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TEORIA DE LA DUALIDAD
Uno de los descubrimientos más importantes durante el desarrollo inicial de la programación lineal fue el concepto de dualidad y sus muchas e importantes ramificaciones. Este descubrimiento revelo que, asociado a todo problema de PL, existe otro problema lineal llamado dual. Las revelaciones entre el problema dual y el original (llamado primal) son un extremo útiles en una gran variedad de situaciones. Por ejemplo, se verá que de hecho la solución óptima del problema dual es la que proporciona los precios sombras (marginales).
El modelo de PL que desarrollaremos para una situación se conoce como el problema Primal y se transforma en problema Dual, esto es una definición matemática extremadamente relacionada, que se deriva directamente del problema primal.
La forma estándar de nuestro problema Primal se muestra a continuación: n
Maximizar Z = Cj Xj J=1
S.a.
n
aij Xj <= bi, para todo i = 1,2,...,m. J=1
Donde Xj >= 0, para todo j = 1,2,...,n.
Las variables Xi de i = 1,..., n; incluyen variables de superávit y de holguras según sea el caso, la forma estándar tiene tres propiedades :
a) Todas las restricciones son ecuaciones( con el lado derecho positivo).
b) Todas las variables son no negativas ( >= 0).c) El sentido de la optimización puede ser maximización o
minimización.
Cabe destacar que la forma estándar siempre se usa para producir la tabla simplex original y que la solución del problema dual se obtiene directamente de la tabla simplex primal óptima. Luego, al definir la forma dual de la forma primal estándar automáticamente se obtiene una solución dual compatible con los cálculos del método simplex.
Las variables y las restricciones del problema dual se pueden construir simétricamente a partir del problema primal, como sigue:
1.- Una variable dual se define para cada una de las ecuaciones de la restricción Primal m.
2.- Una restricción dual se define para cada primal de n variables primales.
3.- Los coeficientes del lado izquierdo de la restricción dual son iguales a los coeficientes de la restricción (columna), de la variable primal asociada, su lado derecho es igual al coeficiente del objetivo de la misma variable primal.
4.- Los coeficientes del objetivo de la dual son iguales al lado derecho de las ecuaciones de la restricción primal.
Ahora, el problema dual de la forma estándar del primal tendrá la forma siguiente:
m
Manimizar W = bi Yi i=1
S.a.
m
aij Yj >= Cj, para todo j = 1,2,...,n. i=1
Donde Yi >= 0, para todo j = 1,2,...,m.
Por lo tanto, el problema dual usa exactamente los mismos parámetros que el problema primal, pero en diferentes lugares, tal como se muestra a continuación:
Prob. Primal Prob. DualMax Z = CX Min W = Ybs.a. s.a.
AX <= b YA >= C X >= 0 Y >= 0
Ejemplo : Problema Primal y Dual.
a) En forma estándar (algebraica)
Prob. Primal Prob. DualMax Z = 3X1 + 5X2 Min W = 4Y1+12Y2+18Y3s.a. s.a.
X1 <= 4 Y1+3Y3 >= 3 2X2 <= 12 2Y2+2Y3 >= 53X1+2X2 <= 18 X1, X2 >= 0 Y1,Y2,Y3 >= 0
b) En forma Matricial
Prob. Primal Prob. DualMax Z = (3, 5) X1 Min W = (Y1,Y2,Y3) 4
X2 12 18
s.a. 1 , 0 X1 <= 4 (Y1,Y2,Y3) 1 ,0 >= (3,5) 0 , 2 X2 12 0, 2
3 , 2 18 3 , 2
X1 >= 0 (Y1,Y2,Y3) >= (0,0,0) X2 0
Construcción del Problema dual
Sea el problema de programación lineal escrito en su forma estándar :
Max Z = C 1X1 + .....+ CnXns.a.
a11X1 + ... + a1nXn <= b1: : :: : :
am1X1+.... + amnXn <= bn
Con Xi >= 0.
