clase 6 teoria de trafico v

CLASE 6

TEORIA DE TRAFICO

INTRODUCCION

• Diseño de una planta de producción– Tomar decisión del tamaño de la planta

• Rendimiento/producción

– Ejm:• Refinería de petroleo

– Números de barriles diarios a producir

• Fábrica de repuestos de equipos– Número de partes por día a producir

• Diseño de un sistema de comunicaciones– El tráfico que va a ser manejado– El tráfico determina el número de troncales a ser

proveída

TRONCALES

• Troncales – trunk– Cualquier entidad que transporta llamadas

• Troncales internacionales (a miles de Kms)• Cables internos en una central telefónica (pocos

metros)

• Trunking– Arreglo de centrales y troncales

VARIACION DE TRÁFICO

• Sistema de telecomunicaciones– Central telefónica o ruta de transmisión

• Número de llamadas.– Varían aleatoriamente en el tiempo.– Cada llamada individualmente tiene un principio y un fin.

– Fig 4.1 Variación de Tráfico en un corto tiempo

VARIACION DE TRÁFICO• El número de llamadas en progreso:

– Varia durante todo el día– Varia del tipo de central telefónica y área– Varia por el día de la semana

– Hora pico - Busy Hour• Periodo de una hora en la que hay la mayor carga de tráfico

• Fig 4.2 Variación de Tráfico durante un día

UNIDAD DE TRAFICO

• Intensidad de tráfico– Llamado frecuentemente tráfico– Definido como el promedio del número de

llamadas en progreso.– Aunque es una cantidad sin dimensiones un

nombre se le ha dado a la unidad de tráfico• Erlang (abreviado E)

– En honor a A.K. Erlang – Danes pionero de la teoría de tráfico.

UNIDAD DE TRAFICO

• En un grupo de troncales– El número de llamadas en progreso depende de

• El número de llamadas que arriven• La duración de las llamadas

– La duración de las llamadas• Conocida como tiempo de duración – holding time

– Un Erlang de tráfico• Resulta de la ocupancia de una troncal todo el tiempo por una

hora.

UNIDAD DE TRAFICO

– CCS – Hundreds of call second per hour• En USA se expresa en CCS (cientos de llamadas segundo

por hora)• Un Erlang = 36 CCS

Fig 4.3 Ejemplos de 1 E de tráfico en 3 troncales

UNIDAD DE TRAFICO

• El tráfico transportado por un grupo de troncales está dado por:– A = C*h/T– Donde:

– A = Trafico en Erlang– C = Número promedio de llamadas que llegan durante el tiempo T.– h = tiempo promedio de las llamadas – holding time

– Una troncal no puede transportar mas de una llamada, por lo tanto A<=1

• El tráfico es una fracción de un Erlang igual a la porporción promedio del tiempo en el cual la troncal está ocupada

– Esto es llamada ocupancia de una troncal

• La probabilidad de encontrar la troncal ocupada es igual a la proporción del tiempo para la cual está ocupada.

– Esta probabilidad es igual a la ocupancia (A) de una troncal

UNIDAD DE TRAFICO• Ejm 4.1 pag 90 En promedio, durante la hora pico, una compañía hace 120 llamadas de un promedio de duración de 2 minutos. La misma recibe 200 llamadas de un promedio de duración de 3 minutos. Encontrar (1) el tráfico saliente, (2) el tráfico

entrante, (3) el tráfico total.

1. El tráfico saliente es 120 x 2/60 = 4 E.

2. El tráfico entrante es 200 x 3/60 = 10 E.

3. El tráfico total es 4 + 10 = 14 E.

• Ejemplo 4.2 Durante la hora pico, en promedio, un cliente

con una sola línea telefónica hace tres llamadas y recibe tres llamadas. El promedio de duración de la llamada es de 2 minutos. ¿Cuál es la probabilidad que el usuario encuentre la linea ocupada?

Ocupación de la línea = (3+3) x 2/60 = 0.2 E = probabilidad de encontrar la línea ocupada.

UNIDAD DE TRAFICO

CONGESTION

• No es económico proveer suficiente equipo para manejar todo el tráfico que pudiese ofrecerse a el sistema de telecomunicaciones.

• En una central telefónica es posible teóricamente que cada abonado realice una llamada simultáneamente - el costo es prohibitivo, y la probabilidad que pase es muy pequeña.

