Ao de la promocin de la industria responsable y del compromiso climtico

20Crculo de MohrUniversidad Nacional Autnoma de Chota

ESCUELA PROFESIONAL INGENIERA CIVILMONOGRAFACRCULO DE MOHR PARA MOMENTOS Y PRODUCTOS DE INERCIA

Autor(es):Chuquimango Guerrero ArturoIrigoin Barboza IsaasRodrigo Guevara GeinerRojas Vsquez Roberth Martn Segura Ramos Jhon AlexTiclla Ros Thalia Nancy del Rocio

Docente:Ing. Luis Alberto Ballena Rentera

Chota- Per2014

NDICE

RESUMEN

ABSTRACT..

INTRODUCCIN

CONTENIDO (DESARROLLO)Captulo I: Generalidades sobre momento de inercia..Captulo II: Crculo de Mohr..

CONCLUSIONES.-------

REFERENCIAS..

ANEXOSEjemplos de aplicacin.Imgenes.

RESUMENEl crculo de Mohr es una representacin de las ecuaciones de transformacin paramomentos y productos de inercia. Una de las ventajas de usar el crculo de Mohr es queda una representacin visual clara de cmo las propiedades inerciales varan con laorientacin de los ejes y otra es que, refirindose al crculo, se pueden obtener losvalores numricos sin tener que memorizar las ecuaciones de transformacin. Este mtodo fue desarrollado hacia 1882por elingeniero civil alemnChristian Otto Mohr(1835-1918).

El desarrollo del mtodo del crculo de Mohr se hace con el objetivo de entender de una mejor manera la construccin del circulo de Mohr, ya que este tema es muy til para el estudio dentro de la ingeniera, porque se presenta el estudio de fuerzas y momentos dentro de un sistema de coordenadas para determinar esfuerzo normales y esfuerzos cortante para construir el circulo de Mohr.

En conclusin el crculo de Morh es un mtodo que nos puede ayudar a calcular momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las caractersticas de una circunferencia (radio, centro, etc.). Tambin es posible el clculo del esfuerzo cortante mximo absoluto y la deformacin mxima absoluta. Adems este concepto es muy usado en ingeniera, para determinar los tmanos y dimensiones mnimas requeridas en formas de acero utilizadas columnas y vigas para elementos en la construccin.

PALABRAS CLAVE: esfuerzos, cortantes, momentos, productos.

ABSTRACT

Mohr circle is a representation of the transformation equations for moments and products of inertia. One advantage of using Mohr's circle is that it gives a clear visual representation of how the inertial properties vary with the orientation of the axes and the other is that, referring to the circle, one can obtain the numerical values without memorizing equations transformation. This method was developed around 1882 by German civil engineer Christian Otto Mohr (1835-1918).

The development of Mohr's circle method is done with the aim to understand in a better way the Mohr circle construction, since this topic is very useful for the study in engineering, because the study of forces and moments is presented within a coordinate system to determine normal and shear stresses effort to build the Mohr circle.In conclusion Morh circle is a method that can help us to calculate moments of inertia, strains and stresses, adapting them to the characteristics of a circle (radius, center, etc.). Calculating the absolute maximum shear stress and the absolute maximum deformation is possible. Furthermore, this concept is widely used in engineering, and take us to determine the minimum dimensions required in the form of steel columns and beams used in construction elements.

KEYWORDS: efforts, sharp, moments products.

INTRODUCCINEl crculo de Mohr fue la principal herramienta utilizada para visualizar las relaciones entre el estrs normal cortante y la estimacin de los esfuerzos mximos, antes de que las calculadoras de mano se hicieran populares. Incluso hoy en da, el Crculo de Mohr es aun ampliamente utilizado por los ingenieros de todo el mundo.

Para establecer el crculo de Mohr, podemos recordar las frmulas del primer esfuerzo de transformacin para el plan de hacer hincapi en un lugar determinado. Para ello es necesario estudiar el circulo de Mohr en dos captulos: el captulo I da a conocer datos generales sobre momento de inercia, esto como parte introductoria al tema de inters, circulo de Mohr, el captulo II esta relaciona con definicin de crculo de Mohr y la aplicacin de este a momentos y productos de inercia.

El crculo de Mohr es un proceso de gran utilidad en el desarrollo de nuestra carrera y por ello es necesario definirlo y entenderlo para su aplicacin en ejercicios.

CONTENIDO (DESARROLLO)CAPTULO I:Generalidades sobre momento de inercia

1.1 MOMENTO DE INERCIALa inercia es la propiedad de la materia que hace que sta resista a cualquier cambio en su movimiento, ya sea de direccin o de velocidad. Esta propiedad se describe con precisin en la primera ley del movimiento del cientfico britnico Isaac Newton, que dice lo siguiente: un objeto en reposo tiende a permanecer en reposo, y un objeto en movimiento tiende a continuar movindose en lnea recta, a no ser que acte sobre ellos una fuerza externa.Por ejemplo, los pasajeros de un automvil que acelera, sienten contra la espalda la fuerza del asiento, que vence su inercia y aumenta su velocidad. Cuando ste frena, los pasajeros tienden a seguir movindose y salen despedidos hacia delante. Si realiza un giro, un paquete situado sobre el asiento se desplazar lateralmente, porque la inercia del paquete hace que tienda a seguir movindose en lnea recta.

