clase 3 distribuci n normal

MODELOS DE SIMULACIÓN ESTADÍSTICOSCLASE 3: DISTRIBCIÓN NORMAL

PROFESOR: OSCAR SAAVEDRA – ANDRÉS DURANGO

DISTRIBUCIÓN NORMAL

La Distribución normal es la más importante en toda la probabilidad y la estadística. Muchas poblaciones numéricas tienen distribuciones que se pueden ajustar con mucha precisión mediante una curva normal apropiada.

DefiniciónSe dice que una v.a X tiene una distribución normal con parámetros µ y σ2, donde - ∞ < µ < ∞ y σ>0. Si la f.d.p de X es:

La distribución normal con valores de parámetro µ = 0 y σ = 1 se llama distribución normal estándar. Una variable aleatoria que tiene una distribución normal estándar se llama variable aleatoria normal estándar y se denota mediante Z. La fdp de Z es:

La distribución normal estándar por lo regular no sirve como modelo de una población que surge de manera natural. En cambio, es una distribución de referencia a partir de la que se puede obtener información de las distribuciones normales. En la tabla adjunta se puede calcular P (Z ≤ z), el área bajo la gráfica de la fdp normal estándar a la izquierda de Z.

Ej.1: Calcule las siguientes normales estándar:

a) P( Z ≤ 1,25)b) P(Z > 2.2 )c) P(Z ≤ -1.02)d) P( - 0.38 < Z < 1.43)

Si la distribución de la población de una variable es (más o menos) normal, entonces:

1. Alrededor del 68% de los valores están dentro de una desviación estándar (1σ) de la media o promedio aritmético (x)

2. Alrededor del 95% de los valores están dentro de dos desviación estándar (2σ) de la media o promedio aritmético (x)



3. Alrededor del 99.7% de los valores están dentro de tres desviación estándar (3σ) de la media o promedio aritmético (x)

DISTRIBUCIONES NORMALES NO ESTÁNDARPara “x” una variable aleatoria normal con parámetros µ y σ, entonces:

P(a≤ x≤b)=∫a

b1

√2πσe

−( x−μ) ²2σ2 dx

Si X tiene una distribución normal con media µ y desviación estándar σ, entonces:

Z= X−μσ

Por lo tanto,

P (a ≤ x ≤ b) = P( (a−μ )σ

≤ z≤(b−μ )σ )=P( b−μσ )−P ( a−μσ )

La idea clave de la proposición es que al estandarizar, cualquier probabilidad en la que interviene X se puede expresar como una probabilidad que tiene que ver con una variable aleatoria normal estándar Z y, por lo tanto, se puede usar la tabla de probabilidades acumuladas para una distribución normal.

Ejemplo 2.Se regula una máquina despachadora de refresco para que sirva un promedio de 200 mililitros por vaso. Si la cantidad de bebida se distribuye normalmente con una desviación estándar igual a 15 mililitros:

a) ¿Qué fracción de los vasos contendrán más de 224 mililitros?b) ¿Cuál es la probabilidad de que un vaso contenga entre 191 y 209 mililitros?c) ¿Cuántos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos de 230 mililitros para las siguientes 1000 bebidas?d) ¿Por debajo de que valor obtendremos 25% de las bebidas más pequeñas?

Ejemplo 3.La vida promedio de cierto tipo de motor pequeño es 10 años con una desviación estándar de dos años. El fabricante reemplaza gratis todos los motores que fallen dentro del tiempo de garantía. Si está dispuesto a reemplazar solo 3% de los motores que fallan, ¿de qué duración debe ser la garantía que ofrezca? Suponga que la duración del motor sigue una distribución normal.

Ejemplo 4.Las alturas de 1000 estudiantes se distribuyen normalmente con una media de 174.5 centímetros y una desviación estándar de 6.9 centímetros. Suponga que las alturas se registran al medio centímetro más cercano, ¿Cuántos de estos estudiantes esperaría que tuvieran alturas

a) Menores que 160.0 centímetros?



b) Entre 171.5 y 182.0 centímetros inclusive?d) Mayor que o igual a 188.0 centímetros?

APROXIMACIÓN NORMAL A LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Sea X una variable aleatoria binomial basada en “n” ensayos con probabilidad p de éxito. Entonces, X tiene casi una distribución normal con µ = np y σ = √npq, siempre y cuando np = ≥ 10 y nq ≥ 10.