• Generalmente no se toman los tráficos de los días de Navidad, año nuevo y día de la madre para la planificación de tráfico de los sistemas.

CONGESTION

• Congestión– Cuando todas las troncales están ocupadas y no

se pueden aceptar mas llamadas.

• Red conmutada por paquetes– Como las redes de datos– Llamadas que llegan cuando hay congestión

tienen que esperar una cola hasta que una troncal/ruta esté libre

– Las llamadas son demoradas pero no perdidas– Estos sistema son conocidos como sistemas de

demora o sistemas de colas.

CONGESTION• Red conmutada por circuito

– Como las centrales telefónicas– Todos los intentos de hacer una llamada sobre

un grupo de troncales congestionadas no serán exitosas. Las llamada no se pueden realizar.

– Estos sistemas son conocidos como sistemas con pérdidas.

• Sistemas con pérdidas– Congestión: trafico real es menor que el tráfico

ofrecido• Tráfico acarreado = tráfico ofrecido – tráfico perdido

CONGESTION

• Medida del servicio proveído: La proporción de las llamadas que son perdidas o demoradas debido a la congestión.

• Grado de servicio (B): es la medida del servicio proveído – Sistema con pérdidas:

• B = Número de llamadas perdidas

Número de llamadas ofrecidas• B = Tráfico perdido

Tráfico ofrecido

CONGESTION

• B:– Proporción del tiempo para el cual la congestión

existe.– Probabilidad de congestión

• Probabilidad que una llamada pueda ser perdida debido a la congestión.

• Si el tráfico ofrecido a un grupo de troncales es A y se tiene un grado de servicio de B– Tráfico perdido = AB Erlangs– Tráfico acarreado = A(1-B) Erlangs

CONGESTION

• Entre mas grande es el grado de servicio peor es el servicio.

• Normalmente es especificado en la hora pico.• Grado de servicio

– Grande• Usuario pueden tener muchas llamadas incompletas

– Pequeño• Mucho gasto en equipo que raramente son usados

• Problema de dimensionamiento– Como determinar el tamaño de un sistema de

telecomunicaciones.– Dado un tráfico ofrecido y un grado de servicio encontrar

el número de troncales requeridos. EJM 4.3 pag 91

MEDIDA DEL TRAFICO

• Tráfico en la hora pico que el sistema está manejando.– Cuando los equipos se sobrecargan– Necesidad de equipos adicionales– Necesidad de planeamiento

• Midiendo el tráfico acarreado– Contar las llamadas en progreso– Contarla durante la hora pico– Calcular el promedio– Las nuevas centrales telefónicas y nodos de

datos llevan record de estas llamadas. EJM 4.4

MEDIDA DEL TRAFICO

• Ejemplo 4.4 De las observaciones realizadas, el número de

líneas ocupadas en un grupo de llamadas en intervalos de 5 minutos durante la hora pico. Los resultados obtenidos fueron: 11, 13, 8, 10, 14, 12, 7, 9, 15, 17, 16, 12.

Por lo tanto, está estimado que el tráfico acarreado, en erlangs, fue:

(11 + 13 + 8 + 10 + 14 + 12+ 7 + 9 + 15 + 17 + 16 + 12)/12 = 12 E.

MODELO MATEMATICO

• Un simple modelo matemático esta basado en las siguientes premisas:– Tráfico puramente aleatorio– Equilibrio estadístico

• Trafico puramente aleatorio– Significa que la llegada y terminación de llamadas son

procesos independientes.– Llamadas realizadas por un solo usuario no son

aleatorias.– Sin embargo,el trafico total generado por un gran

número de usuarios es observado a comportarse como si las llamadas fuesen generadas aleatoriamente.

MODELO MATEMATICO

• Si la llegada de las llamadas son independiente y aleatorias– La ocurrencia de una de ellas no es afectada

por la llamada previa.– El tráfico es conocido como sin memoria

• Implica que el número de fuentes generando llamadas es muy grande

• Si el número de fuentes es pequeña y varias estan ocupadas– La razón a la cual se generan nuevas llamadas

es menor que si todas las fuentes estuvieran libres.

