Clase 18: Conservación de la energía mecánica

29 de mayo de 2020

Comentamos en la clase 17 que la función escalar Uc(x), de�nida como energía potencial asociada a unafuerza conservativa, es una forma de energía. Este concepto toma forma cuando de�nimos la energía mecánica

y analizamos cómo varía (o como se mantiene constante) según las demás fuerzas aplicadas. Ese es el objetivode esta clase.

Energía mecánica

De�nición: cuando una partícula se mueve en una región del espacio donde actúan uno o más campos defuerzas conservativas ~Fc(~r), se de�ne su energía mecánica como la suma de su energía cinética y sus distintasformas de energía potencial,

Emec = Ecin +∑c

Uc(~r)

Cada función Uc(~r) está asociada a una fuerza conservativa ~Fc(~r) distinta, por ejemplo la gravitatoria y laelástica; cada una se de�ne respecto de una posición de referencia (pueden ser puntos distintos para cada una).La energía cinética, como sabemos, está dada por Ecin = 1

2mv². Suponemos en general que la posición y lavelocidad de la partícula están medidas desde un sistema inercial.

Ejemplo 1: consideremos un bloque de masa m suspendido del techo mediante un resorte vertical deconstante k. Midamos la altura del bloque con un eje vertical apuntando hacia arriba, con su origen en laposición de longitud natural del resorte. Cuando el bloque está a una altura h y con una velocidad v en el ejevertical, su energía mecánica está dada por la expresión

Emec =1

2mv² +

1

2kh2 +mgh

El primer término es la energía cinética, el segundo la energía potencial elástica y el tercero la energía potencialgravitatoria, según expresiones que ya hemos visto.

Teorema del Trabajo y la Energía Mecánica

Consideremos una partícula de masa m, descripta en un sistema inercial, sobre la cual actúan varias fuerzas.Supongamos que algunas de estas fuerzas son conservativas, las anotaremos como ~Fc(~r). A las demás fuerzas

las llamaremos "no conservativas", solo para distinguirlas de las primeras; las anotaremos ~F(nc)j . Según el

1

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Teorema de Trabajo y Energía Cinética visto en la clase 16, cuando la partícula sigue una trayectoria C entreun punto A y un punto B, se veri�ca que la suma de los trabajos de todas las fuerzas es igual a la variación dela energía cinética de la partícula. Lo escribimos separando los trabajos de las fuerzas no conservativas y los delas fuerzas conservativas: ∑

j

W~F(nc)j

,C +∑c

W~Fc,A→B = ∆Ecin

donde ∆Ecin = 12mvB² − 1

2mvA² . El trabajo W~Fc,A→B de cada fuerza conservativa se puede escribir comomenos la variación de la correspondiente energía potencial,

Wc,A→B = −∆Uc

donde ∆Uc = Uc(B)− Uc(A). Tenemos que∑j

W~F(nc)j

,C −∑c

∆Uc = ∆Ecin

o bien ∑j

W~F(nc)j

,C = ∆Ecin +∑c

∆Uc =

(Ecin(B) +

∑c

Uc(B)

)−

(Ecin(A) +

∑c

Uc(A)

)Enunciamos este resultado como el Teorema de Trabajo y Energía Mecánica:

Cuando una partícula, vista desde un sistema inercial, recorre una trayectoria C en presencia de distintasfuerzas (conservativas y no conservativas), la variación de su energía mecánica es igual al trabajo de lasfuerzas no conservativas: ∑

j

W~F(nc)j

,C = ∆Emec

Aquí el índice j recorre todas las fuerzas no conservativas, en tanto que Emec = Ecin +∑c Uc(~r) incluye la

energía cinética y las energías potenciales de todas las fuerzas conservativas.

Ejemplo 2: un bloque de masa m se lanza en subida con velocidad de módulo v a lo largo de un planoinclinado rugoso; el plano forma un ángulo θ respecto de la horizontal y el coe�ciente de roce entre el plano yel bloque es µc. Calculemos la distancia que recorre el bloque antes de detenerse.

Las fuerzas que actúan sobre el bloque son el peso, la normal y la fuerza de roce cinética, opuesta almovimiento. El peso es una fuerza conservativa que tiene asociada una energía potencial Ug(h) = mgh (elegimosmedir la altura desde la base del plano inclinado). La normal es una fuerza perpendicular al desplazamiento,luego no realiza trabajo; por un planteo de dinámica sabemos que el módulo de la normal es N = mg cos(θ). Lafuerza de roce es no conservativa y tiene módulo FR = µcN . Si llamamos d a la distancia que recorre el bloque,el trabajo de la fuerza de roce es

WFR= −FRd = −µcmg cos(θ)d

El Teorema de Trabajo y Energía Mecánica, aplicado entre el punto inicial A y un punto �nal B donde elbloque se detiene, nos dice que

WFR=

(1

2mvB² +mghB

)−(

1

2mv2A +mghA

)

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Usando que hA = 0 y vB = 0, resulta

−µcmgd cos(θ) = mghB −1

2mvA²

Dado que hB/d = sin(θ), se puede despejar

d =v2A

2g (sin(θ) + µc cos(θ))

Como comentamos en otros ejemplos, podrían resolver este problema calculando la aceleración del bloque(por dinámica), luego el tiempo que tarda en detenerse (por cinemática) y �nalmente la distancia recorrida. Latécnica de trabajo y energía es un método mucho más económico, aunque no permite obtener tanta información(en particular, no brinda ninguna información acerca del tiempo transcurrido).

