.