MODELO MATEMATICO• Asumir aleatoriedad de la llegada y

terminación de las llamadas conduce a los siguiente resultados:

1. El número de llamadas que llegan en un tiempo dado tiene una distribución de POISSON:

Donde x es el número de llamadas que llegan en el tiempo T

u es número promedio de llamadas que llegan en el tiempo T

El tráfico puramente aleatorio es también llamado trafico de POISSON.

MODELO MATEMATICO

2. El intervalo, T, entre las llamadas que llegan son intervalos entre eventos aleatorios independientes y tienen una distribución exponencial negativa:

Donde T es el intervalo promedio entre las llegadas de las llamadas.

3. Desde que la llegada de cada llamada y su terminación son eventos aleatorias e independientes, las duraciones de las llamadas, T, son también intervalos entre dos eventos aleatorios y tienen una distribución exponencial negativa:

Donde h es el promedio de la duración de las llamadas (holding time)

MODELO MATEMATICO

• En la práctica:– Algunas llamadas son cortas y otras largas– La duración de las llamadas es una distribución

exponencial negativa.

MODELO MATEMATICO

• Asumir Equilibrio estadístico– Significa que la generación de tráfico es un

proceso aleatorio estacionario.– El número promedio de llamadas en progreso

permanece constante.– Condición se satisface durante la hora pico– Grado de servicio que se quiere satisfacer– El equilibrio estadístico no es obtenido:

• Inmediatamente antes de la hora pico cuando la razón de llamadas esta incrementando

• Ni al final de la hora pico cuando la razón de llamada está decrementándose.

MODELO MATEMATICO

• Ejmplo 4.5 En promedio, una llamada llega cada 5 segundos. Durante un período de 10 segundos, cuál es la probabilidad que:

1. No lleguen llamadas

2. Llegue una llamada

3. Lleguen mas de dos llamadas

MODELO MATEMATICO

• Ejmplo 4.6 En un sistema telefónico el promedio de duración de llamada es 2

minutos. Una llamada ya ha durado 4 minutos. Cuál es la probabilidad que:

1. La llamada durará por lo menos otros 4 minutos

2. La llamada terminará dentro de los próximos 4 minutos

Éstas probabilidades pueden ser asumidas independiente del tiempo que ya ha transcurrido

MODELO MATEMATICO

• Para un grupo de N troncales– El número de llamadas en progreso varia

aleatoriamente– Proceso renovado (nacimiento y muerte de

llamadas)– El número de llamadas esta entre 0 y N– Tiene N+1 estados y su comportamiento

depende de la probabilidad de cambio• De un estado arriba • De un estado abajo

– Tales procesos son llamados SIMPLES CADENAS DE MARKOV

MODELO MATEMATICO• Fig. 4.4 Diagrama del estado de transición para N trocales

– P(j) = Probabilidad del estado j.– P(k) = Probabilidad del siguiente estado K.– Pj,k = Probabilidad que un estado se incremente a k,

dado que el presente estado es j.– Pk,j = Probabilidad que un estado se decremente a j,

dado que el presente estado es k.

MODELO MATEMATICO

• P(0), P(1), …, P(N) son llamados estados probabilísticos de la cadena de Markov.

• Si hay equilibrio estadístico estas probabilidades no cambian y el proceso se dice que es una cadena de MARKOV REGULAR.

MODELO MATEMATICO• Considere

– Un pequeño intervalo de tiempo dt, iniciando en el tiempo t.– Como dt es muy pequeño, la probabilidad que algo pase es muy

pequeña• La probabilidad de 2 o mas eventos es despreciable

• Los eventos que pueden ocurrir durante dt son:– Una llamada llegando, con probabilidad P(a)– Una llamada terminando, con una probabilidad P(e)– Ningún cambio, con probabilidad 1 - P(a) - P(e)

– El número promedio de llamadas que llegan durante el tiempo promedio (h) es C = A

– Así, el número promedio de llamadas que llegan durante dt es Adt/h

– Como dt es muy pequeñaAdt/h << 1 y representa la probabilidad P(a) de llamadas llegando durante dt

MODELO MATEMATICO Pj,k = P(a) = Adt/h• Si la duración promedio h y el número de llamadas en

progreso es k, entonces uno espera un promedio de k llamadas que finalicen durante un periodo h.

• El numero promedio de llamadas que terminan durante dt es por lo tanto kdt/h.

