8/16/2019 Clase 1 Solemne 3 FMM112

1/38

Clase 1.Tercera solemne.

FMM112

Departamento de Matemáticas

Facultad de Ciencias Exactas.

Septiembre 2015

Coordinación fmm112 Septiembre 2015   Clase 2. Regla de la cadena   1 / 1

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Actividad 1: Actividad de tres alumnos

Teorema : Sean   f  g   dos funciones tales que   Im( f ) ⊆  Dom(g )  y consideremos lafunción compuesta  gof .

Si  f  es derivable en  x 0 ∈  Dom( f )  y  g  es derivable en  f (x 0) ∈ Dom(g ),

Coordinación fmm112 Septiembre 2015   Clase 2. Regla de la cadena   2 / 1

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Actividad 1: Actividad de tres alumnos

Teorema : Sean   f  g   dos funciones tales que   Im( f ) ⊆  Dom(g )  y consideremos lafunción compuesta  gof .

Si  f  es derivable en  x 0 ∈  Dom( f )  y  g  es derivable en  f (x 0) ∈ Dom(g ),Entonces  gof  es derivable en  x 0  y además

Coordinación fmm112 Septiembre 2015   Clase 2. Regla de la cadena   2 / 1

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Actividad 1: Actividad de tres alumnos

Teorema : Sean   f  g   dos funciones tales que   Im( f ) ⊆  Dom(g )  y consideremos lafunción compuesta  gof .

Si  f  es derivable en  x 0 ∈  Dom( f )  y  g  es derivable en  f (x 0) ∈ Dom(g ),Entonces  gof  es derivable en  x 0  y además

(gof ) (x 0) = g ( f (x 0) f (x 0)

Coordinación fmm112 Septiembre 2015   Clase 2. Regla de la cadena   2 / 1

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Actividad 1: Actividad de tres alumnos

Teorema : Sean   f  g   dos funciones tales que   Im( f ) ⊆  Dom(g )  y consideremos lafunción compuesta  gof .

Si  f  es derivable en  x 0 ∈  Dom( f )  y  g  es derivable en  f (x 0) ∈ Dom(g ),Entonces  gof  es derivable en  x 0  y además

(gof ) (x 0) = g ( f (x 0) f (x 0)

Ejemplo:

Coordinación fmm112 Septiembre 2015   Clase 2. Regla de la cadena   2 / 1

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Actividad 1: Actividad de tres alumnos

Teorema : Sean   f  g   dos funciones tales que   Im( f ) ⊆  Dom(g )  y consideremos lafunción compuesta  gof .

Si  f  es derivable en  x 0 ∈  Dom( f )  y  g  es derivable en  f (x 0) ∈ Dom(g ),Entonces  gof  es derivable en  x 0  y además

(gof ) (x 0) = g ( f (x 0) f (x 0)

Ejemplo:

Sea  f (x ) = 

sen(3x ) + x 2

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Actividad 1: Actividad de tres alumnos

Teorema : Sean   f  g   dos funciones tales que   Im( f ) ⊆  Dom(g )  y consideremos lafunción compuesta  gof .

Si  f  es derivable en  x 0 ∈  Dom( f )  y  g  es derivable en  f (x 0) ∈ Dom(g ),

Entonces  gof  es derivable en  x 0  y además

(gof ) (x 0) = g ( f (x 0) f (x 0)

Ejemplo:

Sea  f (x ) = 

sen(3x ) + x 2

Entonces

 f (x ) =  1

2 

sen(3x ) + x 2

Coordinación fmm112 Septiembre 2015   Clase 2. Regla de la cadena   2 / 1

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Actividad 1: Actividad de tres alumnos

Teorema : Sean   f  g   dos funciones tales que   Im( f ) ⊆  Dom(g )  y consideremos lafunción compuesta  gof .

