Clase Nº 1 Clase Nº 1 Ángulos y PolígonosÁngulos y Polígonos

1. Ángulos1.1 Definición

1.2 Sistemas de Medición

1.3 Transformación de una unidad a otra

1.4 Clasificación

1.5 Relaciones angulares

1.6 Ángulos entre paralelas

2. Polígonos2.1 Definición

2.2 Clasificación

2.3 Generalidades

Ángulos y Polígonos

1. Ángulos1.1 Definición

Un ángulo es la región del plano formado por la intersección de dos rayos.

Se mide positivamente en sentido contrario a los punteros del reloj.Para nombrarlos, se utilizan las letras del alfabeto griego (,…) o números (1, 2, 3, 4…) en el interior del ángulo.

En la figura, = AOB = 1

1.2 Sistemas de medición• Sistema Sexagesimal:

La circunferencia es dividida en 360 partes iguales. Cada una de estas partes corresponde a un grado sexagesimal (1°). Cada grado se divide en 60 partes iguales llamadas minutos y cada minuto se divide en otras 60 partes iguales llamadas segundos.

• Sistema Centesimal:La circunferencia es dividida en 400 partes iguales. Cada una de estas partes corresponde a un grado centesimal o gradian (g).

• Sistema Circular:En este sistema de medición, la unidad es el radián (rad).

1.3 Transformación Para transformar ángulos de un sistema a otro, consideremos la siguiente relación:

360° = 2(radianes) = 400g (gradianes)

Ejemplo:

Usando proporciones o “regla de tres simple”, se obtienen las siguientes equivalencias:

Como 360° = 2 rad, entonces: 180° = rad

90° = /2 rad

En el cuadrado de la figura (1), los ángulos están expresados en grados sexagesimales, y en el cuadrado de la figura (2), en radianes.

360° = 2270° = x

Se obtiene que: x = 3/2 rad.

Fig.1 Fig.2

Para transformar algebraicamente 270º a radianes, se resuelve la proporción:

Los ángulos de clasifican según su medida en:

0 < Agudo < 90°

Ejemplos:

15°, 39°, 58°, 75°, 88°, etc.

1.4 Clasificación de ángulos en el Sistema Sexagesimal

Recto = 90°

90 < Obtuso < 180°

Ejemplos:

92°, 125°, 100°, 112°, 179°, etc.

Extendido = 180°

180° < Cóncavo < 360°

Ejemplos:

181°, 190°,250°, 327, etc.

Completo = 360°

1.5 Relaciones AngularesÁngulos Congruentes: Son aquellos que tienen la misma medida.

Ángulos Complementarios: Son aquellos cuya suma es 90°.

Ejemplos: 28° y 62° son complementarios.

28° es el “complemento” de 62° y a su vez,

62° es el “complemento” de 28°.

Ángulos Suplementarios: Son aquellos cuya suma es 180°.

Ejemplo: 126° y 54° son suplementarios.

126° es el “suplemento” de 54° y a su vez,

54° es el “suplemento” de 126°.

Ejemplos:

El suplemento de 30º es 150º. El suplemento de 0º es 180º.El suplemento de ε es (180º – ε).

Ángulos Adyacentes: Son aquellos que tienen un lado común y los otros dos sobre la misma recta.

Ángulos Opuestos por el vértice: Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.

1.6 Ángulos entre paralelasCuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, se forman ocho ángulos, de los cuales, algunos son congruentes entre sí.

En la imagen, si L1//L2 y L3 es una transversal, se forman ocho ángulos, éstos corresponden a un ángulo y su suplemento que se repiten.

(93° + 87° = 180°)

L1

L2

L3

93º

93º

Podemos determinar que L1//L2.

Además, si se tiene lo siguiente:

Propiedades de ángulos entre rectas paralelas

a) En las siguiente figura, se cumple que:

( L1 // L2 )

= β

b) En la siguiente figura, se cumple que:

= w + y

β = x + z

( L1 // L2 )

2. Polígonos2.1 Definición

Es toda figura plana, cerrada, limitada por un número finito de lados rectos.

De acuerdo al número de lados, los más utilizados se clasifican en:

Triángulos 3 lados

Cuadriláteros 4 lados

Pentágonos 5 lados

Hexágonos 6 lados

Octágonos 8 lados…

2.2 Clasificación de Polígonos• Polígonos Regulares

Se denomina Polígono regular a aquel que tenga todos sus lados y ángulos interiores congruentes.

Ejemplos:

El triángulo Equilátero

El Cuadrado

• Polígonos IrregularesSon aquellos que NO son regulares, es decir, no cumplen una o ambas condiciones de los polígonos regulares.

Ejemplos:

El rectángulo

El rombo

• Polígonos ConvexosSon aquellos polígonos que poseen todos sus ángulos interiores menores a 180°.

Ejemplo:

• Polígonos CóncavosSon aquellos polígonos que poseen, al menos, un ángulo interior que mide más de 180°.Ejemplo:

Al menos un segmento que une un par de puntos de la región interior del polígono, no está enteramente incluido en dicha región.

Todo segmento que une a dos puntos de la región interior del polígono, está enteramente

incluido ella.

2.3 Generalidades en un Polígono Convexo de “n” lados

• Número de diagonales desde un vértice (d)

Por ejemplo, en un octágono:

Si n es el número de lados de un polígono, entonces el total de diagonales que se pueden trazar desde uno de sus vértices está dado por la fórmula:

d = n - 3

d = 5

• Número Total de diagonales (D)Si n es el número de lados de un polígono, entonces el total de diagonales que se pueden trazar está dado por la fórmula:

D = n (n – 3)

2

Por ejemplo, en un pentágono, el total de diagonales es:

D = 5 (5 – 3)

2

D = 5

• Suma de los ángulos interiores (Si)Si n es el número de lados de un polígono, entonces la suma de los ángulos interiores está dado por la fórmula:

Si = 180° (n – 2)

Si = 180° ∙ (5 – 2)

Si = 180° ∙ (3)

Si = 540°

Por ejemplo, en un pentágono, la suma de sus ángulos interiores es:

• Suma de los ángulos exteriores (Se)La suma de los ángulos exteriores de un polígono es siempre 360°.

Se = 360°

¡ El esfuerzo solo proporciona plenamente su recompensa, después de que una persona se niega a darse por vencida !