• Como dt es muy pequeño, kdt/h << 1 y representa la probabilidad, P(e) de la terminación de una llamada durante el tiempo dt

– Pk,j = P(e) = kdt/h

• Si la probabilidad de que j llamadas en progreso en el tiempo t es P(j), entonces la probabilidad de una transición de j a k troncales ocupadas durante dt es:

– P(j…k) = P(j)P(a) = P(j)Adt/h

MODELO MATEMATICO • Si la probabilidad de que k llamadas en el tiempo t es

P(k), entonces la probabilidad de una transición de k a j troncales ocupadas durante dt es:

– P(k…j) = P(k)P(e) = P(k)Kdt/h

• Asumir equilibrio estadístico requiere que:– P(j…k) = P(k…j)

• De otra manera el número de llamadas en progreso puede incrementar o decrementar,

– kP(k)dt/h = AP(j)dt/h– P(k) = AP(j)/k

• De aquí:– P(1) = AP(0)– P(2) = AP(1)/2 = A^2P(0)/2*1– P(3) = AP(2)/3 = A^3P(0)/3*2*1

MODELO MATEMATICO De aquí:

– P(1) = AP(0)– P(2) = AP(1)/2 = A^2P(0)/2*1– P(3) = AP(2)/3 = A^3P(0)/3*2*1

• En general– P(x) = A^xP(0)/x!

• Asumir que el tráfico es puramente aleatorio implica un número de fuentes muy grandes.

• Así x puede tener cualquier valor entre 0 e infinito y la suma de sus probabilidades tiene que ser la unidad1 = SUMP(x) = SUM A^xP(0)/x! = e^P(0) P(0) = e^-A yP(x) = (A^xe^-A)/x!

– Así, si la llegada de llamadas tiene una distribución de POISSON, así lo será las llamadas en progreso.– Esto requiere de un número infinito de troncales para manejar las

llamadas.– Si el número de troncales disponibles es finita, entonces algunas

llamadas pueden perderse o demorarse y la distribución no es de POISSON.

SISTEMA CON PERDIDAS DE LLAMADAS - TEORIA

• Erlang determinó el grado de servicio, (ejm: probabilidad de pérdida) de los sistemas con pérdidas cuando se tiene N troncales, un tráfico ofrecido de A como se muestra en la

Fig.4.5 Sistema llamadas perdidas


• La solución de Erlang dependió de las siguientes premisas:– Tráfico puramente aleatorio– Equilibrio estadístico– Disponibilidad completa– Llamadas que encuentran congestión se pierden

• Premisa de tráfico puramente aleatorio– Las llegadas y terminación de las llamadas son

aleatorias e independientes

• Premisa de Equilibrio estadístico implica– Que las probabilidades no cambian


• La premisa de disponibilidad completa significa:– Cada llamada que llega puede ser conectada a cualquier

troncal saliente que está libre– Si se usan switches se debe tener los suficientes

conexiones• En la mayoría de los casos prácticos los switches no tienen la

capacidad suficiente.

• La premisa de perdida de llamada implica:– Que cualquier intento de llamada que encuentra

congestión es eliminada del sistema• Cuando esto pasa es probable que el usuario realice otra

llamada un momento después.• Tráfico ofrecido durante horas pico es mucho mayor• Tráfico ofrecido es la suma del tráfico perdido mas el exitoso


• Si hay x llamadas en progreso

P(x) = A^x P(0)/x!

• No podemos tener números negativos de llamadas ni que estas sean mayor que N

• Con certeza sabemos que 0<= x <= N


• Y resolviendo para P(0)

• Substituyendo la ecuación, tenemos:

• Esta es la PRIMERA DISTRIBUCION DE ERLANG.– Probabilidad de congestión, grado de servicio B

y es dado por el símbolo E1,N


• E1,N : denota la probabilidad de pérdida para un grupo de troncales con disponibilidad completa

• También conocida como la fórmula de pérdida de llamadas, pero es un caso especial de la general

• El grado de servicio de un sistema con pérdida con N troncales con disponibilidad completa, y un tráfico ofrecido de A, es dado por E1,N(A)


• E1,N(A) puede ser computado directamente o por iteraciones de una simple relación recurrente obtenida como:

Y sustituyendo en ambas ecuaciones:


• Como E1,0 = 1, esta formula interactiva permite que:– E1,N(A) pueda ser computada para todos los

valores de N– Tablas de E1,N(A) han sido publicadas

Ejemplo 4.7

A un grupo de 5 troncales se le es ofrecido un trafico de 2E. Encuentre:

1.El Grado de servicio:2.La probabilidad que solo una troncal este ocupado:3.La probabilidad que solo una troncal este libre:4.LA probabilidad que al menos una troncal este libre:

Ejemplo 4.8

Un grupo de 20 troncales proveen un grado de servicio de 0.01 cuando el trafico ofrecido es de 12E.1.Cuanto es mejorado el grado se servicio si se agrega una troncal adicional al grupo?2.Cuanto se deteriora el grado de servicio se una troncal esta fuera de servicio?

RENDIMIENTO DEL TRAFICO

• Si el trafico ofrecido aumenta,– El número de troncales aumenta para el mismo grado de

servicio (GOS, B)

• Para la misma ocupancia de troncales– La probabilidad de encontrar todos los troncales

ocupado es menor cuando el grupo de troncales es grande y mayor cuando este es pequeño.

• Para un grado de servicio dado– Un grupo grande de troncales puede tener una mayor

ocupancia que un grupo menor• Ejm: 2E de tráfico requiere de 7 troncales y su ocupancia es

0.27E, sin embargo 20E requiere de 32 troncales y su ocupancia es de 0.61E. FIG 4.6

RENDIMIENTO DEL TRAFICOFig. 4.6 Ocupaciones de troncales para grupos disponibles de varios tamaños. Grado de servicio =

0.002


• Grupos grandes de troncales son mas eficientes que grupos pequeños– Es mejor concentrar tráfico en un solo grupo de

troncales que manejar varios pequeños.– El principio de concentración es usado

ampliamente.• Ejm: en una central el tráfico de un gran número de

usuarios con baja ocupancia se concentra en un número pequeño de troncales de alta ocupancia.

• Ejm: En centrales Tandem se permite una única ruta de alta ocupancia para ser usada para el tráfico a varios destinos. Así se requiere menos troncales que para rutas separadas.

RENDIMIENTO DEL TRAFICO• Penalidad pagada por la alta eficiencia de

grandes grupos de troncales.– Es que el grado de servicio (GOS) se deteriora

mas con sobrecarga de tráfico comparada con los grupos de troncales pequeñas.


• La siguiente gráfica (fig. 4.7) muestra como el grado de servicio varía con el tráfico ofrecido para diferentes grupos de troncales.

• Para un grupo de 5 troncales, un 10% de sobrecarga incrementa el GOS por 40%.

• Sin embargo para un grupo de 100 troncales, el 10% de sobrecarga hace que el GOS se incremente por 550%.

Fig. 4.7 Efecto de sobrecarga sobre grado de servicio


• Por esta razón la mayoría de las compañías operadoras de telecomunicaciones adoptan un criterio dual.– Dos GOS son especificados

• Uno para el tráfico normal• Otro mas grande para un porcentaje dado de sobrecarga

– Ejm: GOS de B para el tráfico normal y de 5B para un 20% de sobrecarga.

• El número de troncales a ser proveídos es determinado por cual criterio requiere el mayor número de troncales

– Para grupos pequeños el número es determinado por el criterio normal de carga.

– Para grupos grandes el número es determinado por el criterio de sobrecarga


• Ejemplo: 4.9– Grupos de troncales son dimensionados para

proveer un grado de servicio de 0.002 bajo carga normal y 0.01 bajo 20% de sobrecarga.

– ¿Para que rango de carga de tráfico nominal el criterio de carga normal aplica y cuando el criterio de sobrecarga?

– De la Fig. 4.7 el grado de servicio se deteriora a un 0.01 para el 20% de sobrecarga cuando hay 19 troncales.

– De la fig. 4.6, 19 troncales pueden manejar 9.5E con un grado de servicio de 0.002.


• Ejemplo 4.9 (cont.)– Luego los rangos serían– Criterio de carga normal aplica para:

• A <= 9.5E

– Criterio de sobrecarga aplica para• A >= 9.5E


• En muchas sistemas de conmutación las troncales en un grupo son seleccionadas por medio de una búsqueda secuencial– Una llamada no es conectada a la troncal No.2 al menos

que la troncal No. 1 esté ocupada y así sucesivamente.– Las llamadas que encuentran la última troncal ocupada

se pierden– Como resultado la primera troncal tiene un muy alto

índice de ocupancia y el tráfico para las subsecuentes troncales es menor.