Si  f  es derivable en  x 0 ∈  Dom( f )  y  g  es derivable en  f (x 0) ∈ Dom(g ),

Entonces  gof  es derivable en  x 0  y además

(gof ) (x 0) = g ( f (x 0) f (x 0)

Ejemplo:

Sea  f (x ) = 

sen(3x ) + x 2

Entonces

 f (x ) =  1

2 

sen(3x ) + x 2· (3cos(3x ) + 2x ) =

Coordinación fmm112 Septiembre 2015   Clase 2. Regla de la cadena   2 / 1

A ti id d 1 A ti id d d t l

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Actividad 1: Actividad de tres alumnos

Teorema : Sean   f  g   dos funciones tales que   Im( f ) ⊆  Dom(g )  y consideremos lafunción compuesta  gof .

Si  f  es derivable en  x 0 ∈  Dom( f )  y  g  es derivable en  f (x 0) ∈ Dom(g ),

Entonces  gof  es derivable en  x 0  y además

(gof ) (x 0) = g ( f (x 0) f (x 0)

Ejemplo:

Sea  f (x ) = 

sen(3x ) + x 2

Entonces

 f (x ) =  1

2 

sen(3x ) + x 2· (3cos(3x ) + 2x ) =   3cos(3x ) + 2x 

2 

sen(3x ) + x 2

Coordinación fmm112 Septiembre 2015   Clase 2. Regla de la cadena   2 / 1

A ti id d 2 A ti id d d t l

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Actividad 2: Actividad de tres alumnos

A continuación disponen de 15 minutos para resolver las siguientes derivadas

1   f (x ) = cos (ln(x ) + 3x  + 1)

2   f (x ) = tan2(2x  +√ 

2x  + 1)

3   f (x ) =

  1

ln(x 2 + 2x )

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A ti id d 3 A li ió A ti id d d t l

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Actividad 3:Aplicación: Actividad de tres alumnos

A continuación disponen de 10 minutos para resolver las siguientes Aplicaciones

1   Determine las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva

 f (x ) =√ 

4x  + 9 +  2x 

x  + 5

 que pasan por el punto  (x 0 f (x 0))  tal que  x 0  = 4

Solución.

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Actividad 3:Aplicación: Actividad de tres alumnos

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Actividad 3:Aplicación: Actividad de tres alumnos

A continuación disponen de 10 minutos para resolver las siguientes Aplicaciones

1   Determine las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva

 f (x ) =√ 

4x  + 9 +  2x 

x  + 5

 que pasan por el punto  (x 0 f (x 0))  tal que  x 0  = 4

Solución.

2   P (t ) = 10√ x 2 + 16 · e x 2+x +1  Representa el lanzamiento de un proyectil

balistico.

donde P (t ) :  kilometros y  t   :  en minutos

Entonces determine la velocidad del proyectil a los 3 minutos de su

lanzamientoSolución.

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Actividad 4:Derivadas implícitas: Actividad de tres alumnos

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Actividad 4:Derivadas implícitas: Actividad de tres alumnos

Dada una función de manera implícita  F (x  y ) = 0, si queremos calcular la derivada

de  y  respecto de  x dy 

dx   =  f (x ),

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Actividad 4:Derivadas implícitas: Actividad de tres alumnos

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Actividad 4:Derivadas implícitas: Actividad de tres alumnos

Dada una función de manera implícita  F (x  y ) = 0, si queremos calcular la derivada

de  y  respecto de  x dy 

dx   =  f (x ),debemos considerar a  y   =  f  (x )  como una función

en términos de la variable independiente  x .

Coordinación fmm112 Septiembre 2015   Clase 2. Regla de la cadena   5 / 1

Actividad 4:Derivadas implícitas: Actividad de tres alumnos

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Actividad 4:Derivadas implícitas: Actividad de tres alumnos

Dada una función de manera implícita  F (x  y ) = 0, si queremos calcular la derivada

de  y  respecto de  x dy 

dx   =  f (x ),debemos considerar a  y   =  f  (x )  como una función

en términos de la variable independiente  x .Si derivamos con respecto a  x  la ecuación

F (x  y ) = 0 queda, en virtud de la Regla de la Cadena:

Coordinación fmm112 Septiembre 2015   Clase 2. Regla de la cadena   5 / 1

Actividad 4:Derivadas implícitas: Actividad de tres alumnos

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Actividad 4:Derivadas implícitas: Actividad de tres alumnos

Dada una función de manera implícita  F (x  y ) = 0, si queremos calcular la derivada

de  y  respecto de  x dy 

dx   =  f (x ),debemos considerar a  y   =  f  (x )  como una función

en términos de la variable independiente  x .Si derivamos con respecto a  x  la ecuación

F (x  y ) = 0 queda, en virtud de la Regla de la Cadena:

F x  + F y  · f (x ) = 0

Es decir, que la derivada buscada es  f (x ) = −F x F y 

.

