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En esta clase nos proponemos aprender a factorizar polinomios,

extrayendo factor común, hallando el factor común por grupos y apartir

de las raíces del polinomio y resolver algunos problemas aplicando estos

procedimientos.

CLASE 4 – MÓDULO V

¿Cómo citar esta clase?

Programa Oportunid@des, Dirección de Educación de Jóvenes y Adultos,

Consejo General de Educación de Entre Ríos, 2018. Matemática, Clase 4,

Módulo V.

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Para resolver problemas en la vida cotidiana, una buena estrategia es dividir el

problema en secciones más sencillas de resolver y juntar los resultados para

encontrar la solución completa. Esta estrategia aplicada a los polinomios se

llama factorización y consiste en encontrar polinomios que multiplicados nos dan

el polinomio original. A estos polinomios se les llama factores.

En álgebra, la factorización de polinomios se utiliza para simplificar la tarea de

encontrar la solución de ecuaciones, simplificar expresiones y en general para

facilitar su manipulación. Hay varios métodos para factorizar polinomios; en esta

clase estudiaremos algunos de ellos.

Factorizar un polinomio es expresarlo como el producto de sus factores

primos.

Por ejemplo, convertir un polinomio que expresa el volumen de un prisma:

𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2 − 4𝑥 + 12

En una expresión como la siguiente, donde cada factor

es la expresión correspondiente al largo, alto y ancho:

𝑃(𝑥) = (𝑥 − 3)(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

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El ingreso de una empresa por la fabricación de un determinado producto se

puede calcular a través de la siguiente expresión polinómica:

𝐼(𝑥) = 5𝑥2 + 0,2𝑥

Donde 𝑥 representa la cantidad de productos vendidos.

Se sabe que el ingreso se calcula multiplicando el precio unitario del producto

por la cantidad de productos vendidos.

Aplicando el procedimiento de factor común se obtiene que el precio de cada

producto es 𝑃(𝑥) = 5𝑥 + 0,2

Esta es la forma más simple de factorización, cuando todos los

términos del polinomio tienen un factor común, como en el ejemplo

anterior:

𝐼(𝑥) = 5𝑥2 + 0,2𝑥

Los dos términos del polinomio tienen como factor común 𝑥 de tal

manera que podemos reescribir el polinomio como:

5𝑥2 + 0,2𝑥 =

= 5𝑥. 𝑥 + 0.2𝑥 =

= (5𝑥 + 0,2). 𝑥

Aquí usamos la propiedad recíproca de la distributiva para realizar la

factorización. Es decir, si en (5𝑥 + 0,2). 𝑥 aplicamos la propiedad

distributiva, obtenemos 5𝑥2 + 0,2𝑥.

FACTOR COMÚN

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En el siguiente video encontrarás otros ejemplos.

Control click sobre la imagen:

ACTIVIDAD 1 OBLIGATORIA PARA ENTREGAR AL TUTOR

1. Un patio rectangular tiene una superficie que se expresa por el

polinomio 𝑆(𝑥) = 2𝑥2 + 4𝑥. Factoriza este polinomio obtener una

expresión para su base (b) y otra para su altura (h).

2. Factoriza los polinomios extrayendo el factor común:

a) 8𝑥4 − 4𝑥3 + 6𝑥2

b) 7𝑥 + 𝑥2 − 14𝑥3

c) 2𝑥2 + 4𝑥3 + 2𝑥

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Consideremos un rectángulo cuya superficie que se expresa a través del

siguiente polinomio:

𝑆(𝑥) = 2𝑥3 + 5𝑥2 + 6𝑥 + 15

Usando el método de factorización por

grupos, podemos determinar que su base y su

altura se pueden determinar con las siguientes expresiones 2𝑥 + 5 y 𝑥2 + 3 ,

respectivamente.

Veamos cómo procedemos:

No existe un factor que se repita en todos los términos, por esto debemos

acomodarlos en grupos de igual cantidad de términos. En este caso es

conveniente armar dos grupos de dos términos.

𝑆(𝑥) = 2𝑥3 + 5𝑥2 + 6𝑥 + 15 =

= (2𝑥3 + 5𝑥2) + (6𝑥 + 15)

Factorizamos cada grupo estrayendo el factor común:

= (2𝑥3 + 5𝑥2) + (6𝑥 + 15) =

= 𝑥2(2𝑥 + 5) + 3(2𝑥 + 5)

El factor (2𝑥 + 5) se repite en los dos términos, es un nuevo factor común.

= 𝑥2(2𝑥 + 5) + 3(2𝑥 + 5) =

= (2𝑥 + 5). (𝑥2 + 3)

FACTOR COMÚN POR GRUPOS

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Entonces 𝑆(𝑥) = 2𝑥3 + 5𝑥2 + 6𝑥 + 15 = (2𝑥 + 5). (𝑥2 + 3)

Mira el siguiente video con más ejemplos:

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ACTIVIDAD 2 OBLIGATORIA PARA ENTREGAR AL TUTOR

Factoriza los siguientes polinomios agrupando sus términos:

𝑎) 𝑃(𝑥) = 3𝑥3 + 3𝑥2 + 2𝑥 + 2 =

𝑏)𝑅(𝑥) = 4𝑥3 − 2𝑥2 + 6𝑥 − 3 =

𝑐) 𝑄(𝑥) = 𝑥6 + 2𝑥5 + 𝑥4 + 2𝑥3 + 2𝑥 + 4 =

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Consideremos el polinomio 𝑃(𝑥) = 2𝑥3 − 3𝑥2 − 8𝑥 − 3

Como es de tercer grado tiene tres raíces.