– La última troncal en muy liviana en tráfico.– Ver GRAF 4.8


Gráfica 4.8 Distribución de tráfico sobre troncales de un grupo con búsqueda secuencial


• El rendimiento de tales arreglos pueden ser analizados de la siguiente manera– Asumamos un tráfico A ofrecido a un grupo de

troncales.– El GOS de un grupo de troncales es:

E1,1 (A) = A/(1+A)

– El tráfico que sobra de la primera troncal a la segunda es:

A E1,1 (A) =(A^2)/(1+A)

– Tráfico acarreado por la primera troncal esTrafico ofrecido - Tráfico perdido = A - (A^2)/(1+A) = A/(1+A)


• En general– Tráfico acarreado por la Kth troncal = tráfico perdido del

grupo de las primeras k-1 troncales menos el tráfico perdido del grupo de las primeras k troncales

• Y es igual A{E1,k-1 (A) – E1,k(A)}

• Hubiese sido mas simple considerar cada troncal como un grupo individual al cual se le ofrece el tráfico que sobra de la troncal previa. Es incorrecto hacerlo así porque:– El tráfico ofrecido a la primera troncal es POISSON– Pero el tráfico sobrante no necesariamente


• Ejm 4.10 Si una selección secuencial es usada para un grupo de troncales en el

ejem.4.7, cuánto tráfico es acarreado por:

1. La primera troncal

2. La última troncal

Tráfico acarreado por la última troncal:

SISTEMAS CON PÉRDIDA EN TANDEM

• Los usuarios están interesados en el GOS de una conexión completa (varios enlaces).

• Si una conexión consiste de dos enlaces con grados de servicios B1 , B2 , y con un tráfico ofrecido de A Erlangs, entonces:– Tráfico ofrecido al segundo enlace = A(1- B1)– Tráfico que alcanza el destino = A(1- B1) (1- B2)

= A(1- B1B2 - B1 - B2)Y el grado de servicio total es B = B1 + B2 - B1B2.

• Si B1 , B2 << 1, como deben ser, entonces B1B2 es insignificante y el grado de servicio total es simplemente B= B1 + B2 .

SISTEMAS CON PÉRDIDA• En general, para una conexión de n-enlaces:

• Esta ecuación es una simplificación excesiva por dos motivos:• Los grados de servicio están especificado para la

hora pico y las horas pico de los diferentes enlaces no pudiesen coincidir.

• Cuando el tráfico está creciendo en un sistema, no es económico instalar equipos para emparejar el crecimiento.

n

kkBB

1

TABLAS DE

TRÁFICO

Tabla 4.1Capacidad de

trafico para grupos

disponiblesERLANG B

USO DE TABLAS DE TRÁFICO

• Ejemplo 4.11

La compañía en el ejemplo 4.1 desea obtener un grado de servicio de 0.01 para las llamadas entrantes y salientes. ¿Cuántas líneas de centrales debe alquilar si:

1. Las llamadas entrantes y salientes son dirigidas en grupos de líneas separadas?

De la tabla 4.1 4E de tráfico saliente necesita 10 líneas

10E de tráfico entrante necesita 18 líneas

El número total de líneas requeridas es 28.

2. Un grupo común de líneas es usado para ambas (llamadas entrantes y salientes).

El tráfico total de 14E requiere solo de 23 líneas.

SISTEMAS DE COLA

• Erlang encontró la probabilidad de encontrar retardo cuando el tráfico A es ofrecido a sistemas de cola con N troncales.

Fig4.9 Sistema de espera

• En los sistemas de colas las troncales con frecuencia son llamadas servidores. – Esto es porque la teoría ha sido aplicada en muchos

otros campos.

SISTEMAS DE COLA

• La solución de Erlang (Segunda distribución de Erlang) depende de las siguientes asunciones:1. Tráfico puro

2. Equilibrio estadístico

3. Disponibilidad total

4. Llamadas que encuentran congestión entran en una cola y son almacenadas allí hasta que haya un servidor libre.

• Tales sistema son conocidos como M/M/N

SISTEMAS DE COLA• Deje que x sea el número total de llamadas en el

sistema• Cuando entonces x llamadas han sido

servidas y no hay demoras.• Si donde todos los servidores están

ocupados y las llamadas entrantes encuentran demora.– Hay N llamadas siendo servidas, y– (x – N) llamadas en la cola.