1.2 DEFINICIN DE MOMENTO DE INERCIACualquier cuerpo que gira alrededor de un eje presenta inercia a la rotacin, es decir, una resistencia a cambiar su velocidad de rotacin y la direccin de su eje de giro. La inercia de un objeto a la rotacin est determinada por su momento de inercia, que no es ms que la resistencia que un cuerpo en rotacin opone al cambio de su velocidad de giro. El momento de inercia desempea en la rotacin un papel equivalente al de la masa en el movimiento lineal. Por ejemplo, si una catapulta lanza una piedra pequeay una grande, aplicando la misma fuerza a cada una, la piedra pequea se acelerar mucho ms que la grande. Cuanto ms lejos est la masa del centro de rotacin, mayor es el momento de inercia.

Figura 01Momento de inercia

El momento de inercia de un objeto depende de su masa y de la distancia de la masaal eje de rotacin. Este momento no es una cantidad nica y fija, ya que si se rota el objeto en torno a un eje distinto, tendr un momento de inercia diferente, puesto que la distribucin de su masa en relacin al nuevo eje es normalmente distinta.

CAPTULO II:Crculo de Mohr

Desarrollo hecho por Christian Otto Mohr (1835-1918), el crculo de Mohr es un mtodo grfico para determinar el estado tensional en los distintos puntos de un cuerpo. Entre las tensiones que existentes en un cuerpo sometido a un cierto estado de cargas y con unas ciertas restricciones, importan en general las tensiones principales, que son las tensiones que existen sobre ciertos planos del cuerpo, donde las tensiones de corte nulas. Estas tensiones son de importancia para el estudio de la resistencia mecnica de una pieza. Este mtodo tiene aplicacin para estados tensionales en dos y tres dimensiones.

2.1 DEFINICINEl crculo de Mohr es una grfica de esfuerzos normales contra esfuerzos tangenciales. Para entender este concepto se define:Los esfuerzos normales son fuerzas que se aplican perpendicularmente al rea de carga.Los esfuerzos tangenciales son fuerzasque se aplican paralelamente al rea de carga.Entonces, el crculo de Mohr no es ms que una idealizacin de esfuerzos, ya que lo que se menciona en el crculo de Mohr es que los esfuerzos normales crean a los esfuerzos tangenciales.Cuando tu aplicas una fuerza, ejemplo: estas parado frente a la pared, y con tu mano empujas la pared, tu estas aplicando una fuerza en el rea que ocupa la palma detu mano, esa fuerza entre el rea de la mano es un esfuerzo (no olvides que no es lo mismo esfuerzo que fuerza P=F/A P=esfuerzo; F=Fuerza; A=rea de carga) como la direccin de la fuerza esperpendicular a la pared entonces estas aplicando un esfuerzo normal.El otro caso sera que ests frente a una ventana y pegues tu mano abierta al cristal y empujas el cristal pero hacia arriba, aqu estasaplicando tambin un esfuerzo, es una fuerza que estas aplicando en un rea(que sera el rea de tu mano), pero esta vez estas aplicando la fuerza hacia arriba, entonces este es un esfuerzo tangencial.Entonces el concepto del crculo de Mohr te dice lo siguiente. Los esfuerzos normales sern esfuerzos tangenciales. Porque? porque cuando se le aplica la fuerza a la pared esta no se rompe porque el esfuerzo que se aplica no es suficiente para deformarla, pero eso no significa que el esfuerzo que tu aplicas desaparezca, lo que sucede es que la fuerza normal que se aplica se distribuyehacia la pared pero de forma paralela a esta y esa distribucin de esfuerzos al ser paralelos a la pared son esfuerzos tangenciales.

2.2 CIRCUNFERENCIA DE MOHR PARA ESFUERZOS:

2.2.1 Caso bidimensional

Figura N 02Circunferencia de Mohr para un estado de tensin bidimensional.

