Modelos de Redes (II)Problema del árbol de expansión mínima

Problema del flujo máximo

Curso: Métodos Cuan ta vos

Prof. Ing. Chris an Ramos Angeles

Facultad de Administración y Negocios

Problema del árbol de expansión mínimoSe tienen como datos las longitudes de los arcos potenciales. Se desea diseñar una red, seleccionando los arcos adecuados, de tal forma que haya un camino entre cada par de nodos.El objetivo es lograr lo anterior minimizando la longitud total de los arcos elegidos.

Ejemplos de aplicación:Diseño de redes de telecomunicación (fibra óptica).Diseño de redes de transporte, minimizando el costoDiseño de una red de tubería entre varias localidadesDiseño de una red de cableado eléctrico

EL ALGORITMO:Seleccionar cuaquier nodo y conectarlo al mas cercanoSe identifica el nodo no conectado mas cercano a un nodo conectado, y conectarlo.Repetir el paso anterior hasta unir todos los nodos. Si hay empate, romperlo en forma arbitraria.

Ejemplo del árbol de expansión mínimo

1

2

5

4

3

5

3

2

1

4

4

Longitud total = 10

Ejemplo 1: Conexiones de cable para la Midwest TV Cable Company (en millas)

4

1

2

3

4

5

6

1 4

9

5

7 5

6

10

8

3

3

5

1

2

3

4

5

6

1

9

5

7

1

2

3

4

5

6

1 49

5

7

6

3

1

2

3

4

5

6

1 4

5

7

6

8

3

1

2

3

4

5

6

1 4

5

5

6

3

3

1 2

3 4

6

1

2

3

4

5

6

1 4

5

5

6

10

3

3

1

2

3

4

5

6

1 4

5

5

3

3

5 6

Problema del Flujo MáximoEl flujo se origina en un solo nodo (nodo fuente), y termina en otro nodo (nodo destino).Los nodos restantes son nodos de transbordo.Los flujos solo pasan en dirección de las flechas.Los arcos tienen capacidades máximas.Se busca maximizar la cantidad total de flujo desde el nodo fuente al nodo destino.Ejemplos de aplicación:

Maximizar la distribución de productos a los clientesMaximizar el flujo de petróleo a través de tuberías.Maximizar el flujo de vehículos por una red de transporte.

LA FORMULACION:Se puede formular como un problema de flujo de costo mínimo:

El origen tendría una producción de bi=V, donde V es una constante, una cota superior segura para el flujo total.El destino tendría una producción de bi = -VSe crea un arco ficticio que va desde el nodo inicial al nodo final.El costo del arco ficticio es M, una cantidad constante y grande, el costo de los demás arcos es 0.

Algoritmo de Ford-FulkersonEjemplo 2:

8

CV

CV CV

1

2 3

4

5

10

30

20

030

40

0

5

20

0

0 10

20

0

0

0

9

CV

CV

CV

1

2 3

4

5

10

30

20

030

40

0

5

20

0

0 10

20

0

0

0

CV

CV

CV

1

2 3

4

5

10

10

20

030

40

0

5

20

0

20 10

0

0

0

20

CV

CV

CV

1

2 3

4

5

10

10

10

1030

30

0

15

10

10

20 0

0

10

0

20

CV

CV

CV

1

2 3

4

5

10

10

0

2020

30

0

15

10

10

20 0

0

10

10

20

[ -] [ -]

[ -] [ -]

[30,1]

[20,3] [20,4]

[20,1] [40,2]

[10,3]

[10,1] [30,2]

[30,2]

[10,3] [10,1]

[20,2]

f1=20 f2=10

f3=10 f4=10

1 2

3 4

10

CV

CV

CV

1

2 3

4

5

10

0

0

2010

40

0

15

10

0

30 0

0

10

20

20

CV

CV

CV

1

2 3

4

5

0

0

0

2010

40

10

15

0

0

30 0

0

20

20

20

[10,1]

[15,4]

[10,4]

f5=10

5 6

Arco (Cij, Cji) (cij, cji)6 Flujo Dirección

(1,2) (20,0)-(0,20)=(20,-20) 20

(1,3) (30,0)-(0,30)=(30,-30) 30

(1,4) (10,0)-(0,10)=(10,-10) 10

(2,3) (40,0)-(40,0)=(0,0) 0 -

(2,5) (30,0)-(10,20)=(20,-20) 20

(3,4) (10,5)-(0,15)=(10,-10) 10

(3,5) (20,0)-(0,20)=(20,-20) 20

(4,5) (20,0)-(0,20)=(20,-20) 20

(Cij, Cji) : Capacidades iniciales(cij, cji) : Capacidades residuales

Flujo máximo en la red = f1 + f2 + f3 + f4 + f5 = 20 + 10 + 10 + 10 + 10 = 60

Ejemplo 3:

En el transporte intermodal, los camiones remolque cargados se mueven entre las terminales de ferrocarril colocando la caja en carros especiales. En la figura se muestra la ubicación de las principales terminales de ferrocarril en estados Unidos, y las vías actuales de FC. El objetivo es decidir cuáles vías se deben

debe unir la terminal de los Ángeles (LA) en forma directa con la de Chicago para dar cabida al intenso tráfico esperado. Por otra parte, todas las terminales restantes se pueden enlazar, en forma directa o indirecta, de tal modo que se minimice la longitud total (en millas) de las vías seleccionadas. Determine los segmentos de vías de ferrocarril que se deben incluir en el programa de revitalización.

11 12

SE

LA

DE

CH

DA

NY

DC

1100

1300

2000

2600

1400

780900

1300

1000

2000800

200

Ejemplo 4:

En la siguiente figura se ven las distancias, en millas, de las conexiones fac bles que unen nueve pozos marinos de gas natural con un punto de entrega en tierra. Como la ubicación del pozo 1 es la más cercana a la costa, tiene capacidad de bombeo y de almacenamiento suficiente para bombear la producción de los ocho pozos restantes hasta el punto de entrega. Determine la red mínima de tubería que una las bocas de pozo con el punto de entrega.

13 14

12

3

4

5

6

7

8

9

5

69

20

10

1520

4

73

12

15

14

6

13

5

7

5

Punto de entrega

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