Coordinación fmm112 Septiembre 2015   Clase 2. Regla de la cadena   5 / 1

Actividad 4:Derivadas implícitas: Actividad de tres alumnos

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Actividad 4:Derivadas implícitas: Actividad de tres alumnos

Dada una función de manera implícita  F (x  y ) = 0, si queremos calcular la derivada

de  y  respecto de  x dy 

dx   =  f (x ),debemos considerar a  y   =  f  (x )  como una función

en términos de la variable independiente  x .Si derivamos con respecto a  x  la ecuación

F (x  y ) = 0 queda, en virtud de la Regla de la Cadena:

F x  + F y  · f (x ) = 0

Es decir, que la derivada buscada es  f (x ) = −F x F y 

.

Ejemplo: Derivar implícitamente

x 3 − 2xy 2 + y 2 − 8  =  0

Coordinación fmm112 Septiembre 2015   Clase 2. Regla de la cadena   5 / 1

Actividad 4:Derivadas implícitas: Actividad de tres alumnos

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Actividad 4:Derivadas implícitas: Actividad de tres alumnos

Dada una función de manera implícita  F (x  y ) = 0, si queremos calcular la derivada

de  y  respecto de  x dy 

dx   =  f (x ),debemos considerar a  y   =  f  (x )  como una función

en términos de la variable independiente  x .Si derivamos con respecto a  x  la ecuación

F (x  y ) = 0 queda, en virtud de la Regla de la Cadena:

F x  + F y  · f (x ) = 0

Es decir, que la derivada buscada es  f (x ) = −F x F y 

.

Ejemplo: Derivar implícitamente

x 3 − 2xy 2 + y 2 − 8  =  0

Solución.

(3x 2 − 2y ) + (−4xy  + 2y ) f (x ) = 0

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Actividad 4:Derivadas implícitas: Actividad de tres alumnos

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Actividad 4:Derivadas implícitas: Actividad de tres alumnos

Dada una función de manera implícita  F (x  y ) = 0, si queremos calcular la derivada

de  y  respecto de  x dy 

dx   =  f (x ),debemos considerar a  y   =  f  (x )  como una función

en términos de la variable independiente  x .Si derivamos con respecto a  x  la ecuación

F (x  y ) = 0 queda, en virtud de la Regla de la Cadena:

F x  + F y  · f (x ) = 0

Es decir, que la derivada buscada es  f (x ) = −F x F y 

.

Ejemplo: Derivar implícitamente

x 3 − 2xy 2 + y 2 − 8  =  0

Solución.

(3x 2 − 2y ) + (−4xy  + 2y ) f (x ) = 0

 f (x ) =   −(3x 2 − 2y )

(2y  − 4xy )

Observación.

1   F x : corresponde a la derivada de  F (x  y ) = 0 con respecto de  x 

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Actividad 4:Derivadas implícitas: Actividad de tres alumnos

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p

Dada una función de manera implícita  F (x  y ) = 0, si queremos calcular la derivada

de  y  respecto de  x dy 

dx   =  f (x ),debemos considerar a  y   =  f  (x )  como una función

en términos de la variable independiente  x .Si derivamos con respecto a  x  la ecuación

F (x  y ) = 0 queda, en virtud de la Regla de la Cadena:

F x  + F y  · f (x ) = 0

Es decir, que la derivada buscada es  f (x ) = −F x F y 

.

Ejemplo: Derivar implícitamente

x 3 − 2xy 2 + y 2 − 8  =  0

Solución.

(3x 2 − 2y ) + (−4xy  + 2y ) f (x ) = 0

 f (x ) =   −(3x 2 − 2y )

(2y  − 4xy )

Observación.

