clase 4
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Supuestos de ANDEVAy contrastes
Diseño ExperimentalClase 4
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Modelo
= promedio global
i = promedio grupo
ij = error o residuos
ijijijy
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Supuestos
• Los residuos ij se distribuyen normalmente
• Los residuos ij tienen promedio 0 y varianza constante
• Los residuos ij son independientes y no presenten autocorrelación de ningún tipo
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Supuestos
• ¿Qué tan robustos son métodos y supuestos?– Normalidad y varianza: Robustos– Independencia: Muy sensible
• ¿Cómo detectar problemas?
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No conocemos ij
iijij
iijij
iijij
ijiij
yyr
yr
y
y
ˆˆ
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Revisión Supuestos
• Análisis gráfico– Independencia– Igualdad de varianza– Normalidad
• Estadístico– Normalidad
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Normalidad de ij
• Figuras cuantil-cuantil• Grafica
– Cuantiles observados eje-x– Cuantiles esperados según
~N(0,1)– Línea que pasa por Q3 y Q1
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Colas Livianas
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Colas Pesadas
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Colas Pesadas
-3 -2 -1 0 1 2 3
-4-2
02
4
Normal Q-Q Plot
Theoretical Quantiles
Sa
mp
le Q
ua
ntil
es
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Distribución Asimétrica
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Variable sin Considerar
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Varianza constante
• Se grafica los residuos vs. valores estimados– Residuos: rij
– Estimados: ŷij
iijy ˆˆˆ
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6 8 10 12 14 16
-50
51
0
Fitted values
Re
sid
ua
ls
lm(sr ~ pop15 + pop75 + dpi + ddpi)
Residuals vs Fitted
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iijy ˆˆˆ
Residuos
0
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Residuos estandarizados
• Residuos usualmente estandarizados– Divide entre s– Reduce dispersión
• Raíz cuadrada– Reduce sesgo
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Varianza Proporcional
iijy ˆˆˆ
Residuos
0
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iijy ˆˆˆ
Residuos
0
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Independencia
• Difícil de probar• Depende de Diseño
Experimental• Figuras especiales1. Residuos vs. nivel de factores2. Residuos vs. orden de corrida
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RESIDUOS
Orden
Sin Patrón
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RESIDUOS
Orden
autocorrelación positiva
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RESIDUOS
Orden
autocorrelación negativa
alternan + y -
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¿Cómo resolver problemas?• Problemas con modelo
– Cambiar modelo– Incluir
•Interacciones•Polinomios•Bloques
– Transformaciones
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¿Cómo resolver problemas?• Varianzas desiguales
– Transformaciones– Modelos independientes o no-
lineales– Rangos
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¿Cómo resolver problemas?• Falta de Normalidad
– Transformaciones– Análisis de Rangos– GLM
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Transformaciones
• ¿Cuáles son?– Matemáticas– Trigonométrica– Box-Cox
• ¿Cuál usar?– Prueba y Error– Box Cox es
mejor )arcsin(
)log(
1
1
xx
xx
xx
xx
xx
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Box-Cox
• Transformación de poder
• Máxima Verosimilitud
• Se relaciona a otras transformaciones
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Contrastes
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Contrastes
• Comparaciones ‘a priori’• Basadas en Objetivos e
Hipótesis del proyecto• Tienen más poder que ‘a
posteriori’– Basadas en SSt
– No violan supuestos– No pierde control alfa
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Contrastes
• Se compara el efecto de cada nivel o tratamiento i o sus promedios i
• Para contrastes se calculan promedios ponderados
• La matriz de contrastes es el peso (ci) que se da a cada efecto i o sus promedios i
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Nomenclatura
.
...
..
.
