clase # 4 tpr construcción de espectros

8/14/2019 CLASE # 4 TPR Construccin de Espectros

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MEX-33 ITM. MATEMTICAS ESPECIALES. Docente: Martha Guzmn.TALLER PROBLEMAS RESUELTOS TPR CLASE #11 . CLASE # 11 Pgina # 1 de 6.COMPETENCIA: Manejar el concepto de construccin de ESPECTROS de Amplitud y Fase

Calcular la POTENCIA asociada con cada armnico de la serie de fourier..

CONSTRUCCIN DE ESPECTROS EJEMPLO # 1:

Considere la siguiente funcin peridica i (t) que tiene forma de frente de onda cuadrado, y grafique

los espectros de amplitud, fasey potencia para esta seal, hasta n = 3.

Aplicando el mtodo grfico, podemos OBSERVAR que la funcin i(t) tiene simetra IMPAR. Por lo que podemos anticipar, que en su seriegeneralizada de fourier slo existen los armnicos impares en el SENO.

Revisemos el resultado obtenido en el taller de problemas resueltos TPR CLASE # 3:

i(t) = 0 + 0 Cos (3.14 t ) + 0 Cos ( 6.28 t ) + 0 Cos ( 9.42 t ) + .+ 1.28 Sen (3.14 t ) + 0 Sen ( 6.28 t ) + 0.42 Sen ( 9.42 t ) +

Simplificando trminos, la serie de fourier generalizada para la seal peridica i ( t ) hasta n = 3 queda:

i(t) = 1.28 Sen (3.14 t ) + 0.42 Sen ( 9.42 t )

1) CONSTRUCCIN DEL ESPECTRO DE AMPLITUD cn ( wn ):

El espectro de amplitud de una seal i ( t ) es una grfica de barras, en donde el dominio es wn y el rango loconstituyen LAS AMPLITUDES cn de los armnicos de la serie simplificada de fourier, correspondiente a laseal i ( t ).

Entonces el procedimiento para calcular el espectro de amplitud, es identificar los trminos n, wn y cn en lala SERIE SIMPLIFICADA DE FOURIER correspondiente a la seal i ( t ) :

i ( t ) = a0 + cn Cos ( wn t + n ) ; Serie de fourier simplificada para la i ( t ). n = 1 ______________

Donde la frmula para calcular los trminos cn es:

cn = ( an 2 + bn2 ) ; Observe que se requiere conocer los an y los bn.

[ Y tiene las mismas unidades de los an y los bn ].

Necesitamos identificar los trminos de la serie generalizada, para calcular los trminos de la serie simplificada, Cmo lo hacemos ?. Observela serie generalizada del ejemplo:

i(t) = 1.28 Sen (3.14 t ) + 0.42 Sen ( 9.42 t )

Cmo se identifica la n correspondiente a cada armnico ?. Cual es la frecuencia angular fundamental w0 . ?. Cual es el armnico 1 ?.

Cual es el armnico 2 ?. Existe el armnico 3 ?.

1

- 1

1 2 3-1-2-3

t seg

i ( t ) Amperios

0

Perodo T = 2 Seg.

Frecuencia Angular Fundamental w0

= (rad/seg)

w0

= 3.14 ( rad/seg)

Am litud = 1


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MEX-33 ITM. MATEMTICAS ESPECIALES. Docente: Martha Guzmn.TALLER PROBLEMAS RESUELTOS TPR CLASE #11 . CLASE # 11 Pgina # 2 de 6.

Lo primero es identificar la frecuencia angular fundamental w0 . Para hacerlo, seguimos elsiguiente procedimiento siempre:

a) Por convencin asumiremos que el armnico con la menor frecuencia angular wn , corresponde a n = 1,as :

Como tenemos que: 3.14 (rad/seg ) < 9.42 (rad/seg).