1   F x : corresponde a la derivada de  F (x  y ) = 0 con respecto de  x 

2   F y : corresponde a la derivada de  F (x  y ) = 0 con respecto de  y 

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Actividad 5:: Actividad de tres alumnos

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A continuación disponen de 15 minutos para resolver las siguientes derivadas im-

plicitas

1   xy  +  sen(xy ) + x  + y  = 100

Solución.

2   tan (x 2 + y 2) + e x 2+y 

2+1 = 20

Solución.

3√ 

2x  + 3y  + xy  + y 2 = 0

Solución.

Coordinación fmm112 Septiembre 2015   Clase 2. Regla de la cadena   6 / 1

Actividad 6: Actividad de tres alumnos

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23/38

Sea f (x ) una función biyectiva y derivable en ]ab [ .Entonces la derivada de la función

inversa  f −1(x )  se obtine com sigue.

Coordinación fmm112 Septiembre 2015   Clase 2. Regla de la cadena   7 / 1

Actividad 6: Actividad de tres alumnos

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24/38

Sea f (x ) una función biyectiva y derivable en ]ab [ .Entonces la derivada de la función

inversa  f −1(x )  se obtine com sigue.

( fof −1)(x ) = x  

 f ( f −1(x ))·

[ f −1(x )]  = 1

Coordinación fmm112 Septiembre 2015   Clase 2. Regla de la cadena   7 / 1

Actividad 6: Actividad de tres alumnos

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25/38

Sea f (x ) una función biyectiva y derivable en ]ab [ .Entonces la derivada de la función

inversa  f −1(x )  se obtine com sigue.

( fof −1)(x ) = x  

 f ( f −1(x ))·

[ f −1(x )]  = 1

Así la derivada de la función inversa es:

Coordinación fmm112 Septiembre 2015   Clase 2. Regla de la cadena   7 / 1

Actividad 6: Actividad de tres alumnos

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26/38

Sea f (x ) una función biyectiva y derivable en ]ab [ .Entonces la derivada de la función

inversa  f −1(x )  se obtine com sigue.

( fof −1)(x ) = x  

 f ( f −1(x ))·

[ f −1(x )]  = 1

Así la derivada de la función inversa es:

[ f −1(x )]  =  1

 f ( f −1(x ))

Coordinación fmm112 Septiembre 2015   Clase 2. Regla de la cadena   7 / 1

Actividad 6: Actividad de tres alumnos

8/16/2019 Clase 1 Solemne 3 FMM112

27/38

Sea f (x ) una función biyectiva y derivable en ]ab [ .Entonces la derivada de la función

inversa  f −1(x )  se obtine com sigue.

( fof −1)(x ) = x  

 f ( f −1(x ))·

[ f −1(x )]  = 1

Así la derivada de la función inversa es:

[ f −1(x )]  =  1

 f ( f −1(x ))

Ejemplo:

i.y  =

 4x 2 + 1

Coordinación fmm112 Septiembre 2015   Clase 2. Regla de la cadena   7 / 1

Actividad 6: Actividad de tres alumnos

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28/38

Sea f (x ) una función biyectiva y derivable en ]ab [ .Entonces la derivada de la función

inversa  f −1(x )  se obtine com sigue.

( fof −1)(x ) = x  

 f ( f −1(x ))·

[ f −1(x )]  = 1

Así la derivada de la función inversa es:

[ f −1(x )]  =  1

 f ( f −1(x ))

Ejemplo:

i.y  =

 4x 2 + 1

 y 2 = 4x 2 + 12yf (x ) = 8x 

Coordinación fmm112 Septiembre 2015   Clase 2. Regla de la cadena   7 / 1

Actividad 6: Actividad de tres alumnos

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29/38

Sea f (x ) una función biyectiva y derivable en ]ab [ .Entonces la derivada de la función

inversa  f −1(x )  se obtine com sigue.