Vale la pena comentar que en este ejemplo la energía mecánica de la partícula disminuye al cabo de la subida:

∆Emec = WFR< 0

Por esto se dice que la fuerza de roce cinética es disipativa, en tanto que realice un trabajo negativo sobre lapartícula "disipa" energía mecánica. Un cuadro más completo de la situación nos haría entender que la energíamecánica "perdida" no se destruye, sino que se transforma en alguna otra forma de energía no mecánica; conlas herramientas de Física I no estamos en condiciones de completar esta discusión.

Principio de Conservación de la Energía Mecánica

Mirando el enunciado del Teorema de Trabajo y Energía Mecánica, recuadrado en la sección anterior, seobtiene un corolario directo: si el lado izquierdo fuera cero, la energía mecánica no cambiaría. Este es el Principiode Conservación de la Energía Mecánica.

Si una partícula, vista desde un sistema inercial, recorre una trayectoria desde un punto A hasta un puntoB de forma tal que solamente fuerzas conservativas le realizan trabajo, entonces la variación de su energíamecánica es nula:

∆Emec = 0

o bienEmec(B) = Emec(A)

Aquí Emec = Ecin +∑c Uc(~r) incluye la energía cinética y las energías potenciales de todas las fuerzas

conservativas.

En esta situación decimos que la energía mecánica se conserva; mantiene su valor, no aumenta ni disminuye.Debe quedar claro que este enunciado tiene hipótesis: si no hay trabajo de fuerzas no conservativas, entonces laenergía mecánica se conserva. Caso contrario, la energía mecánica no se conserva, como en el ejemplo del planoinclinado con roce.

Ejemplo 3: una aplicación típica es el deslizamiento de un objeto sobre una pista lisa (sin roce). Conside-remos la pista de la �gura, donde un bloque de masa m se libera con velocidad nula a una altura h por encimadel piso. Al �nal de la pista, a la altura del piso, hay un resorte horizontal de constante k que se comprime porinteracción con el objeto.

Las fuerzas que actúan sobre el bloque son: el peso en todo momento, que es una fuerza conservativa; lanormal en todo momento, que no realiza trabajo; y la fuerza elástica mientras hay contacto entre el objeto y el

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resorte, que es una fuerza conservativa. Por lo tanto, solamente fuerzas conservativas realizan trabajo no nuloy podemos aplicar el Principio de Conservación de la Energía Mecánica.

En el punto A (inicial) la altura es hA, la velocidad es cero y el resorte no está comprimido. La energíamecánica vale

Emec(A) = mghA

En el punto B (en que el bloque entra en contacto con el resorte) la altura es cero, la velocidad es vB y elresorte no está comprimido. La energía mecánica vale

Emec(B) =1

2mv2B

En el punto C (en que el bloque se detiene) la altura es cero, la velocidad es cero y el resorte está comprimidouna distancia dc. La energía mecánica vale

Emec(C) =1

2kd2c

Como la energía mecánica se conserva en todo el recorrido, podemos a�rmar que Emec(A) = Emec(B) =Emec(C), es decir

mgh =1

2mv2B =

1

2kd2c

Conociendo la altura inicial podemos predecir la velocidad vB con que el bloque llega al ersorte, y la distancia dcque se comprime el resorte hasta detener al bloque. También podríamos predecir que después de la situación Cel resorte devuelve toda la energía cinética al objeto, y que este será capaz de subir por la pista hasta recuperarsu altura inicial.

En el análisis del deslizamiento sin roce sobre pistas curvas, como en el primer tramo del ejemplo anterior,es importante recordar que cuando la velocidad va cambiando de dirección la partícula tiene aceleración normal(perpendicular a la pista). Como sabemos, esa aceleración debe ser provista por las componentes normales delas fuerzas que actúan sobre la partícula; en consecuencia, la relación entre la normal y el peso no es tan sencillacomo en los planos inclinados.

Ejemplo 4: discutamos una situación similar al problema 14 de la práctica 7: un bloque de masa m deslizaapoyado sobre una pista circular lisa de radio R, partiendo desde el reposo en el punto más alto de la pista (elplano de la pista es vertical, y el bloque está apoyado del lado de afuera). En algún punto el bloque se va aseparar de la pista y seguir una trayectoria parabólica en el aire (tiro oblicuo). Queremos determinar el puntode separación.

