120-1

Clase # 20

Programacin dinmica determinstica

20-2

En la programacin dinmica determinstica, el estado en la siguiente etapa est completamente determinado por el estado y la poltica de decisin de la etapa actual.

Sn Sn+1

Etapan

Etapan+1

Contribucinde Xnfn (Sn, Xn) f

*n+1 (Sn+1)

20-3

EJEMPLO - Distribucin de brigadas mdicas.

El WORLD HEALTH COUNCIL, se dedica a mejorar la atencin mdica en los pases subdesarrollados del mundo.

Dispone de 5 brigadas mdicas para asignarlas a tres de estos pases.

El consejo necesita determinar cuntas brigadas debe asignar a cada pas (si lo hace) para maximizar la medida de la eficiencia de las brigadas, la cual ser el incremento en el promedio de vida esperado en aos, multiplicado por la poblacin de cada pas. 20-4

Brigadas mdicas

Miles de aos - persona de vida adicionales

Pas

2 31

0 00

20 5045

45 7070

75 8090

110 100105

150 130120

0

1

2

3

4

5

Veamos la formulacin

20-5

Formulacin.

Etapas: Pases a los cuales se les debe asignar las brigadas. ( n=1- Pas1 ); ( n=2 Pas 2 ); ( n=3 -Pas 3).

Variable de decisin: Xn : Nmero de brigadas asignadas al pas n.

Estado: Qu es lo que cambia de una etapa a otra?

Sn : Nmero de brigadas mdicas disponibles para asignarse a los pases restantes

S1 = 5S2 = S1 - X1S3 = S2 - X2

20-6

0

5

Diagrama 0

1

2

3

4

5

0

1

2

3

4

5

220-7

Sea Pi (Xi) la medida del desempeo por asignar Xi brigadas mdicas al pas i, entonces

Max Z = SS Pi (Xi ) i=13

s.a SS Xi = 53

i=1

Xi 0 para Xi enteros

Se usar el algoritmo hacia atrs.20-8

Ecuacin de recursividad.

fn(Sn, Xn) = cs , xn + fn+1 * (Xn) Genrica

fn(Sn, Xn) = Pn (Xn) + fn+1 * (Sn - Xn)

Como el estado final (cero brigadas para asignar) se alcanza al terminar la etapa 3, entonces f4

* = 0

Etapa n=3 Pas 3

sigue

20-9

Debemos asignar todas las brigadas que estn disponibles en este momento.

S3f3 (S3) = P3 (X3) + f4

*f3

*(S3)

0

50

X3*

7080100

130

0

507080100

130

0

1234

5

0

1234

5

20-10

Para ilustrar como proceder, supongamos que nos quedan 2 brigadas disponibles en este momento:

2

0

1

2

4520

0

+ f3*(0,X2) = P2 (2) + f3

*(0) = 45

+ f3*(1,X2) = P2 (1) + f3

*(1) = 70

+ f3*(2,X2) = P2 (0) + f3

*(2) = 70sigue

Etapa n=2 Pas 2

20-11

En general para la etapa 2 se tiene:

S2f2(S2 ,X2) = P2 (X2) + f3

* (S2 -X2) f2*(S2) X2

*0

0

507095125

160

0

00 1

23

4

0

1234

5

0

507080100

130

207090100

120

4595115

125

75125

145

110

160 150

1 2 3 4 5X2

20-12

En este caso, el nico estado que debe considerarse es el inicial, S1 = 5

+ f2*(0,X1) = P1 (5) + f2

*(0) = 120

+ f2*(4,X1) = P1 (1) + f2

*(4) = 170

+ f2*(5,X1) = P1 (0) + f2

*(5) = 160sigue

5

0

4

5

120

45

0

Etapa n=1 Pas 1

320-13

Veamos la tabla:

As la asignacin ptima ser:

X1* = 1 S1 - X1 = 4 = S2

X2* = 3 S2 - X2 = 1 = S3

X3* = 1 Z = 170000 aos

S1f1(S1 ,X1) = P1 (X1) + f2

* (S1 -X1) f1*(S1) X1

*0

170 15 1601 2 3 4 5

170 165 160 155 120

X1

20-14

Un proyecto espacial necesita investigar un problema de ingeniera para mandar seres humanos a Marte. Existen 3 equipos que analizan el problema desde 3 puntos de vista diferentes.

En las circunstancias actuales, la probabilidad de que los equipos 1,2,3, fracasen es 0.4, 0.6 y 0.8 respectivamente.

La probabilidad de que los tres equipos fracasen es 0.192. Se debe minimizar la probabilidad de fracaso, por los cual se decide adicionar 2 cientficos de alto nivel.

EJEMPLO - Distribucin de cientficos.

20-15

Como adicionar los cientficos de tal forma que se minimice la probabilidad de fracaso?

Nmero cientficos

Probabilidad de FracasoEquipo

2 31

0.6 0.80.4

0.4 0.50.2

0.2 0.30.15

0

1

2

20-16

Formulacin.

Etapas: Equipos a los cuales se debe adicionar los cientficos. ( n=1,2,3 ).

Variable de decisin: Xn : Nmero de investigadores asignados al equipo n.

Estado: Que es lo que cambia de una etapa a otra? Sn : Nmero de cientficos an disponibles para asignarse a los equipos restantes.

S1 = 2S2 = 2 - X1S3 = S2 - X2

20-17

Sea Pi (Xi) la probabilidad de fracaso al asignar Xi cientficos al equipo i, entonces

Min Z = PP Pi (Xi ) i=13

s.aSS Xi = 2

3

i=1

Xi 0 para Xi enteros

Se usar el algoritmo hacia atrs.20-18

Ecuacin de recursividad.

fn(Sn, Xn) = Pn (Xn) * fn+1 * (Sn - Xn)

Como el estado final (cero cientficos para asignar) se alcanza al terminar la etapa 3, entonces f4

* = 1

sigue

fn(Sn, Xn) = Pn (Xn) *min PP Pi (Xi ) Genricai=n+13

Etapa n=3 Equipo 3

420-19

f3 (S3,X3) = P3 (X3) * f4*

S3f3

*(S3) = P3 (X3) * f4*

f3*(S3)

0.8

0.5

X3*

0.3

0

12

0

12

0.8

0.50.3

Debemos asignar todas los cientficos que estn disponibles en este momento.

20-20

S2f2(S2 ,X2) = P2 (X2) * f3

* (S2 -X2) f2*(S2)

X2 X2*

00

02

0

12

0.48

0.300.18

1 2

0.320.20 0.16

0.48

0.300.16

Etapa n=2 Equipo 2

Etapa n=1 Equipo 1

S1f1(S1 ,X1) = P1 (X1) * f2

* (S1 -X1) f1*(S1)

X1 X1*

00.060 12 0.064

1 20.060 0.072

20-21

As la asignacin ptima ser:

X1* = 1 S1 - X1 = 1 = S2

X2* = 0 S2 - X2 = 1 = S3

X3* = 1 Z = 0.06