Probabilidad y Estadstica 10 de Octubre del 2014

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Variables aleatorias

Distribuciones discretas de probabilidad

Ejemplo

1. Un embarque de 20 computadoras porttiles similares para una tienda

minorista contiene tres que estn defectuosas. Si una escuela compra al

azar 2 de estas computadoras, calcule la distribucin de probabilidad

para el nmero de computadoras defectuosas.

Definicin 1. Distribucin de probabilidad acumulada

Ejemplo:

2. Ver ejemplo de emparejamiento de cascos.

Distribuciones de probabilidad de una variable aleatoria continua

Definicin 2.

Definicin 3.

Ejemplo:

3. Suponga que ( ) {

. Encuentre la funcin de densidad

de probabilidad de y grafquela.

Definicin 4.

Ejemplo:

4. Suponga que el error en la temperatura de reaccin, en C, en un

experimento de laboratorio controlado, es una variable aleatoria

continua que tiene la funcin de densidad de probabilidad

( ) {

a) Verifique que ( ) es una funcin de densidad

b) Calcule ( )

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Definicin 5.

Definicin 6.

Ejemplo:

5. Calcule ( ) para la funcin de densidad del ejemplo 4 y utilice el

resultado para calcular ( )

Ejemplo:

6. Si es una variable aleatoria continua con funcin de densidad de

probabilidad dada por

( ) {

Encuentre ( ) y grafique ( ) y ( )

Ejemplo:

7. Dada ( ) y ( ) en otro caso, encuentre el valor de

para el cual ( ) es una funcin de densidad vlida. Calcule (

) y ( ).

Ejercicios:

1.- Determine el valor de de modo que cada uno de las siguientes funciones

sirva como distribucin de probabilidad de una variable aleatoria discreta

a. ( ) ( ), para

b. ( ) ( ) (

), para

2.- El departamento de energa asigna proyectos mediante licitacin y, por lo

general, estima lo que debera ser una licitacin razonable. Sea b el estimado.

El departamento de energa determin que la funcin de densidad de la

licitacin ganadora (baja) es

( ) {

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Calcule ( ) y utilice el resultado para determinar la probabilidad de que la

licitacin ganadora sea menor que la estimacin preliminar de b del

departamento de energa.

3.- Suponga que Y tiene la funcin de densidad

( ) {

a. Calcule el valor de c que convierte a f(y) en una funcin de

densidad de probabilidad

b. Encuentre F(y)

c. Trace la grfica de f(y) y F(y)

d. Utilice F(y) para determinar P(1Y2)

4.- Un hotel hace una compra al azar de tres televisores, a una tienda que tiene

7 de estos aparatos de los cuales 2 estn defectuosos.

a. Encuentre la distribucin de probabilidad para el numero de

televisores defectuosos comprados por el hotel

b. Encuentre la distribucin acumulada para Y

c. Usando P(Y) encuentre P(Y=1) y P(0Y2)

5.- La duracin de un transistor hasta que falla (en cientos de horas) es una

variable aleatoria Y con una funcin de distribucin dada por:

( ) {

a. Encuentre f(y)

b. Calcule la probabilidad de que el transmisor funcione por lo menos 200

horas.

2) Una gasolinera funciona con dos bombas, cada una de las cuales

bombea 10 000 galones de gasolina al mes. El total de gasolina que

se despacha en un mes es una variable aleatoria Y (medida cada 10

000 galones) con una funcin de densidad de probabilidad dada

por

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( ) {

a. Trace la grfica de f(y)

b. Encuentre F(y) y grafquela

c. Calcule la probabilidad de que en cierto mes se despachen entre 8000 y

12000 galones.

6.- Un abastecedor de queroseno tiene un tanque de 150 galones que llena a

principios de cada semana. La demanda semanal muestra un comportamiento de

frecuencia relativa que aumenta gradualmente hasta 100 galones y luego se

estabiliza en un nivel de entre 100 y 150 galones. Si denota la demanda

semanal en cientos de galones, la frecuencia relativa de demanda se puede

representar mediante el modelo

( ) {

a. Trace la grfica de ( )

b. Encuentre ( ) y grafquela

c. Calcule la probabilidad de que en cierto mes se despachen

entre 8000 y 12000 galones.

d. Si en un mes particular la gasolinera bombea ms de 10000

galones, calcule la probabilidad de que sta despache ms

de 15000 galones durante un mes.