Nx

Nx

SISTEMAS DE COLA

• Si , No hay cola, y el sistema es igual al de perdidas, y: (Ec. 4.7)

• Si – La probabilidad de que una llamada llegue en un corto

período de tiempo, , está dada por: donde h es el tiempo promedio de servicio.

– La probabilidad de transición de x-1 a x llamadas en el sistema durante está dada por:

Nx

0!P

xA

xPx

Nx

t ht

AaP

t

ht

AxPxxP

11

SISTEMAS DE COLA

• Como todos los servidores están ocupados, solo las N llamadas que se están sirviendo se pueden terminar y la ecuación se modifica así:

• Y la probabilidad de transición de x a x-1, esta dada por:

• Para el equilibrio estadístico

11 xxPxxP

h

tAxP

h

tNxP

)1(

h

tNeP

h

tNxPePxPxxP

)()()1(

SISTEMAS DE COLA

• Y:

• Pero:

• Y así las demás

)1( xPN

AxP

0!P

N

ANP

N

0!*

)(11

PNN

ANP

N

ANP

N

0!*

)1(22

2

PNA

ANP

N

ANP

N

SISTEMAS CON ESPERA

• En general, para :

Si no hay limite

en el tamaño de la

Cola.• Donde

ya que

Entonces:

Nx

0!

0!.

PN

A

N

NP

NN

AxP

xN

Nx

x

11

0

0

1

0

0

!!0

!!01

1

N

x

xN

k

kNNN

x

x

x

xA

ANNNA

P

NA

NA

NN

xA

P

xP

Nxk

1NA

PROBABILIDAD DE DELAY

• El delay ocurre si todos los servidores están ocupados, i.e Nx

0!

10!

0!

)(

1

PAN

NNA

NN

zxP

NA

PNA

NN

zxP

Nxk

donde

NA

PNN

xPzxP

zN

xN

zx

xN

zx


• Finalmente, la probabilidad de delay es:

• Esta formula es conocida como LA FORMULA DE DEMORA DE ERLANG

• La probabilidad de delay aumenta hacia 1.0 así como A aumenta hacia N. Donde A>N, la longitud de la cola crece indefinidamente.

Microsoft Editor de ecuaciones 3.0

AEPAN

NNA

P

NxPP

N

N

D

D

,20!

.


Fig4.10 Probabilidad de delay para sistemas de espera (A=tráfico en Erlangs, N= Número de servidores).

CAPACIDAD FINITA DE LA COLA• Un sistema practico no puede tener colas infinitas• Cuando la cola está llena, las llamadas que van llegando

se pierden. • Si la cola puede soportar solamente Q llamadas,

entonces y la ecuación llega a ser:

• La probabilidad de pérdida puede ser estimada primero asumiendo que la capacidad de cola es infinita y entonces calculando y ahora la ecuación

NQx

NANA

N

A

x

ANA

NA

N

N

x

A

P

QNN

x

xQ

x

kNN

x

x

1

1

!!!!0

11

1

00

1

0

NQxP

D

QNQN

PNA

PAN

NNA

NN

NQxP

0!

OTROS RESULTADOS ÚTILES

1. Número medio de llamadas en el sistemai. Cuando hay demora, el número medio de llamadas es:

ii. Promediado sobre todo el tiempo, el numero medio de llamadas es:

NAN

Ax

'

AAEAN

Ax N

,2'


2. Longitud media de la colai. Cuando hay demora, la longitud media de la cola es

ii. Longitud media de la cola promediada sobre todo el tiempo es

ANA

Nxq

''

AEAN

APqq ND ,2'


3. Tiempo medio de demora cuando la disciplina de la cola es FIFO (‘first in first out’) (primero en entrar, primero en salir):

i. Cuando hay demora, la demora media, , es

donde h es el tiempo promedio de ocupación.

ii. Promediado sobre todo el tiempo, la demora media,

es: 'T

'T

ANhT '

ANhAETAET NN ,2,2 ''