Ej. 5: Suponga que 25% de los conductores con licencia de un estado particular no tienen seguro. Sea X el número de conductores sin seguro en una muestra aleatoria de tamaño 50 (un éxito es conducir sin seguro). ¿Cuál es la probabilidad de encontrar entre 5 y 15 conductores sin seguro?

P = 0,25

n = 50

p( 5 ≤ x ≤ 15 ) = ???

µ = np = 0,25 * 50 = 12,5; Por lo tanto cumple la condición para aproximar la distribución binomial a una normal.

σ = √n*p*q = √(50*0,25+0,75) = 3,1

Estandarizamos los valores de la variable:

Z=5−12,53,1

=−2,42 z=15−12,53,1

=0,81

P (-2,42 ≤ x ≤ 0,81) = P (x ≤ 0,81) - P (x ≤ - 2,42)

P (-2,42 ≤ x ≤ 0,81) = 0,7910 – 0,0078

P (-2,42 ≤ x ≤ 0,81) = 0,7832

La probabilidad de tener entre 5 y 15 conductores sin seguro es del 78,32%

Ej. 6: La probabilidad de que un paciente se recupere de una delicada operación de corazón es 0.9. De los siguientes 100 pacientes que tienen esta operación, ¿Cuál es la probabilidad de que,a) Sobrevivan entre 84 y 95 inclusive?b) Sobrevivan menos de 86?

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

1. Cierto tipo de batería de almacenamiento dura, en promedio, 3.0años, con una desviación estándar de 0.5 años. Suponga que las duraciones de la batería se distribuyen



normalmente, encuentre la probabilidad de que una batería dada dure menos de 2.4 años.

2. Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración, antes de fundirse, que se distribuyen normalmente con media igual a 800 horas y una desviación estándar de 40 horas. Encuentre la probabilidad de que un foco se funda entre 775 y 840 horas.

3. En un proceso industrial el diámetro de un cojinete es una parte de componente importante. El comprador establece que las especificaciones en el diámetro sean 3.0 ± 0.01 cm. La implicación es que ninguna parte que caiga fuera de estas especificaciones se aceptará. Se sabe que en el proceso el diámetro de un cojinete tiene una distribución normal con media 3.0 y una desviación estándar σ = 0.005. En promedio, ¿cuántos cojinetes se descartarán?

4. Suponga que el costo medio por hora de operar un avión comercial sigue la distribución normal con una media de $2100 por hora y una desviación estándar de $250. ¿Cuál es el costo de operación más bajo para el 3% de los aviones?

5. El salario inicial medio para graduados de una universidad en cierto año era de 36280 dólares. Suponga que la distribución de los salarios iniciales sigue la distribución normal con una desviación estándar de 3300 dólares. ¿Qué porcentaje de los graduados tienen salario inicial de:a) Entre $35000 y $40000?b) De más de $45000?c) Entre $40000 y $45000?

6. La resistencia a la compresión de una serie de muestras de cemento puede modelarse por medio una distribución normal con una resistencia media de 6000 Kg. y una desviación estándar de 100 Kg. por centímetro cuadrado ¿Cual es la probabilidad de que la resistencia de una muestra sea inferior a 6200 Kg. por centímetro cuadrado?

7. Se puede ajustar una máquina de refrescos de tal manera que llene los vasos con un promedio de μ onza por vaso. Si la cantidad de onzas por vaso “x” se asume n (μ, (0.3) 2). Halle el valor μ de tal manera que los vasos de 8 onzas se derramen con una probabilidad de 0.01

8. Los alambres que se utilizan en una cierta computadora deben tener una resistencia entre 0.12 y 0.14 ohms. Las resistencias reales de los alambres producidos por una compañía “A” tienen distribución normal con media de 0.13 ohms y desviación estándar de 0.005 ohms.a. ¿Cuál es la probabilidad de que un alambre seleccionado al azar de la producción de la compañía A satisfaga las especificaciones?

b. Si se utilizan cuatro de estos alambres de la compañía A en el sistema ¿cuál es la probabilidad de que los cuatro satisfagan las especificaciones? Asuma independiente en las fallas de los alambres.

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