Se sabe que 𝑥1 = −1; 𝑥2 = 3 𝑦 𝑥3 = −1

2 son sus raíces.

Entonces el polinomio puede factorizarse del siguiente modo:

𝑃(𝑥) = 2𝑥3 − 3𝑥2 − 8𝑥 − 3 = = 2(𝑥 + 1)(𝑥 − 3) (𝑥 +1

2)

2 es el coeficiente principal y es el primer factor en la expresión factorizada y en

cada paréntesis aparecen las raíces cambiadas de signo. (Observa la

correspondencia de colores)

En general escribimos para un polinomio de grado 𝑛:

𝑃(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)(𝑥 − 𝑥3) … . (𝑥 − 𝑥𝑛)

Donde 𝑎 es el coeficiente principal de 𝑃(𝑥) y 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … 𝑥𝑛 son sus raíces

reales.

Las raíces de un polinomio se pueden obtener de manera sencilla mediante

Geogebra. El siguiente video te muestra cómo hacerlo:

FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO A PARTIR DE SUS RAÍCES

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Factoricemos juntos el siguiente polinomio.

𝑅(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 + 3𝑥 − 6

Es un polinomio de tercer grado, por lo tanto, tiene tres raíces.

Mediante Geogebra obtenemos sus raíces.

Y resulta que solo aparece una raíz (𝑥 = 2), en realidad tiene una sola raíz

real, las otras dos raíces son números complejos y no se pueden graficar.

Este polinomio se puede factorizar, para hacerlo dividimos el polinomio por

(𝑥 − 2)

𝑅(𝑥): (𝑥 − 2) = 𝐶(𝑥) (Esta división es exacta por ser 𝑥 = 2 raíz del polinomio)

Entonces podemos escribir:

𝑅(𝑥) = 𝐶(𝑥). (𝑥 − 2) , que es la forma factorizada de 𝑅(𝑥)

Resolvemos aplicando la regla de Ruffini:

𝑅(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 + 3𝑥 − 6

𝐶(𝑥) = 1𝑥2 + 0𝑥 + 3 = 𝑥2 + 3

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Si 𝑥3−2𝑥2+3𝑥−6

(𝑥−2)= 𝑥2 + 3

Entonces:

𝑥3 − 2𝑥2 + 3𝑥 − 6 = (𝑥2 + 3)(𝑥 − 2)

y esta es la expresión factorizada del polinomio.

Recordemos la regla de Ruffini para dividir polinomios en el siguiente video:

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ACTIVIDAD 3 OBLIGATORIA PARA ENTREGAR AL TUTOR

Expresa cada polinomio como producto, obteniendo previamente sus raíces con

Geogebra.

𝑎) 𝑃(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 − 6𝑥

𝑏) 𝑄(𝑥) = −2𝑥3 + 3𝑥2 + 4

𝑐) 𝑅(𝑥) = 𝑥3 − 1,5𝑥2 − 1,5𝑥 + 1

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1. Para construir una maqueta de cartón se necesitan cuatro piezas de

diferentes áreas, como se ve en la figura:

¿Cuál es la expresión factorizada que corresponde a la sumatoria de todas las

áreas?

2. Completa la línea punteada con los términos que faltan en cada caso

para que la factorización sea correcta:

𝑎) 𝑥2 + ⋯ 𝑥 + 10 = (𝑥 − 5)(𝑥 + ⋯ )

𝑏) …2 − ⋯ 𝑥 − ⋯ = (𝑥 + 4)(𝑥 − 6)

3. Factoriza cada polinomio por el método que creas más conveniente.

𝑎) 15𝑥3 − 6𝑥4 + 12𝑥

𝑏) 𝑥5 − 4𝑥3 − 𝑥2 + 32

𝑐) − 3𝑥4 − 6𝑥3 + 6𝑥 + 3

𝑑) 4𝑥2 − 12𝑥 + 9

𝑒) 𝑥2 − 25

𝐴 = 4𝑥 𝐴 = 12 𝐴 = 6𝑥2 𝐴 = 2𝑥3

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Altman, Silvia y otros. Iniciación al álgebra y al estudio de funciones

2. Tinta Fresca. Buenos Aires 2012.

Bocco, Mónica. Funciones elementales para construir modelos

matemáticos. Ministerio de educación. Buenos aires. 2010.

Kaczor, Pablo y otros. Matemática I. Santillana. Polimodal. Buenos

Aires. 2007

Laurito, Liliana y otros. Matemática Activa 9. Puerto de Palos.

Buenos Aires 2001.

Mérega, Herminia. Actividades de Matemática 9. Santillana. Buenos

Aires. 2007.

BIBLIOGRAFÍA