Diremos entonces que: w1= 3.14 (rad/seg )

b) Para encontrar la frecuencia angular fundamental w0 todo lo que tenemos que hacer es despejarla de:

w1= 1 * w0 = 3.14 (rad/seg )w0 = 3.14 (rad/seg )

Por lo que resulta que siempre, w0= w1

c) Con este dato ya podemos calcular a cual valor de n , corresponde la frecuencia 9.42 (rad/seg), as:

Como por definicin: wn = n * w0

Si tenemos una wn = 9.42 (rad/seg) pero no conocemos el valor de su n, podemosdespejar la n as: wn = 9.42 (rad/seg) = n * w0 9.42 (rad/seg) = n * 3.14 (rad/seg )

9.42 (rad/seg) = n3.14 (rad/seg )

3 = n

d) Podemos conclur que: w0 = 3.14 (rad/seg )

w1 = 3.14 (rad/seg)

w2 = 6.28 (rad/seg)

w3 = 9.42 (rad/seg)

b1 = 1.28 Amperios.

b2 = 0 Amperios.

b3 = 0.42 Amperios.

e) Con este mismo procedimiento se pueden identificar las n correspondientes a cualquier armnico, aunquela serie tenga muchos ms que dos.

Segn los resultados obtenidos en la identificacin de trminos de la serie generalizada, tenemos tres armnicos en el seno:

i(t) = 1.28 Sen (3.14 t ) + 0.42 Sen ( 9.42 t )

El armnico 1 en el seno es: 1.28 Sen (3.14 t )

El armnico 2 en el seno es: 0 Sen (6.28 t )

El armnico 3 en el seno es: 0.42 Sen ( 9.42 t )


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Con estos datos, ahora es posible calcular los trminos cn usando las frmulas:

c1 = ( a1 2 + b12 ) = ( (0)2 + (1.28)2 ) = ( (1.28)2 ) = 1.28 Amperios.c1 = 1.28 Amperios.

c2 = ( a2 2 + b22 ) = ( (0)2 + (0)2 ) = ( 0 ) = 0 Amperios.c2 = 0 Amperios.

c3 = ( a3 2 + b32 ) = ( (0)2 + (0.42)2 ) = ( (0.42)2 ) = 0.42 Amperios.c3 = 0.42 Amperios.

Observe cuidadosamente estos resultados, comprobar que por el hecho de que an = 0, result que para todas las nposibles: cn = bn

Resumiremos nuestros resultados hasta el momento as:

n wn Cn1 3.14 1.282 6.28 No existe3 9.42 0.42

Utilizando estos valores se construye el correspondiene ESPECTRO DE AMPLITUD para la i ( t ):

2) CONSTRUCCIN DEL ESPECTRO DE FASE n ( wn ):

El espectro de FASE de una seal i ( t ) es una grfica de barras, en donde el dominio es wn y el rango lo

constituyen LOS ANGULOS DE DESFASE n, de los armnicos de la serie simplificada de fourier correspondientea la seal i ( t ).

Entonces el procedimiento para calcular el espectro de FASE, es identificar los trminos n, wn y n en la laSERIE SIMPLIFICADA DE FOURIER correspondiente a la seal i ( t ) :


C [Amperios]

wn( rad/seg )

Su dominio solose construye paravalores positivos.

3.14

6.28

9.42

1.28

0.42


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Donde las frmulas para calcular los trminos n son: n = - tg -1 ( bn ), [ rad ] ; Se usasiempre que: an 0. an n = sen -1 ( bn ), [ rad ] ; Se usaslo cuando: an = 0. cn

n = cos -1 ( an ), [ rad ] ; Se usa slocuando: an = 0. cn

Observando la serie generalizada de fourier para la seal i ( t ):

i(t) = 1.28 Sen (3.14 t ) + 0.42 Sen ( 9.42 t )

Podemos conclur que: w0 = 3.14 (rad/seg )

w1 = 3.14 (rad/seg)

w2 = 6.28 (rad/seg)

w3 = 9.42 (rad/seg)

b1 = 1.28 Amperios.

b2 = 0 Amperios.

b3 = 0.42 Amperios.

Calculemos los trminos n , utilizando la frmula correspondiente en cada caso y utilizandola calculadora en MODE: RAD. Observemos que an = 0 para todas las n :

1 = sen -1 ( b1 ); Se usapor que en este caso: a1 = 0. c1

1 = sen -1 ( 1.28) = sen -1 ( 1 ) = 1.5708 rad.1.28

1 = 1.5708 rad.

2 = ? No puede calcularse, por que ninguna frmula le sirve, ya que a2 = 0 yc2 = 0 . Por lo tanto resultara una divisin por cero.

3 = sen -1 ( b3 ); Se usapor que en este caso: a3 = 0. c3

3 = sen -1 ( 0.42) = sen -1 ( 1 ) = 1.5708 rad.0.42

3 = 1.5708 rad.