Luego, llevando esta forma estándar a la forma del simplex se tiene:
Notas:
1.- Cada fila del cuadro genera una variable dual ( una por cada restricción primal).
2.- La F.O. del dual se construye multiplicando el lado derecho bi del cuadro por la variable dual asociado a cada fila (Yi).
3.- la optimización dual es opuesta a la del Primal.4.- El tipo de restricción y la condición de las variables duales se
obtiene aplicando lo siguiente:
Primal ( Max) Dual ( Min )
Tipo de Variable Tipo de restricción Xi >= 0 Tipo >= 0
Xj <= 0 Tipo <= 0Xj (irrestricta) Tipo = 0
Tipo de restricción Tipo de Variable Tipo <= 0 Xi >= 0 Tipo >= 0 Xj <= 0 Tipo = 0 Xj (irrestricta)
Ejemplo :
Problema : Max Z = 5X1 + 3X2 + 6X3Primal s.a.
4X1 + 2X2 - 7X3 <= 203X1 + 5X2 + 4X3 >= 85X1 + 3X2 - 6X3 = 15
con X1 >= 0 , X2 irrectricto , X3 <= 0.Ejemplo :
Problema : Min W = 20Y1 + 8Y2 + 15Y3Dual s.a.
4Y1 + 3Y2 + 5Y3 >= 52Y1 + 5Y2 + 3Y3 = 3
-7Y1 + 4Y2 - 6Y3 <= 6
con Y1 >= 0 , Y2<= 0 , Y3 irrectricto
Propiedades:
1.- Propiedad de Dualidad Débil : Si X e Y son soluciones factibles en un problema Primal y en el problema dual respectivamente, se tiene :
Z = CX <= W = bY
2.- Propiedad de Dualidad Fuerte: sean X e Y soluciones factibles en el PP y en el PD respectivamente, si ellas verifican que CX = bY, luego ambas son soluciones óptimas en el PP y en el PD.
3.- si el PP o el PD posee solución óptima, luego ambos poseen solución óptima.
4.- El dual del dual es el primal.
5.- Si el PP es no acotado, entonces el PD es infactible, dado que Z <= W, y Z tiende a infinito, lo cual implica que W sea > a infinito, hecho que es improbable. Por tanto PD es infactible.
6.- Si el PP es infactible, entonces el PD es no acotado o infactible.
7.- Todo Problema de PL es PP o PD dependiendo del caso como se analice.
8.- En cualquier iteración simplex de la primal o la dual, se tiene:
Coeficiente del objetivo de la variable j en un problema es igual al lado izquierdo menos el lado derecho de la restricción j en otro problema.
9.- Para cualquier par de soluciones factibles primal y dual, se tiene:Valor del objetivo en el problema de max. es menor o igual al valor del objetivo en el problema de minimización.
En el óptimo, la relación es válida como una ecuación estricta.
Ejemplo:
Considere una pequeña empresa que produce dos tipo de pinturas P1 y P2. El proceso de producción requiere de tres materias primas (M1,M2,M3) para elaborar estos dos productos. Para elaborar una tonelada de P1 se requiere de 0,4 ton de M1 y 0,6 de M3. Una tonelada de P2 se forma con 0,5 toneladas de M1, 0,2 de m2 y 0,3 ton de M3. La disponibilidad de materia prima actual es de 20 ton de M1, 5 ton de M2 y 21 ton de M3. El departamento de control de control de costos ha analizado el proceso y concluido que una tonelada de P1 genera una utilidad de M$10 en tanto que una tonelada de P2 solo genera una utilidad de M$30.
De acuerdo a los datos entregados se tiene lo siguiente:
a) Problema PrimalMax Z = 40P1 + 30P2s.a.
0,4P1 + 0,5 P2 <= 20 (Restricción de M1) 0,2 P2 <= 5 (Restricción de M2)0,6P1 + 0,3 P2 <= 21 (Restricción de M3)con P1, P2 >=0.
b) Problema DualMin W = 20Y1 + 5Y2 +21Y3s.a.