ˆ
ˆ
i
ii
i
ij
y
yy
y
y
y
![Page 34: Clase 4](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022060112/5571f21a49795947648c2931/html5/thumbnails/34.jpg)
Contrastes
i iiiiii
ai
iii
g
ii
g
iiii
yww
cccc
cc
ˆˆ
0 donde
211
![Page 35: Clase 4](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022060112/5571f21a49795947648c2931/html5/thumbnails/35.jpg)
Control F3 S3 F6 S6 F12 S12 TOTAL
12 24 9 30 16 18 10 17
30 32 9 7 10 24 4 7
10 29 16 21 18 12 4 16
18 26 4 9 18 19 5 17
Promedio 22.6 9.5 16.8 15.5 18.3 5.8 14.3 15.7
Desviacion i y1.-y.. 7.0 -6.2 1.1 -0.2 2.6 -9.9 -1.4
Papas (Cochran)
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Contrastes e Hipótesis• Supongamos que
se quiere comparar el grupo control con los demás tratamientos
• Comparar “primavera” con “otoño”
6: 6543
11
H
33: 3642
2
H
![Page 37: Clase 4](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022060112/5571f21a49795947648c2931/html5/thumbnails/37.jpg)
Hipótesis
• Contrastes comparan promedios en un modelo lineal:
033
:
06
:
36422
765431
H
H
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Comparación Lineal
• Un contraste es una combinación lineal de los promedios grupales para evaluar una comparación específica
76542
76543211
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
10
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
11
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Coeficientes
• Usualmente los contrastes se expresan como un vector de coeficientes:
3,3,3,3,3,3,0
3
1,
3
1,
3
1,
3
1,
3
1,
3
1,0
1,1,1,1,1,1,6
6
1,
6
1,
6
1,
6
1,
6
1,
6
1,1
2
1
c
c
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Número contrastes
• Hay número infinito de contrastes– Deben cumplir cii = 0
• Algunos no son interpretables– c=(14, -8, -2, -3, -1)
• Otros son redundantes…
![Page 41: Clase 4](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022060112/5571f21a49795947648c2931/html5/thumbnails/41.jpg)
Contrastes Redundantes
3
323
5432
51
002
4
0
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Ortogonalidad• En cada modelo se pueden establecer g-1 contrastes
no redundantes• Dos contrastes independientes se denominan ortogonales
• Geométricamente son perpendiculares
• Hay un número infinito de g-1 grupos de contrastes ortogonales
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![Page 44: Clase 4](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022060112/5571f21a49795947648c2931/html5/thumbnails/44.jpg)
Ortogonalidad
• Los contrastes son ortogonales si:– producto puntual de dos filas es 0
0i
ii
n
cc
![Page 45: Clase 4](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022060112/5571f21a49795947648c2931/html5/thumbnails/45.jpg)
![Page 46: Clase 4](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022060112/5571f21a49795947648c2931/html5/thumbnails/46.jpg)
Suma de Cuadrados• Un grupo de contrastes ortogonales parte SSE
• Cada SS tiene un (1) grado de libertad
• Se puede calcular F
1
gSSSSSSSSE
g
ii
i
nc
SS 2
2
![Page 47: Clase 4](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022060112/5571f21a49795947648c2931/html5/thumbnails/47.jpg)
Ejemplo
![Page 48: Clase 4](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022060112/5571f21a49795947648c2931/html5/thumbnails/48.jpg)
Contrastes polinómicos• Contrastes para ajustar polinomios• Requiere que niveles sean
numéricos• Es casi lo mismo que una regresión• Polinomio depende de número de
niveles– g=2 : lineal– g=3: lineal y cuadrático– g=4: lineal, cuadrático, cúbico– etc.
• Requiere contrastes especiales o R
![Page 49: Clase 4](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022060112/5571f21a49795947648c2931/html5/thumbnails/49.jpg)
Contrastes polinomiales
• Requieren mismo espacio entre niveles
• Requieren igual n
• Pueden usarse para otros casos, pero mejor usar regresion
![Page 50: Clase 4](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022060112/5571f21a49795947648c2931/html5/thumbnails/50.jpg)
k Polinomio 1 2 3 4 5
3 Lineal -1 0 1
Cuadrático 1 -2 1
4 Lineal -3 -1 1 3
Cuadrático 1 -1 -1 1
Cúbico -1 3 -3 1
5 Lineal -2 -1 0 1 2
Cuadrático 2 -1 -2 -1 2
Cúbico -1 2 0 -2 1
Cuártico 1 -4 6 -4 1