Fig4.11 Demoras promedios para sistemas de cola con disciplina de cola FIFO (T=delay promedio, h=tiempo de servicio promedio, N=número de servidores)


4. Distribución de demoras (disciplina de cola ‘FIFO’). Como el tiempo promedio tiene una distribución exponencial negativa así también la demora TD. De aquí que:

i. Cuando hay demora,

i. Promediado sobre todo el tiempo

'Tt

D etTP

',2

Tt

ND eAEtTP

SISTEMA CON UN SOLO SERVIDOR

• Cuando hay un solo servidor, la probabilidad de que esté siendo ocupado es simplemente su ocupación, A, y esto es la probabilidad de delay, Ejm: , Como resultado tenemos:

AAE 1,2

APD Ax 11'

AAx 1

AP 10

AAxP x 1

zAzxP

AAq 1'

AhT 1'

AAq 12

AAhT 1

SITEMA CON UN SOLO SERVIDOR• Ejem 4.11 Una PBX tiene 3 operadores de servicio y recibe 400 llamadas

durante la hora pico. Llamadas entrantes entran en cola y son manejadas en orden de llegada. El tiempo promedio tomado por un operador para manejar una llamada es 18 seg. Las llamadas que llegan son de Poisson y el tiempo de servicio del operador tiene una distribución exponencial negativa.1. ¿Que porcentaje de llamadas tienen que esperar para que un

operador les responda?

44% de llamadas9

4

9

1*1

3*1*2*3

89

1

922142

4

1

21

1*1*2*3

8*31

2360018*400

0

0

DP

P

P

EA

SITEMA CON UN SOLO SERVIDOR• Ejem 4.11 (cont.)

2.¿Cuál es la demora promedio, para todas las llamadas y para las cuales se encontró demora?

delay promedio

3. ¿Qué porcentaje de llamadas son demoradas por más de 30 segundos?

delay

promedio de todas las llamadas

segundosPTT

segundosANhT

D 894*18'

182318'

%3.844.0*9.1830

%9.1818/30'/

D

TtD

TP

eetTP

SITEMA CON UN SOLO SERVIDOR• Ejem 4.13 Un centro de mensajes de circuitos envía mensajes sobre un

circuito de salida a una razón de 480 caracteres por segundo. El número promedio de caracteres por mensaje es 24 y la longitud del mensaje tiene una distribución exponencial negativa. La entrada de mensajes es un proceso Poisson y ellos son servidos en orden de llegada .

¿Cuántos mensajes pueden ser dirigidos por segundo si la demora media (promediado sobre todos los mensajes) no excede de 0.5 segundos?

2.1805.0/909.0

#

909.0)5.005.0/(5.0

05.0480//24

)/(

)1/(

C

egundomensajesxsC

ChA

segundosh

ThTA

AAhT

COLAS EN TANDEM

• Cuando los sistemas de espera son conectados en tandem, las demoras son acumulativas.

• Si la primera etapa tienes una entrada Poisson y un tiempo promedio con distribución exponencial negativa, la entrada a la segunda etapa será también de Poisson. Las colas pueden ser consideradas como independientes para calcular éstas demoras.

• La probabilidad de demora y la demora media para el sistema completo es la suma de éstos por etapas individuales.

TABLAS DE DEMORA• Es posible calcular desde de la

siguiente forma:

AE N,2 AE N,1

AEAN

NAE

ANAAE

AEAN

AN

ANN

NA

AE

AEAN

ANAAE

NA

P

NA

AENA

kA

AENA

kA

NN

N

NN

N

N

N

NN

N

N

NN

k

k

N

NN

k

k

,1,2

,2

,1,2

,1

,1

,1

1

0

,10

)(

)(!!

)(

)(

!01

!!!

!!

APLICACIONES DE LAS FÓRMULAS DE DELAY

• Un conmutador de mensaje, o un conmutador paquete, es obviamente un sistema de espera. Si las troncales salientes están ocupadas, mensajes o paquetes estarán en cola hasta que una troncal quede libre.

• Un sistema debe ser medido a reunir una probabilidad de demora o una específica demora media.

SIMULACIÓN

• Los sistemas y las redes son cada vez más complejos y las soluciones analíticas hacen que las aproximaciones sean cada vez mas inexactas, es por ello que hay la necesidad de recurrir a una simulación utilizando la computadora.

clase 6 teoria de trafico v

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