0,4Y1 + 0,6 Y2 >= 40 0,5Y1+ 0,2Y2 + 0,3 Y3 >= 30
con Y1, Y2, Y3 >= 0.Cuadro simplex inicial del Problema Primal
Iteración Variab. Básica
P1 P2 H1 H2 H3 Recursos Operación de Reducción
H1 2/5 1/2 1 0 0 200 H2 0 1/5 0 1 0 5
H3 3/5 3/10 0 0 1 21Z -40 -30 0 0 0 0
Donde Z=0; P1 = P2= 0; H1 = 20; H2= 5 y H3 = 21
Cuadro simplex inicial del Problema Dual
Variab. Básica
Y1 Y2 Y3 S1 S2 R1 R2 Recursos Operación de Reducción
0 R1 2/5 0 3/5 -1 0 1 0 40R2 1/2 1/5 3/10 0 -1 0 1 30-W 20 5 21 0 0 0 0 0R 9/10 1/5 9/10 -1 -1 0 0 70
Donde Z=0; R = 70; R1= 40; R2 = 30; H1= H2 =0; Y1=Y2=Y3 = 0
Iteración Variab. P1 P2 H1 H2 H3 Recurs Operación de
Básica os Reducción
H1 0 3/10 1 0 -2/3 61 H2 0 1/5 0 1 0 5
P1 1 1/2 0 0 5/3 35Z 0 -10 0 0 200/3 1400
Donde Z= 1400; P1 = 35; P2= 0; H1 = 6; H2= 5 y H3 = 0
Variab. Básica
Y1 Y2 Y3 S1 S2 R1 R2 Recursos Operación de Reducción
1 Y3 2/3 0 1 -5/3 0 5/3 0 200/3R2 3/10 1/5 0 1/2 -1 -1/2 1 10-W 6 5 0 35 0 -35 0 -1400R 3/10 1/5 0 1/2 -1 -3/2 0 10
Donde W= 1400; R = 10; R1= 0; R2 = 10; S1= S2 =0; Y1=Y2= 0; Y3 = 200/3.
Iteración Variab. Básica
P1 P2 H1 H2 H3 Recursos
Operación de Reducción
P2 0 1 10/3 0 -20/9 202 H2 0 0 -2/3 1 4/9 1
P1 1 0 -5/3 0 25/9 25Z 0 0 100/3 0 400/9 1600
Donde Z= 1600; P1 = 25 ;P2=20; H1 = 0; H2= 1 y H3 = 0
Iteración Variab. Básica
Y1 Y2 Y3 S1 S2 R1 R2 Recursos Operación de
Reducción
2 Y3 0 -4/9 1 -25/9 20/9 10/3 -20/9 400/9Y1 1 2/3 0 5/3 -10/3 5 10/3 100/3-W 0 1 0 25 20 5 20 -1600R 0 0 0 0 0 -1 -1 0
Donde W= 1600; R = 0; R1= R2 = 0; S1= S2 =0; Y1= 100/3;Y2= 0; Y3 = 400/9.INTERPRETACION ECONOMICA DE LA DUALUDAD
El problema de la PL se puede considerar como un modelo de asignación de recursos, en el cual el objetivo es maximizar el ingreso o utilidad, sujeto a la disponibilidad de recursos limitados. Observando el problema desde este punto de vista, el problema dual asociado ofrece interesantes interpretaciones económicas del modelo de asignación de recursos de la PL.
Para formalizar la exposición, consideremos la siguiente representación de los problemas generales primales y duales en los cuales el primal asume el papel de un modelo de asignación de recursos:
Primal : n
Maximizar Z = Cj Xj J=1
S.a.n
aij Xj <= bi, para todo i = 1,2,...,m. J=1
Donde Xj >= 0, para todo j = 1,2,...,n.
Dual :m
Manimizar W = bi yi i=1
S.a.
m
aij Yj >= Cj, para todo j = 1,2,...,n. i=1
Donde Yi >= 0, para todo j = 1,2,...,m.
