CAPTULO 5

Controlabilidad y Observabilidad

Los conceptos de controlabilidad y observabilidad describen la interaccin entre el mundo externo (entradas y salidas) y las variables internas del sistema (estados).

Controlabilidad

Es la propiedad que indica si el comportamiento de un sistema puede ser controlado por medio de sus entradas.

Observabilidad

Es la propiedad que indica si el comportamiento interno del sistema puede detectarse a partir de sus salidas.

Definicin de Controlabilidad

Consideremos el sistema de n estados y p entradas

Con las matrices constantes:

Como la controlabilidad relaciona las entradas y los estados del sistema, la ecuacin de salida es irrelevante.

(I)

Definicin: El sistema representado por la ecuacin de estados (I), se dice que es controlable si para cualquier estado inicial 0 = 0

y cualquier estado final 1

, existe una entrada que transfiere el estado de de 0 a 1 en un tiempo finito. En caso contrario se dice que el sistema es no controlable.

La controlabilidad tiene que ver con la posibilidad de llevar al sistema de cualquier estado inicial al cualquier estado final en un tiempo finito, no importando qu trayectoria se siga, o qu entrada se use.

Controlabilidad de Estado Completo Segn KALMAN

Nuevamente consideremos el sistema de n estados y p entradas, representado por la ecuacin (I).

Definicin: El sistema representado por la ecuacin de estados (I), se dice que es de estado completamente controlable, si y solo si, los Vectores B, AB, . . . , , 1 son linealmente independientes.

Otras formas de expresar lo mismo: 1. El sistema descrito por (I) se dice que es de estado completamente controlable si y solo si, la matriz de controlabilidad M = 1 es de rango n. 2. Como consecuencia del punto anterior, El sistema descrito por (I) se dice que es de estado completamente controlable si y solo si, el determinante de la matrz M es diferente de cero, 0.

Los siguientes sistemas elctricos son controlables?

(a) (b)

Definicin de Observabilidad Consideremos el sistema no forzado de n estados

Con las matrices constantes:

(II)

Y su ecuacin de salida

(III)

Definicin: El sistema representado por las ecuaciones (II) y (III), se dice que es observable si cualquier estado inicial 0 = 0

Puede ser determinado a partir de la Observacin de la salida () en un intervalo de tiempo finito 0 . El sistema es por lo tanto observable si todas las transiciones de Estado afectan eventualmente al vector de salida.

Observabilidad de Estado Completo Segn KALMAN Nuevamente consideremos el sistema no forzado de n Estados y su ecuacin de salida, dados por las ecuaciones (II) y (III).

Definicin: El sistema representado por las ecuaciones (II) y (III), se dice que es de estado completamente observable, si y solo si los Vectores , , , ()1 son Linealmente independientes.

Otras formas de expresar lo mismo: 1. El sistema descrito por (II) y (III) se dice que es de estado completamente observable si y solo si, la matriz de observabilidad N = ()1 es de rango n. 2. Como consecuencia del punto anterior, el sistema descrito por (II) y (III) se dice que es de estado completamente observable si y solo si, el determinante de la matriz N es diferente de cero, 0.

PROBLEMA Analizar la controlabilidad y la observabilidad del circuito siguiente:

Rudolf E. Kalman

naci el 19 de mayo de 1930, en Budapest, capital de Hungra. Recibi su titulo de ingeniero y maestro en Ingeniera Elctrica del MIT en 1953 y 1954, respectivamente.

https://www.youtube.com/watch?v=60U82agbKhE

Klmn is an electrical engineer by his undergraduate and graduate education at M.I.T. and Columbia University, and he is noted for his co-invention of the Kalman filter (or Kalman-Bucy Filter), which is a mathematical technique widely used in the digital computers of control systems, navigation systems, avionics, and outer-space vehicles to extract a signal from a long sequence of noisy and/or incomplete technical measurements, usually those done by electronic and gyroscopic systems.

Klmn's ideas on filtering were initially met with vast skepticism, so much so that he was forced to do the first publication of his results in mechanical engineering, rather than in electrical engineering or systems engineering. Klmn had more success in presenting his ideas, however, while visiting Stanley F. Schmidt at the NASA Ames Research Center in 1960. This led to the use of Klmn filters during the Apollo program, and furthermore, in the NASA Space Shuttle, in Navy submarines, and in unmanned aerospace vehicles and weapons, such as cruise missiles.