( fof −1)(x ) = x  

 f ( f −1(x ))·

[ f −1(x )]  = 1

Así la derivada de la función inversa es:

[ f −1(x )]  =  1

 f ( f −1(x ))

Ejemplo:

i.y  =

 4x 2 + 1

 y 2 = 4x 2 + 12yf (x ) = 8x 

 f (x ) =   4x y 

Coordinación fmm112 Septiembre 2015   Clase 2. Regla de la cadena   7 / 1

Actividad 6: Actividad de tres alumnos

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30/38

Sea f (x ) una función biyectiva y derivable en ]ab [ .Entonces la derivada de la función

inversa  f −1(x )  se obtine com sigue.

( fof −1)(x ) = x  

 f ( f −1(x ))·

[ f −1(x )]  = 1

Así la derivada de la función inversa es:

[ f −1(x )]  =  1

 f ( f −1(x ))

Ejemplo:

i.y  =

 4x 2 + 1

 y 2 = 4x 2 + 12yf (x ) = 8x 

 f (x ) =   4x y 

 f (x ) =  4x √ 

4x 2 + 1

Coordinación fmm112 Septiembre 2015   Clase 2. Regla de la cadena   7 / 1

Actividad 6: Actividad de tres alumnos

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31/38

Sea f (x ) una función biyectiva y derivable en ]ab [ .Entonces la derivada de la función

inversa  f −1(x )  se obtine com sigue.

( fof −1)(x ) = x  

 f ( f −1(x ))·

[ f −1(x )]  = 1

Así la derivada de la función inversa es:

[ f −1(x )]  =  1

 f ( f −1(x ))

Ejemplo:

i.y  =

 4x 2 + 1

 y 2 = 4x 2 + 12yf (x ) = 8x 

 f (x ) =   4x y 

 f (x ) =  4x √ 

4x 2 + 1

Coordinación fmm112 Septiembre 2015   Clase 2. Regla de la cadena   7 / 1

Actividad 6: Actividad de tres alumnos

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32/38

ii.

y  =  arctg(x )

Coordinación fmm112 Septiembre 2015   Clase 2. Regla de la cadena   8 / 1

Actividad 6: Actividad de tres alumnos

8/16/2019 Clase 1 Solemne 3 FMM112

33/38

ii.

y  =  arctg(x )

 tan(y ) = x 

Coordinación fmm112 Septiembre 2015   Clase 2. Regla de la cadena   8 / 1

Actividad 6: Actividad de tres alumnos

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34/38

ii.

y  =  arctg(x )

 tan(y ) = x 

sec2(y ) f (x ) = 1

Coordinación fmm112 Septiembre 2015   Clase 2. Regla de la cadena   8 / 1

Actividad 6: Actividad de tres alumnos

8/16/2019 Clase 1 Solemne 3 FMM112

35/38

ii.

y  =  arctg(x )

 tan(y ) = x 

sec2(y ) f (x ) = 1

 f (x ) =  1

sec2(y )

Coordinación fmm112 Septiembre 2015   Clase 2. Regla de la cadena   8 / 1

Actividad 6: Actividad de tres alumnos

8/16/2019 Clase 1 Solemne 3 FMM112

36/38

ii.

y  =  arctg(x )

 tan(y ) = x 

sec2(y ) f (x ) = 1

 f (x ) =  1

sec2(y )

 f (x ) =  1

1 + tan2(y )

Coordinación fmm112 Septiembre 2015   Clase 2. Regla de la cadena   8 / 1

Actividad 6: Actividad de tres alumnos

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37/38

ii.

y  =  arctg(x )

 tan(y ) = x 

sec2(y ) f (x ) = 1

 f (x ) =  1

sec2(y )

 f (x ) =  1

1 + tan2(y )

 f (x ) =  1

1 + x 2

Coordinación fmm112 Septiembre 2015   Clase 2. Regla de la cadena   8 / 1

Actividad 7:Derivada de la función inversa : Actividad de tres

alumnos

8/16/2019 Clase 1 Solemne 3 FMM112

38/38

alumnos

A continuación disponen de 15 minutos para derivar las siguientes funciones

1   y  = arcsen(3x )

Solución.

2   y  = arctg(e −x )

Solución.

3   y  = e 2√ x 

Solución.

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