Desde el punto de vista del modelo de asignación de recursos, el problema primal tiene n actividades económicas y m recursos. El coeficiente Cj en el primal representa la utilidad por unidad de la actividad j. El recurso i, cuya disponibilidad máxima es bi, se consume a una tasa de aij unidades por unidad de la actividad j.
Interpretación económica de las variables duales.
Para cualquier par de soluciones factibles primal y dual, los valores de las funciones objetivo, cuando son finitas, deben satisfacer la siguiente desigualdad:
n n
Z = Cj Xj <= bi Yi = W j=1 j=1
La desigualdad estricta es válida cuando tanto la solución primal como la dual son óptimas.
Debido a que bi representa el número de unidades disponibles del recurso i, de ello se sigue que la ecuación Z = W se puede expresar dimensionalmente como:
$ = (unidades del recurso i) * ($ por unidad del recurso i )
Esto significa que las variables duales Yi, deben representar el valor por unidad del recurso i.
Ahora, si derivamos la expresión :n
Z = bi Yi derivando por /bij=1
se tiene :
( Z / bi ) = Yi
Esto representa que la variable dual en el óptimo, la variación de la función objetivo al disponer de una unidad adicional del recurso i ( variación marginal).
También, se tiene que Yi se le conoce como precio sombra o precio de escasez del recurso i.
Luego, Z representa la valorización de los productos en el óptimo y W representa la valorización de los recursos en el óptimo.
Observaciones:
1.- Si la solución dual no es única, no existe una interpretación económica clara.
2.- Teorema de Holguras complementarias
Sean X e Y soluciones factibles en el PP y PD respectivamente, si ocurre :
i) (aX - b) Y = 0, y
ii) (at Y - C) X = 0, entonces X e Y son soluciones óptimas en el PP y PD respectivamente.
Observaciones a las condiciones i y ii.
a) ( aij Xj - bi) *Yi = 0, para que esta relación se cumpla existen 3 alternativas :
i) ( aij Xj - bi) *Yi = 0, con Yi = 0, o que el contenido de la = 0, esto implica que aij Xj = bi, es decir el recurso se
consume completamente, por lo que es escaso. Por lo tanto, Yi>0.
ii) Si Yi = 0, esto implica aij Xj <= bi, por lo que sobran unidades de bi. Por lo tanto, bi es abundante (variable de holgura asociada es mayor que cero).
iii) Si ambos son = 0, no existe una interpretación económica clara.
Ejemplo : Tomemos la solución óptima para el problema de las pintura:
Iteración Variab. Básica
P1 P2 H1 H2 H3 Recursos
P2 0 1 10/3 0 -20/9 202 H2 0 0 -2/3 1 4/9 1
P1 1 0 -5/3 0 25/9 25Z 0 0 100/3 0 400/9 1600
Suponga que el recurso a (M1) se incrementan en una unidad esto implica que Z se incrementa en el valor de Yi, esto es 100/3, luego el nuevo Z = 4900/3.
Ahora, veamos que la escasez de los recursos M1 y M3 se obtiene al observar que sus variables de holgura asociadas son igual a cero y el grado relativo de dicha escasez ( o prioridad para obtener unidades adicionales) se mide a través de sus precios sombra. En este caso M3 tiene prioridad sobre M1 dado que Y3 > Y1.
Por lo tanto, de la solución del ejemplo vemos que el valor de Z = 1600 representa la máxima utilidad que se puede obtener en la
producción de P1 y P2. Y por otro lado el valor de W = 1600 representa la valorización de los recursos escasos ( a precio sombra) involucrados en la producción de P1 y P2.
Ahora, aplicando el Teorema de Holguras Complementarias se tiene:
1.- P1 0, luego : 0,4 Y1 + 0,6 Y3 = 40
2.- P2 0, luego : 0,5 Y1 + 0,2Y2 + 0,6 Y3 = 30
3.- H2 0, luego : Y2 = 0
Luego, resolviendo el sistema de 2x2 resultante se obtiene la solución óptima dual :
Y1 = 100/3
Y2 = 0
Y3 = 400/9
W = 1600