Capital Asset Pricing Model (CAPM)Como podemos manejar el riesgo bajo algunos suposiciones sobre el tipo del riesgo*

CAPM: Una introduccin Para qu sirve?Para calcular VPN, necesitamos usar una tasa de descuentoPero, en general, el flujo del efectivo tiene incertidumbreCmo podemos tomar cuenta de ese riesgo?Cmo podemos cuantificarlo?*

Modelo de Markowitz Supongamos que tenemos una variable aleatoriaSuficiente ver los parmetros de la variableSi tenemos mas, debe de tomar cuenta de la relacin entre variables: covarianza y correlacin entre variables (con n variables, cuantas hay?)Pero, cero correlacin no significa independencia*

Diversificacin Supongamos que hay dos acciones en mi portafolio (X y Y sus rendimientos y P es el rendimiento del portafolio)P = aX + (1-a)Y donde a es la ponderacin de X en el portafolioCalculamos E(P) y Var(P)E(P) = aE(X) + (1-a)E(Y)Var(P) = a2Var(X) + (1-a)2Var(Y) + 2a(1-a)Cov(X, Y)*

Ejemplo Supongamos Var(X) = Var(Y)Entonces, Var(P) = Var(X)[a2 + (1-a)2 + 2a(1-a)r] donde r es la correlacin entre X y Y (r=cov(X, Y)/sd(X)sd(Y))Podemos concluir que Var(P)Var(X)Entonces, la curva se ve como una parbolaEso depende del nivel de la correlacin*

*Riesgo s(.) Rendimiento E(.)a=1a=0Varianza mnima

Frontera eficiente Min Var (P), nos da a = (s2Y - rsXsY)/(s2Y + s2X - 2rsXsY)(tambin, tenemos que verificar que la condicin de primer orden nos da una cosa mnima)En caso particular donde sX = sY, tenemos a = 0.5*

*Riesgo s(.) Rendimiento E(.)a=1a=0

*Riesgo s(.) Rendimiento E(.)a=1a=0r = -1r = 0r = +1

Fondos mltiples Podemos construir las mismas curvas para cada par de fondos (acciones)Podemos construir con cada tres.Finalmente, vamos a obtener una frontera que representa todas las combinaciones posiblesEsa frontera, se llama la frontera eficienteTambin, podemos construir el portafolio del riesgo mnimo*

*Riesgo (varianza)rendimientoPortafolio delriesgo minimofronteraefficiente

Conclusin de Markowitz Cmo voy a escoger una combinacin de varios acciones?Eso depende de la preferencia (las curvas de indiferencia) de las personasPodemos representar las preferencias de varios personas as.*

*riesgorendimientoCurvas deindiferencia

*riesgorendimientoCurvas deindiferenciaoptimo

*riesgorendimientoCurvas deindiferenciaOptimorojoOptimoazul

Problema Supongamos hay 5,000 accionesCuntas covarianzas tenemos que calcular?Supongamos que tenemos informacin nueva cada horatenemos que calcular esas cosas una y otra vezhay una salida?*

Mtodo de Sharpe y LintnerHay un fondo sin riesgo (qu ser?)Voy a suponer que su rendimiento es rfEntonces s(rf) = ?Cmo cambiara la frontera?Otros suposiciones : cada persona puede tener cualquier combinacin (incluyendo fondos cortos)Cada persona tiene el mismo horizonte *

*Riesgo (varianza)rendimientofronteraefficienterf

*Riesgo (varianza)rendimientofronteraefficienterf

Implicacin Tenemos que considerar dos fondos: fondo sin riesgo y tangente con frontera eficiente (el portafolio del mercado)Todos los portafolios son combinaciones de esos dos fondos(el portafolio del mercado es una combinacin de todos los fondos)(si consideramos mercados de bonos y acciones, todos estn all)*

*riesgorendimientoPortafolio del mercadorfAltaaversional riesgo(verde)Bajaaversional riesgo(azul)Fondo 1Fondo 2

La lnea del mercado capital (Capital Market Line) El pendiente de la lnea roja es[E(rm) - rf]/s(rm)Entonces, la ecuacin de CML esE(rP) = rf + ([E(rm) - rf]/s(rm))s(rP)*

Derivacin del CAPM En equilibrio, el mercado tiene todos los fondos hasta que no hay demanda excesoVamos a poner wi = (valor de fondo i en el mercado)/(valor del mercado)Consideramos un portafolio donde voy a invertir a% en i y (1-a)% en el mercadorP = a(ri) + (1-a)(rM)Calculamos E(rP) y s(rP)*

derivacin*Tomando la derivada con respeto a la proporcin a

derivacin *

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Forma final Eso, nos daE(ri) = rf + (sim/sm2)[E(rm) - rf](sim/sm2) tiene un nombrese llama la beta bi= sim/sm2 de accin iSupongamos que i es el mercadoEntonces, bm = ?Beta es una medida de covariabilidad con el mercado beta>1 beta

Leccin uno de CAPMSecurity Market Line (SML)E(ri) = rf + bi[E(rm) - rf]Eso nos da una relacin lineal entre E(ri) y bi Entonces, tenemos la recta SMLSupongamos ri es arriba de la rectarendimiento actual es ms que est esperadogente va a comprar, precio y rendimiento*

*E(ri)biSMLriri

Interpretacin de la frmula Beta es una medida de co-variabilidad con el mercadoEl mercado demanda rf como una compensacin de un activo sin riesgoEntonces, el mercado demanda una cantidad extra bi[E(rm) - rf] para compensar el riesgo que toma una inversionista en una accin con riesgoCAPM cuantifica el riesgo de la accin*

Beta es aditiva Hay dos activosSupongamos que sabemos las betas de cada unoCmo podemos calcular la beta de un portafolio con ambos activos?Esto es la suma ponderadaEjemplo: beta1=0.5 valor $1000, beta2=1.5 valor $2000. Entonces, beta del portafolio:*

Una aplicacin Compaa A est considerando comprar otra compaa BB va a producir cash flow (flujo de efectivo) de $200 cada aoB tiene beta de 1.2el portafolio del mercado tiene rendimiento 15% y de T-bills tiene 6%Cul es el mximo que A va a pagar para comprar B?*

Solucin Tenemos que valuar la compaa BSabemos que el flujo es 200 cada aoNecesitamos la tasa de descuentoUtilizamos la frmula de CAPMrB=0.06+1.2(0.15-0.06)=0.168VPNB = 200/.168= 1190.48Si VPNA=2000, bA=1, qu es la beta de la compaa fusionada?*

Beta en la vida real Hay pases donde algunas acciones no se venden todos los dascomercio ligero (thin trading)La beta tal cual no se estima la beta propiaTenemos que ajustar la betaErrores en la medidaSi la beta verdadera es 1, la medida puede decir 0.8*

Beta de Scholes-Williams Primero corremos una regresin de rendimiento de tiempo t con el rendimiento de tiempo t-1 (beta(-1))Luego corremos una regresin de rendimiento de tiempo t con el rendimiento de tiempo t+1 (beta(+1))Beta (SW)=(beta(-1)+beta(0)+beta(+1))/k donde k=1+2 correlacin en serie*