En dos dimensiones, la Circunferencia de Mohr permite determinar la tensin mxima y mnima, a partir de dos mediciones de la tensin normal y tangencial sobre dos ngulos que forman 90:

NOTA: El eje vertical se encuentra invertido, por lo que esfuerzos positivos van hacia abajo y esfuerzos negativos se ubican en la parte superior.Usando ejes rectangulares, donde el eje horizontal representa latensin normaly el eje vertical representa latensin cortanteo tangencialpara cada uno de los planos anteriores. Los valores de la circunferencia quedan representados de la siguiente manera: Centro del crculo de Mohr:

Radio de la circunferencia de Mohr:

Las tensiones, mxima y mnima vienen dados en trminos de esas magnitudes simplemente por:

Estos valores se pueden obtener tambin calculando losvalores propiosdeltensor tensinque en este caso viene dado por:

2.2.2 Caso tridimensionalEl caso del estado tensional de un punto P de un slido tridimensional es ms complicado ya que matemticamente se representa por una matriz de 3x3 para la que existen 3 valores propios, no necesariamente diferentes.

En el caso general, las tensiones normal () y tangencial (), medidas sobre cualquier plano que pase por el punto P, representadas en el diagrama (,) caen siempre dentro de una regin delimitada por 3 crculos. Esto es ms complejo que el caso bidimensional, donde el estado tensional caa siempre sobre una nica circunferencia. Cada uno de las 3 circunferencias que delimitan la regin de posibles pares (,) se conoce con el nombre de circunferencia de Mohr.

2.3 CIRCUNFERENCIA DE MOHR PARA MOMENTOS DE INERCIAPara slidos planos y casi-planos, puede aplicarse la misma tcnica de la circunferencia de Mohr que se us para tensiones en dos dimensiones. En muchas ocasiones es necesario calcular elmomento de inerciaalrededor de un eje que se encuentra inclinado, la circunferencia de Mohr puede ser utilizado para obtener este valor. Tambin es posible obtener los momentos de inercia principales. En este caso las frmulas de clculo del momento de inercia medio y el radio de la circunferencia de Mohr para momentos de inercia son anlogas a las del clculo de esfuerzos: Centro de la circunferencia:

Radio de la circunferencia:

CONCLUSIONES

El crculo de Mohr es un mtodo que an es usado por los ingenieros civiles a pesar de la aparicin de calculadoras capaces de realizar este proceso.El crculo de Mohr es un mtodo eficaz para la obtencin de momentos y productos de inercia.

REFERENCIAS

Russel c. Hibbeler. 2004. Mecanica vectorial para ingenieros: Estatica.10 maed.Mexico: Prenticehall inc.

ANEXOS

EJEMPLOS DE APLICACIN

a) Usando el crculo de Mohr, determine los momentos principales de la seccin transversal respecto a un eje que pasa por el centroide.

SolucinDetermine Ix, Iy, IxyLos momentos de inercia los hemos determinados en unejercicio anteriorIx=2. 90 (109) I y=5. 60 (109)I xy=3 .00 (109)Construimos el CrculoEl centro del crculo, O, desde el origen, est a ladistancia (I x+I y)/2= (2 .90+5. 60)/2=4. 25Con referencia al punto A (2.90, -3.00), el radio OA sedetermina usndo el teorema de PitagorasMomentos principales de InerciaEl Circulo intersecta el eje I axis en (7.54, 0) y (0.960, 0)OA= =3.29Imax=7 .54 (109)Imin=0.960 (109)Ejes PrincipalesAngulo 2p1 determinado midiendo en el crculo en sentidoantihorario desde OA en direccin del eje I positivo2p1=180(BAOA)=180 (3.003.29)=114.2El eje principal para Imax = 7.54 (109) est orientadocon un ngulo p1 = 57.1, medido en sentido antihorariodesde el eje x positivo al eje u positivo. El eje v esperpendicular a este eje.b) Determinar las tensiones normal y tangencial sobre un plano perpendicular al plano director y cuya normal forma un ngulo de 45 con los ejes X e Y.

c) La placa de la figura de espesor unidad est sometida a un estado plano de tensiones y cargada en sus lados con tensiones uniformemente distribuidas de 100 y 200 kg/cm2 segn se ve en la figura:1. Determinar la matriz de tensiones en cualquier punto de la placa:.Medienta el mtodo analtico convencional.Intentando encontrar una funcin de Airy

Con las condiciones de contorno tenemos:

Y as el tensor de tensiones:

Si aplicamos equilibrio interno despreciando fuerzas de volumen

Se cumplen.Aplicando las leyes de comportamiento:

Si aplicamos las ecuaciones de compatibilidad con deformaciones cumple la solucin dada.

0=0

0=0

0=0

0=0

0=0

0=0A la hora de calcular una funcin de Airy, como el problema es plano en tensiones y hemos despreciado las fuerzas de volumen al ser las tensiones constantes eligiremos un polinomio Airy de 2 grado

As la funcin de Airy con queda:

Isostticas:

Isoclinas

d)De entre todos los planos que, pasando por P, contienen al eje principal correspondiente, indicad la orientacin del plano que tiene ,mayor tensin tangencial e indicar el valor de dicha tensin

=1cos(0)=90

Este plano forma 45 con el eje x

e) Representar en el espacio Haigh-Wertergard el estado tensional dado.

IMGENES

Momento de inercia de reas conocidas: