clase 07 ecuaciones diferenciales de segundo orden
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Desarrollo de la clase1.- Dudas clase anterior
2.- Revisión tarea
3.- Ecuación Lineal de Segundo Orden Homogénea
4.- Problemas de valor inicial
Una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes, es una ecuación de la forma:
0´´´ cybyay
donde a,b,c son constantes reales, cuya solución es:
con
2211ycycy con c1 c2 constantes reales
Esta ecuación diferencial tiene asociada la siguiente ecuación de segundo grado (ecuación característica):
02 cbmamcuyas soluciones vienen dada por la fórmula
a
bm
2cabcon 42
cab 42
realsoluciónúnicaunamatendráecuaciónlaSi1
0
xm
ey 1
1
xm
xey 1
2
realessolucionescomomymatendráecuaciónlaSi21
0
xm
ey 1
1
xm
ey 2
2
complejassolucionestendráecuaciónlaSi 0
Resuelva la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes:
06´´´ yyy2m
a 1 b 1 c 6
cab 42
1 1 6
2)( 4 25 0
a
bm
2 12
251
2
51
2
511
m 32
512
m 2
1
m 6 0
24
1 25
12
solucioneshayComo 20
31
m 22
m
xm
ey 1
1
xm
ey 2
2
ey1
ey2
2211ycycy
y
x3
x2
1c xe 3
2c xe 2
Resuelva la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes:
2m
a 1 b 2 c 1
cab 42
1 2 1
2)( 4 0
a
bm
2 2
21
4
0´2´´ yyy m2 1 0
4
2 0
12
soluciónhayComo 10
11
m
xm
ey 1
1
xm
xey 1
2
ey1
xey2
2211ycycy
y
xey1
xxey2
x1
x1
1c xe 2
c xxe
Resuelva la ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes:
036´12´´ yyy2m
0))((
06mm
xm
ey 1
1 ey1
xm
xey 1
2xey
2
2211ycycy y
m12 36 0mm
66
m6m6
m12
6
6m 6m
x6 x6
xe 6
1c
2c xxe 6
TAREA 17
Resuelva la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes:
05´´ yy
Determine una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes, que tenga como solución xx ececxy 2
2
2
1)(
1y xe 2
2y xe 2
1m
2m
0))(( mm
2 22 2
xmxm
eyey 21
21
0)2)(2( mm
2m
042m´´y
m2 m2 4 0y4 0
2211ycycy
0´´´ cybyay
02 cbmam
Determine una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes, que tenga como solución xx ececxy 2
21)(
1y xe 2
yxe 2
1m
2m
0))(( mm
21 2
xmxm
eyey 21
21
0)2)(1( mm
2m
0232 mm ´´y
m2 m 2 0
´3y y2 0
1
0´´´ cybyay
02 cbmam
Determine una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes, que tenga como solución xx xececxy 3
2
3
1)(
1m
xmxm
xeyey 11
21
xey 3
1
0))(( mm2m
0962 mm
´´y
xxey 3
2
333
m3 m3 9 0
´6y y9 0
0´´´ cybyay
02 cbmam
TAREA 18
xeccxy 6
21)(
Determine una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes, que tenga como solución
Resolver el problema de valor inicial 02´´´ yyy4)0´(1)0( yycon
2m
21
m
0))((
xm
ey 1
1
ey1
xm
ey 2
2
ey2
2211ycycy
y
1)0(ycomox
10
2
0
11 ecec
211 cc
´yxx ececy
2
2
12´
4)0´(ycomo 0x
2124 cc
4
m 2 0mm
21
m2m
m
2m 1m1
2m
x2 x
1c xe 2
2c xe
0y 1
1c e
2 02
c e0
1c xe 2 2
2c
xe 1
4´y
12c e 02
2c 0e
211 cc
2124 cc
Resolviendo3
2
3
521
cc
xx ececy2
2
1
y3
5xe 2
3
2xe
Resolver el problema de valor inicial y´´+6y´-7y=0Con y(0)=0 y´(0)=4
2m
0)1)(7( mm
xey1
72
m
07m
xx ececy 7
21
´y
xx ececy 7
217´
0)0(ycomo
0
210 cc
4)0´(ycomo
4
2174 cc
021
cc47
21cc
resolveral
2
1
2
121
cc
y
m6 7 0
01m
11
m
xey 7
2
1c xe
2c xe 7
)7(
1c 0e 2
c 07e
1c 0e
27c 07e
2
1 xe2
1xe 7
TAREA 19
Resolver el problema de valor inicial y´´- 3y´- 10y = 0Con y(0)=1 y´(0)=10