Sobre el bloque actúan solo la fuerza normal (mientras hay contacto con la pista), que no realiza trabajo, yel peso, que es una fuerza conservativa. Por lo tanto, se conserva la energía mecánica. Usemos una coordenadaangular θ para medir el ángulo recorrido por la partícula, desde la posición vertical, y ubiquemos el cero de laenergía potencial gravitatoria a la altura del centro de la pista. Vamos a igualar la energía mecánica en el puntoA (el punto más alto de la pista),

Emec(A) = mgR

con la energía mecánica en un punto de ángulo θ,

Emec(θ) =1

2mv2θ +mgh(θ)

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donde, mientras el bloque se mantenga apoyado, h(θ) = R cos(θ). Tenemos que

mgR =1

2mv2θ +mgR cos(θ)

Esta igualdad nos permite expresar la velocidad en función del ángulo recorrido; en particular despejamosv2θ = 2gR(1− cos(θ)).

Mientras el bloque se mantiene apoyado su movimiento es circular; su aceleración centrípeta está dada porv2θ/R. La Segunda Ley de Newton nos permite plantear, en la dirección centrípeta, que

mg cos(θ)−N = mv2θR

Podemos despejar cuánto vale la fuerza normal en función del ángulo recorrido,

N = mg cos(θ)−mv2θR

= mg cos(θ)−m2g(1− cos(θ)) = (3 cos(θ)− 2)mg

Mientras hay contacto, hay fuerza normal no nula. En el momento en que N = 0 deja de haber contacto, lapartícula se despega y continúa su movimiento bajo la fuerza de su propio peso. Eso sucede cuando

cos(θ) = 2/3

(aproximadamente θ = 48o).

Análisis de la conservación de la energía mecánica en una dimensión

Cuando una partícula de masa m se mueve en linea recta, digamos a lo largo de un eje x, bajo la acciónde una fuerza neta F (x), siempre podemos decir que la fuerza es conservativa y asociarle una energía potencialU(x) = −

´ xx0F (x′)dx′. La energía mecánica

Emec =1

2mv(x)2 + U(x)

se conserva constante. Es por eso que escribimos v(x): el módulo de la velocidad se puede despejar como

v(x) =

√2

m(Emec − U(x))

y resulta una función de la posición. Es interesante analizar grá�camente cómo la energía cinética y la energíapotencial van cambiando pero su suma se mantiene constante.

{}

La energía potencial (barra azul) y la energía cinética (barra roja) siempre suman la energía mecánica (líneanegra horizontal), el mismo valor en cualquier posición. Cuando una aumenta, la otra disminuye para mantenerla suma. Como la energía cinética no puede ser negativa, la partícula nunca puede llegar a una posición dondeU(x) > Emec.

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En el potencial de la �gura, la partícula no puede pasar a la izquierda de la línea punteada ("región prohi-bida"); el punto más a la izquierda posible tiene energía cinética cero ("punto de retorno"), allí la partículase detiene y la fuerza la lleva hacia la derecha. Observen que la partícula sí puede ir hacia la derecha sin res-tricciones, porque la energía mecánica es más alta que la "barrera de potencial". También podemos observarque la energía cinética es máxima (la velocidad es máxima) cuando la partícula está en el mínimo del "pozo depotencial".

Este formato de análisis es sencillo y brinda información útil. Los términos entre comillas son lenguaje usualen este tipo de análisis.

Ejemplo 5: vamos a analizar la conservación de la energía mecánica en un péndulo ideal: una partícula demasa m suspendida de un punto �jo mediante una cuerda ideal de longitud L.

Aunque el movimiento no es rectilíneo, puede considerarse unidimensional porque la posición depende deuna sola variable, en este caso el ángulo θ medido desde la vertical. Las fuerzas que actúan sobre la partículason el peso (conservativa) y la tensión (que no realiza trabajo); luego la energía mecánica es constante.

Si tomamos la altura cero en el punto más bajo del recorrido, cuando la partícula se aparta un ángulo θ dela vertical la altura es h(θ) = L (1− cos(θ)) y

Ug(θ) = mgL (1− cos(θ))

La energía cinética se puede escribir como Ecin = 12mv(θ)2, indicando que el módulo de la velocidad (tangencial)

depende del ángulo. Supongamos que la partícula pasa por el punto más bajo con velocidad v0. La conservaciónde la energía mecánica nos permite igualar

1

2mv(θ)2 +mgL (1− cos(θ)) =

1

2mv20

En un grá�co de la energía potencial (en azul) marcamos la energía mecánica Emec = 12mv

20 (en negro). Si

la energía mecánica es menor que 2mgL el movimiento tiene dos puntos de retorno; la partícula permanece"con�nada" en el pozo de potencial y el movimiento resulta oscilatorio.