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MEX-33 ITM. MATEMTICAS ESPECIALES. Docente: Martha Guzmn.TALLER PROBLEMAS RESUELTOS TPR CLASE #11 . CLASE # 11 Pgina # 5 de 6.Resumiremos nuestros resultados hasta el momento as:

n wn n1 3.14 1.57082 6.28 No existe3 9.42 1.5708

Utilizando estos valores se construye el correspondiene ESPECTRO DE FASE para la i ( t ):

3) CONSTRUCCIN DEL ESPECTRO DE POTENCIA [ Pn ] (wn ): 2

El espectro de POTENCIA de una seal i ( t ) es una grfica de barras, en donde el dominio es wn y el rango lo constituyen

los Pn osea, LA MITAD DE LAS POTENCIAS asociadas con cada uno de los armnicos de la serie simplificada de2

fourier, correspondiente a la seal i ( t ).

Entonces el procedimiento para calcular el espectro de POTENCIAS, es identificar los trminos n, wn y Pn en la la SERIESIMPLIFICADA DE FOURIER correspondiente a la seal i ( t ) :


Pn = Cn2 [ Wattios ] = Potencia asociada con el armnico nmero n, y se calcula utilizandosolamente la amplitud del armnico simplificado nmero n: Cn.

Entonces la mitad de la potencia del armnico n ser: ( Pn / 2 ) = ( Cn2 / 2 )

Observando la serie generalizada de fourier para la seal i ( t ):

i(t) = 1.28 Sen (3.14 t ) + 0.42 Sen ( 9.42 t )

Identificamos los trminos: w0 = 3.14 (rad/seg )

w1 = 3.14 (rad/seg)

w2 = 6.28 (rad/seg)

w3 = 9.42 (rad/seg)

b1 = 1.28 Amperios. = c1

b2 = 0 Amperios. = c2

b3 = 0.42 Amperios. = c3

( Radianes )

wn ( rad / seg )

Su dominiown

se construye soloparavalores positivos.

3.14

6.28

9.42

1.5708


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Calculemos los trminos de la potencia asociada con cada armnico Pn , utilizando la frmula correspondiente encada caso:

P1 = C12 [ Wattios ] = ( 1.28 ) 2 wattios = 1.6384 wattios.P2 = C22 [ Wattios ] = No existe por que C2 no existe.P3 = C32 [ Wattios ] = ( 0.42 ) 2 wattios = 0.1744 wattios.

P1 / 2 = ( 1.6384 wattios / 2 ) = 0.8192 wattios.P2/ 2 = No existe.P3 / 2 = ( 0.1744 wattios / 2 ) = 0.0872 wattios.

Resumiremos nuestros resultados hasta el momento as:

n wn Cn Pn = Cn2 ( Pn / 2 )1 3.14 1.28 1.6384 0.81922 6.28 No existe No existe No existe

39.42 0.42 0.1744

0.0872

Utilizando estos valores se construye el correspondiene ESPECTRO DE POTENCIA para la i ( t ):

Leyendo el ESPECTRO DE POTENCIA directamente, es posible obtener informacin acerca de lasAMPLITUDES de los armnicos y sobre las POTENCIAS ASOCIADAS con los armnicos de la seriesimplificada de FOURIER, as:

w1 = ? Leyendo el Espectro: w1 = 3.14 ( rad/seg)

w0 = ? Leyendo el Espectro: w0 = w1 = 3.14 ( rad/seg)

P1 / 2 = ? Leyendo el Espectro: P1 / 2 = 0.8192 (wattios)

P1 = ? Leyendo el Espectro: P1 = ( P1 / 2 ) * 2 = [ 0.8192 (wattios) ] * 2 = 1.6384 ( wattios )

C1 = ? Leyendo el Espectro: Como P1 = C12 entonces: ( P1 ) = C1

Entonces: ( P1 ) = C1 = [ 1.6384 ] = 1.28

C3 = ? Leyendo el Espectro: Como P3 = C32 entonces: ( P3 ) = C3

Entonces: ( P3 ) = C3 = [ 0.1744] = 0.42

( Pn

/ 2 ) = (Cn

2/ 2 ) ( Wattios )

wn ( rad / seg )

Su dominiose construye tanto

paravalores positivoscomo negativos.

3.14

6.28

9.42- 9.42

- 6.28

3.14

0.8192

0.0872

clase # 4 tpr construcción de espectros

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